判定三角形全等定理

“要全等，三条件，至少要有一条边；如果具有二条边，夹角必须在中间” （SSS、SAS、ASA、AAS、HL）

一、全等三角形判定定理：

1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)

在△ABC和△ DEF中

AB=DE

BC=EF

CA=FD

∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）

2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)

在△ABC与△DEF中

AC=DF

∠C=∠F

BC=EF

∴△ABC≌△DEF（SAS）

3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)

在△ABC和△DEF中

∠A=∠D （已知 ）

AB=DE（已知 ）

∠B=∠E（已知 ）

∴ △ABC≌△DEF（ASA）

4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)

在△ABC和△DFE中

∠A=∠D ,

∠C=∠F

AB=DE

∴△ABC≌△DFE(AAS)

5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)

Rt△ABC和Rt△A′B′C′中

AB=AB (直角边)

BC = B′C′（斜边）

∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）

二、全等三角形的性质 1、全等三角形的对应角＿相等＿＿＿＿

2、全等三角形的对应边、对应中线、对应高、对应角平分线＿相等＿＿

注意：

1、斜边、直角边公理（HL）只能用于证明直角三角形的全等，对于其它三角形不适用。

2、SSS、SAS、ASA、AAS适用于任何三角形，包括直角三角形。

三、角平分线的性质

角平分线上的点到角的两边的距离相等。

P在AOB的平分线上

PDOA于D，PEOB于E PDPE

四、角平分线的判定

到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

PDOA于D，PEOB于E

且PDPE P在AOB的平分线上

（或写成OP是AOB的平分线）

一、全等三角形判定定理：

1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)

在△ABC和△ DEF中

AB=DE

BC=EF

CA=FD

∴ △ABC ≌△ DEF〔SSS〕

2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)

在△ABC与△DEF中

AC=DF

∠C=∠F

BC=EF

∴△ABC≌△DEF〔SAS〕

3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)

在△ABC和△DEF中

∠A=∠D 〔 〕

AB=DE〔 〕

∠B=∠E〔 〕

∴ △ABC≌△DEF〔ASA〕

4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)

在△ABC和△DFE中

∠A=∠D ,

∠C=∠F

AB=DE

∴△ABC≌△DFE(AAS)

5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)

Rt△ABC和Rt△A′B′C′中

AB=AB (直角边)

BC = B′C′〔斜边〕

∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′〔HL〕

二、全等三角形的性质

1、全等三角形的对应角＿相等＿＿＿＿

2、全等三角形的对应边、对应中线、对应高、对应角平分线＿相等＿＿

注意： Haha 1、斜边、直角边公理〔HL〕只能用于证明直角三角形的全等，对于其它三角形不适用。

2、SSS、SAS、ASA、AAS适用于任何三角形，包括直角三角形。

三、角平分线的性质

角平分线上的点到角的两边的距离相等。

P在AOB的平分线上

PDOA于D，PEOB于E PDPE

四、角平分线的判定

到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

PDOA于D，PEOB于E

且PDPE

P在AOB的平分线上

〔或写成OP是AOB的平分线〕

初中数学三角形全等五个判定方法

1. SSS（边边边）判定定理

- 内容：三边对应相等的两个三角形全等。

- 解释：如果有两个三角形，它们的三条边分别相等，那么这两个三角形的形状和大小完全一样，是全等三角形。例如，在三角形ABC和三角形DEF中，若AB = DE，BC = EF，AC

= DF，那么可以判定三角形ABC全等于三角形DEF，记作△ABC△△DEF。

- 应用场景：当已知两个三角形的三边长度时，就可以直接使用SSS判定定理来证明它们全等。比如在建筑工程中，要确定两个三角形结构的钢梁是否完全一样，只要测量三边长度是否相等即可。

2. SAS（边角边）判定定理

- 内容：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

- 解释：对于两个三角形，有两条边以及这两条边所夹的角分别相等，那么这两个三角形全等。在三角形ABC和三角形DEF中，若AB = DE，△B = △E，BC = EF，那么△ABC△△DEF。这里的角必须是两条边的夹角，顺序不能颠倒。

- 应用场景：在几何证明中，如果已知两个三角形有两条边相等，并且这两条边所夹的角也相等，就可以使用SAS判定定理。例如在测量土地时，已知两块三角形土地的两边长度及其夹角相等，就可以判定这两块土地的形状完全相同。

3. ASA（角边角）判定定理

- 内容：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

- 解释：如果两个三角形中有两个角以及这两个角所夹的边分别相等，那么这两个三角形是全等的。比如在三角形ABC和三角形DEF中，若△A = △D，AB = DE，△B = △E，那么△ABC△△DEF。这里的边是两个角的夹边。

- 应用场景：当已知两个三角形的两个角和它们的夹边相等时，可使用该定理。在航海中，通过测量两个角度和它们的夹边长度来确定两个三角形海域是否全等，从而判断船只的位置和航线。

4. AAS（角角边）判定定理

- 内容：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

专题12.2 三角形全等的判定

全等三角形的判定定理

（1）边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.

（2）边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.

（3）角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.

（4）角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.

（5）斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. （只适用两个直角三角形）

【例题1】如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）

A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD

【答案】D．

【解析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．

∵AB=AC，∠A为公共角，

A．如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；

B．如添AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；

C．如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；

D．如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件．

【点拨】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．

【例题2】如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF＝BE．求证：AF＝CE．

【答案】见解析。

【解析】证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，

在△ADF和△BCE中，，

∴△ADF≌△BCE（SAS），

∴AF＝CE．

【点拨】由SAS证明△ADF≌△BCE，即可得出AF＝CE．

【例题3】如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．