(完整版)三角函数的诱导公式

三角函数高中数学诱导公式大全三角函数是高中数学中的重要内容，它与三角形的关系密切，广泛应用于各个学科中。

掌握三角函数的诱导公式对于解决各种问题是非常有帮助的。

下面我们就来详细介绍一些三角函数的诱导公式。

1.正弦函数的诱导公式：sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinBsin(A - B) = sinAcosB - cosAsinBsin2A = 2sinAcosAsinA + sinB = 2sin((A + B)/2)cos((A - B)/2)sinA - sinB = 2cos((A + B)/2)sin((A - B)/2)2.余弦函数的诱导公式：cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinBcos(A - B) = cosAcosB + sinAsinBcos2A = 2cos^2A - 1 = 1 - 2sin^2AcosA + cosB = 2cos((A + B)/2)cos((A - B)/2)cosA - cosB = -2sin((A + B)/2)sin((A - B)/2)3.正切函数的诱导公式：tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)tan2A = 2tanA / (1 - tan^2A)tanA + tanB = sin(A + B) / (cosAcosB)tanA - tanB = sin(A - B) / (cosAcosB)4.余切函数的诱导公式：cot(A + B) = (cotAcotB - 1) / (cotB + cotA)cot(A - B) = (cotAcotB + 1) / (cotB - cotA)cot2A = cot^2A - 2cotA / (cot^2A - 1)cotA + cotB = cotAcotB - 1 / (cotA + cotB)cotA - cotB = cotAcotB + 1 / (cotB - cotA)这些诱导公式可以帮助我们在计算三角函数的复杂表达式时，将其化简为更简洁的形式。

三角函数诱导公式与同角的三角函数【知识点1】诱导公式及其应用公式一： sin()-sin αα-=； cos()cos αα-= ； tan()tan αα-=- 公式二： ααπ-sin sin(=+）； ααπ-cos cos(=+）； ααπtan tan(=+）． 公式三： ααπsin sin(=-）； ααπ-cos cos(=-）； ααπtan tan(-=-） 公式四： sin(2sin παα-=-）； cos(2cos παα-=）； tan(2tan παα-=-）公式五： sin(2π-α) = cos α； cos(2π-α) = sin α． 公式六： sin(2π+α) = cos α； cos(2π+α) =- sin α．公式七： sin(32π-α)=- cos α； cos(32π-α) = -sin α．公式八： sin(32π+α) = -cos α； cos(32π+α) = sin α．公式九：απαsin )2sin(=+k ； απαcos )2cos(=+k ； απαtan )2tan(=+k ．（其中Z ∈k ）． 方法点拨： 把α看作锐角一、前四组诱导公式可以概括为：函数名不变，符号看象限公式（五）到公式（八）总结为一句话：函数名改变，符号看象限（原函数所在象限） 二、奇变偶不变，符号看象限 将三角函数的角度全部化成απ+⋅2k 或是απ-⋅2k ，符号名该不该变就看k 是奇数还是偶数，是奇数就改变函数名，偶数就不变例1、求值（1）29cos()6π= __________． （2）0tan(855)-= _______ ___． （3）16sin()3π-= __________．的值。

