人教B版高中数学选修(2-2)-3.1《实数系、复数的概念》教学课件2

1 高中数学 第三章 数系的扩充与复数 3.1.1 实数系 3.1.2 复数的概念课堂探究 新人教B版选修2-2

探究一 对复数相关概念的理解

首先要正确理解复数、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等等相关概念，注意复数集和实数集中有关性质的不同，其次要注意通过列举一些反例明确某些命题的真假．

【典型例题1】 判断以下命题是否正确？

(1)复数由实数、虚数、纯虚数构成；

(2)两个复数一定不能比较大小；

(3)复数m＋ni中，实部和虚部分别是m和n；

(4)在复数a＋bi(a，b∈R)中，若a≠0，则a＋bi一定不是纯虚数；

(5)满足x2＝－1的数x只能是i；

(6)若a∈R，则复数(a＋2)i是纯虚数．

解：(1)不正确．复数是由实数和虚数构成的，虚数中包含纯虚数；

(2)不正确．复数不一定能比较大小，当两个复数都是实数时，它们就可以比较大小；

(3)不正确．对于复数m＋ni，由于没有条件“m，n∈R”，所以其实部和虚部不一定等于m和n；

(4)正确．在复数a＋bi(a，b∈R)中，只要a≠0，不论b＝0还是b≠0，它一定不是纯虚数；

(5)不正确．满足x2＝－1的数x＝±i；

(6)不正确．当a＝－2时，复数(a＋2)i就是实数0，不是纯虚数，只有当a∈R且a≠－2时，(a＋2)i才是纯虚数．

探究二 复数的分类

1．解决复数的分类问题时，主要依据复数z＝a＋bi(a，b∈R)是实数、虚数、纯虚数的充要条件进行求解，列出相应的等式或不等式组求出参数的值或范围，但若已知的复数z不是a＋bi(a，b∈R)的形式，应先化为这种形式，得到复数的实部、虚部再进行求解．

2．应特别注意z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数的条件是a＝0且b≠0，不能忘记b≠0这一限制条件．

【典型例题2】 已知m∈R，复数z＝mm＋3m－1＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，

(1)z∈R；

(2)z是虚数；

(3)z是纯虚数；

复数中的几个结论及共应用

数系由实数系扩充到复数系之后，实数系中哪些公式和法则仍然成立，哪些不成立，又有哪些新的公式和法则，是同学们不易弄清的问题，以下给出几则在复数系中仍然成立的公式和法则及几个新的公式和法则，并简单举例说明其应用.

一、中点公式：

A点对应的复数为1111()abiabRR，，B点对应的复数为2222()abiabRR，，C点为AB，两点的中点，则C点对应的复数为11222abiabi，即121222aabbi．

例1 四边形ABCD是复平面内的平行四边形，ABC，，三点对应的复数分别为132iii，，，求D点对应的复数．

解：由已知应用中点公式可得AC，的中点对应的复数为322i，所以D点对应的复数为32[22(1)]352ii．

二、根与系数的关系：

若实系数方程20(0)axbxca的两复根为11abi，22abi，则有1122babiabia，1122()()cabiabia·．

推论：若实系数方程20(0)axbxca有两虚数根，则这两个虚数根共轭．

例2 方程20xaxb的一个根为1i，求实数a，b的值．

解：已知实系数方程的一个根为1i，由推论知方程的另一根为1i，由根与系数的关系可知(11)2aii，(1)(1)2bii·．

三、相关运算性质：

①z为实数2220zzzzz，z为纯虚数200(0)zzzz；

②对任意复数有zz； ③1212zzzz；

④1212zzzz··，特别地有22()zz；

⑤1122zzzz；⑥2zzz·．

例3 设1z，且zi，求证21zz为实数．

证明：由条件可知0z，则21zzz·，

所以11zzz，1212222211()11()11zzzzzzzzzzzz，

1 3.1.2复数的几何意义

项目 内容

课题 3.1.2复数的几何意义 修改与创新

教学目标 1、理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的

2、能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。

教学重、

难点 重点：理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。

难点：根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。

教学准备 直尺、粉笔

教学过程 一、复习准备：

1. 说出下列复数的实部和虚部，哪些是实数，哪些是虚数。

14,72,83,6,,20,7,0,03,3iiiiiii

2．复数(4)(3)zxyi，当,xy取何值时为实数、虚数、纯虚数？

3. 若(4)(3)2xyii，试求,xy的值，（(4)(3)2xyi呢？）

二、讲授新课：

1. 复数的几何意义：

① 讨论：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？

（分析复数的代数形式，因为它是由实部a和虚部同时确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或点的坐标） 结论：复数与平面内的点或序实数一一对应。

②复平面：以x轴为实轴， y轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面。

复数与复平面内的点一一对应。

③例1：在复平面内描出复数14,72,83,6,,20,7,0,03,3iiiiiii分别对应的点。

（先建立直角坐标系，标注点时注意纵坐标是b而不是bi） 2 观察例1中我们所描出的点，从中我们可以得出什么结论？

④实数都落在实轴上，纯虚数落在虚轴上，除原点外，虚轴表示纯虚数。

思考：我们所学过的知识当中，与平面内的点一一对应的东西还有哪些？

⑤Zabi一一对应复数复平面内的点(a,b)，Zabi一一对应复数平面向量OZ，一一对应复平面内的点(a,b)平面向量OZ

注意：人们常将复数zabi说成点Z或向量OZ，规定相等的向量表示同一复数。

1 高中数学 第三章 数系的扩充与复数 3.1.1 实数系 3.1.2 复数的概念自我小测 新人教B版选修2-2

1．有下列四个命题：

(1)方程2x－5＝0在自然数集N中无解；

(2)方程2x2＋9x－5＝0在整数集Z中有一解，在有理数集Q中有两解；

(3)x＝i是方程x2＋1＝0在复数集C中的一个解；

(4)x4＝1在R中有两解，在复数集C中也有两解．

其中正确命题的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

2．复数i－i2的实部等于( )

A．0 B．1 C．－1 D．i

3．适合x－3i＝(8x－y)i的实数x，y的值为( )

A．x＝0且y＝3 B．x＝0且y＝－3 C．x＝5且y＝3 D．x＝3且y＝0

4．若复数z＝(a＋|a|)i(a∈R)是纯虚数，则必有( )

A．a＝0 B．a≠0 C．a≥0 D．a＞0

5．已知复数z＝k2－3k＋(k2－5k＋6)i(k∈R)，且z＜0，则k的取值范围是( )

A．2或3 B．3 C．2 D．0

6．以3i－2的虚部为实部，以－3＋2i的实部为虚部的复数是________．

7．已知(m2＋7m＋10)＋(m2－5m－14)i＝0，则实数m＝________.

8．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)＞1，则实数x的值是__________．

9．实数x分别取什么值时，复数z＝x2－x－6x＋3＋(x2－2x－15)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？(4)－2－15i？(5)0?

10．若不等式m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10成立，求实数m的值．

2 参考答案

1．解析：(1)中方程的解为52N，故(1)正确；(2)中方程的两个解为x1＝－5，x2＝12在Z中有一解，在Q中有两解，故(2)正确；(3)显然正确；(4)x4＝1在R中有两解±1，在C中应有4个解：±1，±i，故(4)错误．