范德蒙行列式的应用论文

Vol. 41/No . 14/Westleather关于范德蒙行列式的应用杨澜泳(西安财经大学，陕西西安710100)摘 要：大数据时代下，数据量的增长速度会超过储存数据介质容量的增长速度，那么储存代价会不断上升，储存介质的成 本在不断增加。

面对这种巨大的数据生成量传统数据管理系统中的数据处理技术受到了极大挑战％如何更高效，稳定的储存这些 数据成为数数据处理等许多领域研究的热h %本文从范德蒙行列式出发，b -范德蒙码以及范德蒙行列式特有的运算性质，优化并拓展了大数据时代最常见的动态分布式 文件系统HDFS ，将其优化为a a nDHDFS 。

b -范德蒙列阵纠删码的灵活性、高精准度特性，配合HDFS 的可恢复性，打造出一个 具有严格统一性与可恢复性的大数据储存系统。

关键词：大数据；储存介质；3德蒙行列式；HDFS 中图分类号：G633. 6 文献标志码：A 文章编号：1671 -1602 (2019) 14 -0079 -031基础知识1. 13德蒙行列式基O 知识范德蒙行列式就是在求线形递归方程通解的时候计算的行列 式，若递归方程的9个解为5，⑰,a,…6则范德蒙行列式如下所示:形如上图的行列式称为9阶范德蒙行列式％为求其9阶解，需用数学归纳法对其归纳求解。

当9=2时范德蒙德行列式H =7-7，范德蒙德行列式成立。

现假设范德蒙德行列式对9 - 1阶也成立，则对于9阶有：首先要把H ”降阶，方法是从第9列起用后一列 减去前一列的7倍，然后按第一行进行展开，就有>3 = (7 -7)(7 -7)0(7 -7)) (7 -7)于是就有原命题得证％：卩3 =n (7 $ 7#1. 2传统纠删码与3德蒙纠删码纠删码会创建一个数学函数来描述一组数字，这样就可以检查它们的准确性，而且一旦其中一个数字丢失，还可以恢复％多项式插值(polynomial interpolation )或过采样(oversampling)就是纠删 码所使用的关键技术％常见的数学意义上插值法有：拉格朗日插值法、牛顿插值法、埃米尔特插值法等等％从数据函数角度来说，纠删码提供的保护可以用下面这个简单 的公式来表示：9二V + m %变量“V ”代表原始数据或符号的值％变 量“m ”代表故障后添加的提供保护的额外或冗余符号的值％变量“9”代表纠删码过程后创建的符号的总值％举个例子来说，在一个EC 10/16的配置中，会有6个额外的符号(变量m )被添加到10个原始符号(变量V )中％这16个数据片段(变量9)会遍布16个驱动器、节点或地理位置中％而原始文 件可以从10个验证片段中重建％纠删码，也称为前向纠错(FEC )编码，早在50年前就已出现％随后产生了不同类型％其中一个最早也是最常见的类型就是RS (Reed - Solomo9，里德一所罗门纠删码)，这种类型的数据可以使用任何V 符号的组合或数据块来重建，即使m 符号丢失或不可用％比如，在EC10/16中，即使有6个驱动器、节点或者地理位置丢失或不可用，而原始文件还是可以恢复%纠删码可以用于有大量数据和任何需要容错的应用程序或系统中，比如磁盘阵列系统、数据网格、分布式存储应用程序、对象存储或归档存储%目前，纠删码的一个常见的使用案例是基于对象的存%那么，若选取编码生成矩阵M '3,使得G 组成形如Lgo02 …On-1」所 的纠删码为范 纠删码， G 意 V 的 方矩阵M 的转置矩阵为范德蒙矩阵，该范德蒙矩阵所组成的形如( )的行 为范 行 %2进一步对HDFS 基于范德蒙码的优化2. 1 HDFS 的基本运行思路HDFS 的文件下载是基于文件流形式，它将大于64M 的文件分割为一个又一个blocV (分块)，将他们储存在每个节点上，在用户调用文件时，首先系统会发送指令给9ame9ode 管理者，在它身上记录着每一个分块的大小以及位置信息，其次管理者会将这些信息反馈给客户端，则下一步客户端会与dataode 直接进行数据交互，采用 据流的形 ， 即在 用 个 据 会 行下 个 据的调用，知道调用到最后一个数据节点时，dataode 会反馈给9ame9o-de —个信号，则9ame9ode 会反馈给客户端停止调用的信号，至此基金项目：陕西省西部能源经济与区域发展协同创新研究中心哲学社会科学重点研究基地项目《能源富集区产业结构与资源环境协调性统 计测度理论与应用研究》(13JZ023)作者简介：杨澜泳(1995 -)，女，汉族，陕西人，在读研究生，西安财经大学，数理统计％79THEORIES AND RESEARCH理论与研究数据下载完毕%2. 2 VanDHDFS 编码的基本思路在VanDHDFS 中范德蒙码基本思路是从范德蒙行列式演变过来 的，其本质意义是在原本的HDFS 系统上，加入范德蒙行列式作为间变换方式$在 据输入的同时，利用范行据 行编译，通常数据源为列向量，密 的矩阵为列矩阵％在一个(q $ k )类型的范编码的过程中$原 据总量为q $ 这些数据进行编码操作$生 据量为k 的编码数据％其 k>q ,当我们进行文件操作导致文件损坏的时候，译码过程就会自动选取生成的q据 有效的k行编码恢复$如下图％这使编码过程 方便，并且容许大规模的数据错误，不会让原 据 ％2. 3 编码构造构造范德蒙编码阵V ,使得编码过程为：它与数据源列矩阵D相乘，生 的数据矩阵C , 如下：一 17271”一i —… 71 -- >1 --(1 11722”一i 72>2(2* > "1 723”一i 3*>3二(3-172%””一i…7」-> -I Q-转换出的C 矩阵即为编译后的原始数据，这样编译我们不难看 出，在 范 行 变 的数据形似 密处理的数据，这也为我们的数据加密工 路％但是，随 的问题就是，在 这 密处理的数据在今后每次使用的时候个解密的过程，虽然被解密数据为列矩阵，但解密过程却需要一个多阶甚至更高阶的范德蒙行列式来反编译％在HDFS 系统中，nameno ­de 本身的负荷量常重，如还要在让他担任大量的反编译工作，那能会产生的冗余和 程度便会 $ 运行 率会大％于是，我们必 如上的范 码进行简洁化处理$争取将之简化为便于处理与识别的编译方式％于是我们在原有的范 行 基础上，利用高斯消元法$进行变换%0 … 0 00 … 0 00 …1P 4…P - P100010S"00PP 兀y 2 咒 兀…九一1 九由变换后的范 行列式我们可以看出，我们将第 部为1的行，变 k 位矩阵，而余下的n-k为了冗余校验码，这个校验码的目的是便于namenode 管理者识该数据是被经殊处理的数据，并且识该数据是怎样的范 码的数据处理%另外， 这样处理的 范德蒙行我们 为S 矩阵$ S 矩 的好处在于其上半部分是由单位矩的， 位矩 原据包的乘积依旧是的原据，而余下的冗余校验码的乘积则成为了新的校验码，使namenode 的处理速度大大, 算量也随之减小％3-N3-N3-N3-NP P P P10000100S"0000PPP001P->1 ->2->1 ->2>3>N厶--0005」可以看到，伽生成的编码矩阵中，前k 阶同为原始数据D 是相 同的，这为我们的数据读常便利的方法，而下半部分生成了一个识0校验矩阵$这个矩阵的意义在于在今后无论是数据部分损坏亦或是校验码部分损坏，都能通过校验码快速识U 出可恢复的数据所处位置， 备份文件归属地，这样就能快速定位所需恢复的数据原始文件所在地，能高效的精准的减少恢 据所需时间％下来我们使用C+ +进行范码的编码操作$所使用的的数据源为OpenCV %由于没有节点数据的支持，目前该C++编码只处于文本阶段, 期我们会将节点数据与变动后的HDFS 模型 入，取运行 据%2. 4 译码过程解析有了如上的编码过程，我们极大的缩短了 namenode 管理者处理信息的负载量，提高译码过程的效率％那$如果数据发生坏，编译加密的数据 执行恢复操作%编码存的信 矩 第三行与第k 行数据模组同时发生错误，且k<n ,即原 据包和冗余校验矩阵随机发生错误，那 校验码中第一行与第二行完好，则选取第一行与第二行恢复运算％那 我们 原 据矩变形的数据阵Dr其后运用数学知识，我们还原矩阵A",这我们构造A"要运用高斯消，并且 位阵与冗余校验阵结合在：拼凑这个还原矩阵％贝IJ,还原矩阵A 要口下：10 (000)1…006ii 612…61,N-161N0 (1)L 621622…62,N-2为使还原矩阵A"可用，我们还需将A"进行求逆操作$目的是为 了使用矩阵A"的逆矩阵A 可"行 据恢复%矩阵A"的行det (A 可,0,因此矩阵A"必然 %在此处矩阵A"的运算无 行人工参与，因此我在C+ +的基础上进行了译码操作$其矩阵A"的运算％在我们还原矩阵A"的逆矩阵A 可"后$我们将之提取，与损坏的矩阵D ，—起作为译码进行恢复运算，这$我们初的 据矩 D , 文件恢 %3 VandHDFS 在实际应用中的技术分析在改进后的VanDHDFS 文件管理系统中，我们可以知道利用范德蒙码进行编译的分布式文件 于之前的文件管 无论是从容错率还是 算效率都有了巨大的 %为此，我 用范德80Vol.41/No.14/Westleather蒙码编译的VaDHDFS进行了数据化的测试。

