直线与椭圆的位置关系
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直线与椭圆的位置关系
【重要考点】
1. 直线与椭圆的位置关系及判断方法
（1）直线和椭圆有三种位置关系：相交、 相切 、 相离 ；
（2）直线和椭圆的位置关系的判断：设直线方程：y＝kx＋m，椭圆方程：22221xyab（0ab），两方程联立消去y可得：Ax2＋Bx＋C＝0，其判别式为Δ＝B2－4AC。
当Δ＞0时，直线与椭圆 相交 ；
当Δ＝0时，直线与椭圆 相切
；
当Δ＜0时，直线与椭圆 相离
。
2. 向量的运算及其中一些特殊几何关系在直线和椭圆解题中的运用，例如直线ABAC可转化为0ABAC。
【易错点辨析】
解答直线和椭圆相关问题要注意避免出现如下两种错误：
（1）对直线l斜率的存在性不作讨论而直接设为点斜式，出现漏解或思维不全造成步骤缺失；
（2）对二次项系数不为零或Δ≥0这个前提忽略而直接使用根与系数的关系。
例题1 在直角坐标系xOy中，椭圆C：x24＋y23＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点M（23，263）为C上的一点，点N满足MN→＝MF1→＋MF2→，直线l∥MN，且与曲线C交于A、B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点O，求直线l的方程。
解析：由MN→＝MF1→＋MF2→知四边形MF1NF2是平行四边形，其中心为坐标原点O，因为l∥MN，所以l与OM的斜率相同。故l的斜率k＝26323＝6。
设l的方程为y＝6（x－m）。
由 3x2＋4y2＝12，y＝6(x－m)，消去y并化简得
9x2－16mx＋8m2－4＝0。
设A（x1，y1），B（x2，y2），x1＋x2＝16m9，x1x2＝8m2－49。
因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0。
x1x2＋y1y2＝x1x2＋6（x1－m）（x2－m）
＝7x1x2－6m（x1＋x2）＋6m2
＝7·8m2－49－6m·16m9＋6m2
＝19（14m2－28）＝0。
所以m＝±2。
此时Δ＝（16m2）－4×9（8m2－4）>0，
故所求直线l的方程为y＝6x－23或y＝6x＋23。 答案：y＝6x－23或y＝6x＋23
点拨：（1）根据向量加法的平行四边形法则及题目的条件，确定MN2MO，求出直线MO的斜率即为直线l的斜率，不必求出N点坐标，达到简化运算的目的。
（2）以AB为直径的圆过原点O，此条件可等价转化为OAOB，即：0OAOB。
（3）直线和曲线方程联立后，注意判别式的应用，不要忽略这一隐含条件。
例题2 已知椭圆C的方程是x24＋y2＝1，设过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围。
解析：由题意知，直线l的斜率存在且不为零。
设直线l的方程为y＝kx＋2，A（x1，y1），B（x2，y2）。
联立方程，得 x24＋y2＝1，y＝kx＋2，消去y，得
（1＋4k2）x2＋16kx＋12＝0。
由题知Δ＝（16k）2－4（1＋4k2）·12>0，∴k2>34。
易知x1x2＝121＋4k2，x1＋x2＝－16k1＋4k2。
又∠AOB为锐角，∴OAOB>0。
∴x1x2＋y1y2>0，∴x1x2＋（kx1＋2）（kx2＋2）>0。
∴（1＋k2）x1x2＋2k（x1＋x2）＋4＝（1＋k2）121＋4k2＋2k（－161＋4k2）＋4＝44－k21＋4k2>0，∴k2<4。
又∵k2>34，∴34 答案：k∈（－2，－32）∪（32，2） 点拨：1. 研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，但对于选择题、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解。2. 本题中，∠AOB为锐角可以转化为OAOB>0来列关系式求解。
