核函数方法简介(亮亮修正版)

核函数知识点总结初中一、核函数的概念核函数是一种将输入空间中的向量映射到一个高维特征空间的函数，它可以将原始的非线性可分问题映射到高维空间中的线性可分问题，从而简化了求解过程。

具体来说，给定一个输入空间中的向量x，核函数K将其映射到高维空间中的向量K(x)，它的数学表达方式可以写为：K(x, y) = φ(x)·φ(y)其中，φ表示映射函数，K(x, y)表示两个输入向量x, y在高维特征空间中的内积。

核函数的作用是在高维特征空间中进行向量之间的内积运算，而不必显式地计算出映射函数φ。

这样就避免了在高维空间中进行复杂的计算，极大地提高了计算效率。

二、核函数的分类核函数可以分为线性核函数、多项式核函数、高斯径向基核函数等多种类型。

不同类型的核函数适用于不同的问题，并且在实际应用中需要根据具体情况选择合适的核函数类型。

以下是对几种常见核函数的介绍：1. 线性核函数：线性核函数是最简单的核函数类型，它直接将输入空间中的向量映射到特征空间中的线性关系，并且不引入额外的参数。

它的表达式为：K(x, y) = x·y其中，K(x, y)表示两个输入向量x, y在特征空间中的内积。

2. 多项式核函数：多项式核函数是一种通过多项式映射将输入空间中的向量映射到高维特征空间的函数。

它的表达式为：K(x, y) = (x·y + c)^d其中，c和d分别为多项式核函数的参数，c表示常数项，d表示多项式的次数。

3. 高斯径向基核函数：高斯径向基核函数是一种通过指数函数将输入空间中的向量映射到高维特征空间的函数。

它的表达式为：K(x, y) = exp(-||x-y||^2 / (2σ^2))其中，||x-y||表示输入向量x, y的欧式距禮，σ表示核函数的宽度参数。

三、核函数的应用核函数在机器学习、模式识别等领域中有着广泛的应用，它可以用来解决各种复杂的非线性问题。

以下是核函数在几种常见机器学习算法中的应用：1. 支持向量机（SVM）：SVM是一种用于分类和回归分析的监督学习算法，它通过构造一个最优的超平面来实现对输入数据的分类。

核函数方法简介（1）核函数发展历史早在1964年Aizermann等在势函数方法的研究中就将该技术引入到机器学习领域，但是直到1992年Vapnik等利用该技术成功地将线性SVMs推广到非线性SVMs时其潜力才得以充分挖掘。

而核函数的理论则更为古老，Mercer定理可以追溯到1909年，再生核希尔伯特空间(Reproducing Kernel Hilbert Space, RKHS)研究是在20世纪40年代开始的。

（2）核函数方法原理核函数方法原理根据模式识别理论，低维空间线性不可分的模式通过非线性映射到高维特征空间则可能实现线性可分，但是如果直接采用这种技术在高维空间进行分类或回归，则存在确定非线性映射函数的形式和参数、特征空间维数等问题，而最大的障碍则是在高维特征空间运算时存在的“维数灾难”。

采用核函数技术可以有效地解决这样问题。

设x,z∈X,X属于R（n）空间,非线性函数Φ实现输入空间X到特征空间F的映射,其中F 属于R（m）,n<<m。

根据核函数技术有：K(x,z) =<Φ(x),Φ(z) > (1)其中：<, >为内积,K(x,z)为核函数。

从式(1)可以看出，核函数将m维高维空间的内积运算转化为n维低维输入空间的核函数计算，从而巧妙地解决了在高维特征空间中计算的“维数灾难”等问题，从而为在高维特征空间解决复杂的分类或回归问题奠定了理论基础。

（3）核函数特点核函数方法的广泛应用,与其特点是分不开的：1）核函数的引入避免了“维数灾难”,大大减小了计算量。

而输入空间的维数n对核函数矩阵无影响，因此，核函数方法可以有效处理高维输入。

2）无需知道非线性变换函数Φ的形式和参数.3）核函数的形式和参数的变化会隐式地改变从输入空间到特征空间的映射，进而对特征空间的性质产生影响，最终改变各种核函数方法的性能。