湖北文理学院毕业论文开题报告论文题目：范德蒙行列式的推广及应用系别：数学与计算机学院专业：数学与应用数学班级：数学与应用数学0911姓名：李小兵学号：2009109157二零一二年三月三日一、范德蒙行列式的理论意义和现实意义行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式。

其定义域为n×n的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或| A | 。

行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。

或者说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。

无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。

作为一种特殊的行列式——范德蒙行列式，是一类很重要的行列式。

范德蒙行列式作为一种重要的行列式，在计算的过程中可以将一些特殊的或者近似于范德蒙行列式的行列式转化为范德蒙行列式，从而能够简化计算，有利于行列式的计算。

范德蒙行列式的应用也比较广泛，不仅应用于一些行列式的计算当中，而且它可以应用于证明行列式的问题和一些关于多项式方面以及某些特征向量线性无关等问题上。

二、研究的方向范德蒙行列式作为一种特殊的行列式，与有关数学知识的综合应用，将行列式的定理、性质融汇于一体，贯穿于证明及计算行列式之中并加以应用，体现较高的解题技巧解决较为复杂的问题。

利用范德蒙行列式的结论计算并不复杂，难的是如何将给定的行列式化成范式的标准形式，并研究范德蒙行列式的推广及在向量空间理论、线性变换理论、多项式理论、行列式计算、微积分中的应用。

三、主要的论文内容及提纲范德蒙行列式是一个很重要的行列式，本文将通过对n阶行列式的计算，讨论他的各种位置变化规律，然后主要研究一些与范德蒙行列式有关的例子，从中掌握行列式计算的某些方法和技巧。

本文探讨了范德蒙行列式在向量空间理论、线性变换理论、多项式理论中以及行列式的计算中的应用。

同时，行列式的一个性质，即n阶准范德蒙行列式的计算方法，并使其能解决一类行列式的计算问题。

ANAMtm tJhi・I TV本科生毕业论文题目：姓名：学号：系别：年级：专业：指导教师：指导教师：行列式的计算方法及其在线性方程组中的应用2008020230462008 级数学职称:副教授职称：讲师2012年4月20日安顺学院毕业论文任务书数学与计算机科学系数学与应用数学专业2008年级学生姓名韦诚毕业论文题目：行列式的计算方法及其在线性方程组中的应用任务下达日期：2011年9月5日毕业论文写作日期：20H年9月5日至2012年4月20指导老师签字:学生签字:《高等代数》是数学专业学生的一门必修基础课程。

行列式的计算是高等代数中的重点、难点，特别是n阶行列式的计算，学生在学习过程中，普遍存在很多困难，难于掌握。

讣算n阶行列式的方法很多，但具体到一个题，要针对其特征，选取适当的方法求解。

当看到一个貌似非常复朵的n阶行列式时，仔细观察, 会发现其实它们的元素在行或列的排列方式上都有某些规律。

掌握住这些规律, 选择合适的il•算方法，能使我们在极短的时间内达到事半功倍的效果！本文首先介绍n阶行列式的定义、性质，再归纳总结行列式的各种汁算方法、技巧及其在线性方程组中的初步应用。

行列式是线性方程组理论的一个组成部分，是中学数学有关内容的提高和推广。

它不仅是解线性方程组的重要工具，而且在其它一些学科分支中也有广泛的应用。

关键词：n阶行列式计算方法归纳线性方程组ABST RACTAlgebra is a courses of mathematics specialized coinpulsory of the basic mathematic- The determinant's calculation is the most difficulty in higher algebra, especially, the n order determinant's calculation , alway is student's difficulty in the learning process, so ,it is difficult to master for ours • There are a lot of calculations of n order determinant in method , but when we say a problem of the calculation of n order determinant, according to its characteristics, selecting the appropriate method to solving is a very good idea. When you see a seemingly so complex n order determinant, we should observe them carefully,“nd we will find that their elements are arranged in row s or columns have some regularity. Grasping of these laws, finding a appropriate calculation method can help us to achieve a multiplier effect in a very short time! This paper mainly introduces the definition of n order determinant, nature, and calculation methods, the skills of calculation of n order determinant and application in linear equation group. Determinant is an importanf theory in linear equations and it is an indis pensable part of linear equations, determinant is also the middle school mathematics' content raise and proinotion. It is not only the solution of linear equations of the important took but also in some other branch has a wide range of app lications.Key words: n order determinant calculation method induce linear equations引言1屛介行列式的定义 2屛介行列式的性质 3计算屛介行列式的具体方法与技巧利用行列式定义直接计算 利用行列式的性质计算 化为三角形行列式逆推公式法拆开法3.4 降阶法 3.6 利用范德蒙德行列式 3.7 加边法（升阶法） 3.8数学归纳法 10 4行列式在线性方程组中的初步应用 11 4.1克拉默（Gramer ）法则 12 4.2克拉默（Gramer ）法则的应用1211421用克拉默（Gramer）法则解线性方程组13 422克拉默法则及其推论在几何上的应用14 结论16 参考文献17 致谢1817解方程是代数中一个基本问题，特别是在中学中所学的代数中，解方程占有重要的地位•因此这个问题是读者所熟悉的.比如说，如果我们知道了一段导线的电阻r它的两端的电位差y,那么通过这段导线的电流强度八就可以有关系式ir = V求出来•这就是所谓解一元一次方程的问题•在中学所学代数中，我们解过一元、二元、三元以至四元一次方程组.线性方程组的理论在数学中是基本的也是®要的内容.对于二元线性方程组当4心22-如佝*0时，次方程组有惟一解，即”•…“ _ “山一如勺Aj — * ---------------- —^*11^22 -如切如“处-0皿21我们称5如-mSl为二级行列式，用符号表示为于是上述解可以用二级行列式叙述为：当二级行列式时，该方程组有惟一解，即对于三元线性方程组有相仿的结论•设有三元线性方程组«21(»2 2«11 %“21 ©2勺心22你如一竹S I =«21如5內+如兀2+"/3=久+"22X2 +^23^3 =®， «3 內 +432大2 +"33X3 =%利'彳弋 工弋 1^22^^33 + ^12^23^^31 + ^13^21^^321^23^32 ^12^^21^^33 ^^13^^22^31 丿7^5行列式，用符号表示为:"H "22"33 +“12°23"刃 +«)3«21^32 "^^11^23^32 "如①心彳 _'WWsi =我们有：当三级行列式«11 «12 "|3«21 «22 «23“31 ^32 “33时，上述三元线性方程组有惟一解，解为4厶X 严+，尤2=〒，a a其中S «12 勺3«H 勺"|3£ =■■■«23,J,="21 勺 “23，〃3 =5 U" b 、妇"32 “33«31 % "33如］“32 S在本论文中我们将把这个结果推广到畀元线性方程组4内+4胪2+…+你忑=勺 “2 內+"22兀2+…+ “2届=2弘内+0小：2+…+ 4汁為="/<的情形•为此，我们首先要给出〃阶行列式的定义并讨论它的性质，这就是 本论文的主要内容.«11 ®2 ®3"21 ^22 "23 "31 “32 “33cl =1 n阶行列式的定义“21 “22.... -^211"川...... 弘"等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积仙几（1）的代数和，这里jj2…h是12…，”的一个排列，每一项（5）都按下列规则带有符号：当j|j2…人是偶排列时，（1）带正号，当是奇排列时，（1）带有负号•这一定义可以写成二2（_严"5畑..％恥…人这里X表示对所有阶排列求和・丿"2・・・人定义表明，为了计算《阶行列式，首先作所有有可能山位于不同行不同列元素构成的乘积。

