2019年最新江苏高考数学原创密卷(二)试题含附加题

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ样本数据12,,,n x x x …的方差()2211n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高． 锥体的体积13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x=>∈R ，则AB = ▲ .2．已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是 ▲ . 3．下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ .4．函数y =的定义域是 ▲ .5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 ▲ .6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 ▲ .7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .8．已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是▲ .9．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是▲ .10．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ .11．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e为自然对数的底数），则点A 的坐标是 ▲ .12．如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是 ▲ .13．已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲ . 14．设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，()f x =，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ． 求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1； （2）BE ⊥C 1E ．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1． 已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．18．（本小题满分16分）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）． （1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．19．（本小题满分16分）设函数()()()(),,,f x x a x b x c a b c =---∈R 、()f 'x 为f （x ）的导函数． （1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （x ）的极小值； （3）若0,01,1a b c =<=…，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427． 20．（本小满分16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }*()n ∈N 满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证：数列{a n }为“M－数列”；（2）已知数列{b n }*()n ∈N 满足：111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }*()n ∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ·参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分. 1.【答案】{1,6}.【解析】由题意利用交集的定义求解交集即可. 【详解】由题知，{1,6}A B =.【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题. 2.【答案】2【解析】本题根据复数的乘法运算法则先求得z ，然后根据复数的概念，令实部为0即得a 的值.【详解】2(a 2)(1i)222(2)i a ai i i a a i ++=+++=-++，令20a -=得2a =.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 【答案】5【解析】结合所给的流程图运行程序确定输出的值即可. 【详解】执行第一次，1,1422x S S x =+==≥不成立，继续循环，12x x =+=； 执行第二次，3,2422x S S x =+==≥不成立，继续循环，13x x =+=； 执行第三次，3,342xS S x =+==≥不成立，继续循环，14x x =+=；执行第四次，5,442xS S x =+==≥成立，输出 5.S =【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证． 4.【答案】[－1,7]【解析】由题意得到关于x 的不等式，解不等式可得函数的定义域. 【详解】由已知得2760x x +-≥, 即2670x x --≤ 解得17x -≤≤，故函数的定义域为[－1,7].【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可． 5.【答案】53【解析】由题意首先求得平均数，然后求解方差即可. 【详解】由题意，该组数据的平均数为678891086+++++=，所以该组数据的方差是22222215[(68)(78)(88)(88)(98)(108)]63-+-+-+-+-+-=. 【点睛】本题主要考查方差的计算公式，属于基础题. 6.【答案】710【解析】先求事件的总数，再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得出答案.【详解】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有2510C =种情况.若选出的2名学生恰有1名女生，有11326C C =种情况， 若选出的2名学生都是女生，有221C =种情况， 所以所求的概率为6171010+=. 【点睛】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环.在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，根据顺序有无，明确“排列”“组合”. 7.【答案】y =【解析】根据条件求b ，再代入双曲线的渐近线方程得出答案.【详解】由已知得222431b-=，解得b =b =， 因为0b >，所以b =因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的,a b 密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.8.【答案】16【解析】由题意首先求得首项和公差，然后求解前8项和即可.【详解】由题意可得：()()()25811191470989272a a a a d a d a d S a d ⎧+=++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩， 解得：152a d =-⎧⎨=⎩，则8187840282162S a d ⨯=+=-+⨯=. 【点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建1a d ,的方程组.9.【答案】10【解析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积. 【详解】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120，所以1120AB BC CC ⋅⋅=， 因为E 为1CC 的中点，所以112CE CC =， 由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ，所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高， 所以三棱锥E BCD -的体积1132V AB BC CE =⨯⋅⋅=111111201032212AB BC CC =⨯⋅⋅=⨯=. 【点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题. 10.【答案】4【解析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离【详解】当直线22gR r 平移到与曲线4y x x =+相切位置时，切点Q 即为点P 到直线22gR r的距离最小.由2411y'=-=-，得)x =，y =即切点Q ，则切点Q 到直线22gR r4=，故答案为：4．【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题. 11.【答案】(e,1)【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标. 【详解】设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x'=， 当0x x =时，01y x '=， 点A 在曲线ln y x =上切线为0001()y y x x x -=-， 即00ln 1xy x x -=-， 代入点(),1e --，得001ln 1ex x ---=-， 即00ln x x e =，考查函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >， 且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,H x H x >单调递增， 注意到()H e e =，故00ln x x e =存在唯一的实数根0x e =，此时01y =，故点A 的坐标为(),1A e .【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 12.的【解析】由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.【详解】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 中点，知BF =FE =EA ,AO =OD .()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+- ()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭，得2213,22AB AC =即3,AB AC =故AB AC =【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题. 13.【答案】10【解析】由题意首先求得tan α的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.【详解】由()tan 1tan tan tan 2tan 1tan 13tan 1tan 4αααααπααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭， 得23tan 5tan 20αα--=，解得tan 2α=，或1tan 3α=-.sin 2sin 2cos cos 2sin 444πππααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭)22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎫+-=+⎪+⎝⎭222tan 1tan =2tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式222212==22110⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式=22112133=210113⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上，sin 2410πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.14.【答案】1,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【解析】分别考查函数()f x 和函数()g x 图像的性质，考查临界条件确定k 的取值范围即可. 【详解】当(]0,2x ∈时，()f x =即()2211,0.x y y -+=≥又()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数()f x 与()g x 的图象，要使()()f x g x =在(0,9]上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.当1g()2x =-时，函数()f x 与()g x 的图象有2个交点； 当g()(2)x k x =+时，()g x 的图象为恒过点（-2，0）的直线，只需函数()f x 与()g x 的图象有6个交点.当()f x 与()g x 图象相切时，圆心（1，0）到直线20kx y k -+=的距离为1，1=，得4k =，函数()f x 与()g x 的图象有3个交点；当g()(2)x k x =+过点（1,1）时，函数()f x 与()g x 的图象有6个交点，此时13k =，得13k =.综上可知，满足()()f x g x =在(0,9]上有8个实根的k 的取值范围为134⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，. 【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围. 二、解答题 15.【答案】（1）c =；（2. 【解析】(1)由题意结合余弦定理得到关于c 的方程，解方程可得边长c 的值；(2)由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得cos B 的值，然后由诱导公式可得sin()2B π+的值.【详解】（1）因为23,3a cb B ===， 由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c+-=⨯⨯，即213c=.所以3c =.（2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos B =.因此πsin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力. 16.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】(1)由题意结合几何体的空间结构特征和线面平行的判定定理即可证得题中的结论； (2)由题意首先证得线面垂直，然后结合线面垂直证明线线垂直即可. 【详解】（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1， 所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1， 所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC .因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ， 所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.17.【答案】（1）22143x y +=；（2）3(1,)2E --. 【解析】(1)由题意分别求得a ,b 的值即可确定椭圆方程；(2)解法一：由题意首先确定直线1AF 的方程，联立直线方程与圆的方程，确定点B 的坐标，联立直线BF 2与椭圆的方程即可确定点E 的坐标；解法二：由题意利用几何关系确定点E 的纵坐标，然后代入椭圆方程可得点E 的坐标. 【详解】（1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1.又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴，所以DF 232==，因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2由b 2=a 2-c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16，解得y =±4.因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4).又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由()2222116y x x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，得256110x x +-=， 解得1x =或115x =-.将115x =-代入22y x =+，得125y =-，因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.由223(1)4143y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-.将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --.解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ， 所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1，0)，由221143x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-. 因此3(1,)2E --.【点睛】本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力. 18.【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+. 【解析】解：解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .利用几何关系即可求得道路PB 的长； （2）分类讨论P 和Q 中能否有一个点选在D 处即可.（3）先讨论点P 的位置，然后再讨论点Q 的位置即可确定当d 最小时，P 、Q 两点间的距离． 解法二：（1）建立空间直角坐标系，分别确定点P 和点B 的坐标，然后利用两点之间距离公式可得道路PB 的长；（2）分类讨论P 和Q 中能否有一个点选在D 处即可.（3）先讨论点P 的位置，然后再讨论点Q 的位置即可确定当d 最小时，P 、Q 两点间的距离． 【详解】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E . 由已知条件得，四边形ACDE 为矩形， 6, 8DE BE AC AE CD =====. 因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知10AD ==，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置. 当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设P 1为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，115P B =，此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，CQ =此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+. 解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3.因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-，直线PB 的方程为42533y x =--.所以P （−13，9），15PB ==.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3）， 所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-≤≤.在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =<=， 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置. 当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设P 1为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，115P B =，此时()113,9P -； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.【点睛】本题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力. 19.【答案】（1）2a =；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】（1）由题意得到关于a 的方程，解方程即可确定a 的值；（2）由题意首先确定a ,b ,c 的值从而确定函数的解析式，然后求解其导函数，由导函数即可确定函数的极小值.（3）由题意首先确定函数的极大值M 的表达式，然后可用如下方法证明题中的不等式： 解法一：由函数的解析式结合不等式的性质进行放缩即可证得题中的不等式； 解法二：由题意构造函数，求得函数在定义域内的最大值， 因为01b <≤，所以1(0,1)x ∈．当(0,1)x ∈时，2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-． 令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈，则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0g'x =，得13x =．列表如下：所以当13x =时，()g x 取得极大值，且是最大值，故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭． 所以当(0,1)x ∈时，4()()27f x g x ≤≤，因此427M ≤．【详解】（1）因为a b c ==，所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-．因为(4)8f =，所以3(4)8a -=，解得2a =． （2）因为b c =，所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-，从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0f 'x =，得x =b 或23a b x +=． 因为2,,3a ba b +，都在集合{3,1,3}-中，且a b ≠，所以21,3,33a ba b +===-． 此时2()(3)(3)f x x x =-+，()3(3)(1)f 'x x x =+-． 令()0f 'x =，得或．列表如下：+ 所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-．（3）因为0,1a c ==，所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++，2()32(1)f 'x x b x b =-++．因为01b <≤，所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>， 则有2个不同的零点，设为()1212,x x x x <．由()0f 'x =，得121133b b x x ++==．+所以()f x 的极大值()1M f x =． 解法一：()321111(1)M f x x b x bx ==-++()()221111211(1)32(1)3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭ ()2321(1)(1)227927b b b b b --+++=++23(1)2(1)(1)2272727b b b b +-+=-+(1)24272727b b +≤+≤．因此427M ≤．解法二：因为01b <≤，所以1(0,1)x ∈．当(0,1)x ∈时，2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-． 令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈，则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0g'x =，得1x =．列表如下：所以当13x =时，()g x 取得极大值，且是最大值，故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭．所以当(0,1)x ∈时，4()()27f x g x ≤≤，因此427M ≤．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．20.【答案】（1）见解析；（2）①b n =n ()*n ∈N ；②5.【解析】（1）由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论；（2）①由题意利用递推关系式讨论可得数列{b n }是等差数列，据此即可确定其通项公式； ②由①确定k b 的值，将原问题进行等价转化，构造函数，结合导函数研究函数的性质即可求得m 的最大值． 【详解】（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”.（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==得212211b =-，则22b =.由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-， 当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nnn n n n b b b b b b b b b +-+-=---， 整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n N∈.②由①知，b k =k ，*k N ∈.因为数列{c n }为“M –数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0.因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k kq k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m . 当k =1时，有q ≥1；当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-． 设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x-=．因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==． 取q =k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k≤，即k k q ≤， 经检验知1k q k -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216， 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．【点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．数学Ⅱ(附加题)21.【答案】（1）115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）121,4λλ==. 【解析】(1)利用矩阵的乘法运算法则计算2A 的值即可；(2)首先求得矩阵的特征多项式，然后利用特征多项式求解特征值即可.【详解】（1）因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A =3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （2）矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==.【点睛】本题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．22.【答案】（1（2）2.【解析】(1)由题意，在OAB △中，利用余弦定理求解AB 的长度即可；(2)首先确定直线的倾斜角和直线所过的点的极坐标，然后结合点B 的坐标结合几何性质可得点B 到直线l 的距离.【详解】（1）设极点为O .在△OAB 中，A （3，π），B ，2π），由余弦定理，得AB =（2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin()242ππ⨯-=. 【点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力． 23.【答案】1{|1}3x x x <->或.【解析】由题意结合不等式的性质零点分段即可求得不等式的解集. 【详解】当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <–13： 当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解； 当x >12时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1. 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或.【点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．【必做题】24.【答案】（1）5n =；（2）-32.【解析】(1)首先由二项式展开式的通项公式确定234,,a a a 的值，然后求解关于n 的方程可得n 的值； (2)解法一：利用(1)中求得的n 的值确定有理项和无理项从而可得a ,b 的值，然后计算223a b -的值即可；解法二：利用(1)中求得的n 的值，由题意得到(51-的展开式，最后结合平方差公式即可确定223a b -的值.