4）核函数方法可以和不同的算法相结合，形成多种不同的基于核函数技术的方法，且这两部分的设计可以单独进行，并可以为不同的应用选择不同的核函数和算法。

核函数模型1. 介绍核函数模型是一种机器学习中常用的非线性分类和回归方法。

它通过映射输入数据到高维空间，从而将线性不可分的问题转化为线性可分的问题。

核函数模型在很多领域都有广泛应用，如图像识别、自然语言处理等。

2. 核函数的概念核函数是核方法的核心。

在SVM（支持向量机）和其他一些机器学习算法中，用到了核函数来解决非线性问题。

核函数实际上是一种将输入数据映射到高维特征空间的函数。

通过这种映射，原本线性不可分的数据在新的空间中变得线性可分。

3. 常用的核函数类型核函数有多种类型，常见的核函数包括线性核函数、多项式核函数、高斯核函数等。

3.1 线性核函数线性核函数是最简单的核函数，它仅进行线性变换。

这种核函数通常适用于数据本身是线性可分的情况。

3.2 多项式核函数多项式核函数通过将数据映射到高维空间来解决非线性问题。

它的形式为K(x, y) = (x * y + c)^d，其中d是多项式的阶数，c是常数。

3.3 高斯核函数高斯核函数也称为径向基函数(RBF)。

它通过将数据映射到无穷维的特征空间来进行非线性转换。

高斯核函数的形式为K(x, y) = exp(-||x - y||^2 / (2 *σ^2))，其中σ是高斯核函数的宽度参数。

3.4 其他核函数除了上述常用的核函数类型，还存在其他类型的核函数，如拉普拉斯核函数、Sigmoid核函数等。

这些核函数在特定的应用场景中可能能够取得更好的效果。

4. 核函数在SVM中的应用SVM是应用核函数最广泛的机器学习算法之一。

它通过最大化样本点到超平面的间隔来进行分类。

核函数在SVM中的应用使得SVM能够处理线性不可分的问题。

4.1 线性核函数在SVM中的应用当数据线性可分时，可以使用线性核函数来构建SVM模型。

线性核函数的性能较好，且计算效率较高。

4.2 非线性核函数在SVM中的应用当数据线性不可分时，需要使用非线性核函数。

非线性核函数能够将数据映射到高维空间，使得原本线性不可分的数据在新的空间中变得线性可分。

出发点
如果我的数据有足够多的可利用的信息，那么我可以直接做我喜欢的事了，但是现在如果没有那么多的信息，我可不可以在数学上进行一些投机呢？
低维（比如我只知道一个人的年龄，性别，那我能对她多了解吗？）
高维（比如我知道他从出生开始，做过哪些事，赚过哪些钱等）
如果我们对数据更好的了解（是机器去了解他们，我们不需要认识啦）
得到的结果不也会更好嘛。

出发点
二维的情况 三维的情况
线性核函数
Linear核函数对数据不做任何变换。

何时来使用呢？
特征已经比较丰富了，样本数据量巨大，需要进行实时得出结果的问题。

不需要设置任何参数，直接就可以用了。

多项式核函数
需要给定3个参数
一般情况下2次的更常见
γ(gama)对内积进行放缩，ζ(zeta)控制常数项，Q控制高次项。

其特例就是线性核函数了
高斯核函数
一维度的高斯 二维的高斯
高斯核函数
公式：
表示什么呢？看起来像是两个样本点之间的距离的度量。

如果X和Y很相似，那结果也就是1了，如果很不相似那就是0了。

高斯核函数
这么做有什么好处呢？能给我做出多少维特征呢？
高斯核函数
看起来不错，但是它对参数是极其敏感的，效果差异也是很大的！
高斯核函数
决策边界会怎么样呢？（σ越小，切分的越厉害，越容易过拟合）。

SVM 小结理论基础：机器学习有三类基本的问题，即模式识别、函数逼近和概率密度估计．SVM 有着严格的理论基础，建立了一套较好的有限训练样本下机器学习的理论框架和通用方法。

他与机器学习是密切相关的，很多理论甚至解决了机器学习领域的其他的问题，所以学习SVM 和机器学习是相辅相成的，两者可以互相促进，有助于机器学习理论本质的理解。

VC 维理论：对一个指示函数集，如果存在h 个样本能够被函数集中的函数按所有可能的2h 种形式分开，则称函数集能够把h 个样本打散；函数集的VC 维就是它能打散的最大样本数目。

VC 维反映了函数集的学习能力，VC 维越太则学习机器越复杂(容量越太)。

期望风险：其公式为[](,,(,))(,)y R f c y f y dP y χχχχ⨯=⎰，其中(,,(,))c y f y χχ为损失函数，(,)P y χ为概率分布，期望风险的大小可以直观的理解为，当我们用()f χ进行预测时，“平均”的损失程度，或“平均”犯错误的程度。

经验风险最小化（ERM 准则）归纳原则：但是，只有样本却无法计算期望风险，因此，传统的学习方法用样本定义经验风险[]emp R f 作为对期望风险的估计，并设计学习算法使之最小化。

即所谓的经验风险最小化（ERM 准则）归纳原则。

经验风险是用损失函数来计算的。

对于模式识别问题的损失函数来说，经验风险就是训练样本错误率；对于函数逼近问题的损失函数来说，就是平方训练误差；而对于概率密度估计问题的损失函数来说，ERM 准则就等价于最大似然法。

但是，经验风险最小不一定意味着期望风险最小。

其实，只有样本数目趋近于无穷大时，经验风险才有可能趋近于期望风险。

但是很多问题中样本数目离无穷大很远，那么在有限样本下ERM 准则就不一定能使真实风险较小。

ERM 准则不成功的一个例子就是神经网络和决策树的过学习问题（某些情况下，训练误差过小反而导致推广能力下降，或者说是训练误差过小导致了预测错误率的增加，即真实风险的增加）。

核函数知识点核函数是机器学习领域中一种重要的数学工具，用于处理非线性问题。

它在支持向量机（Support Vector Machine，简称SVM）等算法中广泛应用。

本文将介绍核函数的基本概念、常见类型以及其在机器学习中的应用。

一、核函数概述核函数是一种将低维特征空间映射到高维空间的函数。

通过核函数的转换，可以将线性不可分的数据在高维空间中变得线性可分，从而使得SVM等机器学习算法能够处理非线性分类问题。

核函数的基本思想是通过非线性映射将数据从原始空间转换到一个新的空间，在新的空间中进行线性操作。

这种转换可以将原来无法线性划分的数据变得线性可分。

二、常见核函数类型1. 线性核函数（Linear Kernel）线性核函数是最简单的核函数，它不进行任何映射，仅仅计算原始特征空间中的内积。

其数学表示形式为K(x, y) = x·y，其中x和y表示原始特征空间中的两个向量。

2. 多项式核函数（Polynomial Kernel）多项式核函数通过将特征空间映射到更高维度的空间，使得原始数据在新的空间中变得线性可分。

其数学表示形式为K(x, y) = (x·y + c)^d，其中c表示常数，d表示多项式的次数。

3. 高斯核函数（Gaussian Kernel）高斯核函数是最常用的核函数之一，也称为径向基函数（Radial Basis Function，简称RBF）。

高斯核函数能够将原始特征空间映射到无限维的特征空间，使得数据在新的空间中呈现出非线性特征。

其数学表示形式为K(x, y) = exp(-γ||x-y||^2)，其中γ表示高斯核函数的带宽参数。

4. 拉普拉斯核函数（Laplacian Kernel）拉普拉斯核函数是一种基于拉普拉斯分布的核函数。

与高斯核函数类似，它也能够将数据映射到无限维的特征空间，实现对非线性数据的线性分类。

其数学表示形式为K(x, y) = exp(-γ||x-y||)，其中γ表示拉普拉斯核函数的带宽参数。

核函数知识点总结app一、概念核函数是一种能够将输入数据映射到另一个高维特征空间的函数，通常用于处理线性不可分的数据。

其作用是将低维的输入数据映射到高维的特征空间中，使得原本在低维空间中无法线性分割的数据，在高维空间中能够被线性分割。

通过使用核函数，我们可以将复杂的非线性问题转化为相对简单的线性问题来解决。

二、作用1.实现高维空间的计算在机器学习中，有些问题无法在原始的低维空间中进行线性分割，而使用核函数能够将特征映射到高维空间，使得原本线性不可分的问题在高维空间中变得线性可分。

