2014-2015年河北省衡水市重点中学高二上学期期末数学试卷(文科)与解析
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2014-2015学年河北省衡水市重点中学高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）用反证法证明命题：“a，b∈N，ab不能被5整除，a与b都不能被5整除”时，假设的内容应为（）A．a，b都能被5整除B．a，b不都能被5整除C．a，b至少有一个能被5整除D．a，b至多有一个能被5整除3．（5分）对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），则下列说法中不正确的是（）A．由样本数据得到的回归方程=x+必过样本中心（，）B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好D．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于14．（5分）已知0＜a＜1，b＞1且ab＞1，则M=log a，N=log a b，P=log b．三数大小关系为（）A．P＜N＜M B．N＜P＜M C．N＜M＜P D．P＜M＜N 5．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}中，3a1，a3，2a2成等差数列，则=（）A．27B．3C．﹣1或3D．1或276．（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表根据上表可得回归方程=x +的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ） A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元7．（5分）设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则，类比这个结论可知：四面体S ﹣ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为R ，四面体S ﹣ABC 的体积为V ，则R=（ ） A． B ． C ．D ．8．（5分）设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF |=3|BF |，则l 的方程为（ ） A ．y=x ﹣1或y=﹣x +1B ．y=（x ﹣1）或 y=﹣（x ﹣1）C ．y=（x ﹣1）或 y=﹣（x ﹣1） D ．y=（x ﹣1）或 y=﹣（x ﹣1）9．（5分）在一张纸上画一个圆，圆心O ，并在圆外设一点F ，折叠纸圆上某点落于F 点，设该点为M ，抹平纸片，折痕AB ，连接MO （或者OM ）并延长交于AB 于P ，则P 点轨迹为（ ） A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线10．（5分）已知双曲线﹣=1（a ＞0）的两条渐近线与以椭圆+=1的左焦点为圆心、半径为的圆相切，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．11．（5分）对于R 上可导的任意函数f （x ），若满足（2﹣x ）f′（x ）≤0，则必有（ ）A．f（1）+f（3）＜2f（2）B．f（1）+f（3）≤2f（2）C．f（1）+f（3）＞2f（2）D．f（1）+f（3）≥2f（2）12．（5分）已知f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＜﹣xf′（x），则不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集是（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（1，2）D．（2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在复平面内，复数z满足=，则z对应点的坐标是．14．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x值为31，则a等于．15．（5分）已知x，y满足约束条件，且x+2y≥a恒成立，则a的取值范围为．16．（5分）有一个奇数组成的数阵排列如图：则第30行从左到右第3个数是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x 满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．（12分）在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表1：男生表2：女生（1）从表二的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；（2）从表二中统计数据填写下边2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．参考数据与公式：K2=，其中n=a+b+c+d．临界值表：19．（12分）已知函数f（x）=（ax2+bx+c）e x（a＞0）的导函数y=f′（x）的两个零点为﹣3和0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）的极小值为﹣1，求f（x）的极大值．20．（12分）曲线C1，C2都是以原点O为对称中心，坐标轴为对称轴、离心率相等的椭圆，点M的坐标是（0，1），线段MN是曲线C1的短轴，并且是曲线C2的长轴，直线l：y=m（0＜m＜1）与曲线C1交于A，D两点（A在D的左侧），与曲线C2交于B，C两点（B在C的左侧）．（1）当m=，|AC|=时，求椭圆C1，C2的方程；（2）当OC⊥AN，求m的值．21．（12分）如图，A，B是椭圆+=1（a＞b＞0））的两个顶点．|AB|=，直线AB的斜率为﹣．