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热传导的基本原理与计算方法热传导是指热量从高温区向低温区传递的过程。
它是热力学的一种基本现象，广泛应用于物理学、化学、材料科学等领域。
热传导研究的是物质中热量的传导机制、热传导的速率和规律以及如何控制和改变热传导过程。
一、热传导的基本原理在物理学中，热量的传导可以用热传导定律来描述，即热传导的速率与热差成正比，与导热系数和传热面积成反比。
物质温度较高的区域传递给相邻温度较低的区域，热量的传导是靠原子、分子、电子等的热运动完成的。
这些粒子在物质内做无规则的振动、流动，高温区的热粒子向低温区运动，直到它们的热平衡达到。
热传导的基本原理可以用一维热传导方程来描述：$$\frac{\partial T}{\partial t}=\alpha\frac{\partial^2 T}{\partialx^2}.$$其中，T代表温度，x代表长度，t代表时间，α代表物质的导热系数。
方程的右侧表示温度梯度，表示热量的传递速度。
二、计算热传导的基本方法由于热传导过程的复杂性，通过简单的数学方程来计算热传导的速率是不可能的。
因此，人们开发了许多传热学模型和计算方法。
这些方法主要可以分为两种：一种是基于传热学原理和模型计算的解析解，另一种是基于数值方法求解的计算机模拟。
1. 解析解法解析解法是指根据物理模型和数学方程分析热传导的过程，得到解析解的方法。
这种方法的优点是计算结果精确，适用于简单的热传导问题，如一维热传导、恒定温差热传导等。
解析解法的缺点是只能用于特定情况下的计算，不适用于复杂的三维热传导问题。
2. 数值模拟法数值模拟法是指利用数字计算机来模拟热传导过程，在计算机上求解热传导方程。
这种方法的优点是可以模拟任意形状复杂的热传导问题，适用范围广，计算结果较为准确。
数值模拟法的缺点是需要高性能计算机进行计算，耗费时间和资源较多。
三、热传导应用范围热传导的应用范围非常广泛，涉及物理、化学、材料等多个领域。
在工程领域，热传导的应用与产品的保温、散热、冷却、加热等相关。
传热学数值模拟实例教程王志军编著邓权威河南理工大学二〇〇九年十二月前言一、实验说明导热问题实际上就是对导热微分方程（能量方程）在规定的定解条件下进行求解，而对流问题除了对能量方程进行求解外，往往还需对质量守恒方程以及动量方程进行求解。
对于少数几何形状以及边界条件简单的问题能获得分析解，但对于大多数工程技术中遇到的许多几何形状或边界条件复杂的导热对流问题，数学上还无法得除其分析解。
另一方面，在近几十年中，随着计算机技术的迅速发展，数值模拟技术得到了飞速的发展，其中CFD （计算流体力学）能解决流体流动，传热传质等很多工程问题，因而发展非常快。
Fluent 作为目前国际上最流行的商用CFD软件之一，在美国和中国的市场占有率都超过60%。
只要涉及到流体、热传递以及化学方法等问题都可以用Fluent进行求解。
它具有丰富的物理模型、先进的数值方法以及强大的前后处理功能，在航空航天、汽车设计、石油天然气、消防火灾、环境分析等方面都有着广泛的应用。
本模拟实例库主要是运用成熟的Fluent软件对传热学的一些简单问题进行数值求解，主要包括一维稳态导热问题的求解，二维多热源的稳态导热问题，二维方腔内自然对流和混合对流，管内强制对流换热问题的数值模拟。
模拟实验的目的在于是为同学们提供一个形象直观而又生动的工具，为本科传热学的学习提供一个新的视角，使传热学的学习从抽象的理论中解放出来，变得直接而有主动，增强他们学习的兴趣与动力，从枯燥的灌输中解放出来。
另一方面数值模拟还能加深学生对基本概念、基本规律的理解。
杨世铭说：“传热学课程的教学应当从以往的单纯地为后续专业课服务而转变到着重培养学生的素质与能力方面来。