这样就可以将原始问题转化为在高维空间中进行线性分割的问题来解决。

2.避免显式的特征映射由于高维空间的特征通常非常庞大甚至是无穷大的，因此无法直接存储和计算，而核函数则能够以更为经济高效的方式来表示和计算高维空间的特征，避免了显式的特征映射，从而大大节省了计算资源的使用。

3.提高算法的鲁棒性和泛化能力在一些模型中，使用核函数可以提高模型的鲁棒性和泛化能力，使得模型能够更好地适应未知数据的预测和分类问题。

三、种类常见的核函数主要包括线性核函数、多项式核函数、高斯核函数、径向基核函数等，下面对其进行详细介绍。

1.线性核函数（Linear Kernel）线性核函数是最简单的核函数，其形式为：K(x, z) = x^Tz其中x和z分别为输入数据的特征表示，^T表示转置操作。

线性核函数适用于线性可分的情况，将输入数据直接进行线性映射到高维空间。

2.多项式核函数（Polynomial Kernel）多项式核函数的形式为：K(x, z) = (γx^Tz + r)^d其中γ是一个控制多项式项中x和z的相似度的参数，r是一个常数项，d为多项式的阶数。

多项式核函数通过多项式的方式对输入数据进行映射，可以处理一些非线性的分类问题。

3.高斯核函数（Gaussian Kernel）高斯核函数也称为径向基核函数（Radial Basis Function, RBF），其表达式为：K(x, z) = exp(-γ||x-z||^2)其中γ是一个控制高斯函数形状的参数，||x-z||表示输入数据x和z之间的欧氏距离。

常见的核函数核函数是机器学习中一种常用的方法，它主要用于将高维空间中的数据映射到低维空间中，从而提升算法的性能。

核函数在SVM、PCA、KPCA等机器学习算法中广泛应用。

下面我们将介绍常见的核函数。

1. 线性核函数线性核函数是最简单的核函数之一，它是一种将数据点映射到低维空间的方式，其表达式如下：K(x_i, x_j) = (x_i * x_j)其中x_i, x_j是样本数据集中的两个数据，返回一个标量值。

线性核函数的优点在于需要的计算量较小，适用于大型数据集，但它的缺点是它只能处理线性分离的数据。

2. 多项式核函数其中x_i, x_j是样本数据集中的两个数据，c是一个常数，d是多项式的度数。

多项式核函数适用于非线性分离的数据。

3. 径向基函数(RBF)核函数其中x_i, x_j是样本数据集中的两个数据，gamma是一个正常数，||x_i - x_j||^2表示两个数据点之间的欧几里得距离的平方。

4. Sigmoid核函数其中x_i, x_j是样本数据集中的两个数据，alpha和beta是Sigmoid函数参数。

Sigmoid核函数适用于二分类问题。

上述四种核函数都是常见的核函数，它们各自有不同的优劣势，在不同的机器学习算法中应该选择适当的核函数来处理不同的数据。

除了上述四种常见的核函数，还有其他的一些核函数也具有重要的应用价值。

5. Laplacian核函数Laplacian核函数计算方式类似于径向基函数，但是它将样本数据点间的距离转化成样本数据点间的相似度，其表达式如下：K(x_i, x_j) = exp(-gamma * ||x_i - x_j||)其中gamma和径向基函数中的参数相同。