【详解】（1）因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥，，所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====， 44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==． 因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n +=+02233445555555C C C C C C =++++a =+解法一：因为*,a b ∈N ，所以024135555555C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-． 解法二：50122334455555555(1C C (C (C (C (C (=+++++02233445555555C C C C C C =--+-． 因为*,a b ∈N，所以5(1a -=-．因此225553((1(1(2)32a b a a -=+-=+⨯=-=-．【点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力.25.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】(1)由题意首先确定X 可能的取值，然后利用古典概型计算公式求得相应的概率值即可确定分布列；(2)将原问题转化为对立事件的问题求解()P X n >的值，据此分类讨论①.b d =，②.0,1b d ==，③.0,2b d ==，④.1,2b d ==四种情况确定X 满足X n >的所有可能的取值，然后求解相应的概率值即可确定()P X n ≤的值.【详解】（1）当1n =时，X的所有可能取值是12X的概率分布为22667744(1),(C 15C 15P X P X ======，22662222(2),(C 15C 15P X P X ======．（2）设()A a b ，和()B c d ，是从n M 中取出的两个点． 因为()1()P X n P X n ≤=->，所以仅需考虑X n >的情况．①若b d =，则AB n ≤，不存在X n >的取法；②若01b d ==，，则AB =≤X n >当且仅当AB =0 a c n ==，或 a n c ==，，有2种取法；③若02b d ==，，则AB =≤，因为当3n ≥n ≤，所以X n >当且仅当AB =0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法； ④若12b d ==，，则AB =≤X n >当且仅当AB =0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法．综上，当X n >时，X，且22242442(,(C C n n P X P X ++====．因此，2246()1((1C n P X n P X P X +≤=-=-==-．【点睛】本题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．。

22019 年高考模拟试卷 (2) 南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷(必做题，共 160 分) 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共70分 ． 1．已知集合 A {1,k 1}，B {2,3} ，且 A B {2} ，则实数 k 的值为22．设 (1 2i)2a bi(a,b R)，其中 i 是虚数单位，则 ab ．23．已知函数 y f(x)是奇函数，当x 0时，f(x) x 2ax(a R)，且 f(2) 6 则 a ． 4．右图是某算法流程图，则程序运行后输出的结果是 ．5．设点 P ， A ，B ，C 是球 O 表面上的四个点， PA ， PB ， PC 两两互相垂 直，且 PA PB PC 1cm ，则球的表面积为 cm 2． 6．已知 {(x,y)|x y 6,x 0,y 0}， A {(x,y)|x 4,y 0,x 2y 0}，若向区域 上随机投掷一点 P ，则点 P 落入区域 A 的概率为 ．7．将参加夏令营的 500 名学生编号为： 001,002, ,500 ，采用系统抽样的方法抽取一个容量为 50的样本，且随机抽得的号码为 003，这 500名学生分住在三个营区，从 001到 200 在第一营区，从 201到355在第二营区，从 356 到500在第 三营区，则第三个营区被抽中的人数为 ．8． ABC 中，“角 A,B,C 成等差数列 ”是“sinC ( 3cosA sin A)cosB ”成立的的条件．(填“充分不必要 ”、“必要不充分 ”、“充要 ”、“既不充分也不必要 ”之一 )22 9．已知双曲线 x 2 y 21(a 0,b 0) ，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的 ab 一条 渐近线分为弧长为 1: 2 的两部分，则双曲线的离心率为 ．4 4 2 210．已知 cos 4sin 4, (0, ) ，则 cos(2 ) ．3 2 311．已知正数 a 1,a 2,a 3,a 4 依次成等比数列，且公比 q 1．将此数列删去一个数后得到的数列 (按原来的顺序 )是等差数列，则公比 q 的取值集合是 12．如图，梯形 ABCD 中，AB / /CD ，AB 6，AD DC 2， uuur uuur uuur uuur若 AC BD 12 ，则 AD BC ．13．设 ABC 的内角 A,B,C 所对的边 a,b,c 成等比数列，则sinB的取值范围是 ． sinA14．设函数 f (x)满足 f (x) f(3x)，且当 x [1,3)时， f (x) lnx ．若在区间 [1,9) 内，存在 3个不同的实数x 1 , x 2 , x 3 ，使得 f (x x1)f (x x2) f (x x3)t ，则实数 t 的取值范围为x 1 x 2 x 36 小题，共计 90 分．请在答．题．纸．指．定．区．域． 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．( 本小题满分 14 分 ) 在 ABC 中， C A ，1) 求 sinC 的值；、解答题：本大题共 sinA 33第 4 题2）若 BC 6 ，求 ABC 的面积．16．（ 本小题满分 14 分 ）如图，在斜三棱柱 ABC A 1B 1C 1 中，侧面 A 1ACC 1 是边长为 2的菱形， A 1AC 60 ．在 面 ABC 中， AB 2 3 ， BC 4 ， M 为 BC 的中点，过 A 1, B 1, M 三点的平面交 AC 于点 N ．（ 1）求证： N 为 AC 中点；（ 2）求证：平面 A 1B 1MN 平面 A 1ACC 1 ．17．（ 本小题满分 14 分 ） 某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品， 求如下： 正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，其边缘恰好达到三棱锥的顶点， 如图所示． 设正三棱锥的底面边长为 xcm ，体积为 Vcm 3．（1）求V 关于 x 的函数关系式；（2）在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中， 的用半径为 10cm 的圆形包装纸包装． 要 包装纸不能裁剪， 沿底边向上翻折， V 的最大值是多少？并求此时 x MC第 16 题值．18．（本小题满分16 分）已知椭圆C:x2y21（a b 0）的离心率为2，并且椭圆经过点（1,1），过原点 O的直a2 b22线l与椭圆 C交于 A、B两点，椭圆上一点M满足MA MB．（ 1）求椭圆 C 的方程；1 1 22）证明：121222为定值；OA2OB2OM23）是否存在定圆，使得直线 l 绕原点 O 转动时，该定圆的方程，若不存在，说明理由．19．（本小题满分16 分）已知数列 {a n} 是等差数列， {b n}是等比数列，且满足 a1 a2 a3 9， b1b2b3 27．（1）若 a4 b3， b4 b3 m．①当 m 18时，求数列 {a n} 和{ b n }的通项公式；②若数列 {b n} 是唯一的，求m的值；（2）若 a1 b1， a2 b2，a3 b3均为正整数，且成等比数列，求数列{a n} 的公差 d的最大值．（第17 题图）图20．( 本小题满分16 分 )设函数 f (x) ax e (a R) 有且仅有两个极值点 x1, x2 ( x1 x2)．( 1)求实数a的取值范围；2(2)是否存在实数a满足 f(x1) e3x1？如存在，求 f (x) 的极大值；如不存在，请说明理由．第Ⅱ卷(附加题，共 40 分)21．[ 选做题 ] 本题包括 A、B、C、D四小题，每小题 10分；请．选．定．其．中．两．题．，．并．在．相．应．的．答．题．区．域．内作答．A．(选修４－１：几何证明选讲)如图，AD 是∠BAC 的平分线，圆 O过点 A且与边 BC 相切于点 D，与边 AB、AC分别交于点 E、F，求证： EF ∥BC．C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆 C 是以点 C （2, ） 为圆心， 2 为半径的圆．6（ 1）求圆 C 的极坐标方程； （2）求圆 C 被直线 l: 5所截得的弦长．12D ．（选修４－５：不等式选讲） 设正数 a,b,c 满足a b c 1，求 3a 1 2 3b 12 3c 1 2的最小值．【必做题】第 22题、第 23题，每题 10分，共计 20 分.B ． 选修４－２：矩阵与变换）已知 1 0 4 3 1 2 ，求矩阵 B ．22．（本小题满分 10 分）直三棱柱 ABC A1B1C1中，已知 AB AC，AB 2， AC 4， AA1 3. D是BC的中点.1）求直线 DB1与平面 A1C1D 所成角的正弦值；2）求二面角 B1 A1D C1 的大小的余弦值 .23.本小题满分 10 分）设n N*且 n 4，集合 M 1,2,3, ,n 的所有 3个元素的子集记为 A1,A2, ,A C3 ．（ 1）求集合 A1,A2, ,A C3 中所有元素之和 S；C32015 m i （2）记 m i 为 A i （i 1,2, ,C n3）中最小元素与最大元素之和，求i 13 的值．C201522019 年高考模拟试卷 (2) 参考答案南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷(必做题，共 160 分)一、填空题21．3； 2． 12； 3．5； 4．27； 5．3 ； 6．2； 7．14； 8．充分不必要； 【解析】 9 条 件 “角 A,B,C 成 等 差 数 列 ” B ； 结 论 “sinC ( 3cos A sin A)cos B ”3sin(A B) 3cos AcosB sin AcosB cosAsinB 3cos AcosB cosA 0 或q 1 (舍去)或 q 1 2 5或 q 1 2 5(舍去)；若删去 a 3 ，15则a 1,a 2,a 4成等差数列， 2a 2 a 1 a 4，即2aq 1 a 1aq 1 3， q 1(舍去)或q 2或 q 1 5(舍去) q 1 5或 1 5．2 2 20 ；【解析】 AD DC CB BA 0 ， AD BC AB CD ，22 (AD DC) (BC CD) AD BC CD (AD BC) CD 2AD BC CD (AB CD) CD 214．( ln3, 1) 【．解析】 f(x) f(3x)， f(x) f(x)，当x 9),3[ 时，x[1,3) ， f(x) ln x，9 3e 3 3 3 在直角坐标系内作出函数 f(x)的图象，而 f(x)表示的是该图象上的点与原点的连线的 x 斜率．图象上的点 (9,ln 3)与与原点的连线的斜率为 ln3；当过原点的直线与曲线 9f (x) ln x,x [3,9) 相切时，斜率为 1(利用导数解决) ． 由图可知，满足题意得实3 3e数t 的取值范围为 (ln3 , 1)．、解答题 15．( 1)因为在 ABC 中，C A ，所以 A 为锐角，且cos A 1 sin 2Asin B 3cosB A 或 B ．所以条件是结论的充分不必要条件． 239． 11．2 3； 10．36 1 5 1 5 ；,； 22 解析】若删去 a 2，则 a 1,a 3,a 4成等差数列， 2a 3 a 1 a 4 ，即 2a 1q 2a 1 a 1q 3， 12．AC BD 12，AB/ /CD ， AB 6，13． ( 5 1, 5 1) ；【解析】由条件得 22b 2 b1 0 ；同理得当 aaa b c 时，AD DC 2 ， AD BC 0 ．2b 2b 2ac ，不妨设 a b c ，则 c a b ，即 a 51b sinB b sin B1 ．而 ， 的取值范围2 asin A a sin A是(5 1, 5 1) 2 , 2 )所以 sinC sin(A ) cosA 6；232)由正弦定理得 BC AB ，所以 sin A sinC AB BC sinC sin A 因为在 ABC 中， 因为在 ABC 中， C A ，所以 C 为钝角，且 cosC 2 B (A C) ， 66 33 2 3． 3) 6 6 3 sinB sin(A C) sin AcosC cosAsinC (3 3 3 3 ABC 的面积为 S ABC AB BC sin B 2 3 6 2 ． 2 2 3 (1)由题意，平面 ABC / /平面 A 1 B 1C 1 ，平面 A 1B 1M 与平面 ABC 交于直线MN ， 与平面 A 1B 1C 1交于直线 A 1B 1，所以 MN //A 1B 1 ． 因为 AB //A 1B 1，所以 MN //AB ，所以CN CM ． AN BM 所以 所以 16．CN因为 M 为 AB 的中点，所以 CN 1，所以 N 为 AC 中点． AN (2)因为四边形 A 1ACC 1是边长为 2 的菱形， A 1AC 60 ． 在三角形 A 1AN 中， AN 1， A 1A 2 ，由余弦定理得 A 1N3， 故 A 1A 2 AN 2 A 1N 2 ，从而可得 A 1NA 90 ，即 A 1N AC ． 在三角形 ABC 中， AB 2 3， AC 2， BC 4， 则 BC 2 AB 2 AC 2，从而可得 BAC 90 ，即 AB AC ． 又 MN / /AB ，则 AC MN ． 因为 MN A 1N N ， MN 面 A 1B 1MN ， A 1N 面 A 1B 1MN 所以 AC 平面 A 1B 1MN ．又 AC 平面 A 1ACC 1，所以平面 A 1B 1MN 平面 A 1ACC 1． 17．正三棱锥展开如图所示．当按照底边包装时体积最大． 设正三棱锥侧面的高为 h 0 ，高为 h ． 由题意得 3 x h 0 10 ，解得 h 0 10 6 则h h 0 1x 2 (10 63x)2 1x 2 100 3 x ， 6 x ．x (0,10 3) ． 所以，正三棱锥体积 V 1Sh 1 3 x 2 1003410 3x 33x x 122100 10 3x ． 3设y V 248(100 10 3x)100x 44810x 5，48 3，求导得 y10102x 4580x 3，令 y 0，得 x 8 3 ，当 x (0,8 3) 时， y 0， 函数 y 在 (0,8 3) 上单调递增， 当 x (8 3,10 3) 时， y 0 ， 函数 y 在 (8 3,10 3) 上单调递减， 所以，当 x 8 3cm 时， y 取得极大值也是最大值．3此时 y 15360 ，所以 V max 32 15cm 3．答：当底面边长为 8 3cm 时，正三棱锥的最大体积为 32 15cm 3．b 12 1,2(1 2k 2) 2(k 22) 3(1 k 2) 2，②直线 l 的斜率存在且不为 1OA 2 OM 2直线 AM 与圆 x 2y 21 相切，1 2OA 23)由( 2)OB 2得：2OM 2 2 为定值； ①直线 l 的斜率不存在或为0 时， 1 1 1 12 1 2 1 ； b 2OA 222OM 2 a 23318．