摘要
行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要，本文归纳了行列式的几种计算方法，并通过一些典型的例题介绍计算行列式的一些技巧。

关键词：行列式计算方法范德蒙行列式解析应用
目录
摘要 (III)
ABSTRACT (IV)
1.前言 (1)
2.行列式的概念及性质 (1)
2.1 行列式概念..............................................................................12.2 行列式性质 (1)
3.方法解析 (3)
3.1化三角形法 (3)
3.2利用递推关系法 (3)
3.3提取公因式法 (5)
3.4利用拉普拉斯（Laplace）定理法 (5)
3.5利用范德蒙（Vandermonde）行列式法 (6)
3.6利用乘法定理法 (7)
3.7裂项法 (8)
3.8升阶法 (8)
3.9公式法 (10)
3.10规律缺损补足法 (11)
3.11特征根法 (12)
3.12数学归纳法 (13)
3.13利用行列式乘法规则 (14)
4.应用 (15)
结论 (15)
参考文献 (15)
致谢 (15)。

范德蒙行列式在多项式插值中的应用在多项式插值中，范德蒙行列式是一种非常重要的工具。

它可以用来求解多项式插值系数，并且具有良好的数值特性和稳定性。

在本文中，我们将分步骤地介绍范德蒙行列式在多项式插值中的应用。

第一步：了解范德蒙行列式范德蒙行列式是一种在线性代数和多项式插值中非常重要的矩阵。

它的形式为：$$D_n(x) = \begin{vmatrix}1 & x_0 & x_0^2 & \cdots & x_0^{n-1} \\1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\1 & x_{n-1} & x_{n-1}^2 & \cdots & x_{n-1}^{n-1}\end{vmatrix}$$其中， $x_0, x_1, \dots, x_{n-1}$ 是给定的 $n$ 个数。

范德蒙行列式的值可以通过公式计算，也可以用高斯消元法求解。

第二步：求解多项式插值系数给定 $n+1$ 个不同的点 $(x_0,y_0), (x_1,y_1), \dots,(x_n,y_n)$，我们希望找到一条经过这些点的 $n$ 次多项式：$$p_n(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_{n-1}x^{n-1}$$这个问题可以通过范德蒙行列式求解。

具体来说，我们可以构造一个向量$$\mathbf{y} = \begin{bmatrix}y_0 \\ y_1 \\ \vdots \\ y_n\end{bmatrix}$$和一个矩阵$$\mathbf{V} = \begin{bmatrix}1 & x_0 & x_0^2 & \cdots & x_0^{n-1} \\1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1}\end{bmatrix}$$那么，我们就可以用范德蒙行列式求解系数向量 $\mathbf{a}$：$$\mathbf{a} = \frac{1}{D_n(x)} \begin{bmatrix}D_0(x) & -D_1(x) & D_2(x) & \cdots & (-1)^n D_n(x) \\-D_1(x) & D_2(x) & -D_3(x) & \cdots & (-1)^{n+1} D_{n+1}(x)\\D_2(x) & -D_3(x) & D_4(x) & \cdots & (-1)^{n+2} D_{n+2}(x) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\(-1)^{n} D_{n}(x) & (-1)^{n+1} D_{n+1}(x) & (-1)^{n+2}D_{n+2}(x) & \cdots & D_{2n}(x)\end{bmatrix} \cdot \mathbf{y}$$其中，$D_i(x)$ 是范德蒙行列式中第 $i$ 列的值。

华北水利水电学院行列式的性质及应用课程名称：线性代数专业班级：成员组成：联系方式:2012年11月05 日摘要: 行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用,懂得如何计算行列式显得尤为重要。

本文先阐述行列式的基本性质，然后介绍各种具体的方法,最后由行列式与其它知识的联系介绍其它几种方法.通过这一系列的方法进一步提高我们对行列式的认识，对我们以后的学习带来十分有益的帮助.关键词： 递推法 行列式 三角化法 公式法 数学归纳法英文题目: Determinantal properties and applicationAbstract: Determinant is an basic and important subject in advanced algebra ，it is very useful in mathematic 。

It is very important to know how to calculate determinant. The paper first introduced the basic nature of determinant,then introduced some methods, Finally,with the other determinant of knowledge on the links in several other ways.,through this series of methods will futher enhance our understanding of the determinat ，on our learning will bring very useful help 。

Key words: Recurrence method Determinant triangularization method formula method mathematical induction 正文:1 引言: 问题的提出在实践中存在许多解n 元一次方程组的问题，如①11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩②11112211121222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩运用行列式可以解决如②的n 元一次方程组的问题。

范德蒙行列式的应用探究
范德蒙行列式（也称为双核格式或矩阵表示）是一种数学表示，指先把问题所
考虑的因果和变量抽象为不同维度罗列（行或列），叶构成表格，其中每一格按顺序表达一次变量的关系。

这种表示能够有效地帮助任务分解者清楚地辨明任务中存在的因果关系，以便创造出一种有针对性的解决方案。

通过使用范德蒙行列式，可以把任务中存在的因果关系构建起来。

这种表示方
法既可以把任务中各个因素用文字表达出来，也可以用简洁而准确的矩阵形式来表示。

因此，范德蒙行列式具有贴切地反映任务因果关系、把握任务结构、增强理解能力等优点，在模式分析、决策分析、任务调度等行业任务中得到了广泛应用。

例如，在服务行业中常常会遇到一组要求，也被称为SLA（服务级别协议）。

SLA的结构是复杂的，可能存在若干层次的流程关系、服务因素、责任者等，因此，使用范德蒙行列式详细描述SLA能够更好地阐明其各个层次之间的关系和联系，进而针对具体情况制定完善的SLA。

此外，范德蒙行列式也可以用于任务计划，例如在新产品的研发上。

对于一项
新产品的研发，可以采用范德蒙行列式来表示船将和其他因素之间的关系，把子任务放在一起详细描述，从而分析出每一步的责任、要求、能力等，以构建一个合理有效的研发计划。