Laplacian核函数在图像识别和自然语言处理等领域有着广泛的应用。

6. ANOVA核函数ANOVA核函数通常用于数据分析和统计学中，它对混合多种类型数据的模型有较好的表现，其表达式如下：其中h_i和h_j是从样本数据点中提取出来的特征，gamma是一个常数。

核函数的计算与应用核函数在机器学习和模式识别领域中扮演着重要的角色。

它们能够将输入数据映射到更高维度的特征空间，从而解决线性不可分的问题。

本文将介绍核函数的计算方法，并探讨其在支持向量机（SVM）和主成分分析（PCA）等算法中的应用。

一、核函数的计算方法核函数是一种在机器学习中常用的函数，用于将低维空间的数据映射到高维空间。

常见的核函数包括线性核函数、多项式核函数、高斯径向基函数等。

1. 线性核函数线性核函数是最简单的核函数之一，它可以直接对原始特征进行线性变换。

其计算方法为：K(x, y) = x·y2. 多项式核函数多项式核函数通过多项式的方式将数据映射到高维空间。

其计算方法为：K(x, y) = (x·y + c)^d3. 高斯径向基函数（RBF）高斯径向基函数是一种常用的核函数，它可以将数据映射到无穷维的特征空间。

其计算方法为：K(x, y) = exp(-γ ||x-y||^2)其中，γ为高斯核函数的带宽参数，||x-y||表示输入数据x和y之间的欧氏距离。

二、核函数在支持向量机中的应用支持向量机是一种常用的分类器，它能够在非线性可分问题上取得较好的性能。

核函数在支持向量机中起到了关键作用。

1. 线性支持向量机线性支持向量机通过线性核函数对数据进行映射，从而实现特征的扩展。

它在处理线性可分问题时表现出色，计算效率高。

2. 非线性支持向量机非线性支持向量机通过非线性核函数对数据进行映射，从而解决非线性可分问题。

常用的非线性核函数包括多项式核函数和高斯径向基函数。

三、核函数在主成分分析中的应用主成分分析是一种常用的降维技术，它通过将高维数据映射到低维空间，提取出最重要的特征。

核函数在主成分分析中也有广泛的应用。

1. 核主成分分析（Kernel PCA）核主成分分析是主成分分析的扩展形式，它通过非线性核函数将数据映射到高维空间，再进行降维操作。

相比传统主成分分析，核主成分分析能够更好地处理非线性关系。

⽀持向量机（四）--核函数⼀、核函数的引⼊问题1：SVM 显然是线性分类器。

但数据假设根本就线性不可分怎么办？解决⽅式1：数据在原始空间（称为输⼊空间）线性不可分。

可是映射到⾼维空间（称为特征空间）后⾮常可能就线性可分了。

问题2：映射到⾼维空间同⼀时候带来⼀个问题：在⾼维空间上求解⼀个带约束的优化问题显然⽐在低维空间上计算量要⼤得多，这就是所谓的“维数灾难”。

解决⽅式2：于是就引⼊了“核函数”。

核函数的价值在于它尽管也是讲特征进⾏从低维到⾼维的转换。

⼆、实例说明⽐如图中的两类数据，分别分布为两个圆圈的形状，不论是不论什么⾼级的分类器，仅仅要它是线性的。

就没法处理。

SVM 也不⾏。

由于这种数据本⾝就是线性不可分的。

从上图我们能够看出⼀个理想的分界应该是⼀个“圆圈”⽽不是⼀条线（超平⾯）。

假设⽤ 和 来表⽰这个⼆维平⾯的两个坐标的话，我们知道⼀条⼆次曲线（圆圈是⼆次曲线的⼀种特殊情况）的⽅程能够写作这种形式：注意上⾯的形式，假设我们构造另外⼀个五维的空间，当中五个坐标的值分别为 , , , , ，那么显然。

上⾯的⽅程在新的坐标系下能够写作：关于新的坐标 。

这正是⼀个超平⾯ 的⽅程！也就是说，假设我们做⼀个映射 。

将 依照上⾯的规则映射为 ，那么在新的空间中原来的数据将变成线性可分的，从⽽使⽤之前我们推导的线性分类算法就能够进⾏处理了。

这正是 Kernel ⽅法处理⾮线性问题的基本思想。

三、具体分析还记得之前我们⽤内积这⾥是⼆维模型，可是如今我们须要三维或者更⾼的维度来表⽰样本。

这⾥我们如果是维度是三。

那么⾸先须要将特征x 扩展到三维，然后寻找特征和结果之间的模型。

我们将这样的特征变换称作特征映射（feature mapping ）。

映射函数称作，在这个样例中我们希望将得到的特征映射后的特征应⽤于SVM 分类，⽽不是最初的特征。

这样，我们须要将前⾯公式中的内积从，映射到。

为什么须要映射后的特征⽽不是最初的特征来參与计算，⼀个重要原因是例⼦可能存在线性不可分的情况，⽽将特征映射到⾼维空间后，往往就可分了。

核函数(2010-12-23 23:08:30)分类：工作篇标签：校园高斯核函数所谓径向基函数(Radial Basis Function 简称 RBF), 就是某种沿径向对称的标量函数。

通常定义为空间中任一点x到某一中心xc之间欧氏距离的单调函数, 可记作 k(||x-xc||), 其作用往往是局部的 , 即当x远离xc时函数取值很小。

高斯核函数 - 常用公式最常用的径向基函数是高斯核函数 ,形式为 k(||x-xc||)=exp{- ||x-xc||^2/(2*σ)^2) } 其中xc为核函数中心,σ为函数的宽度参数 , 控制了函数的径向作用范围。

核函数简介（1）核函数发展历史早在1964年Aizermann等在势函数方法的研究中就将该技术引入到机器学习领域，但是直到1992年Vapnik等利用该技术成功地将线性SVMs推广到非线性SVMs时其潜力才得以充分挖掘。

而核函数的理论则更为古老，Mercer定理可以追溯到1909年，再生核希尔伯特空间(ReproducingKernel Hilbert Space, RKHS)研究是在20世纪40年代开始的。

（2）核函数方法原理根据模式识别理论，低维空间线性不可分的模式通过非线性映射到高维特征空间则可能实现线性可分，但是如果直接采用这种技术在高维空间进行分类或回归，则存在确定非线性映射函数的形式和参数、特征空间维数等问题，而最大的障碍则是在高维特征空间运算时存在的“维数灾难”。

采用核函数技术可以有效地解决这样问题。

设x,z∈X,X属于R（n）空间,非线性函数Φ实现输入间X到特征空间F的映射,其中F属于R（m）,n<<m。

根据核函数技术有：K(x,z) =<Φ(x),Φ(z) >(1)其中：<, >为内积,K(x,z)为核函数。

从式(1)可以看出，核函数将m维高维空间的内积运算转化为n维低维输入空间的核函数计算，从而巧妙地解决了在高维特征空间中计算的“维数灾难”等问题，从而为在高维特征空间解决复杂的分类或回归问题奠定了理论基础。