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l平行于AB，与x，y轴分别交于点M，N，与椭圆相交于C，D．证明：△OCM的面积等于△0DN的面积．22．（12分）已知函数f（x）=x2+alnx，g（x）=（a+1）x，a≠﹣1．（Ⅰ）若函数f（x），g（x）在区间[1，3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a∈（1，e]（e=2.71828…），设F（x）=f（x）﹣g（x），求证：当x1，x2∈[1，a]时，不等式|F（x1）﹣F（x2）|＜1成立．2014-2015学年河北省衡水市重点中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵复数z====﹣+，故它对应点在第二象限，故选：B．2．（5分）用反证法证明命题：“a，b∈N，ab不能被5整除，a与b都不能被5整除”时，假设的内容应为（）A．a，b都能被5整除B．a，b不都能被5整除C．a，b至少有一个能被5整除D．a，b至多有一个能被5整除【解答】解：根据用反证法证明数学命题的步骤和方法，应先假设命题的否定成立．而命题“a与b都不能被5整除”的否定为“a，b至少有一个能被5整除”，故选：C．3．（5分）对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），则下列说法中不正确的是（）A．由样本数据得到的回归方程=x+必过样本中心（，）B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好D．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1【解答】解：由样本数据得到的回归方程=x+必过样本中心（，），正确；残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，正确用相关指数R2来刻画回归效果，R2越大，说明模型的拟合效果越好，不正确，线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强，故正确．故选：C．4．（5分）已知0＜a＜1，b＞1且ab＞1，则M=log a，N=log a b，P=log b．三数大小关系为（）A．P＜N＜M B．N＜P＜M C．N＜M＜P D．P＜M＜N【解答】解：0＜a＜1，b＞1知M＞0．N＜0，P=﹣1＜0代入选择支检（C），（D）被排除；又ab＞1⇒log a ab＜0⇒log a b+log a a＜0log a b＜﹣1，即log a b＜log b（A）被排除．故选：B．5．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}中，3a1，a3，2a2成等差数列，则=（）A．27B．3C．﹣1或3D．1或27【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，由题意可得a3=3a1+2a2，∴a1q2=3a1+2a1q，即q2=3+2q解得q=3，或q=﹣1（舍去），∴==q 3=27故选：A ．6．（5分）某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程=x +的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ） A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元【解答】解：∵=3.5，=42，∵数据的样本中心点在线性回归直线上， 回归方程中的为9.4，∴42=9.4×3.5+， ∴=9.1，∴线性回归方程是y=9.4x +9.1，∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5， 故选：B ．7．（5分）设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则，类比这个结论可知：四面体S ﹣ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为R ，四面体S ﹣ABC 的体积为V ，则R=（ ） A ．B ．C．D．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为∴R=故选：C．8．（5分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|=3|BF|，则l的方程为（）A．y=x﹣1或y=﹣x+1B．y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）C．y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）D．y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）【解答】解：∵抛物线C方程为y2=4x，可得它的焦点为F（1，0），∴设直线l方程为y=k（x﹣1）由消去x，得﹣y﹣k=0设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2=，y1y2=﹣4…（*）∵|AF|=3|BF|，∴y1+3y2=0，可得y1=﹣3y2，代入（*）得﹣2y2=且﹣3y22=﹣4，消去y2得k2=3，解之得k=∴直线l方程为y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）故选：C．9．（5分）在一张纸上画一个圆，圆心O，并在圆外设一点F，折叠纸圆上某点落于F点，设该点为M，抹平纸片，折痕AB，连接MO（或者OM）并延长交于AB于P，则P点轨迹为（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线【解答】解：由题意知，AB是线段MF的垂直平分线．