(1)由题设：a 2解得 a 2 3,b3， 2，22椭圆 C 的方程为x 2y2)①直线 l 的斜率不存在或为 0 时，3 1;1OA 21222OB 2 OM 22 2 2 42 2 2 ；a 2b 2 3 3②直线 l 的斜率存在且不为 0 时， 设直线 l 的方程为 y kx(k 0) ，则 MA MB ， 直线 OM 的方程为y kx由 x2 2y2 3得 (1 2k 2)x 23，22 x AxB1 2k23k 2同理 x M 22 k 2 22O A 2O B 22O M 2(1 k 2) 132k 2(1 k 2) 132k 2(1 k 12)k 32k223(1 k 2) 原点 O 到直线 AM 的距离 d0 时，1 1 2k 2k 22 1(1 k 2) 132k 2x20． (1) f (x) 2ax e x．即存在定圆 x 2 y 2 1，使得直线 l 绕原点 O 转动时， AM 恒与该定圆相切．19．(1)①由数列 {a } 是等差数列及 a a a 9 ，得 a 3，由数列 { b n }是等比数列及 b 1b 2b 3 27 ，得 b 2 3． 设数列 { a n }的公差为 d ，数列 {b n } 的公比为 q ，若 m 18 ，则有3 22d 3q, ，解得d 3,或3q 23q 18 q 3dq所以， {a n }和{b n } 的通项公式为 a n 3n 3,bn 3n 1a n9n 12,或n 2n2b n 3( 2)n 222② 由题设 b 4 b 3 m ，得 3q 23q m ，即 3q 23q m 0 (*)． 因为数列 {b n } 是唯一的，所以若 q 0 ，则 m 0 ，检验知，当 m 0 时， q 1 或 0 (舍去)，满足题意； 23 1若 q 0 ，则 ( 3)212m 0，解得 m，代入( * )式，解得 q ，42又 b 2 3，所以 {b n } 是唯一的等比数列，符合题意． 所以， m 0 或 3．4 2)依题意， 36 (a 1 b 1 )( a 3 b 3) ，3设{b n }公比为 q ，则有 36 (3 d 3)(3 d 3q)， (**)q3记 m 3 d ， n 3 d 3q ，则 mn 36 ．q将( ** )中的 q 消去，整理得 d 2(m n)d 3(m n) 36 0 ，d 的大根为n m (m n)212(m n) 144 n m (m n 6)23622而 m,n N ，所以 (m,n) 的可能取值为：(1,36),(2,18),(3,12), ( 4 , 91 )2,,(36),, 6( 1) ,8(,92,)4．, )( 3 6 , 1 ) 所以，当 m 1,n 36 时， d 的最大值为35 5 372显然 a 0， x 1,x 2 是直线 y 1与曲线 y g(x) xx 两交点的横坐标． 2a e 由 g (x) 1x x0，得 x 1．列表： ex( ,1)1(1, )g (x)g(x)↗g( x) maxe↘此外注意到： 当 x 0 时， g(x) 0 ；11当 x [0,1]及 x (1, ) 时， g(x)的取值范围分别为 [0,1]和 (0,1)． ee是， R(x) 在 (0,1) 上单调递减． 又 R(32) 0 ，故 R(x)有唯一的零点32 故当 a 34e 3时, f(x)极大 f (x 1) 32e 3.第Ⅱ卷(附加题，共 40分)21.A . 如图，连结 DF ． 因为 BC 与圆相切，所以 CDF DAF ．D11于是题设等价于 0 2a 1 1 e1 1< a e，故实数 e2 ea 的取值范围为 ( , e) ．2(2)存在实数 a 满足题设． 证明如下：由 (1) 知， 0 x 1 1 x 2 ， f (x 1) 2ax 1 e x1 0 ，故 f (x 1)= ax 12+ex 1x 1x 1 x 1 3e x11 e x1 e 3 x1 ，故2xe x 1 12e x1 e 3 0 ．2记 R(x) e x 21ee 3(0 x 1)，则 R(x)e x(x 1) 1ex 0，2从而，满足 f (x 1) e 3x 1的2 x 13 所以， e x 12x13e 23 4此时f (x) 3e 3x 2 e x ，4f (x)x e x ，又 f (0) 0， f (1) 0 ， f (2) 0，而x 1223(0,1) ，32因为 EFD 与 EAD 为弧 DE 所对的圆周角， 所以 EFD EAD ．又因为 AD 是 BAC 的平分线， 所以 EAD DAF ． 从而 CDF EFD ． 是 EF //BC ．2）将 5代入圆 C 的极坐标方程 4cos （ ） ，得 2 2 ， 12 6所以，圆 C 被直线 l:512所截得的弦长为 2 2．D. 因为 a,b,c 均为正数，且 a b c 1，所以 (3a 2) (3b 2) (3c 2) 9 ．于是由均值不等式可知3a 1 2 3b 1 2 3c 1 2(3a 2) (3b 2) (3c 2)33(3a 2)(3b 12)(3c 2) 33(3a 2)(3b 2)(3c 2) 9，当且仅当 a b c 31时，上式等号成立．3从而3a 2 3b 2 3c 21 ．故3a 1 2 3b 1 2 3c 1 2的最小值为 1．此时 a b c 1322． 在直三棱柱 ABC A 1B 1C 1中， AB AC ，分别以 AB 、 AC 、 AA 1所在的直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0), B(2,0,0), C(0,4,0), A 1(0,0,3), B 1(2,0,3), C 1(0,4,3) , D 是 BC 的中点， D(1,2,0) ，B ．设 B c d ,11 02 B aa 2c 1 2 a 2cb b 2da 4, 故b 3,a 2c 4,b 2d 1,a 4,解得b 3, 故 Bc 4,d 2.C ．（1）圆 C 是将圆 4cos 绕极点按顺时针方向旋转 而得到的圆，所以圆 C 的极坐标方程是 4cos( ) ．61) A 1C 1 (0,4,0), A 1D (1,2, 3) ， n 1 A 1C 1 0 设平面 A 1C 1D 的法向量 n 1(x 1,y 1,z 1)，则，n 1 A 1D 0x 1 3 4y 1 0即 1，取 y 1 0 ， x 1 2y 1 3z 1 0 1z 1 1平面 A 1C 1D 的法向量 n 1 (3,0,1) ， 而 DB 1 (1, 2,3) ，cos n 1,DB 1n 1 DB 1 3 35，1 1n 1 DB 1 352)A 1B 1 (2,0,0) ，DB 1 (1, 2,3)n 2 A 1B 1 0 设平面 B 1 A 1D 的法向量 n 2 (x 2,y 2,z 2) ，则2 1 1，n 2 DB 1 0x 2 02x 2 0 2即 2x2 0，取 y2 3， x 2 2y 2 3z 2 0 平面 B 1A 1 D 的法向量 n 2 (0,3,2) ，n 1 n 2130cos n 1,n 2n 1 n 26523．(1)因为含元素 1的子集有 C n 21个，同理含 2,3,4, , n 的子集也各有 C n 21个，于是所求 2 1 2 2元素之和为 (1 2 3 n) C n 21 (n 22n)(n 21) ；4(2)集合 M 1,2,3, ,n 的所有 3 个元素的子集中： 以1为最小元素的子集有 C n 21个，以 n 为最大元素的子集有 C n 21个； 以 2 为最小元素的子集有 C n 22个，以 n 1为最大元素的子集有 C n 22 个；C n3mi m 1 m 2 m C 3i 1n直线 DB 1与平面 A 1C 1D 所成角的正弦值为 3 35；；35z 2 2面角 B 1 A 1D C 1 的大小的余弦值13065以 n 2 为最小元素的子集有 2 C 22个，以 3为最大元素的子2C 22个．2 22(n 1)(C n 2 1 C n 22C 22)2223(n 1)(C n 21 C n 22C 32C 33) 22 2 3(n 1)(C n 21 C n 22C 42C 43)2015m ii 13 2015 1 2016 ．C 2015(n 1)C n 3， m ii1iC 1n 3。

2019年江苏高考数学试卷及答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．1．已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则A B =▲.2．已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是▲.3．下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是▲.4．函数y =的定义域是▲.5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是▲.6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是▲.7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是▲.8．已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是▲.9．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是▲.10．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是▲.11．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是▲.12．如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅ ，则ABAC的值是▲.13．已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是▲.14．设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，2()1(1)f x x =--，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是▲.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b =，求sin(2B π+的值．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求点E 的坐标．18．（本小题满分16分）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位:百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．19．（本小题满分16分）设函数()()()(),,,R f x x a x b x c a b c =---∈、()f 'x 为f （x ）的导函数．（1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （x ）的极小值；（3）若0,01,1a b c =<= ，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427．20．（本小满分16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }*()n ∈N 满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M －数列”；（2）已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }*()n ∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c + 成立，求m 的最大值．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，．并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A （1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值.B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离.C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N .已知23242a a a =.（1）求n 的值；（2）设(1n a +=+*,a b ∈N ，求223a b -的值.23.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯，{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n *==∈N 令n n n n M A B C = .从集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离.（1）当n =1时，求X 的概率分布；数学试卷参考答案1.{1,6}2.23.54.[1,7]- 5.536.7107.y =8.169.1010.411.(e, 1)13.21014.12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭15.解：（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)(2)323c c c c+-=⨯⨯，即213c =.所以33c =.（2）因为sin cos 2A Ba b =，由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =.从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25cos 5B =.因此π25sin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.16.证明：（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以ED ∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB ∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因为ED ⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.（2）因为AB=BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC1⊥BE.因为C1C ⊂平面A1ACC1，AC ⊂平面A1ACC1，C1C ∩AC=C 所以BE ⊥平面A1ACC1.因为C1E ⊂平面A1ACC1，所以BE ⊥C1E.17.解：（1）设椭圆C 的焦距为2c.因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因为DF1=52，AF2⊥x 轴，所以32==，因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.由b2=a2-c2，得b2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a=2，因为AF2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x=1代入圆F2的方程(x-1)2+y2=16，解得y=±4.因为点A 在x 轴上方，所以A(1，4).又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=，解得1x =或115x =-.