Kernel Functions for Machine Learning Applications机器学习中的核函数1.核函数概述In recent years, Kernel methods have received major attention, particularly due to the increased popularity of the Support Vector Machines. Kernel functions can be used in many applications as they provide a simple bridge from linearity to non-linearity for algorithms which can be expressed in terms of dot products. In this article, we will list a few kernel functions and some of their properties.Many of these functions have been incorporated in , a extension framework for the popular Framework which also includes many other statistics and machine learning tools.2.机器学习中的核函数Kernel Methods（核函数方法）Kernel methods are a class of algorithms for pattern analysis or recognition, whose best known element is the support vector machine (SVM). The general task of pattern analysis is to find and study general types of relations (such as clusters, rankings, principal components, correlations, classifications) in general types of data (such as sequences, text documents, sets of points, vectors, images, graphs, etc) (Wikipedia, 2010a).The main characteristic of Kernel Methods, however, is their distinct approach to this problem. Kernel methods map the data into higher dimensional spaces in the hope that in this higher-dimensional space the data could become more easily separated or better structured. There are also no constraints on the form of this mapping, which could even lead to infinite-dimensional spaces. This mapping function, however, hardly needs to be computed because of a tool called the kernel trick.The Kernel Trick（核函数构造）The kernel trick is a mathematical tool which can be applied to any algorithm which solely depends on the dot product between two vectors. Wherever a dot product is used, it is replaced by a kernel function. When properly applied, those candidate linear algorithms are transformed into a non-linear algorithms (sometimes with little effort or reformulation). Those non-linear algorithms are equivalent to their linear originals operating in the range space of a feature space φ. However, because kernels are used, the φ function does not need to be ever explicitly computed. This is highly desirable, as we noted previously, because this higher-dimensional feature space could even be infinite-dimensional and thus infeasible to compute. There are also no constraints on the nature of the input vectors. Dot products could be defined between any kind of structure, such as trees or strings.Kernel Properties（核函数特性）Kernel functions must be continuous, symmetric, and most preferably should have a positive (semi-) definite Gram matrix. Kernels which are said to satisfy the Mercer's theorem are positivesemi-definite, meaning their kernel matrices have no non-negative Eigen values. The use of a positive definite kernel insures that the optimization problem will be convex and solution will be unique.However, many kernel functions which aren’t strictly positive definite also have been shown to perform very well in practice. An example is the Sigmoid kernel, which, despite its wide use, it is not positive semi-definite for certain values of its parameters. Boughorbel (2005) also experimentally demonstrated that Kernels which are only conditionally positive definite can possibly outperform most classical kernels in some applications.Kernels also can be classified as anisotropic stationary, isotropic stationary, compactly supported, locally stationary, nonstationary or separable nonstationary. Moreover, kernels can also be labeled scale-invariant or scale-dependant, which is an interesting property as scale-invariant kernels drive the training process invariant to a scaling of the data.Choosing the Right Kernel（怎样选择正确的核函数）Choosing the most appropriate kernel highly depends on the problem at hand - and fine tuning its parameters can easily become a tedious and cumbersome task. Automatic kernel selection is possible and is discussed in the works by Tom Howley and Michael Madden.The choice of a Kernel depends on the problem at hand because it depends on what we are trying to model. Apolynomial kernel, for example, allows us to model feature conjunctions up to the order of the polynomial. Radial basis functions allows to pick out circles (or hyperspheres) - in constrast with the Linear kernel, which allows only to pick out lines (or hyperplanes).The motivation behind the choice of a particular kernel can be very intuitive and straightforward depending on what kind of information we are expecting to extract about the data. Please see the final notes on this topic from Introduction to Information Retrieval, by Manning, Raghavan and Schütze for a better explanation on the subject.Kernel Functions（常见的核函数）Below is a list of some kernel functions available from the existing literature. As was the case with previous articles, every LaTeX notation for the formulas below are readily available from their alternate text html tag. I can not guarantee all of them are perfectly correct, thus use them at your own risk. Most of them have links to articles where they have been originally used or proposed.1. Linear KernelThe Linear kernel is the simplest kernel function. It is given by the inner product <x,y> plus an optional constant c. Kernel algorithms using a linear kernel are often equivalent to their non-kernel counterparts, i.e. KPCA with linear kernel is the same as standard PCA.2. Polynomial KernelThe Polynomial kernel is a non-stationary kernel. Polynomial kernels are well suited for problems where all the training data is normalized.Adjustable parameters are the slope alpha, the constant term c and the polynomial degree d.3. Gaussian KernelThe Gaussian kernel is an example of radial basis function kernel.The adjustable parameter sigma plays a major role in the performance of the kernel, and should be carefully tuned to the problem at hand. If overestimated, the exponential will behave almost linearly and the higher-dimensional projection will start to lose its non-linear power. In the other hand, if underestimated, the function will lack regularization and the decision boundary will be highly sensitive to noise in training data.4. Exponential KernelThe exponential kernel is closely related to the Gaussian kernel, with only the square of the norm left out. It is also a radial basis function kernel.5. Laplacian KernelThe Laplace Kernel is completely equivalent to the exponential kernel, except for being less sensitive for changes in the sigma parameter. Being equivalent, it is also a radial basis function kernel.It is important to note that the observations made about the sigma parameter for the Gaussian kernel also apply to the Exponential and Laplacian kernels.6. ANOVA KernelThe ANOVA kernel is also a radial basis function kernel, just as the Gaussian and Laplacian kernels. It is said toperform well in multidimensional regression problems (Hofmann, 2008).7. Hyperbolic Tangent (Sigmoid) KernelThe Hyperbolic Tangent Kernel is also known as the Sigmoid Kernel and as the Multilayer Perceptron (MLP) kernel. The Sigmoid Kernel comes from the Neural Networks field, where the bipolar sigmoid function is often used as anactivation function for artificial neurons.It is interesting to note that a SVM model using a sigmoid kernel function is equivalent to a two-layer, perceptron neural network. This kernel was quite popular for support vector machines due to its origin from neural network theory. Also, despite being only conditionally positive definite, it has been found to perform well in practice.There are two adjustable parameters in the sigmoid kernel, the slope alpha and the intercept constant c. A common value for alpha is 1/N, where N is the