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二次函数

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二次函数2y ax bx c =++的图象
1．如图，抛物线顶点坐标是P （1，3），则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是（ ）
A ．3x ＞
B ．3x ＜
C ．1x ＞
D ．1x ＜
（第1题图） （第2题图） 2．二次函数2y x x m =-+（m 为常数）的图象如图所示，当x a =时，0y ＜；那么当1x a =-时，函数值（ ）
A ．0y ＜
B ．0y m ＜＜
C ．y m ＞
D ．y m =
3．二次函数225y x x =-+-图象的顶点坐标为（ ）
A ．（1-，4-）
B ．（1，4-）
C ．（2，1-）
D ．（2-，1-）
4．已知抛物线21432
y x x =-++，则该抛物线的顶点坐标为（ ） A ．（1，1） B ．（4，11） C ．（4，5-） D ．（4-，11）
5．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A ．0a ＞
B ．0c ＜
C ．240b ac -＜
D ．0a b c ++＞
（第5题图） （第6题图） （第7题图） 6．已知抛物线2y ax bx c =++（a ＞0）的对称轴为直线1x =-，与x 轴的一个交点为（1x ，0），且101x ＜＜，下列结论：①930a b c -+＞；②b a ＜；③30a c +＞．其中正确结论的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
7．已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，则下列结论①0a b c ++＜；②0a b c -+＜；③20b a +＜；④0abc ＞，其中正确的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
8．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则a 、b 、c 满足（ ）
（第8题图） （第10题图）
A ．0a ＜，0b ＜，0c ＞
B ．0a ＜，0b ＜，0c ＜
C ．0a ＜，0b ＞，0c ＞
D ．0a ＞，0b ＜，0c ＞
9．已知0a ＜，0b ＞，那么抛物线22y ax bx =++的顶点在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 10．已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列6个代数式：ab ，ac ，a b c ++，a b c -+，2a b +，2a b -中，其值为正的式子的个数是（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
11．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下面四个结论中正确的结论有（ ）
①0ac ＜；②0ab ＞；③2a b ＜；④a c b +＞；⑤420a b c ++＞；⑥0a b c ++＞．
A ．两个
B ．三个
C ．四个
D ．五个
（第11题图） （第12题图） 12．已知0b ＞时，二次函数221y ax bx a =++-的图象如下列四个图之一所示：根据图象分析，a 的值等于（ ）
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
13．某同学从右图二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面的五个结论：
①0c =，②函数的最小值为3-，③0a b c -+＜，④40a b +=，⑤240b ac -＞．
你认为其中正确的命题有（ ）
A ．5个
B ．4个
C ．3个
D ．2个 （第13题图）
14．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则a ，b ，c 满足（ ）
A ．0a ＜，0b ＜，0c ＞，240b ac -＞
B ．0a ＜，0b ＜，0c ＜，240b ac -＞
C ．0a ＜，0b ＞，0c ＞，240b ac -＜
D ．0a ＞，0b ＜，0c ＞，240b ac -＞
（第14题图） （第15题图）
15．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列结论：①a 、b 同号；②当1x =和3x =时，函数值y 相等；③40a b +=；④当2y =时，x 的值只能取0；⑤1x =-是关于x 的方程20ax bx c ++=的一个解．其中正确的有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
16．由函数212y x =-的图象平移得到函数21(4)52
y x =--+的图象，则这个平移是（ ） A ．先向左平移4个单位，再向下平移5个单位
B ．先向左平移4个单位，再向上平移5个单位
C ．先向右平移4个单位，再向下平移5个单位
D ．先向右平移4个单位，再向上平移5个单位
17．二次函数2(1)1y x =-+图象的顶点坐标是________．
18．抛物线2261y x x =-+-的顶点坐标为________．
19．黄冈中学是百年名校，百年校庆上的焰火晚会令很多人记忆犹新．有一种焰火升高高度为h （m ）与飞
行时间t （s ）的关系式是252012
h t t =-++，若这种焰火在点燃升空后到最高处引爆，则从点火到引爆所需时间为________s ；
20．抛物线228y x x =--的顶点坐标是________．
21．抛物线2245y x x =++的对称轴是，顶点坐标是________．
22．函数21(1)52
y x =-+的顶点是________．
23．抛物线22(1)5y x =-+的顶点坐标是________．
24．已知M 、N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线12y x
=上，点N 在直线3y x =-+上，设点M 坐标为（a ，b ），则2()y abx a b x =-++的顶点坐标为________．
25．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，且2P a b c a b =-+++，2Q a b c a b =+++-，则P 、Q 的大小关系为________P Q ．
（第25题图） （第26题图）
26．已知二次函数2y ax bx c =++的图象大致如图，那么直线y bx c =+不经过第________象限．
27．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点P （a ，bc ）在第________象限．
（第27题图） （第28题图） （第29题图）
28．如图，抛物线2y ax c =+的顶点为B ，A 、C 两点在该抛物线上，O 为坐标原点，四边形ABCO 为正方形，则ac =________．
29．如图所示，已知抛物线2y ax bx c =++的图象，试确定下列各式的符号： a ________0，b ________0，c ________0；a b c ++________0，a b c -+________0．
30．已知抛物线2y ax bx c =++经过点（1，2）与（1-，4），则a c +的值是________．。

