倍长中线法(加倍法)(课堂PPT)

中线的妙用-针对对象：初二学生-期末分值：8~10分学习目标-2013·台州市中考在△ABC中，AD为BC边上的中线-且AD平分∠BAC,则△ABC为-三角形。

造全等一一倍长中线法-B-倍长中线造法：延长AD到点E,使得AD=DE,连结BE或者EC。

-全等原因：SAS-注意：往左往右都可以，只连一条。

-2 20/5/24题型识别：-【例1】如图AD是△ABC的中线，求证AB+AC>2AD-出现中线-证明：延长AD到点E,使得AD=DE,-口诀：-连结BE。

-倍长中-.AD是△ABC的中线-∵BD=DC-步骤：-C·.BD=DC,∠BDE=∠ADC,-延长一倍-.△ADC≌△BDESAS-构造全等-∴.AC=E,∠E=∠1，∠EBD=∠C-边角关系-三角形两边之和大于第三边-·.AB+BE>AE-∴.AB+AC>2AD题型识别：-s【例2】如图在ABC,AB=5,AC=3,则中线AD-出现中线-的取值范围是？-口诀：-接上题，BE=AC=3,AB+AC>2AD-长中线-·三角形两边之差小于第三边-步骤：-..AB-BE<AE-延长一倍-C.·AB-BE<2AD-构造全-..AB-BE<2AD<AB+BE-角关系-..2<2AD<8-.1<AD<4题型识别：-【例3】如图在ABC,AC=5,中线AD=7,则AB边-出现中线-的取值范围是？-口诀：-接例1，BE=AC=5,-倍长中线-AE=2 D-14-步骤：-延长一倍-C·在△ABE中-构造全-AE-BE<AB<AE+BE-边角关系-.9<AB<19【例4】如图在△ABC,AB=AC,延长AB到D,使得BD=-题型识别：-出现中线-AB,取AB的中点E,连结CD和CE,求证CD=2CE。

-证明延长AE到点F,使得CE=EF,连结BF。

倍长中线法（加倍法）知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。

经典例题讲解：例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围。

例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE第 14 题图DF CBEAB自检自测：1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE 。

2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。

试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.3、已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠ F EAB C DABFDEC4、如图，CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB．求证：①CE=2CD．②CB平分∠DCE．5、如图已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，求证EF＝2AD.4、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.倍长中线法（加倍法）知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS 证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模型的构造。

