人教A版高中数学选修1-2《3.1.1数系的扩充和复数的概念》课件

1 数系的扩充

1 教学流程与设计意图

1.1 设置情境，再现历史

问题1 将10分成两部分，使两者的乘积为40．

设计意图：一方面展示数学家卡当的风采，激发学生的学习兴趣；另一方面，引领学生重温历史，感悟数学发现并不神秘，数学家也是从常规问题入手．

问题2 有没有两个数之和为10呢？有没有两个数之积为40呢？那为什么刚才的问题无解呢？

设计意图：充分暴露数学家的思维过程，一方面让学生体验数学家的科研精神，另一方面让学生处于“愤悱”状态．

问题3 实数集中有没有这两个数？

设计意图：打破原有认知平衡，形成认知冲突，让学生感受到数已经不够用了，体现学习新知识的必要性．

1.2 设计问题，追溯历史

问题4 数集经历了哪几次扩充？

设计意图：学生已经学习过自然数、整数、分数、负数、有理数、无理数、实数等，在此基础之上，帮助学生重新建构数集的扩充过程，即自然数集→整数集→有理数集→实数集，这是学生的“最近发展区”，也是本节课知识的生长点．

问题5 每一次扩充分别解决了哪些问题？

计意意图：学生通过小组合作交流、回忆、思考每次数集扩充的必要性，解决了哪些问题，即数集为什么要扩充？通过板书：

让学生感受到这些数的产生不是从天而降，是数学内部发展的需要，也是社会发展的需要． 自然数集 负整数 引入

无理数 引入

分数 引入 整数集 有理数集 实数集

＋

×

乘方 ＋

×

乘方

－ ＋

×

乘方

－

÷ ＋

×

乘方

－

÷

开方 2 问题6 这几次扩充有什么共同的特点？

设计意图：一方面培养学生的观察、概括与表达能力；另一方面通过对前几次数集扩充的梳理，为数系的再一次扩充以及如何扩充打好了坚实的基础，让学生感受到数系扩充的合理性，并能提炼出数系扩充的一般原则．由此，突破本节课的一个难点．

1.3 借鉴历史，生成理论

T： 然而，历史在前进，社会在发展，生活中的矛盾不断涌现．五百多年前一个怪东西摆在卡当面前，即－15开平方问题（板书：15）．要解决15问题，就是要找一个数的平方为－15（板书：2()1515(1)）．我们知道，15已经解决，因此问题即转化为找一个数的平方为－1？（板书：2()1？）

第三章 数系的扩充与复数的引入

3.1 数系的扩充和复数的概念

一、教学目标

1.核心素养

通过学习数系的扩充和复数的概念，初步形成基本的数学抽象和逻辑推理能力.

2.学习目标

（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.

（2）理解复数的基本概念，复数的代数形式及复数相等的充要条件.

（3）复数的向量表示.

3.学习重点

复数的概念，复数的代数形式，复数的向量表示.

4.学习难点

复数相等的条件，复数的向量表示.

二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

任务1 阅读教材P102，思考：方程210x在实数集中无解.联系从自然数系到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？

任务2 阅读教材P103，思考：复数集C和实数集R有什么关系？

任务3 阅读教材P104-P105，思考：实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可以用数轴上的点来表示.类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？

2.预习自测

1.下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是( )

A.±1

B.±i

C.±2i

D.±2i 解：C

2.已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是( )

A.2，1

B.2，5

C.±2，5

D.±2，1

解：C

3.如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为( )

A.1

B.0

C.－1

D.－1或1

解：B

（二）课堂设计

1.知识回顾

（1）对因生产和科学发展的需要而逐步扩充数集的过程进行概括

自然数→分数→负数→整数→有理数→无理数→实数

2.问题探究

问题探究一 数系的扩充 重点知识★

对于实系数一元二次方程210x，没有实数根.我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？

1 3.1.-1.2实数系与复数的引入

【使用说明】

1、课前完成导学案，牢记基础知识，掌握基本题型；

2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探究，答疑解惑。

【重点难点】复数的定义虚数单位;复数集的构成;复数相等的应用.

虚数单位;复数集的构成;复数相等的应用

【学习目标】

1、 知识与技能：实数系的总结，复数定义

（1）通过实例分析复数的定义虚数单位;复数集的构成;复数相等的应用.

虚数单位;复数集的构成;复数相等的应用，

2、过程与方法：小组合作探究；

3、情感态度与价值观：以极度的热情，自动自发，如痴如醉，投入到学习中，充分享受学习的乐趣感受人类理性思维对数学发展所起的重要作用,进行历史唯物主义教育与辩证唯物主义教育.

。

一，自主学习

1. ：N、Z、Q、R分别代表什么？它们的如何发展得来的？

（让学生感受数系的发展与生活是密切相关的）

2 . 判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与的关系）：

（1）2340xx （2）2450xx （3）2210xx （4）210x

3. 人类总是想使自己遇到的一切都能有合理的解释，不想得到“无解”的答案。

讨论：若给方程210x一个解i，则这个解i要满足什么条件？i是否在实数集中？

实数a与i相乘、相加的结果应如何？

4请对实数系进行分类

班级： 姓名： 组别： 组号： 使用时间： 教师评价：

2 1.复数的概念：

①定义复数：复数 代数形式

实部 虚部 虚数单位

复数集

1 课堂教学单元教案

科目：高二数学

课 题：数系的扩充与复数的引入

一．数学分析：

（1）复数系是在实数系的基础上扩充儿得到的，为了帮助学生了解学习复数的必要性，了解实际需求和数学内部的矛盾在数系扩充中的作用，本章从一个思考问题开始，在问题情境中简单介绍了由实数系扩到复数系的过程，这样不仅可以激发学生的学习复数的欲望，而且也可以比较自然的引入复数的学习之中。

复数的概念是整个复数内容的基础，复数的有关概念都是围绕复数的代数形式展开的，虚数单位、实部、虚部、复数相等的充要条件、以及虚数，纯虚数等概念的理解都应促进对复数实质的理解，即复数实际上一有序的实数对。类比实数可以用数轴上的点表示，把复数在直角坐标系中表示出来，就得到了复数的集合表示。用复平面内的点或平面向量表示复数，不仅使抽象的复数得到直观形象的表示，而且也使数和形得到了有机的结合。

（2）复数代数形式的四个运算，及复数代数形式的加法，减法，乘法和除法，重点是加法和乘法。复数加法和乘法的法则是规定的，是具有其合理性的；这种规定与实数的加法，乘法的法则是一致的，而且实数的加法，乘法的有关运算仍然成立的。

二．学情分析：

1.知识掌握上，高二年级的学生已经学过实数的扩充，已经有一定基础，但是扩充的过程可能会有所遗忘，所以首先应该进行适当的引入复习，同时高二的学生已经掌握了一些分析思考的能力，所以教学中通过问题的提出到解决过程有意识地进一步应用、提高学生的这些能力；

2.心理上，多数学生感觉到数学过于枯燥繁琐，而且刚刚学的一章内容“推理与证明”又是数学中的难点，所以学生对新的一块内容可能也带有异样情绪，因此在引入、学习时要能让学生们能够感兴趣并且愿意去了解；

3.学生学习本节内容可能存在的知识障碍：学生学习本节内容可能会遇到一些障碍，如对复数的理解，复数的引入是否具有实际意义，复数的引入是否具有实际应用，复数相等条件的理解等。所以教学中对复数概念的讲解中尽量以简单明白、深入浅出的分析为主，在引入后花少许时间对复数的实际意义、复数的实际应用作以解释。