通过将CFD数值模拟方法渗透到传热学的本科实验中，为培养学生的素质与能力提供一个强有力的工具，最终促进学生创新能力和应用能力的全面提升。
二、Fluent软件简介Fluent软件是美国Fluent公司开发的通用CFD流场计算分析软件，囊括了Fluent Dynamic International、比利时Polyflow和Fluent Dynamic International（FDI）的全部技术力量（前者是公认的粘弹性和聚合物流动模拟方面占领先地位的公司，而后者是基于有限元方法CFD软件方面领先的公司）。
热物理过程的数值模拟（计算传热学）教学大纲（热工类各专业及机械类动力机械专业研究生适用）（30学时）重庆大学热工教研室二零零零年七月热物理过程的数值模拟（计算传热学）教学大纲第一章绪论1、热物理过程的预测方法及特点：预测的实质。
理论分析、实验研究与数值计算。
预测方法的选择。
2、计算传热学的发展；国内外计算传热的有关活动、研究内容、当前的发展方向。
第二章热物理过程的数学描述1、控制微分方程：微分方程的意义。
连续性方程、化学组分议程、动量议程、能量议程、湍流流动的时间平均方程、湍流动能方程、通用微分方程。
2、边界条件和初始条件：第一、二、三、四类边界条件、初始条件、拟非稳态的概念。
3、控制方程的简化：恰当坐标系、自变量和因变量的变换、无量纲化。
第三章离散化方法1、离散化的概念：数值方法的基本思想、因变量的离散化、区域的离散化。
2、空间区域的离散化方法：空间区域离散人及几何要素、内节点法和外节点法。
3、推导离散化方程的方法：泰勒级数展开法、变分法、加权残值法、控制容积积分法、控制容积平衡法。
4、二个指导原则和四项基本法则：解的物理真实性和总量平衡、控制容积界面上的相容性、正系数法则、源项的负斜率线性化、邻点系数和法则。
第四章热传导问题的数值解灶1、一维稳态热传导：基本方程、网络间距、界面导热系数、源项的线性化、非线性的处理、边界条件的处理、线性代数方程组的求解（TDMA）。
2、一维非稳态热传导：离散化方程的一般形式、显格式、全隐格式、C-N格式。
3、离散方程的性质：相容性、收敛性、稳定性、代数方程组的求解、稳定性与解的物理真实性。
4、多维稳态热传导：离散化方程、三种坐标系中系数的通用表达式、边界条件的处理、代数方程组的求解方法（点迭代法、块迭代法）、迭代法的收敛性及其改善。
5、多维非稳态热传导：离散化方程的形式、稳定性、交替方向迭代（ADI）。
第五章对流—扩散方程的差分格式1、一维稳态对流—扩散：中心差分、上风差风、指数格式、混合格式、乘方格式、通用化格式。
数值传热学数值传热又称计算传热，是传热学与数值方法相结合的一门交叉学科，它采用数值方法描述流动和传热问题的控制方程，并用计算机求解。
数值换热，其基本思想是将原始坐标在空间和时间上连续的物理量场（如速度场、温度场和浓度场等），用一系列有限个离散点上的数值来代替，通过一定的原理建立离散点变量值之间的关系代数方程（称为离散方程）。
通过求解所建立的代数方程组，得到求解变量的近似值。
1简介数值传热学（numerical heat transfer）数值传热学，又称计算传热学，是指对描写流动与传热问题的控制方程采用数值方法，通过计算机求解的一门传热学与数值方法相结合的交叉学科。
数值传热学的基本思想是把原来在空间与时间坐标中连续的物理量的场（如速度场，温度场，浓度场等），用一系列有限个离散点上的值的集合来代替，通过一定的原则建立起这些离散点变量值之间关系的代数方程（称为离散方程）。
求解所建立起来的代数方程已获得求解变量的近似值。
2发展简史数值传热学，主要由20世纪中叶，S.V. Patankar和D.B.Spalding 等人在总结前人的研究基础上所提出。
E.M.Sparrow对数值传热学的发展也起到了一定的促进作用。
