命题人或命题小组负责人签名： 教研室（系）主任签名： 分院（部）领导签名：
《线性代数》第一章练习题
一、填空题
1、_____________)631254(=τ8
2、要使排列（3729m14n5）为偶排列，则m =___8____, n =____6_____
3、关于x 的多项式x
x x
x x 22
1
11
---中含23,x x 项的系数分别是 -2, 4
4、 A 为3阶方阵，2=A ，则____________3*
=A 108
5、四阶行列式)det(ij a 的次对角线元素之积（即41322314a a a a ）一项的符号为 +
6、求行列式的值 (1)
469
24692341234=__1000___； （2）13
14102421
21=_0___ ；
(3)
2005
200410020030102002
200120001--=___2005____;
(4) 行列式2
430123
21---中元素0的代数余子式的值为___2____
7、64
81497125
51 = 6 ；
125
27864259416
5
324
1111
--= 1680-
8、设矩阵A 为4阶方阵，且|A |=5，则|A*|=__125____，|2A |=__80___，|1-A |= 1
5
。
9、0
111011
10= 2 ；
=0
0010
0310
2222210 12 。 10、若方程组??
?
??=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0 有唯一解，则abc ≠ 0
11、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上，行列式 值不变 。 12、行列式
中在项的项共有
214312344214231144
43
42
41
343332312423222114131211,,24
!4a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =，
21431234a a a a 是该行列式的项，符号是 + 。
13、当a 为 1或2 时，方程组???
??=++=++=++0
40203221321321x a x x ax x x x x x 有非零解。
14、设=-+----=31211142,4
101322
13A A A D 则 0
15、若n 阶行列式中非零元素少于n 个，则该行列式的值为 0 。 16、设A ，B 均为3阶方阵，且,2,2
1
==
B A 则=-)(21A B T 32 二、单项选择题
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设A 为3阶方阵，|A | = 3，则其行列式 | 3A|是 （ D ） （A ）3 （B ）32
（C ）33
（D ）34
2．已知四阶行列式A 的值为2，将A 的第三行元素乘以―1加到第四行的对应元素上去，
则现行列式的值（ A ）
（A ） 2 ； （B ） 0 ； （C ） ―1 ； （D ） ―2
3．设）（则B a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D =---===33
32
3131
23222121
13
12111133
32
31
232221
131211
324324324,1 （A)0 ； （B)―12 ； （C ）12 ； （D ）1
4．设齐次线性方程组??
?
??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx
有非零解，则k = （ A ）
（A ）2 （B ）0 （C ）-1 （D ）-2
5．设A=7925138
02
-，则代数余子式 =12A ( B )
(A) 31- (B) 31 (C) 0 (D) 11-
6．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，
-7，4，则D= ( -15 ) （A ） -5 （B ） 5 （C ） 0 （D ） 1
7、行列式k
h g f e
d c
b
a 中元素f 的代数余子式是（ B ） （A ）h
g e
d ； （B ）-
h g
b a ； （C ）h
g
b
a ； （D ）-
h g e
d
三、计算行列式
1、1
11
b a
c a c b c b a +++ =0 2、. 1
1
4
2402
1110
32121------=
D =10-
3、
1
1111111111111
1
1
x x y y
+-+- 22y x =
4、
3
32
1
32213
21
13
211111
b a a a a b a a a a b a a a a +++321b b b = 5、
3
2222
3222
2322
223ΛM M M M M Λ
ΛΛ
=n D 12+=n 6、2
2
2
2
2
0000
02200
0011
1
Λ
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛn n D n ---=+=(1)2(1)!n n -??+ （先从第二行开始直到第n+1行分别提取公因子2,3，……，n ，2，在从第n 行开始依次加到上一行，即得爪型行列式）
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四、设行列式
2
92170216
3332314----=
D ，不计算ij
A 而直接证明：
44
43424123A A A A =++
证明：由展开定理得：
=
-++4443424123A A A A 0
2
31470216
333
2314=----，
故
44
43424123A A A A =++.