求：已知、例)sin(2)4cos()3sin()2cos( ,3)tan( 2απααπαπαπ-+-+--=+ 例3、 )2cos()2sin(21++-ππ【 】 A ．sin2－cos2B ．cos2－sin2C ．±（sin2－cos2）D ．sin2+cos2例4、下列各式不正确的是【 】A ． sin （α＋180°）=－sin αB ．cos （－α＋β）=－cos （α－β）C ． sin （－α－360°）=－sin αD ．cos （－α－β）=cos （α＋β） 例5、若sin （π＋α）＋sin （－α）=－m ,则sin （3π＋α）＋2sin （2π－α）等于【 】 A ．－23 m B ．－32 m C ．23 m D ．32m例6、已知函数1tan sin )(++=x b x a x f ，满足.7)5(=f 则)5(-f 的值为【 】A ．5B ．－5C ．6D ．－6例7、试判断sin(2)cos()(9tan (5)2αππααπαπα-+⎛⎫+- ⎪⎝⎭··cos 为第三象限角）符号 例8、化简3sin(3)cos()cos(4)25tan(3)cos()sin()22πααππαπαπααπ-⋅-⋅+-⋅+⋅-例9、已知方程sin(α - 3π) = 2cos(α - 4π)，求)sin()23sin(2)2cos(5)sin(α--α-πα-π+α-π例10、若1sin()3πθ-=,求[]cos()cos(2)33cos()1cos sin()cos()sin()22πθθππθθθπθπθπ+-+--⋅-⋅--+的值．提示：先化简，再将1sin 3θ=代入化简式即可．例11、若α例12、设)(x f 满足(sin )3(sin )4sin cos ,(||)2f x f x x x x π-+=⋅≤,求)(x f 的表达式.例13、设222sin()cos()cos()()31sin cos()sin ()22f παπαπααπαπαα+--+=+++-+，1sin 2α≠-，求23()6f π-的值．【知识点2】同角的三角函数的基本关系式 同角三角函数的基本关系式有两个： ①平方关系： sin 2α + cos 2α= ②商数关系：=ααcos sin 例14、化简cos α1－sin α1＋sin α＋sin α1－cos α1＋cos α(π<α<3π2)得【 】A ．sin α＋cos α－2B ．2－sin α－cos αC ．sin α－cos αD ．cos α－sin α 例15、若cos(π6－α)＝m (|m |≤1)，则sin(23π－α)的值为【 】A ．－mB ．－m 2 C.m2 D ．m例16、1＋2sin (π－3)cos (π＋3)化简的结果是【 】A ．sin3－cos3B ．cos3－sin3C ．±(sin3－cos3)D ．以上都不对 例17、tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋a )的值为【 】A .m ＋1m －1 B.m －1m ＋1C ．－1D ．1 例18、已知)1(,sin <=m m α，παπ<<2，那么=αtan 【 】A 21m m- B 21m m-- C 21mm-± D m m 21-±例19、若角α的终边落在直线0=+y x 上，则ααααcos cos 1sin 1sin 22-+-的值等于【 】 A 2 B 2- C 2-或2 D 0例20、已知3tan =α，23παπ<<，那么ααsin cos -的值是【 】 A 231+-B 231+-C 231-D 231+ 例21、已知A 为锐角，lg(1＋cos A )＝m ，lg 11－cos A＝n ，则1g sin A 的值为【 】A ．m ＋1nB .12(m －n )C.12(m ＋1n ) D.12(m －1n)例22、已知角α的终边经过点)60cos 6,8(0--m P ,且54cos -=α,则m 的值为【 】 A ．21 B ．21-C ．23-D ．23 例23、(2011年高考江西卷)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x 轴的正半轴.若P(4,y)是角θ终边上一点,且sin θ=-552,则y= . 例24、已知)0(32cos sin πθαα<<=+，求θtan 精选试题1、以下四个命题中，正确的是【 】A ．在定义域内，只有终边相同的角的三角函数值才相等B ．｛α｜α＝k π＋6π，k ∈Z ｝≠｛β｜β＝-k π＋6π，k ∈Z ｝ C ．若α是第二象限的角，则sin2α＜0 D ．第四象限的角可表示为｛α｜2k π＋23π＜α＜2k π，k ∈Z ｝ 2、sin34π·cos 625π·tan 45π的值是【 】A ．－43B ．43C ．－43D ．433、已知()21sin -=+πα，则()πα7cos 1+的值为【 】A ．332 B ． －2 C ． 332- D ． 332± 4、如果A 为锐角，21)sin(-=+A π，那么=-)cos(A π【 】 A 、21-B 、21C 、23-D 、235、若(),2,53cos παππα<≤=+则()πα2sin --的值是【 】 A ． 53 B ． 53- C ． 54 D ． 54-6、已知cos78°约等于0.20，那么sin66°约等于【 】A .0.92 B.0.85 C.0.88 D.0.957、已知343tan ,,2,cos 2322πππααπα+=∈+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭且则的值是【 】A ．35-B ．35C ．45D ．45-8、22222sin 1sin 2sin 3sin 89sin 90︒+︒+︒++︒+︒=9、已知3cos()5πα+=-,322παπ<<，则tan()2πα-=10、若1sin()22πα-=-，则tan(2)πα-=________． 11、已知()()()()29cos sin 4cos sin 3=+---++απαααπ，则αtan ＝．12、 已知cos()63πα-=25cos()sin ()66ππαα+--的值．提示：把56πα+化成()6ππα--，进而利用诱导公式求解．。