范德蒙行列式在行业任务中有着广泛的应用，它能有效地帮助任务分解者对任
务中存在的因果关系有更清晰的认识，从而为创造出一种有针对性的解决方案提供有力的指导。

范德蒙德行列式的应用探讨李珊珊摘要：范德蒙德行列式作为一种重要的、著名的行列式性质独特、形式优美，利用范德蒙德行列式能大大降低我们解题时的难度，起到事半功倍的效果. 本文将介绍范德蒙德行列式的概念及其性质，并且给出范德蒙德行列式在行列式计算，向量空间理论，线性变换理论，多项式理论和微积分问题五个方面较全面的具体应用，并对方法和技巧做出概括和总结.关键词：范德蒙德行列式；向量空间；线性变换；多项式；微积分中图分类号：O13Discussion on The Application of VandermondeDeterminantLi Shan-shanAbstract:The determinant is an important tool in Mathematics. It is the basis of the follow-up to the content system, such as linear equations, matrix, vector spaces and linear transformations. And it has a wide range of applications. As an important and famous determinant, Vandermonde determinant has not only unique structure, but also exquisite form. Using V andermonde determinant can greatly reduce our computation on solving problems. That is also the essence of using V andermonde determinant. This article will introduce the concept of V andermonde determinant and its calculation method and properties. What's more, this article will summarize V andermonde determinant in determinant computation, vector space, linear transformation theory, theory of polynomial and solving the problems of calculus in specific applications. And the article in the methods and techniques of Vandermonde determinant will make a summary.Keywords: V andermonde determinant; vector space; linear transformation; polynomial; Calculus1. 引言行列式在高等代数中是一个重要的数学工具，活跃在数学的各个分支. 行列式最早出现在16世纪关于求解线性方程组的问题中. 它的研究是伴随着线性代数的发展而发展起来的. 18世纪，法国著名的数学家范德蒙德（A.T.V andermonde ,1735-1796）将行列式的理论脱离线性方程组，而放到理论高度作为专门的理论进行研究，并在此基础上确立了行列式的一些性质，使行列式逐步成为一门独立的数学研究课题. 范德蒙德行列式是范德蒙德在1772年提出的一种著名的行列式，具有重要的理论研究价值和广泛的应用价值. 利用范德蒙德行列式和它的一些性质，我们可以使计算变得更为简单、直接，从而大大的提高对高等代数和数学分析中问题的计算速度. 自上世纪50年代以来，数学工作者对范德蒙德行列式的计算方法和在一些应用方面进行了研究. 不同研究者的角度、出发点和研究方向均不相同. 例如：北京大学第三版《高等代数》教材（高等教育出版社，王萼芳 石生明修订）中就提到了范德蒙德行列式在行列式计算和多项式根的存在性问题中的应用. 在一些高校的学报中我们也可以找到许多范德蒙德行列式的应用. 如：徐杰在《范德蒙德行列式的应用》（职校论坛，2009）中探讨了应用范德蒙德行列式证明向量的线性相关性问题；张文治、赵艳在《范德蒙德行列式应用三则》（北华航天工业学院学报，2007）中给出了构造范德蒙德行列式计算缺项行列式；程伟健、贺冬冬在《范德蒙德行列式在微积分中的应用》（大学数学，2004）中研究了利用范德蒙德行列式求高阶无穷小和证明K 阶导数极限存在问题等等. 综上所述，虽然国内外对范德蒙德行列式的应用研究比较多，但是对应用方法技巧的总结、归纳还比较欠缺和零散，系统性、规范性不足. 针对这种情况，本文较为系统的探讨范德蒙德行列式的应用，并对方法和技巧做出了总结.2. 范德蒙德行列式的概念及其性质定义 形如12322221231111123111...1........................n n n n n n na a a a a a a a a a a a ----的行列式，称为n 阶范德蒙德（V andermonde ）行列式，记为n D .范德蒙德行列式构造独特、形式优美，并且有独特的性质. 下面将给出范德蒙德行列式的各种性质.首先，范德蒙德行列式拥有普通行列式的所有性质.（1）行列互换，行列式不变；（2）以一个数乘行列式的一行（列），相当于用这数乘此行列式；（3）行列式某一行（列）是两组数的和，则此行列式等于两个行列式的和； （4）如果行列式中两行（列）成比例，则行列式为零； （5）把一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变； （6）行列式中两行（列）的位置，行列式符号改变.其次，我们给出范德蒙德行列式的五个更特别的性质. 性质1 对任意的(2)n n ≥，123222212311111123111...1......()..................n n n i j j i nn n n n na a a a D a a a a a a a a a a ≤<≤----==-∏，并且0n D =的充要条件是12,,...,n a a a 这n 个数中至少有两个相等，其中∏表示同类因子的乘积.证明： 对n 进行数学归纳. 当2n =时，211211n D a a a a ==-，结果正确. 假设对于1n -结论成立，即111()n i j j i n D a a -≤<≤-=-∏.则对于n 阶的情况有，在n D 中第n 行减去第1n -行的1a 倍，第1n -行减去第2n -行的1a 倍，以此类推，由下向上依次减去上一行的1a 倍，有2131122221231311212122123131111...10 0..................0...n n n nn n n n n n nna a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------=------=2131122221231311212122123131.....................n n nn n n n n n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------------=1232222213111232222123111...1...()()...().....................n n n n n n n na a a a a a a a a a a a a a a a a a -------.后面这是一个1n -阶的范德蒙德行列式，根据归纳法假设，它等于所有可能差(2)i j a a j i n -≤<≤的乘积，而包含1a 的差全在前面出现了. 因之，结论对n 阶范德蒙德行列式也成立. 根据数学归纳法，可知 1()n i j j i nD a a ≤<≤=-∏.由n D =1()i j j i na a ≤<≤-∏，可知0n D =的充要条件是12,,...,n a a a 这n 个数中至少有两个相等，证毕.注 2.1 因为T n n D D =，所以范德蒙德行列式还可以写成211112122221333211...1...1..................1...n n n n nnna a a a a a a a a a a a ----，行列式的值不变.性质2 若将范德蒙德行列式n D 顺时针旋转90 ，可得1211112222(1)1233312...1...1...1..................1n n n n n n n n n nnna a a a a a D a a a a a a --------=， 则有(1)(1)2(1)n n nn DD -=-.证明：因为T n n D D =，所以2111121222(1)21333211 (1)...1..................1...n n Tn n n n nnna a a a a a D D a a a a a a ----==，交换行列式的第1列与第n 列，则根据行列式的性质（6），行列式的值变为原来的-1倍，即有12111122221233312...1 (1)...1..................1n n n n n nnna a a a a a D a a a a a a ----=-， 再交换所得行列式的第2列和第1n -列，行列式变为原来的2(1)-倍，即有121111222221233312...1 (1)(1)...1..................1n n n n n n n n n nnna a a a a a D a a a a a a --------=-， 依次进行下去，得到最终的行列式12111122221233312...1...1...1..................1n n n n n n n n nnna a a a a a a a a a a a --------， 这样进行了(1)2(1)n n --次，于是1211112222(1)12233312...1...1(1)...1..................1n n n n n n n n n n n nnna a a a a a D a a a a a a ---------=-，结论得到证明.性质3 若将范德蒙德行列式n D 逆时针旋转90 ，可得(2)nD =212111121222211111 (1)...1 (1)...n n n nnn n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a --------------，有(1)(2)2(1)n n nn D D -=-.事实上，与性质2 的证明类似，依次交换行列式的两行，我们容易得到性质3 的结果.性质4 若将范德蒙德行列式n D 旋转180 ，可得(3)nD =111112122121211111............ (1)1...11n n n n n n n n n n nn n n n n a a a a a a a a a a a a -------------， 有(3)nn D D =.事实上，类似于性质2和性质3的证明，连续进行两次性质2 或性质3 的变换，就可以得到性质4 的结果.性质 5 n 阶准范德蒙1232222123(4)111112311111231231111n n nk k k k n k k k k nnnnnnx x x x x x x x D x x x x x x x x x x x x ----++++=1212,,...,1()n k n ki j p p p p p p j i nx x x x x --≤<≤=-∑∏，(1,2,,1)k n =- ，其中12,,,n k p p p - 是1,2,,n 中()n k -个数的一个正序排列，12,,,n kp p p -∑表示对所有()n k -阶排列求和.证明：在行列式中增补第(1)k +行和(1)n +列相应的元素. 考虑1n +阶范德蒙德行列式123222221231111111231231111112312311111()n n k k k k k n n kkkkknk k k k k nnnnnnnx x x x x x x x x xD x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x-----++++++=，按第1n +列展开，有11,12,11,11,111()1...()...()()inn n n i n n n n i j j i nD x A xA x A x A x x x x x x +++++++≤<≤=++++=---∏，其中,1(1,2,...,1)i n A i n +=+分别是21,,,...,n x x x 的代数余子式. 于是(4)(1)(1)1,1(1)n i ni n D A +++++=-. （1）对于11,12,11,11,111()1...()...()()inn n n i n n n n i j j i nD x A xA x A x A x x x x x x +++++++≤<≤=++++=---∏，由根与系数的关系（Vieta 定理）有12121,1,,...,1(1)...()n kn kn ii n p p p i j p p p j i nA x x x x x ---++≤<≤=--∑∏，由（1）式，可知1212(4),,...,1()n k n kni j p p p p p p j i nD x x x x x --≤<≤=-∑∏.3. 