行列式的例题 1.已知方程 01125208 42111111154115 21211111154113 21111113 23232=+ + -x x x x x x x x x ，求x 。 解：由行列式的加法性质，原方程可化为 32321 12520842111111154118 4211111x x x x x x + 3 232 2781941321111112793184 211111x x x x x x = = =(2-1)(3-1)(3-2)(x-1)(x-2)(x-3)=0 得x=1或x=2或x=3。 2.计算：（化三角形法） 3.拆行列法 42031 2852 51873 121D =
行列式的计算 （四）升级法（加边法） 112122 1212 ,0 n n n n n n a b a a a a b a D b b b a a a b ++= ≠+ 1 21121221 21 1000n n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b ++=++ 解：1) 1 21121 1 00(2,31)10010 0n i n a a a b r r i n b b --=+-- 121 (1).n i n i i a b b b b ==+∑ 111 11100 (1,21)00 n i n i i i i n a a a b c b c i n b b =+++ =+∑ 行列式的计算 （二）箭形行列式 0121112 2,0,1,2,3. n n i n n a b b b c a D a i n c a c a +=≠= 解：把所有的第列的倍加到(1,,)i n = i i c a -1i +第1列，得： 11201()n i i n n i i b c D a a a a a +==-∑
授课时间 第 周 星期 第 节 课次 2 授课方式 （请打√） 理论课□ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 其他□ 课时 安排 2 授课题目（教学章、节或主题）： 第二讲 行列式按行（列）展开及计算 教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）： 熟练掌握行列式按行（列）展开；掌握运用行列式的定义与性质计算行列式；熟悉一些典型行列式的计算；熟悉用数学归纳法证明行列式. 教学重点及难点： 重点：行列式按行（列）展开；利用行列式的定义与性质计算行列式 难点：行列式的计算 教 学 基 本 内 容 备注 一、行列式按行（列）展开 引理 一个n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除),(j i 元ij a 外都为零， 那么这行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积. 定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 ) ,2,1(,),2,1(,22112211n j A a A a A a D n i A a A a A a D nj nj j j j j in in i i i i =++==++= （按行（列）展开法则） 推论 行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 j i A a A a A a D jn in j i j i ≠++=,2211 或 .,2211j i A a A a A a D nj ni j i j i ≠++= 例1、3 2 3 1 11024315211 14----= D
解 法 1:241227 1 51271031251 13 4 312014 260211 14-=?-=---=----=------= D 解法2：244 8 224 8 1112021 2 3 5 010******** 14-=-= ---=-----= D 例2、设2 1 3 12 1014112 5 1 014---=D ，（1）求41312111A A A A +--；（2）444342412A A A A +-+。 解：（1）041312111=+--A A A A （2）4444444342414443424133422A A A A A A A A A A -=-+-+=+-+ 61 11 13 1 011121 13=--=---= 二、行列式的计算 例3、n n n n n b a a a a b a a a a b a D +++= 2 1 2212 1 1，其中021≠n b b b 解：n n n n n n n b a a a a b a a a a b a a a a D D +++==+ 2 1 2 212112 11 0001＝n n b b b a a a 0 0100100112121---
大学-----行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =-L L ，故 011102120 n n n D n n --= --L L M O L 1,1,,2 i i r r i n n --=-= L 0111111 1 1 n ----L L M O L 1,,1 j n c c j n +=-= L 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=----L L L L M O O L M L 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列． 方法2 011102120 n n n D n n --= --L L M O L 11,2,,1 111111120 i i r r i n n n +-=----= --L L L M O L 1 2,,1 0012 01231 j c c j n n n n +=---= ---L L L M O L =1 2(1) 2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:
= 行列式 即为y 2前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+K K M M M M K 解： 方法1 递推法 按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 11 11n x x x -----O O = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n =L = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n +K + a 1-n x + a n =1 11n n n n x a x a x a --++++L 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2倍，K ，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 2112 1 010010000n n n n x x x a xa a a x a -----++K K K M M M M K
1-513 113 4 112 3 1?设 2 2… 2.计算元素为a” = |i —j 1 的n阶行列式 01A n -1 1 A冋一］ 1^1 = 1 TH 0 A n ?3 —2 由最后一和起，每行减刖一行1-1 A c -1 解.IvJ n - J 1 M - 2 A 0 lw J_ 1 1 A-1 1 A A 粕一 1 0-2 A A -1 每列力口錦鬥列M O0 A A =1-1严严0??1) M M 0-2 00A0-1 X] +1Xj 2A D x= x2 + 1+ 2A总+麗 A A A A 3.计算n阶行列式心+1召+ 2A (n 2) 是| A|中元素a ij的代数余子式 : -5 1 3 1-60 : 1 3 4 1 02 : 123 1 0 1 解.A41 + A42 + A3 + A44[ 1 1 1 0 0-6 计算Al l + Al2 + A43 + Al4 =, 其中A j 1,2, 3, 4) 十1严 2
解.当<■ >; Xj + 2 A 丑+用 1 齐+ 2 A 巧+肚 D n 二 % + 2 A : 冷亠2 A 巧+ w A A A A 上 A A A 心+2 A 忌+用 + -. 每+ 2 A 珂 Xj + 3 A 耳i 十挖 工！ 2 +3 A 盖i + 曲 % 心十？ A 兀2 +超 总2 ^ + 3 A 工2 + 用 M M M M M M M M M M % 珀+3 A + 珀2 兀+ 3 A 心+用 1咼 x : + 3 A 卞1十 肚 1 2 + 3 A 简十抡 1 x 2 屯十H A x 2 + w 1 2 z 2 +3 A x 2 + ?s M M M M M M M M M M + 1為 心+孑 A 码* + 1 2 4+3 A 心+冲 1可 ?十3 A H ］十 圧 1 r a 亏+3 A Jt 3 + W M M M M M 1 0 心+了 A 可十1 画十2 4.设a , b , c 是互异的实数,证明: 1 A 咼十肚 1 A 工2十肚 M M M M M 1 A X, +w 1 7] 3 A 雄i 十耳 1 x 2 3 A 心+血 M M M M M 1 x # 3 A 兀 j * 冲
范德蒙行列式的历史回顾与应用 摘要：行列式是高等代数的重要内容之一，它是线性方程组、矩阵、向量空间和线性变 换的基础。n 级范德蒙行列式是著名的行列式，它有广泛的应用，证明过程是行列式定理及数学归纳法的综合应用。本文将通过对n 级范德蒙行列式的历史发展进程与范德蒙行列式和类似范德蒙行列式的计算方法， 讨论它的各种位置变化规律, 介绍如何将类似范德蒙行列转换构造为标准的范德蒙行列式，并通过行列式的性质及定理，行列式的乘法规则，和行列式的加边法，来计算此类行列式，由此让人们能较为深入地了解到范德蒙行列式的魅力所在，同时也提高了分析、归纳与总结相关内容的能力，掌握解决此类问题的方法与技巧。 关键词：行列式，范德蒙行列式，行列式的性质，乘法规则，加边法，拉普拉斯定理， 子式，代数余子式，克莱姆法则，重根，充要条件，线性方程组。 1 .引言 行列式 11312 1 1223222 13 2 1 1111----=n n n n n n n a a a a a a a a a a a a d 称为n 级的范德蒙行列式。（见文献[1]） 我们来证明，对任意的n （n ≥2），n 级范德蒙行列式等于n a a a ,,,21 这n 个数的所有可能的差j i a a -（1≤j ＜i ≤n ）的乘积，即 ∏≤<≤-n i j j i a a 1)(。 我们可以将范德蒙行列式或类似范德蒙行列式的行列式，用行列式的性质、乘法规则、加边法，计算出结果。 2.1.预备知识
性质1 行列互换，行列式不变，即 nn n n n n nn n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a 212 221212111212222111211= 。 在行列式中行与列的地位是对称的，因之凡是有关行的性质，对列也同样成立。 性质2 nn n n in i i n nn n n in i i n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a 21 21 112112 1 2111211=。 这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式。 性质3 nn n n n n nn n n n n nn n n n n n a a a c c c a a a a a a b b b a a a a a a c b c b c b a a a 2 12 1 11211212 1112112 1 221111211+=+++。 这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外与原来行列式的对应的行一样。 性质4 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零。所谓相同就是说两行的对应元素都相等。 性质5 如果行列式中两行成比例，那么行列式为零。 性质6 把一行的倍数加到另一行，行列式不变。
行列式习题答案
