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沪教版九年级数学寒假班精品讲义

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教师姓名学生姓名年级初三上课时间学科数学课题名称待提升的知识点/题型Ⅰ知识梳理知识点一：圆的定义及有关概念1、圆的定义：平面上到一个定点的距离等于定长的所有点所成的图形叫做圆。

2、有关概念：A：弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；B：弦、直径、弦心距；C：同圆、等圆、同心圆；D：弓形、拱高注：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦；在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧；圆心到弦的距离叫做弦心距；由圆的弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形，拱高即弓形高（弧的中点到弦的距离）。

知识点二：点与圆的位置关系1、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；（点到圆心的距离d与半径r之间的关系）rddCBAO知识点三：圆的基本性质及与三角形的关系1、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆具有旋转对称性。

2、圆与三角形的关系：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

3、三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆；外心（即外接圆的圆心）是三角形三边垂直平分线的交点。

4、三角形的内切圆：与三角形的三边都相切的圆；内心（即内切圆的圆心）：三角形三条角平分线的交点。

Ⅱ知识精析一、圆的定义及有关概念（一）典例分析、学一学例1-1若P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；最长弦长为_______．例1-2和已知点距离等于3cm的点的集合是___________．例1-3一个圆的圆心决定这个圆的_________，圆的半径决定这个圆的_________．（二）限时巩固，练一练已知线段8AB =，则过A B 、的圆的最小直径为____________.二、点与圆的位置关系（一）典例分析、学一学例2-1已知⊙O 的半径为5，点A 在⊙O 外，线段OA 的的取值范围是 ． 例2-2O 的半径为6，圆心O 的坐标为(00)，，点P 的坐标为（-2√3,2√6），则点P 与O 的位置关系是（ ） A .点P 在O 上 B .点P 在O 内C .点P 在O 外 D .点P 在O 内或点P 在O 外例2-3在直角坐标平面中，M （2，0），圆M 的半径为4 ，那么点P （-2，3）与圆M 的位置关系是（ ）A ．点P 在圆内B ．点P 在圆上C ．点P 在圆外D ．不能确定．例2-4已知⊙O 的半径为4，A 为线段OP 的中点，当10OP =时，点A 与⊙O 的位置关系是 （ ） A .点A 在O 内 B .点A 在O 上 C .点A 在O 外 D .不能确定例2-5如图所示，已知ABC ∆，90ACB ∠=，12AC =，13AB =，CD AB ⊥于点D ，以C 为圆心，5为半径作⊙C ，则 （ ）A .点D 在圆内，B A 、在圆外 B .点D 在圆内，点B 在圆上，点A 在圆外C .点B 、D 在圆内，A 在圆外 D .点D 、B A 、都在圆外（二）限时巩固、练一练1.已知⊙P 在直角坐标平面内，它的半径是5，圆心P （-3,4），则坐标原点O 与⊙P 的位置位置关系是_________.2.在直角坐标平面内，圆O 的半径为5，圆心O 的坐标为(14)--，．试判断点(31)P -，与圆O 的位置关系．三、圆的基本性质及与三角形的关系（一）典例分析，学一学例3-1如图，点O 是△ABC 的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=（ ）A ．130°B ．100°C ．50°D ．65°例3-3小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商定去的一块玻璃片应该是 （ ）A .第①快B .第②快C .第③快D .第④快（二）限时巩固、练一练下列四个命题中，真命题的个数是 （ ）Ⅲ课堂测评1.下列说法中，正确的是（）A.两个半圆是等弧B.同圆中优弧与半圆的差必是劣弧C.长度相等的弧是等弧D.直径未必是弦2.一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm，则圆的半径为( )(A)16cm或6cm (B)3cm或8cm (C)3cm （D）8cm3.在⊿ABC中，∠C=90°，AB＝3cm，BC＝2cm，以点A为圆心，以2.5cm为半径作圆，则点C和⊙A 的位置关系是（）(A)C在⊙A 上(B)C在⊙A 外(C)C在⊙A 内(D)C在⊙A 位置不能确定。