几何模型02——倍长中线法当线段出现一个中点时，特别是三角形中，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 倍长中线法：△ABC 中AD 是BC 边中线方式1： 延长AD 到E ， 使DE=AD ，连接BE例1.已知：如图，AD 是△ABC 的中线，求证：AB +AC ＞2AD ．证明：延长AD 到M ，使DM ＝AD ，连接BM ，CM ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝DC ，∵AD ＝DM ，∴四边形ABMC 是平行四边形，∴BM ＝AC ，在△ABM 中，AB +BM ＞AM ，即AB +AC ＞2AD ．例2.已知，如图△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，则中线AD 的取值范围是 ． 解：延长AD 到点E ，使AD ＝ED ，连接CE ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，在△ABD 和△ECD 中∴△ABD ≌△ECD （SAS ），∴AB ＝EC ，在△AEC 中，AC +EC ＞AE ， 且EC ﹣AC ＜AE ，即AB +AC ＞2AD ，AB ﹣AC ＜2AD ，∴2＜2AD ＜8，∴1＜AD ＜4，故答案为：1＜AD ＜4．E D A B C练习1.如图，在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是．例3.如图，△ABC中，∠A＝90°，D为斜边BC的中点，E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF．若BE＝3，CF＝4，试求EF的长．解：延长FD至点G，使得DG＝DF，连接BG，EG，∵在△CDF和△BDG中，，∴△CDF≌△BDG（SAS），∴BG＝CF＝4，∠C＝∠DBG，∵∠C+∠ABC＝90°，∴∠DBG+∠ABC＝90°，即∠ABG＝90°，∵DE⊥FG，DF＝DG，∴EF＝EG＝＝5．练习2.如图，已知AD为△ABC的中线，DE平分∠ADB交AB于点E，DF平分∠ADC交AC于点F．求证：BE+CF＞EF．练习3.如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，求GF的长．练习4.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE＝BE，点F是CD 的中点，且AF⊥AB，若AD＝2.7，AF＝4，AB＝6．求CE的长．例4.如图，在△ABC中，AB＝AC，E是AB中点，延长AB到D，使BD＝BA，延长CE至F，使得EF＝CE．求证：CD＝2CE．证明：方法一：如右图1，取AC的中点H，连接BH，∵BD＝BA，∴BH是△ACD的中位线，∴CD＝2BH，又∵E是AB的中点，AB＝AC，∴AE＝AH＝AB，在△ABH和△ACE中，，∴△ABH≌△ACE（SAS），∴CE＝BH，∴CD＝2CE．方法二：∵点E为AB的中点，∴BE＝AE，在△BEF和△AEC中，，∴△BEF≌△AEC（SAS），∴BF＝AC，∠EBF＝∠A，∵AB＝AC＝BD，∴∠ACB＝∠ABC，BF＝BD，∵∠CBD＝∠A+∠ACB，∠CBF＝∠ABC+∠EBF，∴∠CBD＝∠CBF，在△CBD和△CBF中，，∴△CBD≌△CBF（SAS），∴CD＝CF，∵CF＝CE+EF，CE＝EF，∴CF＝2CE，∴CD＝2CE．练习5.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，延长AB到D，使BD＝AB，E为AB的中点．求证：CD＝2CE练习6.已知CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C＝∠BAE．练习7.如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线．求证：AD是∠EAC的平分线．例5.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E为BC的中点，过点E作EF∥AD 交AB于点G，交CA的延长线于点F．求证：BG＝CF．证明：作CM∥AB交FE的延长线于M．∵BG∥CM，∴∠B＝∠MCE，∵E是BC中点，∴BE＝EC，在△BEG和△CEM中，，∴△BEG≌△CEM，∴BG＝CM，∵AD∥EF，∴∠1＝∠FGA，∠2＝∠F，∵∠1＝∠2，∴∠F＝∠FGA，∵AB∥CM，∴∠FGA＝∠M，∴∠F＝∠M，∴CF＝CM，∴BG＝CF．练习8.已知：如图，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE＝EC，过D 作DF∥BA交AE于点F，DF＝AC．求证：AE平分∠BAC．例6.已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图，求证：EF＝2AD．证明：延长AD至点G，使得AD＝DG，连接BG，CG，∵AD＝DG，BD＝CD，∴四边形ABGC是平行四边形，∴AC＝AF＝BG，AB＝AE＝CG，∠BAC+∠ABG＝180°，∵∠EAF+∠BAC＝180°，∴∠EAF＝∠ABG，在△EAF和△BAG中，，∴△EAF≌△BAG（SAS），∴EF＝AG，∵AG＝2AD，∴EF＝2AD．练习9.如图，两个正方形ABDE和ACGF，点P为BC中点，连接P A交EF于点Q，试探究AP与EF的数量和位置关系，并证明你的结论．方式2：间接倍长作CF ⊥AD 于F ， 延长MD 到N ，作BE ⊥AD 的延长线于E 使DN=MD ， 连接BE 连接CN例7.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AB 上，点E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF ＝EF ，求证：BD ＝CE ．证明：如图，过点D 作DG ∥AE ，交BC 于点G ；则△DGF ≌△ECF ，∴DG ＝CE ；∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ；∵DG ∥AE ，∴∠DGB ＝∠ACB ，∴∠DBG ＝∠DGB ，∴DG ＝BD ，∴BD ＝CE ．练习9.如图，△ABC 中，点D 在AB 上，E 是AC 延长线上一点，BD ＝CE ，DE 交BC 于点F ，DF ＝EF ，DP ∥AE 交BC 于点P ，求证：AB ＝AC ．F E D C B A N D C B A M课后练习1、如图1已知：AD为△ABC的中线，易证AB+AC＞2AD．（1）如图2，在△ABC中，AC＝5，AB＝13，D为BC的中点，DA⊥AC．求△ABC的面积．（2）问题2：如图3，在△ABC中，AD是三角形的中线．点F在中线AD上，且BF＝AC，连接并延长BF交AC于点E．求证AE＝EF．2.已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F，试探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并说明理由．3.如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，求证：（1）AE平分∠DAB；（2）AB+CD＝AD．4.在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证EG＝CG且EG⊥CG．（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），证明：EG＝CG且EG⊥CG．（2）如图（3）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，证明：EG＝CG且EG⊥CG．5.如图，△ABC中，AB＝4，AC＝7，M是BC的中点，AD平分∠BAC，过M作FM∥AD交AC于F，求FC的长．6.如图所示，∠BAC＝∠DAE＝90°，M是BE的中点，AB＝AC，AD＝AE，求证：AM⊥CD．7.已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．。