data dimension. A more detailed study on sigmoid kernels can be found in theworks by Hsuan-Tien and Chih-Jen.8. Rational Quadratic KernelThe Rational Quadratic kernel is less computationally intensive than the Gaussian kernel andcan be used as an alternative when using the Gaussian becomes too expensive.9. Multiquadric KernelThe Multiquadric kernel can be used in the same situations as the Rational Quadratic kernel. As is the case with the Sigmoid kernel, it is also an example of an non-positive definite kernel.10. Inverse Multiquadric KernelThe Inverse Multi Quadric kernel. As with the Gaussian kernel, it results in a kernel matrix with full rank (Micchelli, 1986) and thus forms a infinite dimension feature space.11. Circular KernelThe circular kernel is used in geostatic applications. It is an example of an isotropic stationary kernel and is positive definite in .12. Spherical KernelThe spherical kernel is similar to the circular kernel, but is positive definite in R3.13. Wave KernelThe Wave kernel is also symmetric positive semi-definite (Huang, 2008).14. Power KernelThe Power kernel is also known as the (unrectified) triangular kernel. It is an example of scale-invariant kernel (Sahbi and Fleuret, 2004) and is also only conditionally positive definite.15. Log KernelThe Log kernel seems to be particularly interesting for images, but is only conditionally positive definite.16. Spline KernelThe Spline kernel is given as a piece-wise cubic polynomial, as derived in the works by Gunn (1998).17. B-Spline (Radial Basis Function) KernelThe B-Spline kernel is defined on the interval [−1, 1]. It is given by the recursive formula:In the work by Bart Hamers it is given by:Alternatively, Bn can be computed using the explicit expression (Fomel, 2000):Where x+ is defined as the truncated power function:18. Bessel KernelThe Bessel kernel is well known in the theory of function spaces of fractional smoothness. It is given by:where J is the Bessel function of first kind. However, in the Kernlab for R documentation, the Bessel kernel is said to be:19. Cauchy KernelThe Cauchy kernel comes from the Cauchy distribution (Basak, 2008). It is a long-tailed kernel and can be used to give long-range influence and sensitivity over the high dimension space.20. Chi-Square KernelThe Chi-Square kernel comes from the Chi-Square distribution.21. Histogram Intersection KernelThe Histogram Intersection Kernel is also known as the Min Kernel and has been proven useful in image classification.22. Generalized Histogram IntersectionThe Generalized Histogram Intersection kernel is built based on the Histogram Intersection Kernel for image classification but applies in a much larger variety of contexts (Boughorbel, 2005). It is given by:23. Generalized T-Student KernelThe Generalized T-Student Kernel has been proven to be a Mercel Kernel, thus having a positive semi-definite Kernel matrix (Boughorbel, 2004). It is given by:24. Bayesian KernelThe Bayesian kernel could be given as:However, it really depends on the problem being modeled. For more information, please see the work by Alashwal, Deris and Othman, in which they used a SVM with Bayesian kernels in the prediction of protein-protein interactions.25. Wavelet KernelThe Wavelet kernel (Zhang et al, 2004) comes from Wavelet theory and is given as:Where a and c are the wavelet dilation and translation coefficients, respectively (the form presented above is a simplification, please see the original paper for details). A translation-invariant version of this kernel can be given as:Where in both h(x) denotes a mother wavelet function. In the paper by Li Zhang, Weida Zhou, and Licheng Jiao, the authors suggests a possible h(x) as:Which they also prove as an admissible kernel function.See also（推荐阅读）Kernel Support Vector Machines (kSVMs)Principal Component Analysis (PCA)3.参考文献On-Line Prediction Wiki Contributors. "Kernel Methods." On-Line Prediction Wiki. /?n=Main.KernelMethods (accessed March 3, 2010). Genton, Marc G. "Classes of Kernels for Machine Learning: A Statistics Perspective." Journal of Machine Learning Research 2 (2001) 299-312.Hofmann, T., B. Schölkopf, and A. J. Smola. "Kernel methods in machine learning." Ann. Statist. Volume 36, Number 3 (2008), 1171-1220.Gunn, S. R. (1998, May). "Support vector machines for classification and regression." Technical report, Faculty of Engineering, Science and Mathematics School of Electronics and Computer Science.Karatzoglou, A., Smola, A., Hornik, K. and Zeileis, A. "Kernlab – an R package for kernel Learning." (2004).Karatzoglou, A., Smola, A., Hornik, K. and Zeileis, A. "Kernlab – an S4 package for kernel methods in R." J. Statistical Software, 11, 9 (2004).Karatzoglou, A., Smola, A., Hornik, K. and Zeileis, A. "R: Kernel Functions." Documentation for package 'kernlab' version 0.9-5. /Rdoc/library/kernlab/html/dots.html (accessed March 3, 2010). Howley, T. and Madden, M.G. "The genetic kernel support vector machine: Description and evaluation". Artificial Intelligence Review. Volume 24, Number 3 (2005), 379-395.Shawkat Ali and Kate A. Smith. "Kernel Width Selection for SVM Classification: A Meta-Learning Approach." International Journal of Data Warehousing & Mining, 1(4), 78-97, October-December 2005.Hsuan-Tien Lin and Chih-Jen Lin. "A study on sigmoid kernels for SVM and the training of non-PSD kernels by SMO-type methods." Technical report, Department of Computer Science, National Taiwan University, 2003.Boughorbel, S., Jean-Philippe Tarel, and Nozha Boujemaa. "Project-Imedia: Object Recognition." INRIA - INRIA Activity Reports - RalyX. http://ralyx.inria.fr/2004/Raweb/imedia/uid84.html (accessed March 3, 2010).Huang, Lingkang. "Variable Selection in Multi-class Support Vector Machine and Applications in Genomic Data Analysis." PhD Thesis, 2008.Manning, Christopher D., Prabhakar Raghavan, and Hinrich Schütze. "Nonlinear SVMs." The Stanford NLP (Natural Language Processing) Group. /IR-book/html/htmledition/nonlinear-svms-1.html(accessed March 3, 2010).Fomel, Sergey. "Inverse B-spline interpolation." Stanford Exploration Project, 2000./public/docs/sep105/sergey2/paper_html/node5.html (accessed March 3, 2010).Basak, Jayanta. "A least square kernel machine with box constraints." International Conference on Pattern Recognition 2008 1 (2008): 1-4.Alashwal, H., Safaai Deris, and Razib M. Othman. "A Bayesian Kernel for the Prediction of Protein - Protein Interactions." International Journal of Computational Intelligence 5, no. 2 (2009): 119-124.Hichem Sahbi and François Fleuret. “Kernel methods and scale invariance using the triangular kernel”. INRIA Research Report, N-5143, March 2004.Sabri Boughorbel, Jean-Philippe Tarel, and Nozha Boujemaa. “Generalized histogram intersection kernel for image recognition”. Proceedings of the 2005 Conference on Image Processing, volume 3, pages 161-164, 2005.Micchelli, Charles. Interpolation of scattered data: Distance matrices and conditionally positive definite functions. Constructive Approximation 2, no. 1 (1986): 11-22.Wikipedia contributors, "Kernel methods," Wikipedia, The Free Encyclopedia, /w/index.php?title=Kernel_methods&oldid=340911970 (ac cessed March 3, 2010).Wikipedia contributors, "Kernel trick," Wikipedia, The Free Encyclopedia, /w/index.php?title=Kernel_trick&oldid=269422477 (access ed March 3, 2010).Weisstein, Eric W. "Positive Semidefinite Matrix." From MathWorld--A Wolfram Web Resource./PositiveSemidefiniteMatrix.htmlHamers B. "Kernel Models for Large Scale Applications'', Ph.D. , Katholieke Universiteit Leuven, Belgium, 2004.Li Zhang, Weida Zhou, Licheng Jiao. Wavelet Support Vector Machine. IEEE Transactions on System, Man, and Cybernetics, Part B, 2004, 34(1): 34-39.。

核函数是什么核函数是什么⼀、总结⼀句话总结：> 假设函数Ф是⼀个从低维特征空间到⾼维特征空间的⼀个映射，那么如果存在函数K(x,z), 对于任意的低维特征向量x和z，都有：K(x,z)=θ(x)*θ(z),称函数K(x,z)为核函数(kernal function)1、核函数在解决线性不可分问题的时候，采取的⽅式是什么？> a、使⽤低维特征空间上的计算来避免在⾼维特征空间中向量内积的恐怖计算量；> b、也就是说此时SVM模型可以应⽤在⾼维特征空间中数据可线性分割的优点，同时⼜避免了引⼊这个⾼维特征空间恐怖的内积计算量。

2、核函数本质？> 核函数是⼀个低纬的计算结果，并没有采⽤低纬到⾼维的映射。

只不过核函数低纬运算的结果等价于映射到⾼维时向量点积的值。

⼆、核函数是什么转⾃：10 SVM - 核函数 - 简书https:///p/028d1883ad93⼀、核函数初识假设：函数Ф是⼀个从低维特征空间到⾼维特征空间的⼀个映射，那么如果存在函数K(x,z), 对于任意的低维特征向量x和z，都有：核函数称函数K(x,z)为核函数(kernal function)；核函数在解决线性不可分问题的时候，采取的⽅式是：使⽤低维特征空间上的计算来避免在⾼维特征空间中向量内积的恐怖计算量；也就是说此时SVM模型可以应⽤在⾼维特征空间中数据可线性分割的优点，同时⼜避免了引⼊这个⾼维特征空间恐怖的内积计算量。

本质：核函数是⼀个低纬的计算结果，并没有采⽤低纬到⾼维的映射。

只不过核函数低纬运算的结果等价于映射到⾼维时向量点积的值。

> 公式演绎：不妨还是从最开始的简单例⼦出发，设两个向量x1 = (µ1 + µ2)T和x2 = (η1 + η2)T，两个向量的点积是五维空间的映射，因此映射过后的内积为：⾼维公式⽽同时我们可以发现有以下公式：低纬公式可以发现两者之间⾮常相似，所以我们只要乘上⼀个相关的系数，就可以让这两个式⼦的值相等，这样不就将五维空间的⼀个内积转换为两维空间的内积的运算。

核函数法及其应用核函数法是数据分析领域中常用的一种方法，它可以将数据从低维空间映射到高维空间，进而解决不易在低维空间中处理的问题。

本文将介绍核函数法的基本概念、不同种类的核函数以及它们的应用。

一、核函数法的基本概念核函数法是将数据从低维空间映射到高维空间进行处理的方法。

在低维空间中，我们往往难以处理非线性相关的数据。

然而，一旦把数据通过核函数映射到高维空间，不同的数据点之间就能通过线性相关性得到很好的区分，从而有效地解决了在低维空间中难以处理的问题。

核函数法的基本思想是，通过选择合适的核函数，将低维空间中的数据映射到高维空间，并在高维空间中对数据进行线性计算。

核函数法在处理复杂和非线性问题时广泛使用，如支持向量机（SVM）、主成分分析（PCA）和聚类分析等。

二、不同种类的核函数核函数是对数据进行非线性映射的关键。

以下是常用的核函数：1.线性核函数：线性核函数是最基本的核函数，将数据点映射到与原始空间相同维度的空间中。

2.多项式核函数：多项式核函数是线性核函数的一种推广，它将低维空间的数据映射到高维空间，通过改变高维空间的维数来处理数据。

多项式核函数的灵活性大小决定了它在处理各种类型的数据时的有效性。

3.径向基函数（RBF）核函数：RBF核函数是最常用的核函数之一，可以将数据从低维空间映射到无限维空间。

它非常适合处理高度非线性和复杂的数据集。

4.拉普拉斯核函数：拉普拉斯核函数与RBF核函数类似，但是与RBF核函数不同，拉普拉斯核函数是对称的，因此具有更好的数学性质。

5.核矩阵：核矩阵是将所有训练样本的核函数值组成的矩阵。

通过计算核矩阵，就可以实现对所有数据进行非线性映射的过程。

三、核函数法的应用核函数法在各种领域中都有广泛的应用。

以下是一些常见的应用：1.支持向量机（SVM）：SVM是一种常用的分类算法，核函数法是实现SVM的关键。

通过选择合适的核函数，SVM可以在高维空间中有效区分不同的数据点。

核函数的实现和应用核函数是一种优秀的机器学习算法，它可以将高维度数据通过非线性变换映射到低维度的子空间中，用来进行分类或回归。

简单来说，核函数就是一种基于向量内积的函数，可以应用于支持向量机（SVM）等机器学习算法中，使得分类器的性能更加优秀。

一、核函数的实现核函数的实现通常有两种方法：一种是通过数值计算来实现，这种方法适用于简单的核函数，例如径向基函数（RBF）核函数；另一种是通过显式地定义核函数来实现，这种方法适用于复杂的核函数，例如多项式核函数。