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二次函数所有公式

二次函数所有公式

二次函数所有公式二次函数是高中数学中的重要内容之一，也是一种简单而常用的函数形式。

它的标准形式可表示为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c是实数，且a ≠ 0。

在这篇文章中，我将介绍二次函数的一些重要公式和性质。

一、基本概念和定义1. 定义：二次函数是一种具有形式f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c是实数，且a ≠ 0。

2.顶点：二次函数的图像是一个抛物线，它的顶点是图像的最低点（如果a>0）或最高点（如果a<0）。

（h，k）表示顶点的坐标，其中h=-b/（2a），k=f(h)。

3.轴对称：二次函数的图像是关于顶点所在的直线x=h对称的。

4.开口方向：如果a>0，则图像开口向上；如果a<0，则图像开口向下。

二、常用公式1. 零点：二次函数的零点是函数值为0时对应的x值。

可以使用求根公式x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a 来求解二次方程ax² + bx + c = 0的根。

2. 判别式：判别式是二次方程的求解公式中的一部分，其定义为D = b² - 4ac。

判别式可以判断二次方程的根的性质：a)如果D>0，则方程有两个不相等的实数根。

b)如果D=0，则方程有两个相等的实数根。

c)如果D<0，则方程没有实数根。

3. 平移公式：对于二次函数y = ax² + bx + c，若向左平移h个单位，得到函数y = a(x - h)² + bx + c；若向右平移h个单位，得到函数y = a(x + h)² + bx + c；若向上平移k个单位，得到函数y = a(x - h)² + bx + c + k；若向下平移k个单位，得到函数y = a(x - h)² +bx + c - k。

4. 拉伸和压缩公式：对于二次函数y = ax² + bx + c，若a > 1，则函数的图像在x轴方向上被缩短；若0 < a < 1，则函数的图像在x轴方向上被拉长；若a < 0，则函数的图像上下翻转。

二次函数知识点总结

二次函数知识点总结

二次函数知识点总结二次函数知识点总结一、函数定义与表达式1.一般式：y = ax^2 + bx + c（a、b、c为常数，a≠0）；2.顶点式：y = a(x - h)^2 + k（a、h、k为常数，a≠0）；3.交点式：y = a(x - x1)(x - x2)（a≠0，x1、x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）。

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b^2 - 4ac≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示。

二次函数解析式的这三种形式可以互相转化。

二、函数图像的性质——抛物线1）开口方向——二次项系数a二次函数y = ax^2 + bx + c中，a作为二次项系数，显然a≠0.当a>0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；当a<0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大。

顶点坐标：（h，k）一般式：（-b/2a，-Δ/4a）总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小。

|a|越大开口就越小，|a|越小开口就越大。

y = 2x^2y = x^2y = (1/2)x^2y = -(1/2)x^2y = -x^2y = -2x^22）抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x = -b/2a。

对称轴顶点式：x = h两根式：x = x1、x = x23）对称轴位置一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