国内比较知名的学者是陶文铨教授。
陶文铨3研究方法数值传热学常用的数值方法1.有限差分法历史上最早采用的数值方法，对简单几何形状中的流动与换热问题最容易实施的数值方法。
其基本点是：将求解区域中用于坐标轴平行的一系列网格的交点所组成的点的集合来代替，在每个节点上，将控制方程中每一个导数用相应的差分表达式来代替，从而在每个节点上，形成一个代数方程，每个方程中包括了本节点及其附近一些节点上的未知值，求解这些代数方程就获得了所需的数值解。
2.有限容积法将所计算的区域划分成一系列控制容积划分为一系列控制容积，每个控制容积都有一个节点做代表。
通过将守恒型的控制方程对控制容积坐积分导出离散方程。
在导出过程中，需要对界面上的被求函数本身及其一阶导数的构成做出假定，是目前流动与换热问题的数值计算中应用最广的一种方法。
2．迁移性传递过程的两种机制：扩散传递、对流传递两种机制在物理特上的差异：对信息或扰动的传递性质上有很大的区别扩散传递：物质分子不规则热运动所致，这种分子的不规则热运动对空间不同方向的几率是一样，所以扩扩散作用可以把发生在某一位置处的扰动影响向各个方向传递。
对流传递：是流体微团的宏观定向运动，带有强烈的方向性。
对流作用只能将发生在某一位置处的扰动向其下游方向传递，而不会逆向传播。
图示ε扩散对流ε扩散与对流作用在物理本质上的这种差异，应在其各自的差分格式中反映出来。
（1）扩散项的中心差分把扰动向四周均匀传递 一堆非稳态扩散方程：)()(xx ∂∂Γ∂∂=∂∂φτρφ 对于常物性222x∂∂Γ=∂φτφρ 差分格式：时间导数向前差分，空间导数中心差分（显式），均匀网格x x δ=∆2111)(2x ni n i n i n i n i ∆+-Γ=∆--++φφφτφφρ 为简化起见，假定初始时刻物理量场已均匀化，且0=φ，在某一时刻（例如第n 时层），节点i 处突然有一个扰动ε，而其余各节点的扰动均匀为零，如图所示，随着时间的推移，这一扰动传递的情形可由上述差分方程来确定，（n+1）时层：2111)(2x ni n i n i n i n i ∆+-Γ=∆--++φφφτφφρ 其中011==-+ni n i φφ ∴)21())(21(221xx n i n i ∆Γ∆-=Γ∆∆-=+ρτερτφφ 在这里，网格傅里叶数)/(2x F ∆Γ∆=∆ρτ，按稳定性要求，1210,2/122≤∆Γ∆-≤∴≤∆Γ∆xx ρτρτ，对节点i+1：2121112xn i n i n i n i n i ∆+-Γ=∆-+++++φφφτφφρ 其中0211==+++ni n i φφ∴)()(2211xx ni n i ∆Γ∆=∆Γ∆=++ρτερτφφ 类似地有：211)(xn i ∆Γ∆=+-ρτεφ 如果取25.0)/(2=∆Γ∆x ρτ，则：εφφεφ25.0,5.011111===+-+++n i n i n ixφεxφ25.0)/(2=∆Γ∆x ρτ时，在扩散作用下扰动的传递由图可见，在扩散作用下，n 时刻发生在节点i 处的扰动ε，到n+1时刻均匀地向两侧传递开去。
可见扩散项的中心差分格式具有迁移特性，与扩散过程的物理本质一致。
（2）对流项差分数表达式的物理特性如果对流项的某种差分格式使扰动仅沿着流动方向传递，则称此格多具有迁移特性。
①对流项的中心差分格式不具有迁移特性0=∂∂+∂∂xu φτφ 均匀网格，则有xu n i n i n i n i ∆--=∆--++2111φφτφφ类似地有：x u n in i n i n i ∆--=∆-++++22111φφτφφxu n i n i n i n i ∆--=∆---+-22111φφτφφn 时层，仅节点i 处有扰动ε，则：εφφ==+n i n i 1)(2)(2)(2)(21111xu x u xu x u n i n i n i n i ∆∆-=∆∆-=∆∆=∆∆=+-++τετφφτετφφi 处扰动同时向相反的两上方向传递②对流项的迎风差格式具有迁移性迎风差分：对流项中的一阶导数由该点及上游方向一个邻点的φ值确定。
