三角函数的诱导公式一

三角函数的诱导公式（一）[学习目标] 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．知识点一 诱导公式一～四(1)公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos α，tan(α＋2k π)＝tan α，其中k ∈Z .(2)公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α.(3)公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α.(4)公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α.思考1 任意角α与π＋α，－α，π－α的终边之间有怎样的对称关系？思考2 设任意角α的终边与单位圆交于点P (x 0，y 0)，分别写出π＋α，－α，π－α的终边与单位圆的交点坐标．知识点二 诱导公式的记忆2k π＋α(k ∈Z )，π＋α，π－α，－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”．思考 你能用简洁的语言概括一下诱导公式一～四的作用吗？题型一 给角求值例1 求下列各三角函数值．(1)sin(－83π)； (2)cos 196π； (3)sin[(2n ＋1)π－23π]． 解 (1)sin(－83π)＝－sin 83π＝－sin(2π＋23π) ＝－sin 23π＝－sin(π－π3) ＝－sin π3＝－32.(2)cos 196π＝cos(2π＋76π) ＝cos(π＋π6)＝－cos π6＝－32. (3)sin[(2n ＋1)π－23π]＝sin[2n π＋(π－23π)] ＝sin π3＝32. 跟踪训练1 求下列三角函数值．（1）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－436π； (2)cos 296π； (3)tan(－855°)． 解 (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－436π＝－sin 436π＝－sin(6π＋76π) ＝－sin 76π＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π6＝sin π6＝12； (2)cos 296π＝cos(4π＋56π) ＝cos 56π＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6 ＝－cos π6＝－32； (3)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1.题型二 给值求值问题例2 已知cos(α－75°)＝－13，且α为第四象限角， 求sin(105°＋α)的值．解 ∵cos(α－75°)＝－13<0，且α为第四象限角， ∴α－75°是第三象限角．∴sin(α－75°)＝－1－cos 2(α－75°)＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝－223. ∴sin(105°＋α)＝sin []180°＋(α－75°) ＝－sin(α－75°)＝223.跟踪训练2 已知cos(π＋α)＝－35，π<α<2π，求sin(α－3π)＋cos(α－π)的值． 解 ∵cos(π＋α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35， ∵π<α<2π，∴3π2<α<2π，∴sin α＝－45. ∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)＝－sin(π－α)＋(－cos α)＝－sin α－cos α＝－(sin α＋cos α)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋35＝15.题型三 三角函数式的化简例3 化简下列各式．（1）tan(2π－α)sin(－2π－α)cos(6π－α)cos(α－π)sin(5π－α)；（2）1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°. 解 (1)原式＝sin(2π－α)cos(2π－α)·sin(－α)cos(－α)cos(π－α)sin(π－α)＝－sin α(－sin α)cos αcos α(－cos α)sin α＝－sin αcos α＝－tan α. (2)原式＝1＋2sin(360°－70°)cos(360°＋70°)sin(180°＋70°)＋cos(720°＋70°)＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1.跟踪训练3 化简：(1)sin(540°＋α)·cos(－α)tan(α－180°)； （2）cos(θ＋4π)·cos 2(θ＋π)·sin 2(θ＋3π)sin(θ－4π)sin(5π＋θ)cos 2(－π＋θ).解 (1)原式＝错误!＝sin(180°＋α)cos αtan α＝－sin αcos αsin αcos α＝－cos 2α. (2)原式＝cos θ·cos 2θ·sin 2θsin θ·(－sin θ)·cos 2θ＝－cos θ.分类讨论思想在三角函数中的应用例4 证明：2sin(α＋n π)cos(α－n π)sin(α＋n π)＋sin(α－n π)＝(－1)n cos α，n ∈Z . 证明 当n 为偶数时，令n ＝2k ，k ∈Z ，左边＝2sin(α＋2k π)cos(α－2k π)sin(α＋2k π)＋sin(α－2k π)＝2sin αcos αsin α＋sin α＝2sin αcos α2sin α＝cos α. 右边＝(－1)2k cos α＝cos α，∴左边＝右边．当n 为奇数时，令n ＝2k －1，k ∈Z ，左边＝2sin(α＋2k π－π)cos(α－2k π＋π)sin(α＋2k π－π)＋sin(α－2k π＋π)＝2sin(α－π)cos(α＋π)sin(α－π)＋sin(α＋π)＝2(－sin α)(－cos α)(－sin α)＋(－sin α)＝2sin αcos α－2sin α＝－cos α. 右边＝(－1)2k －1cos α＝－cos α，∴左边＝右边．综上所述，2sin(α＋n π)cos(α－n π)sin(α＋n π)＋sin(α－n π)＝(－1)n cos α，n ∈Z 成立．1．sin 585°的值为( )A ．－22 B.22 C ．－32 D.322．cos(－16π3)＋sin(－16π3)的值为( ) A ．－1＋32B.1－32C.3－12D.3＋123．记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( )A.1－k 2kB ．－1－k 2k C.k 1－k 2 D ．