直线与椭圆的位置关系

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专业word可编辑 . 直线与椭圆的位置关系

一、教材分析

《直线与椭圆的位置关系》是高中选修2-1第二章的第二节第三课时，本节课学生已学习了直线与圆的位置关系，以及椭圆的定义、标准方程和简单的几何性质.在推导直线与椭圆的位置关系的过程中所涉及到的推理思维与研究直线与圆的位置关系基本一致，这一点充分体现了”类比”的思想,培养了学生知识的迁移能力。同时这种方法也将为后面继续学习直线与圆锥曲线的位置关系提供了一种研究模式。在此过程中，进一步用坐标法解决一些简单几何问题，感受“数形结合”的基本思想。在位置关系的判断以及相交求弦长时用到了初中学习的一元二次方程的求根公式和韦达定理.

初中：一元二次方程求根公式,判别式

高中：直线与圆锥曲线的位置关系

承上启下韦达定理

数形结合思想、类比思想、化归思想

教学目标

知识与技能

1、掌握利用根的判别式判断直线与椭圆位置关系的方法

2、初步探寻弦长公式有关知识

过程与方法

通过问题的提出与解决培养学生探索问题，解决问题的能力。领悟数形结合和类比,化归等思想。

情感态度与价值观 .. ..

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专业word可编辑 . 揭示了客观世界中相互依存又相互制约的关系，培养学生独立思考, 勇于探索,合作交流的能力。

二、学情分析

1、知识基础：高中学习了直线与圆的位置关系，椭圆的定义、标准方程和简单的几何性质，初中学习了求根公式和韦达定理都对本节知识做好了铺垫。

1 直线与椭圆复习

知识与归纳：

1..点与椭圆的位置关系

点P(x0，y0)在椭圆12222byax内部的充要条件是1220220byax；在椭圆外部的充要条件是1220220byax；

在椭圆上的充要条件是1220220byax.

2.直线与椭圆的位置关系.

设直线l：Ax+By+C=0，椭圆C：12222byax，联立l与C，消去某一变量(x或y)得到关于另一个变量的一元二次方程，此一元二次方程的判别式为Δ，

则l与C相离的Δ<0； l与C相切Δ=0；

l与C相交于不同两点Δ>0.

3.弦长计算

计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)|P1P2|=221221)()(yyxx 212212111yykxxk（k为直线斜率）形式(利用根与系数关系

一，直线与椭圆的位置关系

例题1、判断直线03ykx与椭圆141622yx的位置关系

例题2、若直线)(1Rkkxy与椭圆1522myx恒有公共点，求实数m的取值范围

二、弦长问题

例3、已知椭圆11222yx的左右焦点分别为F1,F2，若过点P（0，-2）及F1的直线交椭圆于A,B两点，求⊿ABF2的面积

2

例题4、 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点1F作倾斜解为3的直线交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．

一、求中点弦所在直线方程问题

例1 过椭圆141622yx内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程。

二、求弦中点的轨迹方程问题

例2 过椭圆1366422yx上一点P（-8，0）作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹方程。

三、弦中点的坐标问题

例3 求直线1xy被抛物线xy42截得线段的中点坐标。

例题5、已知)2,4(P是直线l被椭圆193622yx所截得的线段的中点，求直线l的方程．

直线与椭圆的位置关系

直线与椭圆的位置关系是数学几何学的一个重要问题。在这篇文档中，我们将讨论直线与椭圆的几种可能的位置关系。

直线位于椭圆内部

当一条直线完全位于椭圆内部时，我们可以得到以下几种情况：

1. 直线与椭圆没有交点：这意味着直线与椭圆没有任何交点，且直线与椭圆的轴是平行的。

2. 直线与椭圆有两个交点：这说明直线与椭圆相交于两个点，椭圆的两个焦点位于直线上。

直线与椭圆位于同一平面

当直线与椭圆位于同一平面时，我们可以得到以下几种情况：

1. 直线与椭圆相切：这种情况下，直线与椭圆只有一个交点，并且交点是椭圆的一个焦点。 2. 直线与椭圆相交于两点：这意味着直线与椭圆相交于两个不同的点，并且这两个点分别位于椭圆的两个焦点的同侧。

3. 直线与椭圆相离：这种情况下，直线与椭圆没有任何交点，并且直线与椭圆的轴平行。

直线与椭圆相交于无穷多点

当直线与椭圆相交于无穷多点时，这种情况被称为直线与椭圆重叠。直线与椭圆重叠意味着直线和椭圆重合，任意一点都同时位于直线和椭圆上。

结论

通过研究直线与椭圆的位置关系，我们可以得出结论：直线与椭圆的位置关系取决于直线与椭圆之间的交点数量和位置。这个问题在计算机图形学、建筑设计等领域都有广泛的应用。了解这些位置关系有助于我们更好地理解直线和椭圆之间的几何性质。

总之，直线与椭圆的位置关系是一个有趣且复杂的问题，通过分析直线与椭圆的交点情况，我们可以获得更多关于它们的几何特性的信息。

直线与椭圆的位置关系

1、直线与椭圆的位置关系的判定

判断直线与圆位置关系的方法直线与圆的位置关系有以下三种d>rd0∆<0∆=0几何法：代数法：

怎么判断它们之间的位置关系？能用几何法吗？椭圆与直线的位置关系有以下三种不能！所以只能用代数法----求解直线与二次曲线有关问题的通法。因为椭圆不像圆一样有统一的半径。

椭圆与直线的位置关系及判断方法判断方法这是求解直线与二次曲线有关问题的通法。∆<0∆=0∆>0（1）联立方程组（2）消去一个未知数,得关于x（或y）的一元二次方程（3）相交相切相离 例1当m为何值时，直线l : y=x+m与椭圆•9x2+16y2=144相切、相交、相离？

离2、有关弦长问题

例2 设直线12yx与椭圆2242xy相交于

点AB、，求弦AB的长

【答案】625

注意：直线与二次曲线相交弦长的求法

（1）联立方程组 （2）消去一个未知数

（3）利用弦长公式:

弦长公式：

2214ABABkxxxx（）2||1||ABABkxx

但有关圆的弦长一般运用垂径定理！

特殊的弦—

通径：经过椭圆的焦点且垂直于椭圆长轴的弦

222bABa

《成才》课后强化训练 （八）13

3、与弦中点有关的问题

例3 椭圆221369xy的一条弦被(4,2)A平分,那么这条弦所在的直线方程是

A．20xy B．2100xy

C．220xy D．280xy

【答案】D

注意：弦中点问题的两种处理方法：

（1）联立方程组，消去一个未知数，

利用韦达定理；

（2）设两端点坐标，代入曲线方程

相减可求出弦的斜率----点差法

4、椭圆中的最值问题

《成才之路》P27 例5

已知椭圆2288xy，在椭圆上求一点P，使P到直线:40lxy的距离最小，并求出最小值。