将115x =-代入22y x =+，得125y =-，因此1112(,)55B --.又F2(1，0)，所以直线BF2：3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或137x =.又因为E 是线段BF2与椭圆的交点，所以1x =-.将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --.18.（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.'因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==.所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知2210AD AE ED =+=，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP<90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B=15，此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=；当∠OBP>90°时，在1PPB △中，115PB PB >=.由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，2222156321CQ QA AC =-=-=.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ=321时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+321因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+321（百米）.19．解：（1）因为a b c ==，所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-．因为(4)8f =，所以3(4)8a -=，解得2a =．（2）因为b c =，所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-，从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0f 'x =，得x b =或23a b x +=．因为2,,3a ba b +，都在集合{3,1,3}-中，且a b ≠，所以21,3,33a ba b +===-．此时2()(3)(3)f x x x =-+，()3(3)(1)f 'x x x =+-．令()0f 'x =，得3x =-或1x =．列表如下：x(,3)-∞-3-(3,1)-1(1,)+∞()f 'x +0–0+()f x极大值极小值所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-．（3）因为0,1a c ==，所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++，2()32(1)f 'x x b x b =-++．因为01b <≤，所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>，则()f 'x 有2个不同的零点，设为()1212,x x x x <．由()0f 'x =，得1211,33b b b b b b x x ++==．列表如下：x1(,)x -∞1x ()12,x x 2x 2(,)x +∞()f 'x +0–0+()f x极大值极小值所以()f x 的极大值()1M f x =．()321111(1)M f x x b x bx ==-++()()221111211(1)32(1)3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭()2321(1)(1)227927b b b b b --+++=++23(1)2(1)(1)2272727b b b b +-+=-+(1)24272727b b +≤+≤．因此427M ≤．20．解：（1）设等比数列{an}的公比为q ，所以a1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”.（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠．由1111,b S b ==得212211b =-，则22b =.由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-，当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列{bn}的通项公式为bn=n ()*n ∈N .②由①知，bk=k ，*k ∈N .因为数列{cn}为“M –数列”，设公比为q ，所以c1=1，q>0.因为ck ≤bk ≤ck+1，所以1k k q k q -≤≤，其中k=1，2，3，…，m.当k=1时，有q ≥1；当k=2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-．设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x -=．令()0f 'x =，得x=e.列表如下：x(1,e)e (e ，+∞)()f 'x +–f （x ）极大值因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==．取q =k=1，2，3，4，5时，ln ln kq k，即k k q ≤，经检验知1k q k -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6.综上，所求m 的最大值为5．数学Ⅱ(附加题)参考答案21．A ．[选修4–2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A =3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==.B ．[选修4–4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）设极点为O.在△OAB 中，A （3，4π），B ，2π），由余弦定理，得AB==.（2）因为直线l 的方程为sin(34ρθπ+=，则直线l 过点2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin(242ππ⨯-=.C ．[选修4–5：不等式选讲]本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分．解：当x<0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x<–13：当0≤x ≤12时，原不等式可化为x+1–2x>2，即x<–1，无解；当x>12时，原不等式可化为x+2x –1>2，解得x>1.综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或.22.解：（1）因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥ ，，所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n n n n n n n a a ---====，44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==．因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n=+02233445555555C C C C C C =++++a =+因为*,a b ∈N ，所以024135555555C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-．23．解：（1）当1n =时，X的所有可能取值是12．X的概率分布为22667744(1),(C 15C 15P X P X ======，22662222(2),(C 15C 15P X P X ======．（2）设()A a b ，和()B c d ，是从n M 中取出的两个点．因为()1()P X n P X n ≤=->，所以仅需考虑X n >的情况．①若b d =，则AB n ≤，不存在X n >的取法；②若01b d ==，，则AB =≤所以X n >当且仅当AB =此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法；③若02b d ==，，则AB =≤，因为当3n ≥n ≤，所以X n >当且仅当AB =，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法；④若12b d ==，，则AB =≤所以X n >当且仅当AB =此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法．综上，当X n >时，X，且22242442(,(C C n n P X P X ++====．因此，2246()1((1C n P X n P X P X +≤=-=-==-．。

2019年高考模拟试卷(2)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．1．已知集合{1,1}A k =-，{2,3}B =，且{2}A B =，则实数k 的值为 ． 2．设2(12)(,R)i a bi a b +=+∈，其中i 是虚数单位，则ab = ． 3．已知函数()y f x =是奇函数，当0x <时，2()(R)f x x ax a =+∈，且(2)6f =， 则a = ．4．右图是某算法流程图，则程序运行后输出的结果是 ．5．设点P ，A ，B ，C 是球O 表面上的四个点，PA ，PB ，PC 两两互相垂 直，且1PA PB PC cm ===，则球的表面积为 2cm ．6．已知{(,)|6,0,0}x y x y x y Ω=+<>>，{(,)|4,0,20}A x y x y x y =<>->，若向区域Ω上随机投掷一点P ，则点P 落入区域A 的概率为 ． 7．将参加夏令营的500名学生编号为：001,002,,500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，则第三个营区被抽中的人数为 ．8．ABC ∆中，“角,,A B C 成等差数列”是“sin (3cos sin )cos C A A B =+”成立的的 条件． (填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为1:2的两部分，则双曲线的离心率为 ．10．已知442cos sin ,(0,)32πααα-=∈，则2cos(2)3πα+= ．11．已知正数1234,,,a a a a 依次成等比数列，且公比1q ≠．将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则公比q 的取值集合是 ． 12． 如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，6AB =，2AD DC ==， 若12AC BD ⋅=-，则AD BC ⋅= ．13．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 成等比数列，则sin sin BA 的取值范围是 ．14．设函数()f x 满足()(3)f x f x =，且当[1,3)x ∈时，()ln f x x =．若在区间[1,9)内，存在3个不同的实数123,,x x x ，使得312123()()()f x f x f x t x x x ===，则实数t 的取值范围为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，2C A π-=，3sin 3A =． （1）求sin C 的值；D ABC 第12题图 0,1s n ←←第4题图（2）若BC ，求ABC ∆的面积． 16．（本小题满分14分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11A ACC 是边长为2的菱形，160A AC ∠=．在面ABC中，AB =4BC =，M 为BC 的中点，过11,,A B M 三点的平面交AC 于点N ．（1）求证：N 为AC 中点；（2）求证：平面11A B MN ⊥平面11A ACC ．17．（本小题满分14分）某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为10cm 的圆形包装纸包装．要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为cm x ，体积为3cm V ． （1）求V 关于x 的函数关系式；（2）在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，V 的最大值是多少？并求此时x 的值．B C A 1 B 1 C 1 M NA 第16题图18．（本小题满分16分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为22，并且椭圆经过点(1,1)，过原点O 的直线l与椭圆C 交于A B 、两点，椭圆上一点M 满足MA MB =． （1）求椭圆C 的方程；（2）证明：222112OA OB OM ++为定值； （3）是否存在定圆，使得直线l 绕原点O 转动时，AM 恒与该定圆相切，若存在，求出该定圆的方程，若不存在，说明理由．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且满足1239a a a ++=，12327b b b =． （1）若43a b =，43b b m -=．①当18m =时，求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； ②若数列{}n b 是唯一的，求m 的值；（2）若11a b +，22a b +，33a b +均为正整数，且成等比数列，求数列{}n a 的公差d 的最大值．(第17题图)xO y A B20．（本小题满分16分）设函数2()()x f x ax e a =+∈R 有且仅有两个极值点1212,()x x x x <． （1）求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a 满足2311()f x e x =？如存在，求()f x 的极大值；如不存在，请说明理由．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题．．．．．．．．．．．．．．．区域．．内作答．．．． A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，AD 是∠BAC 的平分线，圆O 过点A 且与边BC 相切于点D ，与边AB 、AC 分别交于点E 、F ，求证：EF ∥BC ．ABDCEF O·B ．（选修４－２：矩阵与变换） 已知1 0 4 31 2 4 1-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦B ，求矩阵B ．C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆C 是以点(2,)6C π-为圆心，2为半径的圆．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）求圆C 被直线5:12l πθ=-所截得的弦长．D ．