2 线性代数练习题 第一章 行 列 式 系 专业 班 姓名 学号 第一节 n 阶 行 列 式 一．选择题 1．若行列式x 5 22 31521- = 0，则 = x [ C ] （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3- 2．线性方程组? ? ?=+=+4 733 22 1 21 x x x x ，则方程组的解),(2 1 x x = [ C ] （A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13， 5 -） （D ）（5,13--） 3 ． 方 程 09 3 142112 =x x 根的个数是 [ C ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
3 4．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A ] （A ）665144322315 a a a a a a （B ）6553443226 11a a a a a a （C ） 34 6542165321a a a a a a （D ） 26 654413 3251a a a a a a 5．若55 443211) 541() 1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的 值及该项的符号为[ B ] （A ）3,2==l k ，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负 6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ BD ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1．行列式1 2 21 --k k 0 ≠的充分必要条件是 3,1 k k ≠≠- 2．排列36715284的逆序数是 13 3．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s
单位：理学院应用数学物理系计算数学教研室 批准：日期：年月日任课教员：刘静 课程名称：线性代数 章节名称：第一章行列式 课题：第三讲行列式按行按列展开 目的、要求： 1. 行列式的按行按列展开法则； 2. 掌握行列式的计算方法。 难点、重点：行列式按行按列展开法则及其应用。 器材设备：多媒体设备 课前检查
教学内容课堂组织
教学内容： 本讲主要介绍： 1. 行列式的按行（列）展开法则； 2. 掌握行列式的计算方法。 教学方法与思路： 1. 首先介绍余子式和代数余子式的概念； 2. 对于三阶行列式，容易验证： 1112132223212321232122231112 13 32 33 31 33 31 33 31 32 33 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =-+ 可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。 由此容易想到：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n －1 阶行列式来计算？ 3. 给出一个特殊的n 阶行列式的计算方法，从而给出一个引理； 4. 进而介绍行列式的按行（列）展开法则。 教学中运用多媒体手段，讲解、板书与教学课件相结合，以讲解为主。 教学步骤： 教学内容、方法、步骤
教学内容课堂组织 1. 介绍余子式和代数余子式的概念； 2. 引理； 3. 行列式的按行（列）展开法则； 4. 应用举例。 5. 小结并布置作业。
212 n n n nn a a a 中仅含下面形式的项 a M =1 0n ij n nj nn a a a a 行依次与第i-1行，第i-2行，……，第21,1,11,,1 (1)i j j i j i n ij nj n j nn a a a M a a a +-----=-
范德蒙行列式的推广及应用 目录 一、摘要 二、引言 三、第一章 1、定义…………………………………………………………… 2、定义的证明……………………………………………………… 3、推广定义及证明………………………………………… 4、性质…………………………………………………………………… 第二章 1、范德蒙行列式在行列式计算中的应用…………………………………… 2、范德蒙行列式在微积分计算中的应用………………………………… 3、范德蒙行列式在向量空间计算中的应用………………………… 4、范德蒙行列式在线性空间计算中的应用…………………………… 第三章 1、范德蒙行列式在多项式插值中的应用……………………………… 2、利用编程计算范德蒙行列式……………………………………………… 第四章 结论………………………………………………………………… 参考文献……………………………………………………………
摘要 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………（略） 关键词：………………（略） 引言 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………（略） 英文 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………（略）
一、填空题 1．设自然数从小到大为标准次序，则排列1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n 的逆序数为 ，排列1 3 … )12(-n )2(n )22(-n …2的逆序数为 . 2．在6阶行列式中，651456314223a a a a a a 这项的符号为 . 3．所有n 元排列中，奇排列的个数共 个. 二、选择题 1.由定义计算行列式n n 0000000010 020001000 -= （ ）. （A ）! n （B ）!)1(2) 1(n n n -- （C ）!) 1(2) 2)(1(n n n --- （D ）!)1()1(n n n -- 2．在函数x x x x x x f 2 1 1 23232101)(= 中，3x 的系数是（ ）. （A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）3 3．四阶行列式的展开式中含有因子32a 的项，共有（ ）个. （A ）4； （B ）2； （C ）6； （D ）8. 三、请按下列不同要求准确写出n 阶行列式)det(ij a D =定义式： 1． 各项以行标为标准顺序排列； 2． 各项以列标为标准顺序排列； 3． 各项行列标均以任意顺序排列. 四、若n 阶行列式中，等于零的元素个数大于n n -2，则此行列式的值等于多少？说明理由.