关于范德蒙德行列式应用的探讨前面介绍了范德蒙德行列式的概念及其性质，接下来我们将从行列式计算，向量空间理论，线性变换理论，多项式理论和微积分问题五个方面探讨范德蒙德行列式的应用.3.1 范德蒙德行列式在行列式计算中的应用范德蒙德行列式在行列式计算问题中起着举足轻重的作用. 利用范德蒙德行列式计算行列式已经被确立为一种特殊的方法被广泛使用. 下面我们来看几个例子：例1 计算行列式12322221232222123123111...1...........................n n n n n n nnnnnnx x x x x x x x D x x x x x x x x ----=.解：法1 构造1n +阶范德蒙德行列式1232222212312222212311111123123111...11......()...........................n n n n n n n n nn n n n n nnnnnnnx x x x x x x x x xD x x x x x x x x x x xx x x x x+----------=，则行列式D 为1()n D x +中元素1n x -的余子式，将行列式1()n D x +按1n +列展开得11,12,11,1()1...nn n n n n D x A xA x A +++++=+++，其中1n x -的系数为21,1,1,1(1)n n n n n n n A M M D ++++=-==-.又111()()...()()n n i j j i nD x x x x x x x +≤<≤=---∏，由根与系数的关系有1n x-的系数是1ni i x =-∑，因此在1()n D x +中1n x -的系数为11()nij i i i j nx x x =≤<≤--∑∏，所以11()nij i i i j nD x x x =≤<≤=--∑∏.法2 由范德蒙德行列式的性质 5，1212,,...,1()n k n ki j p p p p p p j i nD x x x x x --≤<≤=-∑∏，这里11()nij i i i j nD x x x =≤<≤=--∑∏.例2 证明n 阶循环行列式123121112122341.........()()...()..................n n n n n n n a a a a a a a a a a a a f f f a a a a εεε---=， 其中112()...n n f x a a x a x -=+++，12,,...,n εεε是所有的n 次单位根.证明：由于12,,...,n εεε是所有的n 次单位根，其所构成的n 阶范德蒙德行列式12322221231111123111...1......0..................n n n n n n nεεεεεεεεεεεε----≠，令123121123222211212311112341123...111...1................................................n nn n n n n n n n n n na a a a a a a a D a a a a a a a a εεεεεεεεεεεε-------=⋅，再由行列式的乘法，D 的第i 行第j 列的元素是2112311......i i n ij n i n i j n jj n i jd a a a a a εεεε----+-+-+=++++++，1,2,...,i n =，规定n k k a a +=.由于22cossin,(1,2,...,)m m m i m n ππεππ=+=，所以1mm εε=.于是(2)(1)(1)23111111......jj i j i j i ij n i n i n n i d a a a a a εεεε----+-+-+=++++++.又11nε=，因而(1)11,,1,2,...,j i ij j d d i j n ε-==.而右端的数恰好为行列式111231222221231311111231111...100...0 00...0. 00...0....................................nn n n n n nna a a a εεεεεεεεεεεε---- 的第i 行第j 列的元素，即上面的行列式也等于D ，且原循环行列式的值为11121...n a a a ， 由行列式D 的形状可知：1112...(),1,2,...,n j j n jj a a a a f j n εεε-=+++==.于是再根据行列式的性质有1232341(1)(2)2345212121.........(1)()()...()..................n n n n nn a a a a a a a a a a a a f f f a a a a εεε---=-.通过对上述例题的分析，可归纳出构造和利用范德蒙德行列式来计算行列式的一些技巧：① 观察要计算的行列式是否具有范德蒙德行列式的的某些结构特征； ② 通过适当的方法构造范德蒙德行列式；③ 结合范德蒙德行列式以及题目的要求进行行列式的求解；④ n 阶循环行列式的解法以多项式理论为基础，结合范德蒙德行列式进行求解，方法简便易行，具有一定的实用价值.3.2 范德蒙德行列式在向量空间理论中的应用向量空间有时也称为线性空间，它是线性代数最基本的概念之一，也是我们在高等代数的学习中接触到的第一个抽象的概念. 向量空间与其子空间的关系问题，向量空间中向量的线性相关性问题都是向量空间研究的重点和难点，对逻辑推理有较高的要求. 对于判断、证明、计算向量空间中相应问题多往往比较难. 但将其与行列式适当结合，特别是与范德蒙德行列式相结合时，题目就会变得容易理解和掌握，如下面几个例子：例3 设V 是数域F 上的n 维向量空间，则V 不能写成它的有限个真子空间的并.证明：对n 进行数学归纳. 当1n =时，显然成立.设1n >时，令123,,,...,n a a a a 是V 的一组基，设1*12{...|}n n S a ka k a k F V -=+++∈⊂, 其中*F 是F 中元素的集合， 令*112:,...n n F S k e ke k e ϕ-→→+++，其中12,,...,n e e e 是单位向量， 则易证ϕ是双射,从而S 中有无穷多个不同的元素.设i V （1,2,...i t =）为V 的真子空间，则S 中的元素在i V 中的个数小于n . 否则，若,1,2,...,j i V j n β∈=,111121112........................................n n n nn n n a k a k a a k a k aββ--⎧=+++⎪⎨⎪=+++⎩,即211111121222222133333211...1...1 (1)...n n n n nn nnn a k k k a k k k a k k k a k k k ββββ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则由,,1,2,...,,i j k k i j n i j ≠=≠知123,,,...,n a a a a 的系数行列式为范德蒙德行列式， 由范德蒙德行列式的性质 1知系数行列式非零，故,1,2,...,j k a V j n ∈=.进而,1,2,...,i V V i t ==矛盾, 从而S 中只有有限多个元素在1ti i V = ，即V 不能写成它有限个真子空间的并的形式.例4 设V 是数域F 上的n 维向量空间，任给正整数m n ≥，则在V 中存在m 个向量，其中任取n 个向量都线性无关.证明：因为n V F ≅，所以只需在n F 中考虑即可. 取211(1,,,...,)n a c c c -=,222122(1,,(),...,())n a c c c -=, .......................................... 21(1,,(),...,())m m n m m a c c c -=.令111222333212121211()...()1()...()1()...()...............1()...()nnnk k k n k k k n k k k n n k k k n c c c c c c D cc ccc c----=,121...,n k k k m ≤≤≤≤≤c为任意常数.因为111222333212121211()...()1()...()1()...()...............1()...()nnnk k k n k k k n k k k n n k k k n c c c c c c D cc ccc c----=是范德蒙德行列式，由范德蒙德行列式的性质1知n 0D ≠，所以12,,...,nk k k a a a 线性无关. 再由n V F ≅，所以结论成立.在向量空间理论中，我们经常会碰到需要用范德蒙德行列式转化的问题，通过转化我们很容易地得到所需要的结论. 而这就要求我们充分掌握范德蒙德行列式以及它的结构特征，达到灵活的使用.3.3 范德蒙德行列式在线性变换理论中的应用线性变换反映了线性空间中元素之间的一种最基本的联系，它是线性函数的推广.线性变换与行列式、矩阵联系密切. 利用行列式，尤其是范德蒙德行列式，来解决线性变换的特征值与特征向量问题能达到事半功倍的效果.例5 如果12,,...,s λλλ是线性变换的全部两两不同的特征值，(1,2,...)ii V i s λα∈=，则当12...0s ααα+++=时，必有12...0s ααα====.证明：注意到(1)i i i i s αλα=≤≤，对等式12...0s ααα+++=左右两边同时逐次作用，得112222211221111122 0...0 0s s s s s s s s s λαλαλαλαλαλαλαλαλα---+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩， 用矩阵表示为()21111212222112333211 (1)...,,...,(0,0,...,0)1..................1...s s s s s sss λλλλλλαααλλλλλλ----⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （2）矩阵211112122221333211...1 (1)..................1...s s s s sss B λλλλλλλλλλλλ----⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的行列式是范德蒙德行列式，并且由于12,,...,s λλλ两两不同，从而B 是可逆矩阵. 在（2）式两边右乘1B -,得()12,,...,(0,0,...,0)s ααα=，所以12...0s ααα====.例6 设数域F 上的n 维向量空间V 的线性变换σ有n 个互异的特征根12,,...,n λλλ则：（i ）与σ可交换的V 的线性变换都是21,,,...,n e σσσ-的线性组合，其中e 为恒等变换；（ii ）21,,,,...,n V αασασασα-∀∈线性无关的充要条件是1nii αα==∑，其中(),1,2,...,i i i i n σαλα==.证明：（i ）设δ是与σ可交换的线性变换，且(),1,2,...,i i i i n σαλα==， 则{|}ii V k k F λα=∈是δ的不变子空间.令21121...n n xe x x x δσσσ--=++++且(),1,2,...,i i i k i n σαα==，则有下方程组21111211121212221221121.......................................n n n n n nn n n n k x x x x k x x x x k x x x x λλλλλλλλλ------⎧=+++⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ , （3） 可知（3）的系数行列式是范德蒙德行列式，且系数行列式1()i j j i nD λλ≤<≤=-∏，因为12,,...,n λλλ互异，由范德蒙德行列式的性质 1知0D ≠.于是方程组（3）有唯一解，所以δ是21,,,...,n e σσσ-的线性组合. （ii ）先证明充分性. 因为1nii αα==∑，所以21111212222121123333211 (1)...(,,,...,)(,,...,)1..................1...n n n n n n n nnλλλλλλασασασαααααλλλλλλ-----=.且2111121222213331211...1...()01..................1...n n n i j j i nn n nnλλλλλλλλλλλλλλ---≤<≤-=-≠∏，因而211112122221333211...1...1..................1...n n n n n nnλλλλλλλλλλλλ----是可逆矩阵. 又由12,,...,n ααα是V 的一组基，可知21,,,...,n ασασασα-线性无关. 再证必要性.设12,,...,n e e e 是分别属于12,,...,n λλλ的特征向量，则12,,...,n e e e 构成V 的一组基，因而有1122...n n k e k e k e α=+++. 若0,1,2,...,i k i n ≠=则i i k e 是σ的属于i λ的特征向量，故结论成立. 