4.边长为2的等边三角形的外接圆的半径是（）（A）33（B） 3 （C）2 3 （D）2 335.三角形的外心一定在该三角形上的三角形是（）（A）锐角三角形（B）钝角三角形（C）直角三角形（D）等腰三角形6.如图2，EF是⊙O的直径，AB是弦，EF=10cm，AB=8cm，则E、F两点到直线AB的距离之和为（）A. 3cmB. 4cmC. 8cmD. 6cm7.如图3，已知点P是半径为5的⊙O内一定点，且OP=4，则过点P的所有弦中，弦长可能取的整数值为（）A. 5，4，3B. 10，9，8，7，6，5，4，3C. 10，9，8，7，6D. 12，11，10，9，8，7，68.以一个定点为圆心，可以画________个圆，这些圆是________（）A. 无数，同心圆B.一，同心圆C. 无数，等圆D. 一，等圆9.如图，是两个相等的圆相交形成的图形，下列结论正确的是（）A.它既是中心对称图形，又是轴对称图形B.它是中心对称图形，但不是轴对称图形C.它是轴对称图形，但不是中心对称图形D.它既不是中心对称图形，也不是轴对称图形10.与圆心的距离不大于半径的所以点组成（）A. 圆的外部B.圆的内部C. 圆D. 圆的内部和圆11.在同一平面内，过一点可以坐个圆，过两点可以作个圆，过不在同一条直线上的三点可以作个圆.Ⅳ回顾总结一．圆的定义①圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

定点是圆心，定长是圆的半径。

②在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形。

【注意】1.半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置。

2.同心圆：圆心相等、半径不同的两个圆。

3.等圆：半径相同、圆心不同的两个圆。

4.圆既是轴对称图形（经过圆心的任一条直线都是对称轴），又是中心对称图形（圆心是对称中心）。

二．点与圆的位置关系•圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。

•圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。

•圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。

d>；►点P与圆心的距离为d，则点在直线外⇔rd=；点在直线上⇔rd<。

点在直线内⇔r注意：这里是等价关系，即由左边可以推出右边，由右边也可以推出左边。

三．过三点的圆1.不在同一直线上的三点确定一个圆。

2.经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。

Ⅴ 课后巩固1.若一个圆的半径是6cm ，则此圆的最长弦的长度为（ ）A. 6cmB. 8cmC. 10cmD. 12cm 2.以边长为1的正方形ABCD 的顶点A 为圆心，以2为半径作A ，则点C 在A . (填”外”,”上”或”内”)3.直线l 和⊙O 相交于A B 、两点，点O 到直线l 的距离是2cm ，45OAB ∠=，若22OM cm =，22ON cm =，23OP cm =，则点M 在⊙O ______，点N 在⊙O ______，点P 在⊙O ______。

4.在Rt ABC ∆，90C ∠=，6AC cm =，8BC cm =，则它的外心与顶点C 的距离为（ ） A .5cm B .6cm C .7cm D .7cm5.已知⊙O 的半径为4cm ，A 是线段OP 的中点，当6OP cm =时，点A 在⊙O ______；当8OP cm =时，点A 在⊙O ______；当10OP cm =时，点A 在⊙O ______。

6.等边三角形的边长为6cm ，则其外接圆的半径是_______cm 。

7.两个圆的圆心都是O ，半径分别为1r 和2r ，且12r OP r ＜＜，那么点P 在 （ ） A .大⊙O 内 B .小⊙O 内 C .小⊙O 外，大⊙O 内 D .大⊙O 外8.正方形ABCD 的边长为1cm ，对角线AC 与BD 相交于点O 。