,/)(/1∆-=∂∂+u x x ii i φφφ,/)(1>∆-=-u x i i φφ以u>0的情形来分析，n 时刻，仅节点i 处有扰动ε。
)1(,111xu x u xu n i n i n i n i n i n i n i n i ∆∆-=∆∆-=∆--=∆-+-+τφφτφφφφτφφ0,)()(,11121111111111==∆--=∆-∆∆=∆∆=∆--=∆--+----+-++++++ni n i n i n i n i n i n in i nin i n i n i u x u x u x u φφτφφτφφτετφφφφτφφi 扰动仅向流动方向传递对流项中心差分的截差为二阶 迎风差分 一 但就它们对流动过程的物理特性的模拟而言，迎风格式反而比中心差分更合理∴求解实际物理问题时，只注意差分格式的截差等级是不够的。
*背风格式的截差与迎风格式相同，但它只能使扰动逆流而上而不是顺流而下，这就完全违背了物理规律。
3-5 两个指导原则和四项基本法则不言而喻，对于数值解的总的要求应当是：1、物理真实性，即分布规律和变化趋势与实际过程一致，以物体冷却为例；热量分析，离散集总。
（1）数值解有偏差；（2）离散方程（或差分格式）非唯一（不同的型线选择），其所得的离散方程不相同）其数学特性和物理特性不相同，相应的数值解也不相同，随着网格节点数目↑，不同的离散方程将会给出相同的解，但节点数↑会导致内存↑，机时增加，是不希望的，希望在粗网格情形下，解也是真实的。
所以首先保证数值解的物理真实性，然后才是提高准确性。
t0 τ不真实的 近似而物理 真实的准确的不真实的2、总的平衡：能量、质量、动量、…的平衡总量平衡是解的物理真实性的必要条件，但不是充分条件。
如何确保所得到数值解满足物理真实性和总的平衡，离散方程应服从于一些什么样的约束条件？二、四项基本法则1、控制容积界面上的连续性…体现总的平衡分段线性分布，界面物性参数（例如界面导热系数）2、正系数法则 C P ≈常数的一维模型方程…体现物理真实性S xtx t c+∂∂∂∂=∂∂)(λτρ 差分格式，τ-∂∂x t /作显式阶梯式变化b t a a a a t a t a op w E o p o w o E E p p +--++=)(式中x S b x c a a x a x a op o pp w w w e e E ∆=∆∆====,,)(,)(τρδλδλ 注：①op w E p w E p a a a a a a a =--++=)(0…满足系数和法则②⇒≥--0w E op a a a 非均匀网格时ww e e x x xc )()(δλδλτρ+≥∆∆常物性、均匀网格：2/10≤⇒∆F如果τ-∂∂x t /取为隐式阶梯式变化，则有 b t a b t a t a t a t a nb b n op o p w w E E p p +=+++=∑x S b a a a a a x c a x a x a p nb p w E p o p w w e e E ∆=∑=++=∆∆===,,/,)/(,)/(0τρδλδλω对于稳态问题，0,→∞→∆op a τ，则b n w E p nb nb w w E E p p a a a a b t a b t a t a t a ∑=+=+∑=++=从物理过程看，由于扩散与对流作用而使φ发生变化，或者呈现一定的分布；从离散方程看，某个网格节点处的φ值只有通过扩散及对流作用才受到相邻网格节点上的φ值的影响，体现扩散（和对流）作用的是节点系数p nb a a ,，在其它条件不变的情况下，一个网格节点处φ值的增加，应导致相邻网格节点上φ值的增加而不是减少，在上述离散方程中，如果要Et↑必然导致p t ↑，则必然是E a 与p a 有相同的符号，即离散方程中中心节点系数p a 与各相邻节点系数nb a 的符号相同。
“离散方程中所有的节点系数（p a 及b a n ）必须总是正的”。
正系数法则保证了数值解的物理真实性。
相邻节点间的相互作用（制约，控制），决定了φ变量的变化趋势和分布： ①节点系数值体现影响的大小→体现在邻点系数和法则 ②节点系数的符号体现影响中心节点φ的变化趋势…真实性 3、源项的负斜率线性化…对物理真实性的补充，并影响到稳定性通常，S 是φ本身的函数，所以在建立离散方程时需要知道这种函数关系，但由于采用线性代数的方法来解离散化方程，所以只能将S （t ）在形式上表示成线性函数的关系，即将S-T “线性化”：p p c p t S S S +=S S c -的常数部分，p p t S -的系数（不代表节点P 处的S 值）控制容积积分：⎰⎰⎰⎰∆+∆++=e e p p c dx d t S S dx Sd ωωττττττττ)(t-x ：阶梯式分布；τ-t ：隐式阶梯式分布，则p p e c p p c t x S x S dx d t S S ⋅∆∆+∆∆=+⎰⎰∆+τττωτττ)(离散方程的变化：x S b x S a a a a c p op w E p ∆=∆-++=,由于S P 项的存在，即便所有的邻点系数均为正，p a 仍有可能为负，违背物理真实性所要求的正系数法则，解决方法：0≤p S“当源项线性化为p p c t S S S +=时，系数S P 必须≤0”物理意义上理解：大量实际过程中源项与φ变量之间确实具有负钭率关系。
对于正的S P ，如果没有有效的散热机构，则当p t ↑，会导致物理状态不稳定；从计算方法上讲，S P >0可能导致数值解不稳定和解在物理上的不真实。
导体的电阻,0),1(>+=ββt r r o ，则S P >0。
4、邻点系数和法则…对总的平衡的补充，对离散方程总的平衡的检验从数学上看，如果控制方程只包含φ变量的导数项而不包含非导数项，（与φ有关的源项），则φ和c +φ（c 是一个任意常数）均满足控制方程，这种性质应当反映在相应的离散方程中，即当p t 和所有的nb t 都增加同一常数值时，离散方程应仍然成立：b n p b n b n b n p p p b n b n p p a ac a t a c a t a c t a c t a ∑=⇒⋅∑+∑=+⇒+∑=+)()(当源项S 与φ（或t ）有关时，φ和c +φ不能同时满足控制方程，相应离散方程的节点系数不满足这一法则，如何理解？设想一个特殊情况S P =0来应用这一法则，以检验离散方程的正确性。
b n pb n p nb b n p p t a a t t a t a ∑=⇒∑=—中心节点温度是相邻节点温度的一个加权平均值。
如果所有邻点温度b n t 都相等，从物理上理解，p t 必=1=∑⇒pb n b n a a t ，b n p a a ∑=第四章 热传导4.1 研究对象及学习思路从本章开始，将数值方法应用于热物理过程，热物理过程由什么控制、描述？通用微分方程，它由四个部分组成，非稳态项、对流项、扩散项、源项。
向量形式S div S div w div +∇Γ=∂∂⇒+∇Γ=+∂∂)()()()()(φτρφφφρτρφ传导型 扩散型 直角张量形式 S x x S xj x u x jj j j j +∂∂Γ∂∂=∂∂⇒+∂∂Γ∂∂=∂∂+∂∂)()()()()(φτρφφφρτρφ 传导型 扩散型1、研究对象—传导型方程的数值解法应研究求解此通用控制方程的数值方法。