－k1－k 2 4．化简：cos(180°＋α)sin(α＋360°)sin(－α－180°)cos(－180°－α).一、选择题1．cos 600°的值为( )A.32B.12 C ．－32 D ．－122．sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为( )A ．1B ．2sin 2αC ．0D ．23．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin α等于( )A ．－1213 B.1213 C.512 D ．±12134．若sin(－110°)＝a ，则tan 70°等于( ) A.a1－a 2 B.－a 1－a 2 C.a 1＋a 2 D.－a 1＋a 25．tan(5π＋α)＝m ，则sin(α－3π)＋cos(π－α)sin(－α)－cos(π＋α)的值为( ) A.m ＋1m －1 B.m －1m ＋1C ．－1D ．1 6．若sin(π－α)＝log 8 14，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos(π＋α)的值为( ) A.53 B ．－53 C ．±53D ．以上都不对 二、填空题 7．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－θ＝ . 8．若cos(π＋α)＝－12，32π<α<2π，则sin(α－2π)＝ . 9.cos(－585°)sin 585°＋sin(－570°)的值等于 ． 10．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 017)的值为 ． 三、解答题11．化简下列各式． (1)sin(－193π)cos 76π； （2）sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°)．12．若cos(α－π)＝－23，求 sin(α－2π)＋sin(－α－3π)cos(α－3π)cos(π－α)－cos(－π－α)cos(α－4π)的值．当堂检测答案：1．答案 A解析sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－2 2 .2．答案 C解析原式＝cos 16π3－sin16π3＝cos4π3－sin4π3＝－cos π3＋sinπ3＝3－12.3．答案 B解析∵cos(－80°)＝k，∴cos 80°＝k，∴sin 80°＝1－k2.∴tan 80°＝1－k2 k.∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k2 k.4．化简：cos(180°＋α)sin(α＋360°)sin(－α－180°)cos(－180°－α).解原式＝(－cos α)·sin α[－sin(α＋180°)]·cos(180°＋α)＝sin αcosαsin(α＋180°)cos(180°＋α)＝sin αcos α(－sin α)(－cos α)＝1.课时精炼答案一、选择题1．答案 D解析 cos 600°＝cos(360°＋240°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12. 2．答案 D解析 原式＝(－sin α)2＋cos αcos(－α)＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2.3．答案 A解析 ∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－513， ∴cos α＝513，又α是第四象限角， ∴sin α<0，则sin α＝－1－cos 2α＝－1213. 4．答案 B解析 ∵sin(－110°)＝－sin 110°＝－sin(180°－70°) ＝－sin 70°＝a ，∴sin 70°＝－a ，∴cos 70°＝1－(－a )2＝1－a 2，∴tan 70°＝sin 70°cos 70°＝－a 1－a 2. 5．答案 A解析 原式＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1. 6．答案 B解析 ∵sin(π－α)＝sin α＝log 232－2＝－23， ∴cos(π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2 α＝－1－49＝－53. 二、填空题7．答案 －33解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6＋θ ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝－33.8．答案 －32解析 由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12， 故sin(α－2π)＝sin α＝－1－cos 2α＝－1－(12)2 ＝－32(α为第四象限角)．9.答案 2＋2解析 原式＝cos(360°＋225°)sin(360°＋225°)－sin(360°＋210°)＝cos 225°sin 225°－sin 210°＝－cos 45°sin(180°＋45°)－sin(180°＋30°)＝－22－22＋12＝2＋2. 10．答案 －3解析 ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－a sin α－b cos β ＝－3.三、解答题11．解 (1)sin(－193π)cos 76π ＝－sin(6π＋π3)cos(π＋π6)＝sin π3cos π6＝34. (2)sin(－960°)cos 1 470°－cos 240°sin(－210°) ＝－sin(180°＋60°＋2×360°)cos(30°＋4×360°) ＋cos(180°＋60°)sin(180°＋30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝1.12．解 原式＝－sin(2π－α)－sin(3π＋α)cos(3π－α)－cos α－(－cos α)cos α＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α＝sin α(1－cos α)－cos α(1－cos α)＝－tan α. ∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－23， ∴cos α＝23.∴α为第一象限角或第四象限角． 当α为第一象限角时，cos α＝23， sin α＝1－cos 2α＝53，∴tan α＝sin αcos α＝52， ∴原式＝－52. 当α为第四象限角时，cos α＝23， sin α＝－1－cos 2α＝－53， ∴tan α＝sin αcos α＝－52，∴原式＝52. 综上，原式＝±52.。