（选修４－５：不等式选讲） 设正数,,a b c 满足1a b c ++=，求111323232a b c +++++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 22．（本小题满分10分）直三棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，2AB =，4AC =，13AA =. D 是BC 的中点.（1）求直线1DB 与平面11A C D 所成角的正弦值； （2）求二面角111B A D C --的大小的余弦值.1A 1B 1C D AC23.（本小题满分10分）设*n N ∈且4n ≥，集合{}1,2,3,,M n =的所有3个元素的子集记为312,,,nC A A A ．（1）求集合312,,,nC A A A 中所有元素之和S ；（2）记i m 为i A 3(1,2,,)ni C =中最小元素与最大元素之和，求32015132015C ii mC=∑的值．2019年高考模拟试卷(2) 参考答案南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1．3； 2．12-； 3．5； 4．27； 5．3π； 6．29； 7．14； 8．充分不必要；【解析】条件“角,,A B C 成等差数列”⇔3B π=；结论 “sin sin )cos C A A B =+”⇔sin()cos sin cos A B A B A B +=+⇔cos sin cos A B A B ⇔cos 0A =或sin B B =⇔A π=或3B π=．所以条件是结论的充分不必要条件．9 10．11．⎪⎪⎩⎭；【解析】若删去2a ，则134,,a a a 成等差数列，3142a a a ∴=+，即231112a q a a q =+，1q ∴=（舍去）或q =或q =（舍去）；若删去3a ，则124,,a a a 成等差数列，2142a a a ∴=+，即31112a q a a q =+，1q ∴=（舍去）或q =或q =∴q =．12．0；【解析】0AD DC CB BA +++=，∴AD BC AB CD -=+，22()()()()AD DC BC CD AD BC CD AD BC CD AD BC CD AB CD CD ∴+⋅+=⋅+⋅--=⋅+⋅+-，12AC BD ⋅=-，//AB CD ，6AB =，2AD DC ==，0AD BC ∴⋅=．13．；【解析】由条件得2b ac =，不妨设a b c ≤≤，则2b c a b a=<+，即2210b b a --<；同理得当a b c ≥≥1b a <≤．而sin sin B b A a =，∴sin sin BA的取值范围是．14．ln 31(,)93e ．【解析】()(3)f x f x =，()()3x f x f ∴=，当[3,9)x ∈时，[1,3)3x ∈，()ln 3x f x ∴=，在直角坐标系内作出函数()f x 的图象，而()f x x表示的是该图象上的点与原点的连线的斜率．图象上的点(9,ln3)与与原点的连线的斜率为ln 39；当过原点的直线与曲线()ln ,[3,9)3x f x x =∈相切时，斜率为13e（利用导数解决）．∴由图可知，满足题意得实数t 的取值范围为ln 31(,)93e．二、解答题15．（1）因为在ABC ∆中，2C A π-=，所以A 为锐角，且cos A =．所以sin sin()cos 2C A A π=+==（2）由正弦定理得sin sin BC AB A C =，所以sin sin BC C AB A === 因为在ABC ∆中，2C A π-=，所以C为钝角，且cos C ===． 因为在ABC ∆中，()B A C π=-+，所以1sin sin()sin cos cos sin (3B AC A C A C =+=++=． 所以ABC ∆的面积为111sin 223ABC S AB BC B ∆=⨯⨯=⨯=．16． (1)由题意，平面//ABC 平面111A B C ，平面11A B M 与平面ABC 交于直线MN ， 与平面111A B C 交于直线11A B ，所以11//MN A B ．因为11//AB A B ，所以//MN AB ，所以CN CMAN BM=． 因为M 为AB 的中点，所以1CNAN=，所以N 为AC 中点．(2)因为四边形11A ACC 是边长为2的菱形，160A AC ∠=．在三角形1A AN 中，1AN =，12A A =，由余弦定理得1A N = 故22211A A AN A N =+，从而可得190A NA ∠=，即1A N AC ⊥． 在三角形ABC中，AB =2AC =，4BC =，则222BC AB AC =+，从而可得90BAC ∠=，即AB AC ⊥． 又//MN AB ，则AC MN ⊥．因为1MN A N N =，MN ⊂面11A B MN ，1A N ⊂面11A B MN ， 所以AC ⊥平面11A B MN ． 又AC ⊂平面11A ACC ，所以平面11A B MN ⊥平面11A ACC ． 17．正三棱锥展开如图所示．当按照底边包装时体积最大． 设正三棱锥侧面的高为0h ，高为h ．010x h +=，解得010h =．则h ===x ∈．所以，正三棱锥体积21133V Sh ===．设4452100(100)4848x x y V ===，求导得3410012x y '=0y '=，得x =当x ∈时，0y '>，∴函数y在上单调递增，当x ∈时，0y '<，∴函数y在上单调递减，所以，当x =时，y 取得极大值也是最大值． 此时15360y =，所以3max V =．答：当底面边长为时，正三棱锥的最大体积为3． 18．（1）由题设：22111,a b =⎪+=⎪⎩解得2233,2a b ==， ∴椭圆C 的方程为2221;33x y += （2）①直线l 的斜率不存在或为0时，222221122224233OA OB OM a b ++=+=+=； ②直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为(0)y kx k =≠，则MA MB =，∴直线OM 的方程为1y x k=-，由2223y kx x y =⎧⎨+=⎩得22(12)3k x +=，222312A B x x k ∴==+， 同理22232M k x k ∴=+，222112OA OB OM ∴++= 22222221123313(1)(1)(1)12122k k k k k k k +++⋅+⋅+⋅+++ 22222(12)2(2)3(1)3(1)k k k k ++=+++ 2=，2221122OA OB OM ∴++=为定值； （3）由（2）得：①直线l 的斜率不存在或为0时，2222111112133OA OM a b +=+=+=； ②直线l 的斜率存在且不为0时， 22222222222111112213133(1)3(1)(1)(1)122k k k OA OM k k k k k k +++=+=+=+++⋅+⋅++∴原点O 到直线AM的距离1d =，∴直线AM 与圆221x y +=相切，即存在定圆221x y +=，使得直线l 绕原点O 转动时，AM 恒与该定圆相切． 19．（1）①由数列{}n a 是等差数列及1239a a a ++=，得23a =，由数列{}n b 是等比数列及12327b b b =，得23b =． 设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，若18m =，则有2323,3318d q q q +=⎧⎨-=⎩，解得3,3d q =⎧⎨=⎩ 或9,22d q ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩． 所以，{}n a 和{}n b 的通项公式为133,3n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或2912,23(2)n n na nb -⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩ ② 由题设43b b m -=，得233q q m -=，即2330q q m --=（*）．因为数列{}n b 是唯一的，所以若0q =，则0m =，检验知，当0m =时，1q =或0（舍去），满足题意；若0q ≠，则2(3)120m -+=，解得34m =-，代入（*）式，解得12q =，又23b =，所以{}n b 是唯一的等比数列，符合题意．所以，0m =或34-．（2）依题意，113336()()a b a b =++，设{}n b 公比为q ，则有336(3)(33)d d q q=-+++， （**）记33m d q=-+，33n d q =++，则36mn =． 将（**）中的q 消去，整理得2()3()360d m n d m n +-++-=， d而,m n N *∈，所以 (,)m n 的可能取值为：(1,36),(2,18),(3,12),(4,9),(6,6),(9,4),(12,3),(18,2),(36,1)． 所以，当1,36m n ==时，d． 20．(1)()2x f x ax e '=+．显然0a ≠，12,x x 是直线12y a =-与曲线()x xy g x e==两交点的横坐标．由1()0xxg x-'==，得1x =．列表： 此外注意到：当0x <时，()0g x <；当[0,1]x ∈及(1,)x ∈+∞时，()g x 的取值范围分别为1[0,]e 和1(0,)e ．于是题设等价于1102a e <-<<⇒2e a <-，故实数a 的取值范围为(,)2e-∞-． (2)存在实数a 满足题设．证明如下：由(1)知，1201x x <<<，111()20x f x ax e '=+=，故1112213111()+2x x x x f x =ax e e e e x =-=，故11231102x x e e e x --=． 记231()(01)2x x e R x e e x x =--<<，则2(1)1()02x xe x R x e x -'=-<，于是，()R x 在(0,1)上单调递减．又2()03R =，故()R x 有唯一的零点23x =．从而，满足2311()f x e x =的123x =．所以，1231324x e a e x =-=-． 此时2233()4xf x e x e =-+，233()2x f x e x e '=-+，又(0)0f '>，(1)0f '<，(2)0f '>，而12(0,1)3x =∈，故当2334a e =-时,2312()()3f x f x e ==极大.第Ⅱ卷（附加题，共40分）21.A . 如图，连结DF ．因为BC 与圆相切，所以CDF DAF ∠=∠．AEF O·因为EFD ∠与EAD ∠为弧DE 所对的圆周角， 所以EFD EAD ∠=∠．又因为AD 是BAC ∠的平分线，所以EAD DAF ∠=∠． 从而CDF EFD ∠=∠．于是//EF BC ． B ．设 , a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B 则1 01 22 2a b a c b d ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦B ， 故4,4,3,3,4 3.24,4, 4 221, 2.a ab b ac c bd d =-=-⎧⎧⎪⎪==-⎡⎤⎪⎪=⎨⎨⎢⎥+==-⎣⎦⎪⎪⎪⎪+=-=-⎩⎩解得故B C ．（1）圆C 是将圆4cos ρθ=绕极点按顺时针方向旋转6π而得到的圆，所以圆C 的极坐标方程是4cos()6πρθ=+．（2）将512πθ=-代入圆C 的极坐标方程4cos()6πρθ=+，得ρ= 所以，圆C 被直线5:12l πθ=-所截得的弦长为 D. 因为,,a b c 均为正数，且1a b c ++=，所以(32)(32)(32)9a b c +++++=．于是由均值不等式可知()[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ++++++++++9≥=，当且仅当13a b c ===时，上式等号成立．从而1111323232a b c ++≥+++． 故111323232a b c +++++的最小值为1．此时13a b c ===． 22．在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，∴分别以AB 、AC 、1AA 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则111(0,0,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,3),(2,0,3),(0,4,3)A B C A B C,D 是BC 的中点，∴(1,2,0)D ，（1）111(0,4,0),(1,2,3)AC A D ==-，设平面11A C D 的法向量1111(,,)n x y z =，则1111100n AC n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111140230y x y z =⎧⎨+-=⎩，取111301x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴平面11A C D 的法向量1(3,0,1)n =，而1(1,2,3)DB =-， 111111335cos ,35n DB n DB n DB ⋅∴<>==⋅， ∴直线1DB 与平面11A C D （2）11(2,0,0)A B =，1(1,2,3)DB =-设平面11B A D 的法向量2222(,,)n x y z =，则2112100n A B n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222220230x x y z =⎧⎨-+=⎩，取22232x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴平面11B A D 的法向量2(0,3,2)n =，121212130cos ,65n n n n n n ⋅∴<>==⋅，∴二面角111B A D C --． 23．（1）因为含元素1的子集有21n C -个，同理含2,3,4,,n 的子集也各有21n C -个，于是所求元素之和为22211(123)(2)(1)4n n C n n n -++++⨯=--； （2）集合{}1,2,3,,M n =的所有3个元素的子集中：以1为最小元素的子集有21n C -个，以n 为最大元素的子集有21n C -个；以2为最小元素的子集有22n C-个，以1n -为最大元素的子集有22n C -个；以2n -为最小元素的子集有22C 个，以3为最大元素的子集有22C 个． 31nC i i m =∴∑312nC m m m =+++222122(1)()n n n C C C --=++++ 22231233(1)()n n n C C C C --=+++++ 22231244(1)()n n n C C C C --=+++++3(1)n n C ==+，3131nC ii nmn C =∴=+∑． 32015132015201512016C ii mC=∴=+=∑．。