1. 数值计算法对于径向基函数核函数，其公式如下：K(x_i, x_j) = exp(-||x_i-x_j||^2/2sigma^2 )其中，x_i和x_j分别表示训练集中的两个样本，sigma为高斯核的带宽参数。

该公式可以通过数值计算来实现，具体步骤如下：（1）计算训练集样本之间的欧几里得距离。

（2）将欧几里得距离除以2sigma^2 。

（3）将结果取负值并进行指数运算。

（4）最终得到核函数的值。

2. 定义核函数法对于复杂的核函数，可以显式地将核函数定义出来，并直接应用到机器学习算法中。

例如，多项式核函数的定义如下：K(x_i, x_j) = (x_i^Tx_j + c)^d其中，c和d分别为常数，x_i和x_j分别表示训练集中的两个样本。

这种方法的优点是可以更容易地定义出多种复杂的核函数，缺点是实现时需要考虑到纬度的规模。

二、核函数的应用核函数在机器学习中有着广泛的应用，下面将具体介绍一些核函数在SVM等机器学习算法中的应用。

1. 线性核函数线性核函数是SVM最简单的核函数之一，其公式如下：K(x_i, x_j) = x_i^Tx_j这种核函数的主要优点是计算速度快、参数较少，且在数据集线性可分的情况下具有好的分类性能。

2. 多项式核函数K(x_i, x_j) = (x_i^Tx_j + c)^d其中，c和d分别为常数。

该核函数的优点在于其能够表达出非线性的分类决策边界，但是需要注意的是，该核函数容易产生过拟合现象。

核函数公式
核函数是机器学习中常用的一种工具，用于将低维数据映射到高维特征空间中，以便更好地进行分类或回归等任务。

核函数的本质是一种相似度度量，它通过计算两个样本在特征空间中的距离来确定它们的相似程度。

本文将介绍常见的几种核函数及其特点。

1. 线性核函数
线性核函数是最简单的核函数之一，它的公式为K(x,y)=x*y。

它的特点是将数据映射到同一维度的特征空间中，效果较差，适用于数据本身线性可分的情况。

2. 多项式核函数
多项式核函数是将数据映射到高维特征空间的一种方式，它的公式为K(x,y)=(x*y+1)^d，其中d为多项式的次数。

它的特点是可以处理一些非线性可分的情况，但需要选择合适的多项式次数，否则会出现过拟合或欠拟合的问题。

3. 径向基核函数
径向基核函数是常用的一种核函数，它的公式为K(x,y)=exp(-||x-y||^2/2σ^2)，其中σ为控制函数衰减速度的参数。

它的特点是可以将数据映射到无穷维的特征空间中，适用于处理复杂的非线性可分问题。

但需要注意的是，径向基核函数对参数的选择比较敏感，不当的参数选择可能会导致分类效果不佳。

4. Sigmoid核函数
Sigmoid核函数是一种常用的核函数，它的公式为K(x,y)=tanh(αx*y+β)，其中α和β为参数。

它的特点是可以处理一些非线性可分的问题，但需要选择合适的参数，否则会出现过拟合或欠拟合的问题。

此外，Sigmoid核函数在实践中并不常用。

以上是常见的几种核函数，它们各自有不同的特点和适用范围。

在使用核函数时，需要根据具体问题选择合适的核函数及其参数，以获得最佳的分类或回归效果。

统计学习⽅法：核函数（Kernelfunction）作者：桂。

时间：2017-04-26 12:17:42前⾔之前分析的感知机、主成分分析（Principle component analysis, PCA）包括后⾯看的⽀撑向量机（Support vector machines, SVM），都有⽤到核函数。

核函数是将信号映射到⾼维，⽽PCA⼀般⽤来降维。

这⾥简单梳理⼀下核函数的知识： 1）核函数基本概念; 2）核函数的意义;内容为⾃⼰的学习记录，其中多有参考他⼈，最后⼀并给出链接。

⼀、核函数基本概念先来看看核函数的定义：核函数：是映射关系的内积，映射函数本⾝仅仅是⼀种映射关系，并没有增加维度的特性，不过可以利⽤核函数的特性，构造可以增加维度的核函数，这通常是我们希望的。

例如这样⼀个图：⼆维映射到三维，区分就更容易了，这是聚类、分类常⽤核函数的原因。

为什么PCA这样⼀个降维算法也⽤核函数呢？左图为原数据，右图为映射到三维的数据，可以看出：同样是降到1维，先通过Kernel映射到（Kernel是映射的内积，不要弄乱了）三维，再投影到1维，就容易分离开，这就是Kernel在PCA降维中的应⽤，本质还是对原有数据增加维度。

既然核函数这么神奇，就看看它的来龙去脉。

⼆、核函数的意义 A-核函数常见应⽤先来看看核函数⼏个常⽤的地⽅：1.核感知机在前⾯分析时提到：2.核聚类（Kernel Kmeans）在前⾯分析时提到：3.核PCA（kernel PCA）具体定义可以参考，根据步骤，有⼀步是利⽤相关矩阵的特征值分解，看看相关矩阵：⼜看到了相乘的形式，⾃然可以⽤Kernel：4.⽀撑向量机SVM⽀撑向量机对偶形式的⽬标函数：⼜看到了的形式，从⽽得到SVM的核函数形式： B-核函数为什么可以映射到⾼维？1.为什么不⽤映射函数，⽽⽤他们的内积形式，即Kernel函数？因为（x,z）⼀起出现的时候，有许多固定的形式可以调⽤，⽽不必求解或者关⼼的具体形式，这⼤⼤简化了求解。