(α)
同角三角函数关系六角形记忆法 构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间 1"的正六边形为模型。 倒数关系 对角线上两个函数互为倒数； 商数关系 六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘 积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得商数关系式。 平方关系 在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等 于下面顶点上的三角函数值的平方。
tan3α＝(3tanα－tan^3(α))/(1－3tan^2(α))
三角函数的和差化积公式 sinα＋sinβ＝2sin((α＋β)/2) ·cos((α－β)/2) sinα－sinβ＝2cos((α＋β)/2) ·sin((α－β)/2) cosα＋cosβ＝2cos((α＋β)/2)·cos((α－β)/2) cosα－cosβ＝－2sin((α＋β)/2)·sin((α－β)/2)
两角和差公式 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ tan（α＋β）＝(tanα＋tanβ )/(1－tanα ·tanβ) tan（α－β）＝(tanα－tanβ)/(1＋tanα ·tanβ)
cos3α＝4cos^3(α)－3cosα 和差化积公式推导 首先,我们知道 sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(ab)=sina*cosb-cosa*sinb 我们把两式相加就得到 sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb 所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 同理,若把两式相减,就得到 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 同样的,我们还知道 cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(ab)=cosa*cosb+sina*sinb 所以,把两式相加,我们就可以得到 cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb 所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 同理,两式相减我们就得到 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2 这样,我们就得到了积化和差的四个公式: sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2 好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和 差化积的四个公式. 我们把上述四个公式中的 a+b 设为 x,a-b 设为 y,那么 a=(x+y)/2,b=(xy)/2 把 a,b 分别用 x,y 表示就可以得到和差化积的四个公式: sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2) sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2) cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

完整版)三角函数诱导公式总结三角函数诱导公式与同角的三角函数知识点1】诱导公式及其应用诱导公式是指通过一些特定的公式，将三角函数中的某些角度转化为其他角度，从而简化计算。

以下是常用的诱导公式：公式一：sin(-α) = -sinα；cos(-α) = cosα；tan(-α) = -tanα公式二：sin(π+α) = -sinα；cos(π+α) = -cosα；tan(π+α) =tanα公式三：sin(π-α) = sinα；cos(π-α) = -cosα；tan(π-α) = -tanα公式四：sin(2π-α) = -sinα；cos(2π-α) = cosα；tan(2π-α) = -tanα公式五：sin(π/2-α) = cosα；cos(π/2-α) = sinα公式六：sin(π/2+α) = cosα；cos(π/2+α) = -sinα公式七：sin(-π/2-α) = -cosα；cos(-π/2-α) = -sinα公式八：sin(-π/2+α) = -cosα；cos(-π/2+α) = sinα公式九：sin(α+2kπ) = sinα；cos(α+2kπ) = cosα；tan(α+2kπ) = tanα（其中k∈Z）。

以上公式可以总结为两条规律：1.前四组诱导公式可以概括为：函数名不变，符号看象限。

2.公式五到公式八总结为一句话：函数名改变，符号看象限（原函数所在象限）。

另外，还有一个规律是：奇变偶不变，符号看象限。

也就是说，将三角函数的角度全部化成kπ/2+α或是kπ/2-α的形式，如果k是奇数，那么符号要改变；如果k是偶数，符号不变。

例1、求值：（1）cos(2916π)= ________；（2）tan(-855)= ________；（3）sin(-π)= ________。

例2、已知tan(π+α)=3，求：(2cos(-α)-3sin(π+α))/(4cos(-α)+sin(2π-α))的值。