函数的应用 教学设计

5.5.1 两角差的余弦公式
教材分析
这是2019版普通高中教科书数学必修第一册（人教A 版）第五章第5节的教学内容，这部分内容课标规定三课时，本节是第1课时，《两角差的余弦公式》是三角恒等变换这一节的主要内容，还有对两角差的余弦公式有了认识，才能够以此为基础推导出其他三角恒等变换公式。

这是一个逻辑推理过程也是一个认识三角函数式的特征，体会三角恒等变换特点的过程。

本节力图体现圆的对称性与三角函数之间的内在联系，所以选择了利用对称性证明两角差的余弦公式。

课时分配
本节内容用1课时的时间完成，主要讲解两角差的余弦公式的证明及运用公式解决简单的数学问题. 教学目标
重点:利用圆的旋转对称性推导两角差的余弦公式;
难点:发现两角差的三角函数与圆的旋转对称性间的联系;认识三角恒等变换的特点,并能解决一些三 角恒等变换的问题.
知识点：两角差的余弦公式.
能力点：如何探寻两角差的余弦公式的证明思路，数形结合、分类讨论的数学思想的运用.
教育点：经历由特殊到一般的研究数学问题的过程，体会探究的乐趣，激发学生的学习热情.
自主探究点：通过三角函数的定义和圆的旋转对称性来找到弦长与三角函数值的等量关系.
考试点：用公式解决简单的数学问题，角的象限的判断，配凑角.
易错易混点：逆用两角差与和的余弦公式时符号易错.
拓展点：如何利用βα、的三角函数值表示cos(+)αβ.
教具准备 多媒体课件和三角板，圆规
课堂模式 学案导学
一、引入新课
cos()=sin 2
παα-， cos()=-cos .παα- 教师引导：大家来回答一下以上两个诱导公式的结果，你能当诱导公式中的2π
π，变成3
π时，你能求出cos()=3
π
α-？的值吗，进一步地你能求出cos(-)=αβ？的结果吗?
【师生活动】教师分析思路：第一部分依然是基于圆的对称性进行研究,与5.3节相比较,5.3节中用到的
是圆的特殊的对称性,此处用到的是圆的更一般的对称性,即旋转对称性. 这种特殊与一般的关系,蕴含着诱导公式与两角和(差)公式之间的特殊与一般的关系.一是努力使公式的证明过程简明易懂,易于学生接受:二是公式推导的依据要突出体现圆的对称性与三角函数之间的内在联系,所以选择了利用旋转对称性证明两角差的余弦公式.
【设计意图】 本课力图体现圆的对称性与三角函数之间的内在联系,所以选择了利用旋转对称性证明两角
差的余弦公式.
二、探究新知
（一）归纳公式
通过“探究”,引导学生进行自主的思维活动. 不失一般性,先研究角α与β的终边不重合时的情况,即=2,k k z απβ+∈的情况.
步骤：第一步,标注出“探究”中涉及到的量,即角α，β,αβ-的终边与单位圆的交点11,,P A P 并设单位圆与x 轴正半轴交于点A .
第二步,利用三角函数的定义,写出各点的坐标.
第三步,利用圆的旋转对称性,得到等量关系11AP A P =.
第四步,代入化简,得到两角差的余弦表达式.代人化简时需用到两点间的距离公式,在边空中已给出.在教学时可以利用勾股定理进行简单的推导.
问题：当角α与β的终边重合时,即=2,k k z απβ+∈,可得cos +sin 1αα=22,或者cos +sin 1ββ=22
即两角差的余弦表达式是否仍然成？从而得到任意两角差的余弦表达式..教科书中图5.5-1起着直观化的作用,但证明的过程利用的不是角α与β终边的特殊位置.在教学中可以从以下两方面引导学生理解这种证明过程的一般性:其一,改变角β终边的位置,让学生看到证明第二步中各点的坐标不会因此改变;其二,根据圆的旋转对称性,无论角α与β终边的位置如何,总有11AP A P =,成立.和角、差角,倍角的三角函数之间存在紧密的内在联系,因此不必孤立地去一一推导这些公式,只要推导出一个公式作为基础,再利用这种联系性,用逻辑推理的方法就可以得到其他公式.
[设计意图] 这种证明的好处是不需要利用图形本身的直观性质,即证明的过程不受图形大小,位置变化的限制,因此证明具有一般性。

给学生充分的感性材料,揭示公式的发现过程, 通过学生发现若干特例的共性, 培养学生归纳、概括、提出数学问题的能力（一般性探究）．避免直接将公式抛给学生．
（二）公式证明
根据弦长相等，可以利用两点间的公式推导三个角函数之间的关系[]cos()1+sin -=cos -cos +sin -sin αβαβαβαβ--2222（）（）（）
[]=cos()1+sin -=cos -cos +sin -sin αβαβαβαβ--2
22（）（）（） cos()cos cos sin .sin αβαβαβ-=+
[设计意图] 通过学生的计算，感受两角差的余弦公式的形成，加
深对公式的理解。