一、填空题 1．若D=._____324324324,133 32 3131 232221211312111113332 31 232221131211=---==a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a 则 2．方程 2 2913251323 2 213211x x --=0的根为___________ . 二、计算题 1． 8 1 71160451530169 14 4312----- 2． d c b a 100 1100 11001--- 3．a b b b a b b b a D n =
第二讲 行列式综合训练 第一部分 例2.1 计算行列式，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是零． n D = 1 1 a a 解 这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质． 方法1 利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D 11c n c a -?= 101 a a a a - =11()n a a a -- =n a -2n a - 方法2 仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D n 1 r r -= 111 a a a --1n c c += 1 1 1 a a a +-=n a -2 n a - 方法3 利用展开定理，将行列式化成对角行列式． n D 1c 展开 =1 n a a a -+1 1 001 (1) 0n n a a +-- 而 1 1 001 (1) 0n n a a +--最后列展开 = 21 (1)n +-2 n a a -=2 n a -- n D =1n a a -?-2n a -=n a -2n a - 方法4 利用公式 A O O B =A B ． 将最后一行逐行换到第2行，共换了2n -次；将最后一列逐列换到第2列，也共换了2n -次．
n D =2(2) (1)n --11a a a = 11a a 2 n a a -=n a -2 n a - 方法5 利用公式 A O O B =A B ． 例2.2 计算n 阶行列式： 1121221 2 n n n n n a b a a a a b a D a a a b ++= + (120n b b b ≠) 解 采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a ，可在保持 原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素． 12112122 1 2 1000 n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b +=++升阶 213111 n r r r r r r +---= 12121100 1001 n n a a a b b b --- 11 12,,1 j j c c b j n -+ =+= 1 1121 1 12100000000 n n a a a a a b b b b b + ++ =1 12 1 (1)n n n a a b b b b b + ++ 这个题的特殊情形是 12121 2 n n n n a x a a a a x a D a a a x ++= +=1 1 ()n n i i x x a -=+∑ 可作为公式记下来． 例2.3 计算n 阶行列式： 12111 1111 1 1n n a a D a ++= +
范德蒙德行列式的证明及其应用 摘要：介绍了n阶范德蒙行列式的定义,用递推法和拉普拉斯定理两种方法证明了范德蒙行列式,辅以实例研究了它在高等代数中的一些应用.向量空间理论用来解决线性问题;在线性变换理论、多项式理论和微积分理论中,主要用它构造线性方程组,进而应用克拉默法则或相关定理判断根的情况;在行列式计算中,主要运用范德蒙行列式的结论简化n阶行列式的计算过程.探究范德蒙行列式的历史及相关应用,为更进一步钻研其相关性质与应用奠定了良好的基础. 关键词：范德蒙德行列式;向量空间;线性变换;应用 1引言 行列式本身有着长远的历史发展过程.它的理论最早可追溯到十七世纪末, 在十九世纪末,其理论体系已基本形成. 1683年,定义行列式概念的是日本数学家关孝和.同一年,德国数学家莱布 尼茨首先开始使用指标数的系数集合来表示有三个未知数的三个一次方程组的 系数.他这种解决方程组的思维方式为行列式理论的深入研究工作打下了坚实地 基础.1771年,范德蒙创造性的在深入研究行列式理论的基础上,尝试解线性方 程组.他这种勇于创新、敢于探索的精神为大家所认可,被公认为行列式的奠基人. 他以现在被大家所熟悉的拉格朗日著作中的相关知识为理论基础,进行了反复的 钻研,为后来研究群的概念奠定了良好的基础.第一个阐述行列式的数学家便是 范德蒙.他运用自己的聪明才智、活跃的思维、批判的科研态度给出了现代代数 书中二阶子式及余子式的定义,经过推理,演绎这一系列严谨的过程,完善了行列 式的概念,并给出了行列式的数学符号记录.1772年,皮埃尔-西蒙.拉普拉斯在 范德蒙著作和自身灵感的启示下,思维方法发生了变化,得出了子类型的概念.自 此起,人们对行列式展开了单独的研究. 人们为了深入了解行列式理论的本质特征,在19世纪展开了更深层次的研究.柯西积极吸收前人的劳动成果的同时,首次给出了行列式的系统理论.包括双 重组标记法、行列式的乘法定理等.1832年至1833年,问卡尔.雅可给出了一个 特殊的行列式的计算结果.基于此,1839年,卡塔兰发现了Jacobian行列式. 范德蒙行列式整齐、完美的结构形式让我们体验到数学之美.简单探索它的 应用,感悟数学的魅力.如果我们能够深入探索范德蒙行列式并灵活运用它,未来 将更广泛的应用在数学各个领域. 2范德蒙行列式的定义及证明 2.1定义