(绝密★启用前B 卷2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏模拟卷)数学Ⅱ(附加题)注意事项：1. 附加题供选修物理的考生使用．2. 本试卷共40分，考试时间30分钟．3. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内．21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 共3小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A . 选修4-2：矩阵与变换(本小题满分10分)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a 2－1，若矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. (1) 求a 的值；(2) 求矩阵A 的另外一个特征值．B . 选修4-4：坐标系与参数方程(本小题满分10分)在极坐标系中，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2(cosθ＋sinθ)．(1) 将曲线C 的方程化为直角坐标方程；(2) 设M 为曲线C 上任意一点，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，5π4，求MP 的取值范围．C . 选修4-5：不等式选讲(本小题满分10分)设x ＋y ＋z ＝25，若x 2＋ty 2＋z 2的最小值为8，求正数t 的值．【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)现有两个质地均匀且同样大小的正四面体A，B，正四面体A的4个顶点分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色，正四面体B的4个顶点分别标有数字1，2，3，4.甲连续抛掷正四面体A 3次，若至少出现2次红色顶点朝上，则甲获得一次抽奖机会；乙连续抛掷正四面体B 4次，若至少出现3次偶数顶点朝上，则乙获得一次抽奖机会(甲、乙两人获得抽奖的机会相互独立)．(1) 求甲、乙两人各自能够获得一次抽奖机会的概率；(2) 设X为甲、乙两人获得抽奖机会的总次数，求X的分布列及数学期望．23. (本小题满分10分)在二元函数f(u，v)中，把变量u看成自变量，v看成常数，对u求导记为[f(u，v)]′u，例如，[ln(2u＋3v)]u′＝（2u＋3v）u′2u＋3v＝22u＋3v.已知f(u，v)＝e au＋bv·(cu＋dv)2.(1) 求[f(u，v)]′u；(2) 若a，b，c，d，u，v都是正数，ab<cd，求证：[f（u，v）]′u[f（u，v）]′v<cd.(这是边文，请据需要手工删加)2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏模拟卷) B 卷数学Ⅱ(附加题)参考答案及评分标准21. A . 【解答】(1) 因为矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a 2－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，(3分) 所以1＋a ＝1，所以a ＝0.(5分)(2) 由(1)得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤102－1， 令f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－10－2λ＋1＝0，(8分) 所以(λ－1)(λ＋1)＝0，所以λ＝1或λ＝－1.所以矩阵A 的另外一个特征值为－1.(10分)B . 【解答】(1) 由ρ＝2(cosθ＋sinθ)，得ρ2＝2(ρcosθ＋ρsinθ)，(2分)因为ρcosθ＝x ，ρsinθ＝y ，所以x 2＋y 2＝2x ＋2y ，化成普通方程是(x －1)2＋(y －1)2＝2.(4分)(2) 由(1)得，曲线C 是一个圆，圆心N 的坐标为(1，1)，半径r ＝2，(6分) 点P 的极坐标化为直角坐标为(－1，－1)，(8分)因为PN ＝（1＋1）2＋（1＋1）2＝22，所以MP 的取值范围为[]PN －r ，PN ＋r ，即[]2，32.(10分)C . 【解答】设α＝(x ，ty ，z)，β＝⎝⎛⎭⎫1，1t ，1，由柯西不等式得，x·1＋ty·1t＋z·1≤x 2＋（ty ）2＋z 2·12＋⎝⎛⎭⎫1t 2＋12， 即x ＋y ＋z ≤x 2＋（ty ）2＋z 2·2＋1t， 又x ＋y ＋z ＝25，所以x 2＋（ty ）2＋z 2≥252＋1t ＝22，所以t ＝2.(10分) 22. 【解答】(1) 设“甲获得一次抽奖机会”为事件M ，“乙获得一次抽奖机会”为事件N ，则P(M)＝C 23⎝⎛⎭⎫142×34＋C 33⎝⎛⎭⎫143＝532，(2分) P(N)＝C 34⎝⎛⎭⎫123×12＋C 44⎝⎛⎭⎫124＝516.(4分) (2) X 的所有可能取值为0，1，2. P(X ＝0)＝P(M)·P(N)＝2732×1116＝297512， P(X ＝1)＝P(M)·P(N)＋P(M)·P(N)＝2732×516＋532×1116＝190512， P(X ＝2)＝P(M)·P(N)＝532×516＝25512.(8分) 所以X 的分布列为所以E(X)＝0×297512＋1×190512＋2×25512＝1532.(10分) 23. 【解答】(1) [f(u ，v)]′u ＝ae au ＋bv ·(cu ＋dv)2＋2ce au ＋bv ·(cu ＋dv)＝e au ＋bv (cu ＋dv)[a(cu ＋dv)＋2c]．(3分)(2)同理，[f(u ，v)]′v ＝e au ＋bv (cu ＋dv)·[b(cu ＋dv)＋2d]，(5分)所以[f （u ，v ）]′u [f （u ，v ）]′v ＝e au ＋bv （cu ＋dv ）·[a （cu ＋dv ）＋2c]e au ＋bv （cu ＋dv ）·[b （cu ＋dv ）＋2d]＝a b [b （cu ＋dv ）＋2d]＋⎝⎛⎭⎫2c －2ad b b （cu ＋dv ）＋2d ＝a b ＋2（bc －ad ）b[b （cu ＋dv ）＋2d](*)．(8分) 因为a ，b ，c ，d ，u ，v 都是正数，a b <c d， 所以bc －ad>0，所以(*)<a b ＋2（bc －ad ）2bd ＝c d.(10分)。

（第3题）江苏省南通基地2019届高考密卷（二）数学本试题卷共6页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 设集合A = {1，x }，B = {2，3，4}，若A ∩B ={4}，则x 的值为 ▲ ． 2． 若复数z 1＝2+i ，z 1·z2()2z ＝5，则z 2＝ ▲ ．3． 对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 ▲ ．4． 执行如图所示的流程图，会输出一列数，则这列数中的第3个数为 ▲ ． 5． 为活跃气氛，某同学微信群进行了抢红包活动．某同学发了一个“长长久久”随机（第4题）分配红包，总金额为9.9元，随机分配成5份，金额分别为2.53元，1.19元，3.21元， 0.73元，2.33元，则身处海外的两名同学抢得的金额之和不低于5元的概率为 ▲ ． 6． 函数22log (32)y x x =--的值域为 ▲ ．7． 已知P -ABC 是正三棱锥，其外接球O 的表面积为16π，且∠APO ＝∠BPO ＝∠CPO＝30°，则三棱锥的体积为 ▲ ．8． 已知双曲线2214y x -=的左、右顶点为A 、B ，焦点在y 轴上的椭圆以A 、B 为顶点，且A 作斜率为k 的直线l 交双曲线于另一点M ，交椭圆于另一点N ，若AN NM =，则k 的值为 ▲ ．9． 已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )12-，若()6f α=，则c o s (2)4πα-的值为 ▲ ．10．已知{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，数列{}n b 满足11b a =，且12n b a a =++1121n n n a a a a a --++++++（2,n n *∈N ≥），若(28)2018m m a b +-=，则m 的值为 ▲ ．11．定义在[]1,1-上的函数()sin (1)f x x ax b a =-+>的值恒非负，则a b -的最大值为 ▲ ． 12．在△ABC 中，若352115CA AB AB BC BC CA==⋅⋅⋅，则cos C 的值为 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：221x y +=，直线:l 30x ay +-=，过直线l 上一点Q 作圆O 的切线，切点为,P N ，且23QP QN ⋅=，则正实数a 的取值范围是 ▲ ． 14．已知偶函数()y f x =满足(2)(2)f x f x +=-，且在[]2,0x ∈-时，2()1f x x =-+，若存在12n x x x ，，，满足120n x x x <<<≤，且()()()()1223f x f x f x f x -+-+()()12017n n f x f x -+-=，则n x 最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）已知函数()()()sin 0,0f x A x A ϕϕ=+><<π的最小值是－2，其图象经过 点(,1)3M π． （1）求()f x 的解析式；（2）已知,(0,)2αβπ∈，且8()5f α=，24()13f β=，求()f αβ-的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，90BAD ∠=︒，AD BC ∥，2AD BC =，AB PA ⊥． （1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若E 为PD 的中点，求证：CE ∥平面PAB17．（本小题满分14分）有一块以点O 为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离O D 点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D 修一条笔直小路交草坪圆周于A ，B 两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA ，OB ，其中小路的宽度忽略不计． （1）若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；（2）若要在△ABO 区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求（第16题）18．（本小题满分16分）如图，点128n n a a +=+，{}n b ，n S 分别为椭圆2214+25n n n b b S ++=的左、右顶点和右焦点，过点n *∈N 的直线{}n a （异于{}n b 轴）交椭圆C 于点{}n b ，n n n c a b =+．（1）若3AF =，点4r s t ，，与椭圆C 左准线的距离为5，求椭圆C 的方程； （2）已知直线()r s t <<的斜率是直线r s t ，，斜率的()()f m x f x +<倍． ① 求椭圆C 的离心率；② 若椭圆C 的焦距为()()f m x f x +<，求△AMN 面积的最大值．19．（本小题满分16分）已知函数2()ln f x x x ax =+．（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线过点(22)A -，． ① 求实数a 的值；② 设函数()()f x g x x =，当0s >时，试比较()g s 与1()g s的大小； （2）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <），求证：11()2f x >-．20．（本小题满分16分）设数列{}n a 的各项均为不等的正整数，其前n 项和为n S ，我们称满足条件“对任意的*m n ∈N ，，均有()()()n m n m n m S n m S S +-=+-”的数列{}n a 为“好”数列．（1）试分别判断数列{}n a ，{}n b 是否为“好”数列，其中21n a n =-，12n n b -=，*n ∈N ，并给出证明；（2）已知数列{}n c 为“好”数列．① 若20172018c =，求数列{}n c 的通项公式；② 若1c p =，且对任意给定正整数p s ，（1s >），有1s t c c c ，，成等比数列， 求证：2t s ≥．2018年高考模拟试卷（9）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ．[选修4－1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 为⊙O 的直径，BD 是⊙O 的切线，连接AD 交⊙O 于E ，若BD∥CE， AB 交CE 于M ，求证：2AB AE AD =⋅B ．[选修4－2：矩阵与变换] （本小题满分10分）DA（第21-A ）已知点A 在变换T :2x x x y y y y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦作用后，再绕原点逆时针旋转90︒， 得到点B ．若点B 的坐标为(34)-，，求点A 的坐标．C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，圆C 的方程为2cos (0)a a ρθ=≠，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为31,(43x t t y t =+⎧⎨=+⎩为参数），若直线l 与圆C 恒有公共点，求实数a 的取值范围．D ．[选修4－5：不等式选讲] （本小题满分10分）已知正数,,a b c 满足2362a b c ++=，求321a b c++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．已知直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆为等边三角形，延长1BB 至M ，使11BB B M =，连接11,,AM AC CM ，若190MAC ︒∠=． （1）求直线1C M 与平面1CA M 所成角的正弦值；（2）求平面1CA M 与平面11AAC C 所成的锐二面角．23．（本小题满分10分）MC 1B 1A 1CBA（第22题）（1）求证：11()k k n k n k kC n k C ----=-；（2）求证：100820170(1)120172017n nnn C n-=-=-∑．参考答案 数学Ⅰ一、填空题： 1．【答案】4【解析】因为A ∩B ={4}，所以4∈A ，故x ＝4． 2．【答案】2+i【解析由z 1·－z 2＝5，得－z 2＝52+i ＝2－i ，所以z 1＝2+i ．3．【答案】50【解析】三等品总数[1(0,050.03750.0625)5]20050n =-++⨯⨯=． 4．【答案】30【解析】3A =，1N =，输出3；6A =，2N =，输出6；30A =，3N =，输出30；则这列数中的第3个数是30． 5．【答案】15【解析】两名同学抢红包的事件如下：（2.53，1.19）（2.53，3.21）（2.53，0.73）（2.53，2.33）（1.19，3.21）（1.19，0.73）（1.19，2.33）（3.21，0.73）（3.21，2.33）（0.73，2.33），共10种可能，其中金额不低于5元的事件有（2.53，3.21）（3.21，2.33），共2种可能，所以不低于5元的概率21105P ==． 6．【答案】(],2-∞【解析】因为(]2232(1)40,4x x x --=-++∈，所以(]22log (32),2x x --∈-∞，即值域为(],2-∞．7．【解析】设球的半径为R ，△ABC 的外接圆圆心为O ′，则由球的表面积为16π， 可知4πR 2＝16π，所以R ＝2.设△ABC 的边长为2a ，因为∠APO ＝∠BPO ＝∠CPO ＝30°，OB ＝OP ＝2， 所以BO ′＝32R ＝3，OO ′＝OB 2－BO ′2＝1， PO ′＝OO ′＋OP ＝3.在△ABC 中，O ′B ＝23×32×2a ＝3，所以a ＝32，所以三棱锥PABC 的体积为V ＝13×12×328．【答案】【解析】对于椭圆，显然1,c b a ==，所以椭圆方程为2214x y +=，设00(,)N x y ，则由AN NM =得00(21,2)M x y +．因为点M 在双曲线上，点N 在椭圆上，所以220014x y +=，2200(21)414x y +-=，解得，001,2x y ==，故直线l 的斜率k =．9．【答案】13解析一：f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，因为()f α=，所以1sin(2)43πα+=，所以1cos(2)cos (2)sin(2)42443ππππ⎡⎤-α=-α+=α+=⎢⎥⎣⎦。