若存在{1,2,...,}j n ∈使0j k ≠，不妨设12,,...,r k k k 全不为零， 而1...0r n k k +===，因而有1122...r r k e k e k e α=+++，则211111111212222222212112333333321......(,,,...,)(,,...,).....................n n n n r n rr rr rr r k k k k k k k k e e e k k k k k k k k λλλλλλασασασαλλλλλλ-----⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.利用范德蒙德行列式的性质 1可知21111111121222222221333333321...........................n n n n rr rr rr r k k k k k k k k A k k k k k k k k λλλλλλλλλλλλ----⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭有一个r 阶子式不为零，所以秩（A ）=r ，从而21(,,,...,)n r ασασασα-=秩， 又因为21,,,...,n ασασασα-线性无关，所以21(,,,...,)n n ασασασα-=秩.而r n <,矛盾. 所以1nii αα==∑，其中(),1,2,...,ii i i nσαλα==.在高等代数中，线性变换一直是最难的部分之一，题目的变化也很多. 在这些题目中，我们巧妙地运用范德蒙德行列式来使复杂的问题得到解决.3.4 范德蒙德行列式在多项式理论中的应用多项式是一类最常见、最简单的函数，它的应用非常广泛. 虽然多项式在整个高的代数中相对独立，然而却为高等代数的基本内容提供了理论依据. 研究多项式、多项式根的存在性问题、多项式求根问题是多项式理论中的重难点. 而多项式的求根问题又与行列式相关联，巧妙应用它们之间的联系，会起到化繁为简的作用. 例7 设01()n n f x c c x c x =+++ ，若()f x 至少有n+1个不同的根，则()0f x =. 证明：121,,,n x x x + 为()f x 的n+1个不同的根，则有齐次线性方程组20112112012222201121100n n nn n n n n n c c x c x c x c c x c x c x c c x c x c x +++⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩. （4） 将01,,,n c c c 看作方程组（4）的未知量.因为方程组（4）的系数行列式D 是范德蒙行列式，且1()0i j i j nD x x ≤<≤=-≠∏，由克莱姆法则知方程组（4）只有零解，从而有010n c c c ==== ，即()f x 是零多项式.例8 设12,,,n a a a 是数域F 中互不相同的数，12,,,n b b b 是数域F 中任一组给定的不全为零的数，则存在唯一的数域F 上次数小于n 的多项式()f x ，使(),1,2,,i i f a b i n == .证明：设1011()n n f x c c x c x --=+++ ， 由(),1,2,,i i f a b i n == ，知21011211112101222122210121n n n n n n n n n n c c a c a c a b c c a c a c a b c c a c a c a b------⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩ . (5） 因为12,,,n a a a 互不相同，所以方程组（5）的系数行列式21111212222133312111()01...1n n n i j i j nn nnna a a a a a D a a a a a a a a ---≤<≤-==-≠∏.由克莱姆法则知方程组（5）有唯一解，即存在唯一的数域F 上次数小于n 的多项式1011()n n f x c c x c x--=+++ ，使得(),1,2,,i i f a b i n == .在多项式理论中，涉及到求根问题的有很多. 在分析有些题目时，范德蒙德行列式是能够起到关键的作用. 主要应用在多项式组成的方程组中，系数组成的行列式是范德蒙德行列式. 若系数行列式不为零（即范德蒙德行列式的性质 1），则由克莱姆法则知方程组只有零解. 熟练有效地运用范德蒙德行列式，对我们最终解决问题会有直接的帮助.3.5 范德蒙德行列式在微积分中的应用无穷大量、无穷小量、高阶导数和极限是微积分的主要内容. 这些概念的正确理解和掌握对学好微积分是必要的. 在解决这类问题的时候，有时巧妙地构造范德蒙德行列式变换形式，可以使问题得到容易理解的解答.例9 设f(x )在区间I 上n 阶可导(2)n ≥，若对x I ∀∈，0|()|f x M ≤，()|()|n n f x M ≤(0,n M M 是正常数）.证明：若存在1n -个正常数121,,...,n M M M -，对x I ∀∈，()|()|(1,2,...,1)k k f x M k n ≤=-.证明：设121,,,,0,()n i i j a a a I a a a i j -∈≠≠≠ 且， 由泰勒公式，对1,2,...,1i n ∀=-，()()11()()()()!!k n n kni ii k fx ff x a f x a a k n ξ==+=++∑，由此得()()11()()()()!!k n n k nii i k fx fa f x a f x a k n ξ===+--∑，所以有()()101()|()||||()||()|||2,!!!k n n k nii i n k fx fA a f x a f x a M M k n n ξ==≤+++≤+∑其中11||m ax n ii n A a ≤≤-=.令1()1()()!kn k ii k a fx A x k ===∑，(x I ∈，1,2,...,1)i n =-， （6）则0|()|2!i n A A x M M n ≤+，(x I ∀∈，1,2,...,1)i n =-.由于方程组（6）的系数行列式D 为231111123122222311111...2!3!(1)!...2!3!(1)!..................2!3!(1)!n n n n n n n a a a a n a a a a D n a a a a n --------=--211112122221121333211111...1......1...1!2!...(1)!...............1...n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n a a a --------=-右边的行列式为121,,,n a a a - 的范德蒙德行列式，由0,()i i j a a a i j ≠≠≠知0D ≠，由克莱姆法则知，存在与x 无关的常数()()()121,,...,k k k n λλλ-，使得 1()()1()(),,1,2,...,1n k k i i i fx A x x I k n λ-==∀∈=-∑,由此推得x I ∀∈，1,2,...,1k n =-11()()()0011|()||||()|||(2)!n n k k k ii ik i i A fx A x M M M n λλ--==≤≤+=∑∑.例10 设函数f(x)在x=0附近有连续的n 阶导数，且'()(0)0,(0)0,...,(0)0n f f f≠≠≠，若121,,...,n p p p +是一组两两互异的实数，证明：存在惟一的一组实数121,,...,n λλλ+，使得当0h →时，11()(0)n i i i f p h f λ+=-∑是比n h 高阶的无穷小.证明：由题设的条件，可得()i f p h ，1,2,...,1i n =+在0x =处带有皮亚诺余项的麦克劳林展开式为：()110()(0)(),!k knk nk p h f p h fo h k ==+∑（1q ）()220()(0)(),!kknk nk p h f p h fo h k ==+∑（2q ）.........................()110()(0)(),!k knk nn n k p h f p h fo h k ++==+∑（1n q +）112211()()...()n n q q q λλλ++⨯+⨯++⨯,得111()11111()(0)(1)(0)()(0)()!n n nn k k kn ii i ii i i k i f p h f f p fh o h k λλλ+++====-=-++∑∑∑∑.当0h →时，若11()(0)n i i i f p h f λ+=-∑为比n h 高阶的无穷小，则有121112211222112211112211...1...0...0 0n n n n n n n n n n p p p p p p p p p λλλλλλλλλλλλ++++++++++=⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪+++=⎪⎩， 这是以121,,...,n λλλ+为未知数的线性方程组，其系数行列式有123122221231111231111...1......()0..................n n j i i j n nn nn n p p p p D p p p p p p p p p p ++≤<≤++==-≠∏，所以上述方程组有惟一的解，即存在唯一的一组实数121,,...,n λλλ+，使得当0h →时，11()(0)n i i i f p h f λ+=-∑为比n h 高阶的无穷小.例11 设f(x)至少有k 阶导数，且对某个实数α有()lim ()0,lim ()0k x x x f x x f x αα→∞→∞==. （7）试证：()lim ()0,0,1,2,...,i x x f x i k α→∞==，其中(0)()()fx f x =.证明：由条件（7）知，要证明()lim ()0i x x f x α→∞=，只要将()()i f x 写成()f x 与()()k f x 的线性组合的形式即可，利用泰勒公式，21'"(1)()()()()()...()()2!(1)!!k kk k m mmmf x m f x m f x f x fx fk k ξ--+=+++++- （8）其中,1,2,...,m x x m m k ξ<<+=.这是关于'"(1)(),(),...,()k f x f x f x -的线性方程组，其系数行列式为21211111...2!(1)!2212...2!(1)! (1)...2!(1)!k k k k D kkkk ----=-212121111 (1)122 (21133)...31!2!...(1)!...............1...k k k k kkk ---=-，后一行列式是范德蒙德行列式，且有212121111 (1)122...21!2!...(1)!133...3 (1)...k k k k kkk---=-，所以D =1. 于是可从方程组（8）把'"(1)(),(),.()k f x f x f x-写成()(1,2,...,)f x m m k +=与()()(1,2,...,)k m fm k ξ=的线性组合. 只需证明()lim ()lim ()0,(1,2,..,)k m x x x f x m x fm k ααξ→∞→∞+===.事实上，设x t x k ≤≤+，于是()()()lim ()lim ()()lim ()lim ()0,(0,)i i i x x x x x x x ft t ft t ft i k tt ααααα→∞→∞→∞→∞====.在此式中分别令,0t x m i =+=和令,m t i k ξ==，则得()lim ()lim ()0,(1,2,..,)k m x x x f x m x fm k ααξ→∞→∞+===.通过对以上例题的分析可以总结利用范德蒙德行列式解决微积分问题的方法： ① 首先要应用泰勒公式，写出函数在某点的近似解；② 根据构造函数在某点的泰勒展开形式，构造范德蒙德行列式；③结合范德蒙德行列式和题目本身进行求解.4. 结束语范德蒙德行列式为问题的求解提供了十分有效地手段. 对范德蒙德行列式的应用，不仅需要对范德蒙德行列式的形式、特点及性质熟练掌握，而且要能灵活的应用. 范德蒙德行列式应用中，构造范德蒙德行列式是解决问题的难点和关键点. 要巧妙地构造范德蒙德行列式进行解题，必须对高等数学的基础知识熟练掌握，要善于将知识衔接起来. 达到这样的境界非一日之功，因此只有打好高等数学的基础，不断地分析解决典型的题目，找出内在的规律，日积月累，对范德蒙德行列式的应用才能得到进一步的掌握.参考文献：[1] 北京大学数学系集合与代数教研室前代数小组.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2003.[2] 华东师范大学数学系.数学分析[M]. 北京：高等教育出版社，2001.[3] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，2006.[4] 邹应.数学分析习题及其解答[M].武汉：武汉大学出版社，2001.[5] 章乐.几道考研试题的推广[J].大学数学，2003.[6] 牛莉.线性代数[M].北京：中国水利水电出版社，2005.[7] 吴良森，毛羽辉，宋国栋，魏木生，数学分析习题精解[M].北京：科学出版社，2002.[8] 易大义, 陈道琦. 数值分析引论[M].杭州: 浙江大学出版社, 1998.。

㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２０ １７范德蒙德行列式在行列式计算中的应用范德蒙德行列式在行列式计算中的应用Һ侯丽芬㊀（朔州师范高等专科学校数计系，山西㊀朔州㊀０３６００２）㊀㊀ʌ摘要ɔ范德蒙德（Ｖａｎｄｅｒｍｏｎｄｅ）行列式是一类重要的行列式，本文结合实例讨论了范德蒙德行列式的计算，以及如何将一些特殊的行列式化为范德蒙德行列式进行计算，以减小计算量，提高计算效率．ʌ关键词ɔ范德蒙德行列式；行列式计算行列式的计算是线性代数中的重要内容，范德蒙德行列式是一类特殊的行列式，它具有独特的标准形式及简明的计算结果．本文从范德蒙德行列式的计算结果出发，结合行列式的计算性质，讨论了将一些特殊的㊁类似于范德蒙德行列式的行列式转化为范德蒙德行列式进行计算，最终化繁为简，使解题达到事半功倍的效果．形如１１ １ａ１ａ２ ａｎａ２１ａ２２ａ２ｎａｎ－１１ａｎ－１２ａｎ－１ｎ的ｎ阶行列式称为范德蒙德行列式．若Ｄｎ为ｎ阶范德蒙德行列式（ｎȡ２），则Ｄｎ＝（ａｎ－ａｎ－１）㊃（ａｎ－ａｎ－２） （ａｎ－ａ１）（ａｎ－１－ａｎ－２）（ａｎ－１－ａｎ－３） （ａｎ－１－ａ１） （ａ３－ａ２）（ａ３－ａ１）（ａ２－ａ１）＝ᵑ１ɤｊ＜ｉɤｎ（ａｉ－ａｊ），即ｎ阶范德蒙德行列式等于ａ１，ａ２， ，ａｎ这ｎ个数的所有可能的差ａｉ－ａｊ１ɤｊ＜ｉɤｎ()的乘积．下面结合实例说明一些特殊行列式的计算方法．１．直接利用范德蒙德行列式的结果计算例１㊀计算行列式Ｄ＝１１１１１２３４１４９１６１８２７６４．分析㊀该行列式是一个四阶范德蒙德行列式，其中ａ１＝１，ａ２＝２，ａ３＝３，ａ４＝４．解㊀由范德蒙德行列式的结果，可得Ｄ＝１１１１１２３４１４９１６１８２７６４＝（４－３）（４－２）（４－１）（３－２）（３－１）（２－１）＝１２．２．利用行列式的性质计算（１）提取公因式法例２㊀计算ｎ阶行列式Ｄｎ＝１２３ ｎ１２２３２ ｎ２１２ｎ３ｎｎｎ．分析㊀该行列式中各列元素都分别是一个数自上而下按升幂顺序排列，方幂次数都是从１到ｎ．如果分别提取各列的公因数，则方幂次数便成为从０到ｎ－１，得到一个标准的ｎ阶范德蒙德行列式，其中ａ１＝１，ａ２＝２， ，ａｎ＝ｎ．解㊀Ｄｎ＝１２３ｎ１２２３２ ｎ２ １２ｎ３ｎ ｎｎ＝ｎ！１１１ １１２３ ｎ１２２３２ｎ２１２ｎ－１３ｎ－１ｎｎ－１＝ｎ！（２－１）（３－１） （ｎ－１）（３－２） （ｎ－２） ［ｎ－（ｎ－１）］＝ｎ！（ｎ－１）！（ｎ－２）！ ２！１！．（２）行㊁列变换法例３㊀计算行列式Ｄ＝１１１１１＋ｓｉｎＡ１１＋ｓｉｎＡ２１＋ｓｉｎＡ３１＋ｓｉｎＡ４ｓｉｎＡ１＋ｓｉｎ２Ａ１ｓｉｎＡ２＋ｓｉｎ２Ａ２ｓｉｎＡ３＋ｓｉｎ２Ａ３ｓｉｎＡ４＋ｓｉｎ２Ａ４ｓｉｎ２Ａ１＋ｓｉｎ３Ａ１ｓｉｎ２Ａ２＋ｓｉｎ３Ａ２ｓｉｎ２Ａ３＋ｓｉｎ３Ａ３ｓｉｎ２Ａ４＋ｓｉｎ３Ａ４．分析㊀依次将行列式的上一行乘－１加到下一行，所得结果再乘－１加到下一行，则得到一个范德蒙德行列式．解㊀Ｄ＝１１１１ｓｉｎＡ１ｓｉｎＡ２ｓｉｎＡ３ｓｉｎＡ４ｓｉｎ２Ａ１ｓｉｎ２Ａ２ｓｉｎ２Ａ３ｓｉｎ２Ａ４ｓｉｎ３Ａ１ｓｉｎ３Ａ２ｓｉｎ３Ａ３ｓｉｎ３Ａ４＝ᵑ１ɤｊ＜ｉɤ４（ｓｉｎＡｉ－ｓｉｎＡｊ）．（３）升阶法例４㊀计算ｎ阶行列式Ｄｎ＝１１ １１ａ１ａ２ ａｎ－１ａｎａ２１ａ２２ａ２ｎ－１ａ２ｎａｎ－２１ａｎ－２２ ａｎ－２ｎ－１ａｎ－２ｎａｎ１ａｎ２ａｎｎ－１ａｎｎ．分析㊀根据ｎ阶行列式Ｄｎ的特点，通过加边的方法添加一行一列．在第ｎ行与第ｎ－１行之间加入含有ａｎ－１ｉ（ｉ＝１，２， ，ｎ）的一行，再加入相应的一列１，ｂ，ｂ２， ，ｂｎ，构造一个（ｎ＋１）阶范德蒙德行列式Ｄｎ＋１间接求出Ｄｎ．解㊀加边，作（ｎ＋１）阶范德蒙德行列式．. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２０ １７Ｄｎ＋１＝１１１１ａ１ａ２ ａｎｂａ２１ａ２２ａ２ｎｂ２ ａｎ－２１ａｎ－２２ ａｎ－２ｎｂｎ－２ａｎ－１１ａｎ－１２ ａｎ－１ｎｂｎ－１ａｎ１ａｎ２ａｎｎｂｎ，将Ｄｎ＋１按第（ｎ＋１）列展开，得Ｄｎ＋１＝Ｍ１，ｎ＋１㊃１＋Ｍ２，ｎ＋１㊃ｂ＋ ＋Ｍｎ，ｎ＋１㊃ｂｎ－１＋Ｍｎ＋１，ｎ＋１㊃ｂｎ．其中ｂｎ－１的系数为：Ｍｎ，ｎ＋１＝（－１）ｎ＋（ｎ＋１）㊃Ｄｎ＝－Ｄｎ．而由范德蒙德行列式的结果，可知Ｄｎ＋１＝（ｂ－ａ１）（ｂ－ａ２） （ｂ－ａｎ）（ａ２－ａ１）ᵑ１ɤｊ＜ｉɤｎ（ａｉ－ａｊ）＝［ｂｎ＋（－１）（ａ１＋ａ２＋ ＋ａｎ）㊃ｂｎ－１＋ ］ᵑ１ɤｊ＜ｉɤｎ（ａｉ－ａｊ），其中ｂｎ－１的系数为－（ａ１＋ａ２＋ ＋ａｎ）ᵑ１ɤｊ＜ｉɤｎ（ａｉ－ａｊ），比较系数，得Ｄｎ＝（ａ１＋ａ２＋ ＋ａｎ）ᵑ１ɤｊ＜ｉɤｎ（ａｉ－ａｊ）．（４）拆项法例５㊀计算ｎ阶行列式Ｄｎ＝１＋ａ１１＋ａ２１１＋ａｎ１１＋ａ２１＋ａ２２ １＋ａｎ２１＋ａｎ１＋ａ２ｎ １＋ａｎｎ．解㊀Ｄｎ⇒升阶１００ ０１１＋ａ１１＋ａ２１ １＋ａｎ１１１＋ａ２１＋ａ２２１＋ａｎ２１１＋ａｎ１＋ａ２ｎ１＋ａｎｎ＝１－１－１ －１１ａ１ａ２１ａｎ１１ａ２ａ２２ａｎ２１ａｎａ２ｎ ａｎｎ再把第一行拆成两项之和２０００１ａ１ａ２１ａｎ１１ａ２ａ２２ａｎ２１ａｎａ２ｎａｎｎ－１１１１１ａ１ａ２１ａｎ１１ａ２ａ２２ａｎ２１ａｎａ２ｎａｎｎ＝２ａ１ａ２ ａｎᵑ１ɤｊ＜ｋɤｎ（ａｋ－ａｊ）－ᵑｎｉ＝１（ｘｉ－１）ᵑ１ɤｊ＜ｋɤｎ（ａｋ－ａｊ）＝２ᵑｎｉ＝１ａｉ－ᵑｎｉ＝１（ａｉ－１）[]㊃ᵑ１ɤｊ＜ｋɤｎ（ａｋ－ａｊ）．（５）拉普拉斯展开法例６㊀计算行列式Ｄ＝１０ａ１０ ａｎ－１１００１０ｂ１ ０ｂｎ－１ｎ１０ａ２０ａｎ－１２００１０ｂ２０ｂｎ－１２１０ａｎ０ａｎ－１ｎ００１０ｂｎ ０ｂｎ－１ｎ．分析㊀由拉普拉斯定理，运用公式Ｄ＝Ｍ１Ａ１＋Ｍ２Ａ２＋ ＋ＭｎＡｎ来计算行列式的值．解㊀取第１，３， ，２ｎ－１行，第１，３， ，２ｎ－１列展开，得Ｄ＝１ａ１ ａｎ－１１１ａ２ ａｎ－１２１ａｎａｎ－１ｎ１ｂ１ ｂｎ－１１１ｂ２ ｂｎ－１２１ｂｎｂｎ－１ｎ＝ᵑ１ɤｊ＜ｉɤｎ（ａｉ－ａｊ）（ｂｉ－ｂｊ）．（６）行列式乘积变换法例７㊀计算ｎ阶行列式Ｄｎ＝Ａ０Ａ１ Ａｎ－１Ａ１Ａ２ＡｎＡｎ－１ＡｎＡ２ｎ－２，其中Ａｋ＝ａｋ１＋ａｋ２＋ ＋ａｋｎ＝ðｎｉ＝１ａｋｉ（ｋ＝０，１， ，２ｎ－２）．分析㊀由行列式的乘法规则可以将Ｄｎ化为两个范德蒙德行列式的乘积．解㊀Ｄｎ＝ｎðｎｉ＝１ａｉðｎｉ＝１ａｎ－１ｉðｎｉ＝１ａｉðｎｉ＝１ａ２ｉðｎｉ＝１ａｎｉðｎｉ＝１ａｎ－１ｉðｎｉ＝１ａｎｉðｎｉ＝１ａ２ｎ－２ｉ＝１１１１ａ１ａ２ａ３ ａｎａ２１ａ２２ａ２３ａ２ｎａｎ－１１ａｎ－１２ａｎ－１３ａｎ－１ｎ１ａ１ａ２１ ａｎ－１１１ａ２ａ２２ ａｎ－１２１ａ３ａ２３ａｎ－１３１ａｎａ２ｎ ａｎ－１ｎ＝ᵑ１ɤｊ＜ｉɤｎ（ａｉ－ａｊ）２．ʌ参考文献ɔ［１］王萼芳，石生明．高等代数（第３版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００３．［２］郑大川，吴瑞武．线性代数与概率论［Ｍ］．北京：中国农业出版社，２０１２，０１．［３］杨艳丽．范德蒙行列式及其应用［Ｊ］．数学学习与研究：教研版，２０１５（９）：１３６－１３７．［４］牛海军．范德蒙行列式在行列式计算中的应用［Ｊ］．中国科教创新导刊，２００８（１７）：１４０．. All Rights Reserved.。

范德蒙行列式的证明及其应用在高等代数中，范德蒙行列式是一个具有特殊形式和重要性质的行列式。

它不仅在理论上有着深刻的意义，而且在实际的数学问题求解中也有着广泛的应用。

范德蒙行列式的形式如下：＼＼begin{vmatrix}1 ＆ 1 ＆ 1 ＆＼cdots ＆ 1 ＼＼x_1 ＆ x_2 ＆ x_3 ＆＼cdots ＆ x_n ＼＼x_1^2 ＆ x_2^2 ＆ x_3^2 ＆＼cdots ＆ x_n^2 ＼＼＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＼＼x_1^｛n 1} ＆ x_2^｛n 1} ＆ x_3^｛n 1} ＆＼cdots ＆ x_n^｛n 1}＼end{vmatrix}＼接下来，我们先来证明范德蒙行列式。

证明范德蒙行列式通常使用数学归纳法。

当\（n ＝ 2\）时，范德蒙行列式为：＼begin{vmatrix}1 ＆ 1 ＼＼x_1 ＆ x_2＼end{vmatrix} ＝ x_2 x_1＼假设\（n 1\）阶范德蒙行列式成立，即：＼＼begin{vmatrix}1 ＆ 1 ＆ 1 ＆＼cdots ＆ 1 ＼＼x_1 ＆ x_2 ＆ x_3 ＆＼cdots ＆ x_{n 1} ＼＼x_1^2 ＆ x_2^2 ＆ x_3^2 ＆＼cdots ＆ x_{n 1}＾2 ＼＼＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＼＼x_1^｛n 2} ＆ x_2^｛n 2} ＆ x_3^｛n 2} ＆＼cdots ＆ x_{n 1}＾｛n 2}＼end{vmatrix} ＝＼prod_{1\leq i ＜ j\leq n 1} （x_j x_i)＼对于\（n\）阶范德蒙行列式，将其按第一列展开：＼begin{vmatrix}1 ＆ 1 ＆ 1 ＆＼cdots ＆ 1 ＼＼x_1 ＆ x_2 ＆ x_3 ＆＼cdots ＆ x_n ＼＼x_1^2 ＆ x_2^2 ＆ x_3^2 ＆＼cdots ＆ x_n^2 ＼＼＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＼＼x_1^｛n 1} ＆ x_2^｛n 1} ＆ x_3^｛n 1} ＆＼cdots ＆ x_n^｛n 1}＼end{vmatrix} ＝＼sum_{k ＝ 1}＾n （－1)＾｛1 ＋ k} 1 ＼timesM_{1k}＼其中\（M_{1k}＼）是原行列式中第一行第\（k\）列元素的余子式。