同时体现了由形到数的转化思想。

三、理解新知
任意角αβ， 的正余弦与其差角的余弦之间的关系，成为差角的余弦公式
分析公式βαβαβαsin sin cos cos )-cos(
+=的结构特点，
特征,,αβαβ-1.左边是复角右边是单角
2.,αβ式中的是任意角.
3.同名相乘,符号相反
得到口诀：余余正正符号反．
.
[设计意图]为准确地运用新知，作必要的铺垫，一分钟记忆背诵.让学生从了解到熟练，牢记公式形式，公式特征，达到记忆准确，融会贯通。

也通过大声记忆提振学生精神。

四、运用新知
cos -sin παα=例1 （）2
cos --cos παα= （） [设计意图]利用两角和的余弦公式证明诱导公式，体现了前后知识之间的内在联系,有利于学生全面而系统地掌握知识．让学生发现诱导公式是两角差余弦公式的特殊形式，体现特殊与一般的联系。

452sin ,(,),cos ,5213πααπβ=
∈=-例已知如β是第三象限角求）（βα-cos 的值.
02
π
απαπ∈∈如果把条件中（，）改为（，）结果如何？
你能总结求两角差的余弦的步骤吗？
[设计意图] 此题是应用、理解公式的基础练习，解此题需要思考使用公式前应作出的必要准备，要作出这些必要的准备，需要运用到同角三角函数的知识。

解题时必须强调解决三角变换问题的基本要求：思维的有序性和表述的条理性。

五、课堂小结
教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答：
1．知识：βαβαβαsin sin cos cos )-cos(+=．
2．思想：分类讨论的思想、数形结合的思想、特殊与一般的思想．
教师总结: 公式的证明过程用到了前面利用单位圆定义三角函数和利用圆的对称性证明诱导公式的知识和方法，在学习新知时，从已知已会的经验出发，加强对数学规律性，统一性的认识,从而更好地运用知识,解题要有目的性，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用．
[设计意图] 让学生了解知识的来龙去脉，了解学习的主要内容及应用，会用数学思想方法解决问题． 达标训练
cos =-cos -πααα3 1.已知，是第二象限角，求（）的值.54
1cos15cos(4530) cos 45cos30sin 45sin 30222︒=︒-︒=︒︒+︒=+⋅=2.解：
00003.cos(21)cos(24)sin(21)sin(24)=θθθθ+-++-
[设计意图] 本环节设计了三个题目，分别对应公式直接应用，公式活学活用应用，公式逆运用等三个方面 培养学生发散思维的能力及良好的解题习惯，第二题是对公式的直接应用，体现了角的拆分的思想。

拆分的多样性，体现了变换的多样性。

求解的过程可以完全由学生独立完成。

既可以找到例题中两个问题的联系，又可以公式的灵活变形和逆用提高学生的解题能力． 逆向运用公式．两个问题的设计由具体到抽象,便于学生全面的认识公式, 提高理解、运用知识的能力．
目标回扣
1.差角的余弦在现实生活中的应用
2.差角的余弦的证明方法
3.利用该公式进行证明，求值
[设计意图] 通过对学习目标再现，加深对本节课学习的内容再认识，达到学有所得，学有所思的目的． 知新 如何利用βα、的三角函数值表示cos(+)?αβ呢
[设计意图]设计分层作业，是引导学生先抓基础，再巩固提高，根据学生的学习规律循序渐进.书面作业的布置，是为了让学生能够巩固两角差与和的余弦公式，解决简单的数学问题；知新环节的安排，是让学生理解公式之间的联系，会用任意角的观点宏观的看问题，起到承上启下的作用．
六、布置作业
必做题：1．课后练习P217 3.4
选做题：1. 习题5.5复习巩固1.2
2. 已知α,β都是锐角，13
5)cos(54
cos -=+=βαα， ，求cos β的值. 七、教后反思
1.本教案的亮点是理解新知的教学中，让学生根据已有的知识经验和研究方法说明思路的由来过程。

让学生积极探究，了解不同的证明方法，加深对知识的公式的理解。

达标训练切入点低，题型丰富，让学生学习有获得感．
2.由于学情情况不同，建议在使用本教案时灵活掌握，要把证明的过程分析透彻，让学生知其然，知其由然，知其何以由然.
3.本节课的弱项是由于证明过程跨度较大，在课堂上没有充分的学生活动，需给予针对性地诊断与分析.
八、板书设计。