2019最新江苏高考数学原创密卷（二）数学Ⅰ一、填空题:本大题共14小题，每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1. 已知集合{}2,1,0,2,3,4A =--，集合{}1,0,1,2B =-，则A B =_____________.2. 函数()πsin 03y x ωω⎛⎫=+⎪⎝⎭＞的最小正周期为π，则ω=_____________. 3. 已知复数()()13i 2i z =--，其中i 为虚数单位，则z 的实部是_____________.4. 有五张卡片，每张上面分别写有“1,2,3,4,5”五个数字，一次随机抽取其中的三张，则抽出的三张卡片上的数字能构成三角形三边的概率是_____________.5. 某中学有初一年级学生360人，初二年级学生440人，初三年级学生400人，现通过分层抽样的方式，从该学校三个年级的学生中抽取一部分学生调查身高发育情况，若在初二学生中抽取了33人，则从三个年级抽取学生的总人数为_____________.6. 根据如图所示的伪代码，若对于任意的输入值12,x x ，当21x x ＞时，对应的输出的结果满足21y y ＞，则实数a 的取值范围为_____________.（第6题）（第8题）7. 函数()f x =的定义域为_____________.8. 如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，E 为BC 中点，且2AB CD =， 若AE xAB y AD =+，则x y +=_____________. 9. 已知正实数,x y 满足11x y +=，则1y x+的最小值为_____________. 10. 在平面直角坐标系xOy 中，已知在双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=＞＞的右支上存在两点,P Q ，使得0OP OQ ⋅=，则该双曲线离心率的取值范围为_____________.11. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比1q ＞，若122n n n S a a ++=-，则公比q =_____________. 12. 在ABC △中，已知其外接圆半径为1，2BC =，且sin 2cos A B =，则B =_____________. 13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()222:0O x y rr +=＞与直线:50l x y +-=，若对圆O 上任意一点P ，在直线l 上均存在两点,E F，使得PE =，且8EF =，则r 的取值范围为_____________.14. 已知函数()44,1ln 1,01x x f x xx x ⎧+-⎪=⎨⎪+ ⎩≥＜＜，若过原点的直线y kx =与函数()f x 的图象交于,,A B C 三点， 且,,A B C 三点的横坐标分别为()123123,,x x x x x x ＜＜，则123111x x x ++的取值范围为_____________.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）已知向量()()sin ,1,cos ,1a x b x ==-，设函数()()f x a b a =+⋅. （1）求()f x 的最小值； （2）若()23f θ= ，求sin 4θ的值.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，1BB =，,,D E M 分别为1111,,BB CC B C 中点. 证明：（1）1//DC 面1A BE ； （2）1DC ⊥面1A EM .17.（本小题满分14分）将一个矩形纸片ABCD 切去四个角处的阴影部分，如图所示，其中四个阴影部分为相互全等的直角梯形，且此直角梯形较长的底边为a ，θ是直角梯形的一个内角.将剩下的部分沿着虚线折起，恰好形成一个直四棱柱PQEH NMFG -，其中直四棱柱的底面PQEH 为等腰梯形.已知7,8AB AD ==，4sin 5θ=. （1）试将此直四棱柱的体积V 表示为a 的函数，并指出其定义域； （2）求此直四棱柱体积的最大值.（第16题）MDEC 1B 1A 1CAQ PP Q MN FG H E（第17题）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=＞＞的右焦点为()1,0F ，且过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭.过点F且不与x 轴重合的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，点P 在椭圆上，且满足()0OA OB tOP t +=＞. （1）求椭圆C 的标准方程； （2）当AB的斜率为2时，求t 的值； （3）求正实数t 的取值范围.19.（本小题满分16分） 已知函数()()()1e ,xf xg x a x a x ⎛⎫==+∈ ⎪⎝⎭R ，其中e 是自然对数的底数. （1）设()()()h x f x g x =-，若0e a ≤≤，求证：()h x 在()0,+∞上单调递增； （2）若不等式()()()()()2ln 1kf a k f a ag a a g a +⋅--++-＞对任意0a ＞恒成立，求实数k 的取值范围.（第18题）已知数列{}n a 各项均为正数，且满足()*21225n n n n n a a a n a a +++⋅=∈+N .（1）证明：数列{}n a 与数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭中至少有一个为等比数列； （2）若121a a ==，试判断数列{}n a 中是否存在三项成等差？若存在，则求出这三项；若不存在，请说明理由.2019最新江苏高考数学原创密卷（二）数学Ⅱ21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵2111,3124-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A B =，若点M 在矩阵AB 对应的变换下得到点()'6,1M -，求M 点坐标.B ．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分） 在极坐标系中，已知圆M 的极坐标方程为24cos 306πρρθ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，点A 是圆M 上的动点，若点A 与极点O ，以及平面上一点B 构成以A 为直角顶点的等腰直角三角形（其中点,,O A B 依次按逆时针方向排列），求点B 运动轨迹的极坐标方程.C ．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）设实数,,x y z 满足22212x y z ++=，求证：222618x y y z z x +++++≤≤.【必做题】第22、23题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题卡的指定区域内．．．．．．．．．．．作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分10分）如图，在三棱锥P ABC -中，AC BC ⊥，且2A C B C==，,D E 分别为,AB PB 中点，PD ⊥平面ABC ，3PD =.（1）求直线CE 与直线PA 夹角的余弦值； （2）求直线PC 与平面DEC 夹角的正弦值.23.（本小题满分10分）.在数列{}n a 中，()10a a a =＞，且()*1415n n n a a n a +⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N ，记数列{}n a 的前n 项和为n S .（1）若1a =，求证：对任意*n ∈N ，均有12n a ≤＜；（2）求证：对任意给定的实数a ，均存在正实数M ，使得()*n a M n ∈N ≤恒成立.（第22题）EDCBAP。

(这是边文，请据需要手工删加)绝密★启用前A 卷2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏模拟卷)数学Ⅱ(附加题)注意事项：1. 附加题供选修物理的考生使用．2. 本试卷共40分，考试时间30分钟．3. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内．21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 共3小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A . 选修4-2：矩阵与变换(本小题满分10分)已知⎣⎢⎡⎦⎥⎤2003A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤400－3， 求矩阵A －1.B . 选修4-4：坐标系与参数方程(本小题满分10分)已知曲线C 的极坐标方程为ρ2＝123＋sin 2θ，P(x ，y)是曲线C 上的一动点，求x 2＋y 的最小值．C. 选修4-5：不等式选讲(本小题满分10分)已知实数x，y，z满足x2＋9y2＋4z2＋m＝0(m<0)，且x＋y＋z≤21，求m的值．【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，底面是边长为23的正三角形，点A 1在底面ABC 上的射影O 恰是BC 的中点，侧棱AA 1和底面成45°角．(1) 若D 为侧棱A 1A 上一点，当A 1D DA为何值时，BD ⊥AC? (2) 求二面角A 1 AC B 的余弦值的大小．(第22题)23. (本小题满分10分)已知n ∈N *，a n ∈Z ，b n ∈Z ，且(1＋6)n ＝6a n ＋b n .(1) 求a 5＋b 5；(2) 是否存在n ∈N *，使b n ＝42 019？若存在，求出所有n 的值，若不存在，请说明理由．(这是边文，请据需要手工删加)2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏模拟卷) A 卷数学Ⅱ(附加题)参考答案及评分标准21. A. 【解答】设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2003A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 2b 3c 3d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤400－3，(3分) 故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝0，c ＝0，d ＝－1，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤200－1， 所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1200－1.(10分) B. 【解答】对于曲线C ，去分母，得3ρ2＋ρ2sin 2θ＝12， 即3x 2＋3y 2＋y 2＝12，化简得x 24＋y 23＝1.(5分) 设x ＝2cosα，y ＝3sinα，则x 2＋y ＝cosα＋3sinα＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，故x 2＋y 的最小值为－2.(10分) C. 【解答】由柯西不等式知[x 2＋(3y)2＋(2z)2]·⎣⎡⎦⎤12＋⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫122≥⎝⎛⎭⎫x ＋13×3y ＋12×2z 2. 因为x 2＋9y 2＋4z 2＝－m(m<0)，所以－4936m ≥(x ＋y ＋z)2，即－7－m 6≤x ＋y ＋z ≤7－m 6. 因为x ＋y ＋z≤21，所以7－m 6＝21，解得m ＝－324.(10分) 22.(第22题)【解答】以O 点为原点，OC 为x 轴，OA 为y 轴，OA 1为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由题意知∠A 1AO ＝45°，A 1O ＝3，所以O(0，0，0)，C(3，0，0)，A(0，3，0)，A 1(0，0，3)，B(－3，0，0)．(1) 设AD ＝a ，则D ⎝⎛⎭⎫0，3－22a ，22a ，所以BD →＝⎝⎛⎭⎫3，3－22a ，22a ，AC →＝(3，－3，0)．要使BD ⊥AC ，则需BD →·AC →＝3－3⎝⎛⎭⎫3－22a ＝0，得a ＝22， 而AA 1＝32，所以A 1D ＝2，所以A 1D DA ＝222＝12.(5分) 故当A 1D DA ＝12时，BD ⊥AC. (2) 因为AA 1→＝(0，－3，3)，AC →＝(3，－3，0)，设平面ACA 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AC →＝（x ，y ，z ）·（3，－3，0）＝3x －3y ＝0，n 1·AA 1→＝（x ，y ，z ）·（0，－3，3）＝－3y ＋3z ＝0. 令z ＝1，则x ＝3，y ＝1，所以n 1＝(3，1，1)．(7分) 又平面ABC 的一个法向量为n 2＝(0，0，1)，(8分) 所以cos 〈n 1，n 2〉＝3×0＋1×0＋1×112＋12＋（3）2×1＝55. 显然所求二面角的平面角为锐角，故所求二面角的余弦值的大小为55.(10分) 23. 【解答】(1) 当n ＝5时，(1＋6)5＝C 05＋C 156＋C 25(6)2＋…＋C 55(6)5＝[C 05＋C 25(6)2＋C 45(6)4]＋[C 156＋C 35(6)3＋C 55(6)5]＝241＋1016，故a 5＝101，b 5＝241，则a 5＋b 5＝342.(4分)(2) 方法一：(1＋6)n ＝C 0n ＋C 1n 6＋C 2n (6)2＋…＋C n n (6)n .①当n 为奇数时，b n ＝C 0n ＋C 2n (6)2＋C 4n (6)4＋…＋C n －1n (6)n －1， 当n ＝1时，b 1＝1是奇数；当n ≥3时，C 2n (6)2＋C 4n (6)4＋…＋C n －1n (6)n －1是偶数，故b n 为奇数．(8分) ②当n 为偶数时，b n ＝C 0n ＋C 2n (6)2＋C 4n (6)4＋…＋C n n (6)n ，同样可知b n 为奇数．综上可知b n 为奇数，而42 019为偶数，故不存在n ∈N *，使b n ＝42 019.(10分) 方法二：①当n ＝1时，b 1＝1是奇数．(6分)②假设n ＝k 时， (1＋6)k ＝6a k ＋b k ，其中b k 为奇数，则当n ＝k ＋1时， (1＋6)k ＋1＝(1＋6)(1＋6)k ＝(6a k ＋b k )(1＋6)＝6(a k ＋b k )＋6a k＋b k .(8分)所以b k ＋1＝6a k ＋b k ，由题设知b k 为奇数，而6a k 为偶数，故b k ＋1是奇数． 由①②知b n 为奇数，而 42 019为偶数，故不存在n ∈N *，使b n ＝42 019.(10分)。