∴|MP|=|PF|，∴|PO|﹣|PF|=|PO|﹣|PM|=|MO|（定值），又显然|MO|＜|FO|，∴根据双曲线的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的双曲线．故选：B．10．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的两条渐近线与以椭圆+=1的左焦点为圆心、半径为的圆相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：椭圆+=1的左焦点为圆心（﹣4，0），双曲线﹣=1（a ＞0）的两条渐近线为：y=±x，双曲线﹣=1（a＞0）的两条渐近线与以椭圆+=1的左焦点为圆心、半径为的圆相切，可得：，解得a=，c==．双曲线的离心率为：=．故选：B．11．（5分）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（2﹣x）f′（x）≤0，则必有（）A．f（1）+f（3）＜2f（2）B．f（1）+f（3）≤2f（2）C．f（1）+f（3）＞2f（2）D．f（1）+f（3）≥2f（2）【解答】解：∵对于R上可导的任意函数f（x），满足（2﹣x）f′（x）≤0，①当（2﹣x）f′（x）＜0时，∴当x＜2时，即2﹣x＞0，f'（x）＜0，则函数f（x）在（﹣∞，2）上单调递减，当x＞2，即2﹣x＜0时，f'（x）＞0，则函数f（x）在（2，+∞）上单调递增，∴函数f（x）在x=2处取极小值，又x∈R，则f（2）也是最小值，∴f（1）＞f（2），且f（3）＞f（2），两式相加得：f（1）+f（3）＞2f（2）．②当（2﹣x）f′（x）=0时，即f′（x）=0，此时有f（x）=f（2），有f（1）+f（3）=2f（2），综合可得f（1）+f（3）≥2f（2）．故选：D．12．（5分）已知f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＜﹣xf′（x），则不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集是（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（1，2）D．（2，+∞）【解答】解：设g（x）=xf（x），则g'（x）=[xf（x）]'=x'f（x）+xf'（x）=xf′（x）+f（x）＜0，∴函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，∵f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1），x∈（0，+∞），∴（x+1）f（x+1）＞（x+1）（x﹣1）f（x2﹣1），∴（x+1）f（x+1）＞（x2﹣1）f（x2﹣1），∴g（x+1）＞g（x2﹣1），∴x+1＜x2﹣1，解得x＞2．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在复平面内，复数z满足=，则z对应点的坐标是（1，1）．【解答】解：复数z满足====1﹣i，∴z=1+i，∴z对应点的坐标是（1，1）．故答案为：（1，1）．14．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x值为31，则a等于3．【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出x=2[2（2a+1）+1]+1的值，由题意：31=2[2（2a+1）+1]+1可解得：a=3．故答案为：3．15．（5分）已知x，y满足约束条件，且x+2y≥a恒成立，则a的取值范围为a≤﹣1．【解答】解：令z=x+2y，画出约束条件的可行域，由可行域知：目标函数过点（1，﹣1）时，取最小值，最小值为﹣1．所以要使x+2y≥a恒成立，只需使目标函数的最小值大于等于a 即可，所以a 的取值范围为a≤﹣1．故答案为：a≤﹣1．16．（5分）有一个奇数组成的数阵排列如图：则第30行从左到右第3个数是1051．【解答】解：由题意，第n行的第一个数为1+4+6+…+2n=n2+n﹣1，第n行的第二个数与第n行的第一个数相差2n，第n行的第三个数与第n行的第一个数相差4n+2，所以第n行的第三个数为n2+n﹣1+4n+2=n2+5n+1，所以第30行从左到右第3个数是302+150+1=1051．故答案为：1051．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，p：{x|1＜x＜3}，q：{x|2＜x≤3}，又p∧q为真，所以p真且q真，由得2＜x＜3，所以实数x的取值范围为（2，3）（2）因为￢p是￢q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，又p：{x|a＜x＜3a}（a＞0），q：{x|2＜x≤3}，所以解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是（1，2]18．（12分）在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表1：男生表2：女生（1）从表二的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；（2）从表二中统计数据填写下边2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．参考数据与公式：K2=，其中n=a+b+c+d．