以A 为圆心，1cm 为半径画圆，则点B C D O 、、、与⊙A 的位置关系为：点B 在⊙A ____，点C 在⊙A ____，点D 在⊙A ____，点O 在⊙A ____.9.在⊙O 外一点P 到圆的最长距离是10cm ，到圆的最短距离是2cm ，则⊙O 的半径是 （ ） A .8cm B .5cm C .4cm D .3cm 10.下列说法中正确的有 （ ）(1)长度相等的弧是等弧 (2)优弧大于劣弧 (3)直径是弦 (4)等圆的圆心相同 A .1个 B .2个 C .3个 D .4个教师姓名 学生姓名 年级初三 上课时间学科 数学 课题名称圆心角定理与垂径定理待提升的知识点/题型限时训练（2017崇明二模）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列运算错误的是（ ）A. 23x x x +=B. 326()x x =C. 235x x x ⋅=D. 842x x x ÷=2. 一次函数32y x =-+的图像不经过下列各象限中的（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 商场将某种商品按原价的8折出售，仍可获利20元. 已知这种商品的进价为140元，那么这种商品的原价是（ ） A. 160元B. 180元C. 200元D. 220元5. 如图，直线a 与直线b 交于点A ，与直线c 交于点B ，1120∠=︒，245∠=︒，如果使直线b 与直线c 平行，那么可将直线b 绕点A 逆时针旋转（ ）A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°6. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，延长BA 到点E ，使AE AB =，联结ED 、EC 、AC . 添加一个条件，能使四边形ACDE 成为菱形的是（ ）A. AB AD =B. AB ED =C. CD AE =D. EC AD =Ⅰ知识梳理知识点一：圆心角定理（弦、弦心距、弧、圆心角，静态一推三）圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角，所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等（注：等弦对弧分优劣弧）分析： 此定理也称一推三定理，即此四个结论，只要其中1个相等，则推出其它3个相等。

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沪科版数学 九年级下册 -圆 讲义

沪科版数学 九年级下册 -圆 讲义

圆考点1：圆以及与圆有关的概念考点2：圆的性质定理垂径定理圆周角定理切线长定理三角形的内切圆和外接圆圆的内接多边形定理圆相离考点3：与圆有关的位置关系外切相交内切内含考点4：与圆有关的计算弧长，扇形面积的计算圆柱，圆锥相关计算考点一：圆以及与圆有关的概念【笔记】知识点一圆的定义（1）在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫圆心，线段叫做半径；（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

知识点二与圆有关的概念（1）半径：圆心到圆周的距离；直径：经过圆心的弦叫做直径。

直径是半径的2倍。

（2）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。

弦心距：从圆心到弦的距离叫圆心距。

（3）弧：圆上任意两点间的部分叫弧。

优弧：大于半圆的弧叫做优弧。

劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。

半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧．都叫做半圆。

等弧．．：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

（在大小不等的两个圆中，不存在等弧。

（4）圆周角：顶点在圆周上，两条边都与圆相交的角。

（5）圆心角：顶点在圆心上，以半径为两条边的角。

（6）切线：直线和圆有唯一公共点时，这条直线是圆的切线。

在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

（7）弓形：由弦及其所对的弧．．．．．．组成的图形叫做弓形。

（一弦对两弧）（8）同心圆：圆心相同，半径不相等．．．．．的两个圆叫做同心圆。

【例1】下列判断中正确的是( )A. 长度相等的弧是等弧B. 平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C. 弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D. 平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦【答案】C【例2】下列说法中：(1)圆心角相等，所对的弦相等。

(2)过圆心的线段是直径。

(3)长度相等的弧是等弧。

(4)弧是半圆。

(5)三点确定一个圆。

(6)平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

(7)弦的垂直平分线必经过圆心正确的个数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【例3】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数为()A. 10°B. 15°C. 20°D. 25°【答案】A考点二：圆的性质定理【笔记】1.垂径定理概念：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

上海九年级数学上册复习寒假班讲义老师--圆的复习2 (2)

上海九年级数学上册复习寒假班讲义老师--圆的复习2 (2)