行列式 矩阵练习题 一、单项选择题 1. 设行列式D=a 522315 21-=0，则a =( B ). A. 2 B. 3 C. -2 D. -3 2. 设A 是k ×l 矩阵，B 是m ×n 矩阵，如果AC T B 有意义，则矩阵C 的为( B ). A. k ×m B. k ×n C. m ×l D. l ×m 3. 设A 、B 均为n 阶矩阵，下列各式恒成立的是( B ). A. AB=BA B. (AB)T =B T A T C. (A+B)2=A 2+2AB+B 2 D. (A+B)(A-B)=A 2-B 2 4. A 为n 阶方阵，下面各项正确的是( C ). A. |-A|=-|A| B. 若|A|≠0,则AX=0有非零解 C. 若A 2=A,则A=E D. 若秩(A)
毕业设计（论文）题目范德蒙德行列式的研究与应用 院（系）数理学院 专业班级xxxxxx 学生姓名xxx 学号xxxx 指导教师xxxx 职称xxx 评阅教师xxxx 职称xxxx 2014年5 月30日 注意事项
1.设计（论文）的内容包括： 1）封面（按教务处制定的标准封面格式制作） 2）原创性声明 3）中文摘要（300字左右）、关键词 4）外文摘要、关键词 5）目次页（附件不统一编入） 6）论文主体部分：引言（或绪论）、正文、结论 7）参考文献 8）致谢 9）附录（对论文支持必要时） 2.论文字数要求：理工类设计（论文）正文字数不少于1万字（不包括图纸、程序清单等），文科类论文正文字数不少于1.2万字。 3.附件包括：任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）。 4.文字、图表要求： 1）文字通顺，语言流畅，书写字迹工整，打印字体及大小符合要求，无错别字，不准请他人代写 2）工程设计类题目的图纸，要求部分用尺规绘制，部分用计算机绘制，所有图纸应符合国家技术标准规范。图表整洁，布局合理，文字注释必须使用工程字书写，不准用徒手画 3）毕业论文须用A4单面打印，论文50页以上的双面打印 4）图表应绘制于无格子的页面上 5）软件工程类课题应有程序清单，并提供电子文档 5.装订顺序 1）设计（论文） 2）附件：按照任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）次序装订 3）其它 学生毕业设计（论文）原创性声明
本人以信誉声明：所呈交的毕业设计（论文）是在导师的指导下进行的设计（研究）工作及取得的成果，设计（论文）中引用他（她）人的文献、数据、图件、资料均已明确标注出，论文中的结论和结果为本人独立完成，不包含他人成果及为获得重庆科技学院或其它教育机构的学位或证书而使用其材料。与我一同工作的同志对本设计（研究）所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 毕业设计（论文）作者（签字）： 年月日
线性代数行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =-L L ，故 011102120 n n n D n n --= --L L M O L 1,1,,2 i i r r i n n --=-= L 0111111 1 1 n ----L L M O L 1,,1 j n c c j n +=-= L 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=----L L L L M O O L M L 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列． 方法2 011102120 n n n D n n --= --L L M O L 11,2,,1 111111120 i i r r i n n n +-=----= --L L L M O L 1 2,,1 0012 01231 j c c j n n n n +=---= ---L L L M O L =1 2(1) 2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察德蒙行列式: =
行列式 即为y 2前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+K K M M M M K 解： 方法1 递推法 按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 11 11n x x x -----O O = x D 1-n + a n 由于 D 1= x + a 1，2 21 1x D a x a -= +，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n =L = x 1-n D 1+ a 2x 2-n +K + a 1-n x + a n =1 11n n n n x a x a x a --++++L 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2倍，K ，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 2112 1010010000n n n n x x x a xa a a x a -----++K K K M M M M K 213 c x c += 3212 1231 010*********n n n n n n x x x a xa x a a a a x a --------+++K K K M M M M M K =L L = 11 1x f x ---O O O n r = 按展开 1(1)n f +-1 11 1n x x x ----O O = 111n n n n x a x a x a --++++L