临界值表：【解答】解：（1）设从高一年级男生中抽出m人，则=，m=25∴x=25﹣15﹣5=5，y=20﹣18=2表2中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为a，b，c，尚待改进的2人为A，B，则从这5人中任选2人的所有可能结果为（a，b），（a，c），（a，A），（a，B），（b，c），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），（A，B）共10种，记事件C表示“从表二的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”则C的结果为：（a，A），（a，B），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），共6种，∴P（C）==，故所求概率为；（2）∵1﹣0.9=0.1，P（K2≥2.706）===1.125＜2.706∴没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．19．（12分）已知函数f（x）=（ax2+bx+c）e x（a＞0）的导函数y=f′（x）的两个零点为﹣3和0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）的极小值为﹣1，求f（x）的极大值．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=（2ax+b）e x+（ax2+bx+c）e x=[ax2+（2a+b）x+b+c]e x．令g（x）=ax2+（2a+b）x+b+c，∵e x＞0，∴y=f'（x）的零点就是g（x）=ax2+（2a+b）x+b+c的零点，且f'（x）与g（x）符号相同．又∵a＞0，∴当x＜﹣3，或x＞0时，g（x）＞0，即f'（x）＞0，当﹣3＜x＜0时，g（x）＜0，即f'（x）＜0，∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣3），（0，+∞），单调减区间是（﹣3，0）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，x=0是f（x）的极小值点，所以有解得a=1，b=1，c=﹣1．所以函数的解析式为f（x）=（x2+x﹣1）e x．又由（Ⅰ）知，f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣3），（0，+∞），单调减区间是（﹣3，0）．所以，函数f（x）的极大值为．20．（12分）曲线C1，C2都是以原点O为对称中心，坐标轴为对称轴、离心率相等的椭圆，点M的坐标是（0，1），线段MN是曲线C1的短轴，并且是曲线C2的长轴，直线l：y=m（0＜m＜1）与曲线C1交于A，D两点（A在D的左侧），与曲线C2交于B，C两点（B在C的左侧）．（1）当m=，|AC|=时，求椭圆C1，C2的方程；（2）当OC⊥AN，求m的值．【解答】解：（1）设C1的方程为，C2的方程为，其中a＞1，0＜b＜1∵C1，C2的离心率相同，∴=1﹣b2，解之得ab=1，∴C2的方程为a2x2+y2=1．当m=时，A（﹣a，），C（，）又∵|AC|=，∴﹣（﹣a）=，解之得a=（不符合题意，舍去）或a=2，从而得到b==∴C1、C2的方程分别为、4x2+y2=1．（2）y=m代入C1的方程，可得x A=﹣a，代入方程，可得x C=b，∵ab=1，∴A（﹣a，m），C（，m）∵线段MN是曲线C1的短轴，∴N（0，﹣1），∵OC⊥AN，∴（，m）•（A，﹣1﹣m）=0∴2m2+m﹣1=0，∵0＜m＜1，∴m=．21．（12分）如图，A，B是椭圆+=1（a＞b＞0））的两个顶点．|AB|=，直线AB的斜率为﹣．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l平行于AB，与x，y轴分别交于点M，N，与椭圆相交于C，D．证明：△OCM的面积等于△0DN的面积．【解答】（Ⅰ）解：依题意，得…（2分）解得a=2，b=1．…（3分）所以椭圆的方程为．…（4分）（Ⅱ）证明：由于l∥AB，设直线l的方程为y=﹣，将其代入，消去y，整理得2x2﹣4mx+4m2﹣4=0．…（6分）设C（x1，y1），D（x2，y2）．所以x1+x2=2m，x1x2=2m2﹣2 …（8分）记△OCM的面积是S1，△ODN的面积是S2．由题意M（2m，0），N（0，m），因为x1+x2=2m，所以=|﹣x1+2m|=|x2|，…（13分）∵．∴S1=S2…（14分）22．（12分）已知函数f（x）=x2+alnx，g（x）=（a+1）x，a≠﹣1．（Ⅰ）若函数f（x），g（x）在区间[1，3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a∈（1，e]（e=2.71828…），设F（x）=f（x）﹣g（x），求证：当x1，x2∈[1，a]时，不等式|F（x1）﹣F（x2）|＜1成立．【解答】解：（I）f′（x）=x+，g′（x）=a+1，∵f（x），g（x）在区间[1，3]上都为单调函数，且它们的单调性相同，∴f′（x）•g′（x）=（x+）（a+1）=•（a+1）≥0，∵x∈[1，3]，∴（a+1）（a+x2）≥0，∴当x∈[1，3]时，或恒成立，∵﹣9≤﹣x2≤﹣1，∴a＞﹣1或a≤﹣9．（Ⅱ）∵F（x）=f（x）﹣g（x）=x2+alnx﹣（a+1）x，∴F′（x）=x+﹣（a+1）=，∵F（x）定义域是（0，+∞），a∈（1，e]，即a＞1，∴F（x）在（0，1）是增函数，在（1，a）是减函数，在（a，+∞）是增函数∴当x=1时，F（x）取极大值M=F（1）=﹣a﹣，当x=a时，F（x）取极小值m=F（a）=alna﹣a2﹣a，∵x1，x2∈[1，a]，∴|F（x1）﹣F（x2）|≤|M﹣m|=M﹣m，设G（a）=M﹣m=a2﹣alna﹣，则G′（a）=a﹣lna﹣1，∴G″（a）=1﹣，∵a∈（1，e]，∴G″（a）＞0，∴G′（a）=a﹣lna﹣1，在a∈（1，e]是增函数，∴G′（a）＞G′（1）=0，∴G（a）=a2﹣alna﹣，在a∈（1，e]也是增函数∴G（a）≤G（e），即G（a）≤=﹣1，而=﹣1＜﹣1=1，∴G（a）=M﹣m＜1，∴当x 1，x 2∈[1，a ]时，不等式|F （x 1）﹣F （x 2）|＜成立．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； yxo（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