圆的复习 2一、知识点回顾考点1：直线和圆的位置关系 1、 d 与r 大小的比较； 2、 切线的判定定理；3、 补充（切线的性质定理，三角形的内心） 考点2：圆和圆的位置关系 1、 d 与R 、r 大小的比较； 2、 相离（外离、内含）；相切分类（外切、内切）；内含（同心圆特例）；圆心距与连心线； 3、 两圆相交的定理（公共弦与连心线）；4、 两圆相切的定理（连心线与切点） 考点3：正多边形与圆1、 对称性（当n 为奇数；当n 为偶数）；2、 内切圆、外接圆，中心、半径、边心距，边长，中心角等概念；3、 计算（先算中心角，再解直角三角形）正三、四、六；4、 作图（等分圆）二、典型例题例1、如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，∠OAB=30° （1）求∠APB 的度数；（2）当OA=3时，求AP 的长。

例2、已知：⊙O 的直径AB =8，⊙B 与⊙O 相交于点C 、D ，⊙O 的直径CF 与⊙B 相交于点E ，设⊙B 的半径为x ，OE 的长为y .（1） 如图，当点E 在线段OC 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （2） 当点E 在直径CF 上时，如果OE 的长为3，求公共弦CD 的长.练习：1、已知点P 在线段AB 上，点O 在线段AB 的延长线上。

以点O 为圆心，OP 为半径作圆，点C 是圆O 上的一点（1）如图，如果AP=2PB ，PB=BO 。

求证：△CAO ∽△BCO ； （2）如果AP=m （m 是常数，且m 〉1），BP=1，OP 是OA 、OB 的比例中项。

当点C 在圆O 上运动时，求AC ：BC 的值（结果用含m 的式子表示）； （3）在（2）的条件下，讨论以BC 为半径的圆B 和以CA 为半径的圆C 的位置关系，并写出相应m 的取值范围。

2、在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（0，4），直线CM x ∥轴（如图2所示）． 点B 与点A 关于原点对称，直线b x y +=（b 为常数）经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，联结OD ． （1）求b 的值和点D 的坐标；（2）设点P 在x 轴的正半轴上，若△POD 是等腰三角形，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，如果以PD 为半径的⊙P 与⊙O 外切，求⊙O 的半径．例3、如图3-1、在矩形ABCD 中，AB=20cm ，BC=4cm ，点P 从A 开始沿折线A —B —C —D 以4cm/s 的速度移动，点Q 从C 开始沿CD 边以1cm/s 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达D 时，另一点随之停止运动，设运动时间为t （s ）. (1) t 为何值时，四边形APQD 为矩形？（2）如图3-2，如果⊙P 和⊙Q 的半径都是2cm ，那么当t 为何值时，⊙P 和⊙Q 外切？xbAQ CBP 图3-1C A B图3-2练习：1、如图，已知⊙O 的弦AB 垂直于直径CD ，垂足为F ，点E 在AB 上，且EA=EC. （1）求证：AB AE AC ⋅=2;（2）延长EC 到点P ，联结PB ，若PB=PE ，求证：PB ⊥OB ，并说明PB 与⊙O 的位置关系. BP C F O D E A2、如图，在平面直角坐标系中，点E 从坐标原点O 出发，以1个单位/秒的速度沿x 轴正方向运动，点F 从坐标原点O 出发，以2个单位/秒的速度沿y 轴正方向运动.B(4,2)，以BE 为直径作⊙M.（1）若点E 、F 同时出发，设线段EF 与线段OB 交于点G ，试判断点G 与⊙M 的位置关系，并证明你的结论； （2）在（1）的条件下，联结FB ，几秒时FB 与⊙M 相切？O E三、课堂巩固练习：1、已知Rt △ABC 的斜边AB=8cm ，AC=4cm ，以点C 为圆心作圆，当半径R=•_____•时，AB 与⊙O 相切。