（“左同右异”）a与b同号（即ab>0）对称轴在y轴左侧a与b异号（即ab<0）对称轴在y轴右侧4）增减性，最大或最小值当a>0时，在对称轴左侧（当x。

-b/2a时），y随着x的增大而增大；当a -b/2a时），y随着x的增大而增大；当a>0时，函数有最小值，并且当x = -b/2a时，ymin = -Δ/4a；当a<0时，函数有最大值，并且当x = -b/2a时，ymax = -Δ/4a；5）常数项c常数项c决定抛物线与y轴交点。

二次函数

二次函数


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(1)∵f(1+x)=f(1-x), ∵ 关于直线x=1对称 对称, ∴函数f(x)关于直线 函数 关于直线 对称 的最大值为15, 又f(x)的最大值为 的最大值为 故可设f(x)=a(x-1)2+15(a<0). 故可设 ∴f(x)=ax2-2ax+a+15,
15 ∴x1+x2=2,x1x2=1+ a ,
a +2 = 1.即a=-4，而函数 是定义在［ ］ 即 ，而函数f(x)是定义在［a,b］ 是定义在 2 a +b 上的， 关于x=1对称 ∴ 2 = 1 .∴b=6. 对称.∴ 上的，即a,b关于 关于 对称 ∴
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解法二： 二次函数的对称轴为 解法二：∵二次函数的对称轴为x=1, 与原函数表达式对比可得a+2 ∴f(x)=(x-1)2+c与原函数表达式对比可得 与原函数表达式对比可得 =-2, ∴a=-4,又 又 ∴b=6.
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3.二次函数的三种表示形式 二次函数的三种表示形式 一般式: 一般式 y=ax2+bx+c(a≠0) . 顶点式: 顶点式 y=a(x-h)2+k(a≠0) ,其中 其中 (h,k) 为抛
物线的顶点坐标. 物线的顶点坐标 两根式: 两根式: y=a(x-x1)(x-x2) ,其中 ,其中 x1,x2 是
1 (2)试比较 试比较f(0)·f(1)-f(0)与 16 的大小 并说明理由 的大小,并说明理由 并说明理由. 试比较 与
【分析】可利用二次函数中根与系数的关系列出不 分析】 等关系,从而确定参数 的取值范围 等关系 从而确定参数a的取值范围 从而确定参数 的取值范围.
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【解析】 (1)令g(x)=f(x)-x=x2+(a-1)x+a, 解析】 令 ∆>0
二次函数总结

二次函数总结

二次函数总结二次函数是数学中一种常见且重要的函数形式。

它的一般形式可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a不等于零。

二次函数是一个拱形曲线，它在数学、物理和经济等领域都有广泛的应用。

在本文中，将对二次函数的性质、图像、方程以及实际问题中的应用进行总结和探讨。

一、二次函数的性质二次函数有一些重要的性质，其中最基本的是二次项的系数a 决定了函数的开口方向。

当a大于零时，二次函数的图像开口向上，形成一个U型；当a小于零时，二次函数的图像开口向下，形成一个倒U型。

另一个重要性质是二次函数的对称轴与顶点。

对称轴是函数图像上对称的线，它通过顶点，并且与x轴垂直。

顶点是二次函数图像的最低点或最高点，它的横坐标可以通过-b/2a来确定。

二、二次函数的图像二次函数的图像是一个拱形曲线，其形状由a的正负决定。

当a大于零时，图像开口向上，当a小于零时，图像开口向下。

图像的形状还与常数b和c的取值相关。

常数b决定了图像在x方向上的平移，即左右移动；常数c决定了图像在y方向上的平移，即上下移动。

通过改变这些常数的取值，可以使图像的位置和形状发生变化，从而满足不同的条件。

三、二次函数的方程解二次函数的方程是一个重要的应用技巧，因为它可以帮助我们找到函数图像与坐标轴的交点。

二次函数的方程可以通过将f(x)设置为零来表示，即ax^2 + bx + c = 0。

解这个方程可以使用公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a，也称为二次方程的根式解。

这个解式给出了二次函数与x轴的交点的横坐标。

方程的解有三种情况：当Δ = b^2 - 4ac大于零时，方程有两个不同的实数解；当Δ等于零时，方程有一个实数解；当Δ小于零时，方程没有实数解。

四、二次函数在实际问题中的应用二次函数在实际问题中有广泛的应用。

其中一个常见的应用是抛物线的运动模型。

当我们抛出一个物体时，它的运动轨迹可以用二次函数来描述。