范德蒙德（Vandermonde ）行列式 ·定义：行列式1 1 3 1 2 1 1 2 23222 1 321...... ... ......... (1) (111) ----=n n n n n n n a a a a a a a a a a a a d 称为n 级范德蒙德（Vandermonde ）行列式。 ·性质：对任意的n （n ≥2），n 级范德蒙德行列式等于a 1a 2a 3...a n 这n 个数的所有可能的差 a i -a j (1≤j ＜i ≤n)的乘积。即 )(...... ... (1) (11111) 1 3 1 2 1 1 2 23222 1 321 j i n i j n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a d -∏==≤<≤---- 范德蒙德行列式为零的充分必要条件是a 1，a 2，...，a n 这n 个数种至少两个相等。 ·证明：（#数学归纳法） （i ）当n=2时， 122 11 1a a a a -=，结论成立。 ) (...... ... ...............1 (111) 1 12 1 2 3 2 2 2 1 2 123222 1 1 321 1j i n i j n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a d -∏==-≤<≤-------- （ii ）设对于n-1级范德蒙德行列式结论成立，即
则 || ....................................................).........() ())...()((...... ... ...... ...1...11) )...()(( 0 ... ... ... 0 ...01 (11112113122) 2 3 2 2 32113122 11 2 311 3 2 211 2 12 3 12 32 12 211312j i n i j j i n i j n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a d -∏=-∏?---=---=---------=≤<≤≤<≤---------
第二讲 行列式综合训练 第一部分 例2.1 计算行列式，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是零． n D = 11 a a O 解 这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质． 方法1 利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D 11c n c a -?= 101 a a a a - L O =11()n a a a -- =n a -2n a - 方法2 仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D n 1 r r -= 111 a a a --O 1n c c += 1 1 1 a a a +-O =n a -2 n a - 方法3 利用展开定理，将行列式化成对角行列式． n D 1c 展开 =1 n a a a -O +1 1 001 0(1) 0n n a a +--L O O 而 1 1 01 0(1) 0n n a a +--L O O 最后列展开 =21 (1)n +-2 n a a -O =2 n a -- n D =1n a a -?-2n a -=n a -2n a - 方法4 利用公式 A O O B =A B ． 将最后一行逐行换到第2行，共换了2n -次；将最后一列逐列换到第2列，也共换了2n -次．
n D =2(2) (1)n --11a a a O = 11a a 2 n a a -O =n a -2 n a - 方法5 利用公式 A O O B =A B ． 例2.2 计算n 阶行列式： 1121221 2 n n n n n a b a a a a b a D a a a b ++= +L L M M M L (120n b b b ≠L ) 解 采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a L ，可在保持 原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素． 121121 221 2 1000 n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b +=++L L L M M M M L 升阶 213111 n r r r r r r +---= L 12121100100100n n a a a b b b ---L L L M M M M L 11 12,,1 j j c c b j n -+ =+= L 111211 1 2100 00000 n n a a a a a b b b b b + ++L L L L M M M M L =1121(1)n n n a a b b b b b + ++L L 这个题的特殊情形是 12121 2 n n n n a x a a a a x a D a a a x ++= +L L M M M L =1 1 ()n n i i x x a -=+∑ 可作为公式记下来． 例2.3 计算n 阶行列式：
目录 摘要及关键词 (1) 一、范德蒙行列式 (1) (一)范德蒙行列式定义 (1) (二)范德蒙行列式的推广 (4) 二、范德蒙行列式的相关应用 (8) (一) 范德蒙行列式在行列式计算中的应用 (8) (二) 范德蒙行列式在微积分中的应用 (14) (三) 范德蒙行列式在多项式理论中的应用 (19) (四) 范德蒙行列式推广的应用 (21) 三、结束语 (22) 四、参考文献 (23)
范德蒙行列式及其应用 摘要：在北大版高等代数的教科书中，行列式是一个重点也是一个难点，它是学习线性方程 组、矩阵、向量空间和线性变换的基础，起着重要作用。而行列式的计算具有一定的规律性和技巧性，同时可以应用在很多领域。本文将通过对n 阶范德蒙行列式的计算、推广及其证明，讨论它在行列式计算,微积分和多项式理论中的相关应用，然后主要研究一些与范德蒙行列式有关的例子，从中掌握行列式计算的某些方法和技巧，这将有助于我们更好的应用范德蒙行列式解决问题。 关键词：范德蒙行列式、行列式 The Determinant of Vandermonde and Its Application Yuping- Xiao (Department of Mathematics Bohai University Jinzhou 121000 China) Abstract: Higher algebra textbook edition in Beijing University,the determinant is not only an important point but also a difficult point,it is a foundation of learning linear equations,matrices, vector space and linear transformation,it plays an important role.And the calculation of determinant has a certain regularity and skills,it can be applied in many areas at the same time. This paper will be through the calculation,expansion and prove of a n band Vandermonde determinant,and discuss the calculation of determinant,the relevant application in the calculus and multinomial theory, then study some examples about the determinant of Vandermonde,and acquire some methods and skills of determinant calculation,This will help us better use the determinant of Vandermonde to solve the problems. Key words: the Vandermonder determinant; determinant 一、范德蒙行列式 (一)范德蒙行列式定义 定义1[1] 关于变元1x ,2 x n x 的n 阶行列式 1 22 221 2 1 1112 111n n n n n n n x x x D x x x x x x ---= (1) 叫做1x ，2x n x 的n 阶范德蒙行列式。 下面我们来证明 对任意的n (2n ≥),n 级范德蒙行列式等于1x ，2 x n x 这n 个数的
行列式的例题 一．直接用行列式的性质计算行列式 1．试证明 2 2 2 111 2 22 22 21111112c b a c b a c b a b a a c c b b a a c c b b a a c c b =+++++++++证明：先用行列式的加法性质拆第一列，再用初等变换化简得 2 22 22 11111 2 22 22 11111 b a a c c b a a c c b a a c c b a a c b b a a c b b a a c b +++++++++++++=左 2 22 2 1111 2 2 22 1111 b a a c b a a c b a a c a a c b a a c b a a c b +++++++= 222111 222111 b a c b a c b a c a c b a c b a c b += 22 2 111 2 2 2 111 a c b a c b a c b a c b a c b a c b += 2 2 2 1112a c b a c b a c b ==右 2．计算n 阶行列式 n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a D +++++++++= Λ ΛΛΛ Λ21222121211 1 解：当n=1时，D 1=a 1+b 1 ， 当n=2时，D 2=（a 1+b 1）（a 2+b 2）-（a 1+b 2）（a 2+b 1） =（a 1-a 2）（b 1-b 2） 当n≥3时,将第一行乘（-1）加到其余各行后，可得这些行对应成比例，即 01 111313131 2121212111=---------+++=a a a a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b a D n n n n n Λ M M M Λ ΛΛ 综上所述