沪教版(上海)九年级数学第一说课稿：24.3(4)三角形一边的平行线

沪教版(上海)九年级数学第一说课稿：24.3(4)三角形一边的平行线

（二）教学反思
在教学过程中，可能预见的问题包括学生对定理理解不深、解题思路不清晰以及课堂参与度不高。为应对这些问题，我会采取以下措施：在讲解定理时，通过举例和实物模型帮助学生理解；在解题过程中，引导学生逐步分析问题，培养他们的逻辑思维能力；通过小组讨论和问答环节，提高学生的参与度。课后，我将通过学生的作业和课堂表现来评估教学效果。具体的反思和改进措施包括：分析学生的作业错误，找出教学中的不足，调整教学方法和节奏；根据学生的反馈，调整课堂互动环节，增加学生的参与机会；定期进行教学总结，反思教学设计是否合理，不断优化教学策略。
（3）通过练习，运用三角形一边的平行线的性质和判定定理解决问题。
3. 情感态度与价值观：培养学生对平面几何的学习兴趣，提高学生的合作意识和团队精神，形成严谨的科学态度。
具体目标：
（1）激发学生对平面几何的学习兴趣；
（2）培养学生在解决问题过程中团结协作、共同进步的精神；
（3）养成严谨、细致、不怕困难的科学态度。
（二）新知讲授
在新知讲授阶段，我将遵循由浅入深的顺序呈现知识点。首先，我会通过几何模型和动态几何软件直观展示三角形一边的平行线，让学生观察并发现其性质。然后，我会引导学生回顾之前学过的平行线性质和三角形的基本性质，为学生提供必要的理论基础。接下来，我会逐步介绍三角形一边的平行线的性质和判定定理，并通过具体例题演示如何运用这些定理。在讲授过程中，我会不断提问，鼓励学生思考，确保他们能够深入理解并掌握每一个知识点。
（二）媒体资源
我将使用以下教具、多媒体资源或技术工具来辅助教学：几何模型、PPT演示、动态几何软件和实物投影仪。几何模型可以帮助学生直观地理解三角形一边的平行线性质；PPT演示用于展示教学流程和重点内容，使信息传递更加清晰；动态几何软件能够演示图形的变化，帮助学生形成直观的几何概念；实物投影仪则可以实时展示学生的作业和解答过程，便于全体学生共同讨论和评价。这些媒体资源在教学中的作用是提高学生的学习兴趣，增强直观感知，以及促进信息的有效传递。
沪教版(上海)九年级数学第二学期课件：27.《圆》复习(二)(共43张ppt)

沪教版(上海)九年级数学第二学期课件：27.《圆》复习(二)(共43张ppt)

A
点D是BC的中点.
O B DC
2020/6/13
3.如图,已知PA、PB切圆O于点A,B, 过弧AB上任一点E作圆O的切线,交 PA,PB于点C,D,则:
．．A C．E P
O
．D
B
(1) △PCD的周长=2PA
(2) ∠COD= 900- 1∠APB
d＜R-r
典型例题:
如图, ⊙O的直径AB=12,以OA为直径的 ⊙O1交大圆的弦AC于D,过D点作小圆的 切线交OC于点E,交AB于F.
C
DE A O1 O F B
(1)说明D是AC的中点.
(2)猜想DF与OC的位 置关系,并说明理由. (3)若DF=4,求OF的长.
2020/6/13
基本练习
O
R
A
1 2
a
d C
(1a)2d2 R2 a2
B
八.正多边形和圆: （4）.正多边形的有关计算
②设圆的半径为R,则圆的外切正三角形、正方形、正六边形的有关计算。
正多边形边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积
3
60° 120°R 2 3 R
R
2
6 3 R 3 3R
4 90° 90° R 2R R 8R 4 R 2
1.如图， ⊙O1和⊙O2内切于点T， ⊙O2的弦TA， TB分别交⊙O1于C，D，连接AB，CD
求证：AB//CD
证明：
过T作两圆的公切线EF 根据弦切角定理有：
∠TAB=∠BTE,∠TCD=∠DTE ∵∠BTE、∠DTE是同一角 ∴∠TAB＝∠TCD ∴AB//CD
B
A
D o·2 C o·1
ET
2020/6/13
八.正多边形和圆: