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1.4 全称量词与存在量词
1. 全称量词、全称命题定义：
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示。（常见的全称量词还有“一切” “每一个” “任给” “所有的”等 。 ）
含有全称量词的命题，叫做全称命题。
如：全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立 ”可用符号简记为：
简记为
读作“对任意x属于M，有p(x)成立”。
2. 存在量词、特称命题定义：
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示。(常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等 。)
含有存在量词的命题，叫做特称命题。
特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立 ”可用符号简记为：
读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”。
3. 同一全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法：
4. 全称命题、特称命题（含有全称量词的命题叫全称命题，含有存在量词的命题叫特称命题）
（1）关系：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。
（2）全称量词与存在量词的否定。
关键词 否定词 关键词 否定词 关键词 否定词 关键词 否定词
都是 不都是 至少一个 一个都没有 至多一个 至少两个 属于 不属于
当堂训练
1．全称量词和全称命题
(1)短语“______________”“____________”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“______”表示，常见的全称量词还有“对一切”“对每一个”“任给”“所有的”等． (),xMpx，00(),xMpx，2
(2)含有______________的命题，叫做全称命题．
(3)全称命题：“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为____________．
2．存在量词和特称命题
(1)短语“______________”“________________”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“________”表示，常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等．
一、选择题
1．下列全称命题中真命题的个数是（ ）
①末位是0的整数，可以被2整除；
②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
③正四面体中两侧面的夹角相等；
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列存在性命题中假命题的个数是（ ）
①有的实数是无限不循环小数； ②有些三角形不是等腰三角形； ③有的菱形是正方形；
A．0 B．1 C．2 D．3
3．下列命题为存在性命题的是（ ）
A．偶函数的图象关于y轴对称 B．正四棱柱都是平行六面体
C．不相交的两条直线是平行直线 D．有很多实数不小于3
4． 下列命题中为全称命题的是（ ）
A.圆内接三角形中有等腰三角形 B.存在一个实数与它的相反数的和不为0
C.矩形都有外接圆 D.过直线外一点有一条直线和已知直线平行
5．下列命题中，真命题的是（ ）
A.一元二次方程都有两个实数根 B.一切实数都有算术根
C.有些直线没有倾斜角 D.存在体积相等的球和正方体
6． 命题“所有自然数的平方都是正数”的否定为（ ）
A. 所有自然数的平方都不是正数 B. 有的自然数的平方是正数
C. 至少有一个自然数的平方是正数 D. 至少有一个自然数的平方不是正数
7． 命题“存在一个三角形，内角和不等于1800”的否定为（ ）
A．存在一个三角形，内角和等于1800 B．所有三角形，内角和都等于1800
C．所有三角形，内角和都不等于1800 D．很多三角形，内角和不等于1800
8． “220ab”的含义是（ ）
A．,ab不全为0 B． ,ab全不为0
word - 1 - / 4 1.4 全称量词与存在量词
基础练习
1．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )
A．所有不能被2整除的整数都是偶数
B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
【答案】D
【解析】原命题是全称命题，其否定是：存在一个能被2整除的数不是偶数．
2．给出下列几个命题：
①至少有一个x0，使x20＋2x0＋1＝0成立；
②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；
③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；
④存在x0，使x20＋2x0＋1＝0成立．
其中是全称命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．0
【答案】B
【解析】命题②③都含有全称量词“任意的”，故②③是全称命题．
3．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使1x>2
【答案】B
【解析】选项A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；选项B中x＝0时，x2＝0，所以选项B既是特称命题又是真命题；选项C中因为3＋(－3)＝0，所以选项C是假命题；D中对于任一个负数x，都有1x<0，所以选项D是假命题．
4．已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x0∈R，x30＝1－x20，则下列命题中为真命题的是( ) word
- 2 - / 4 A．p∧q B．(¬p)∧q
C．p∧(¬q) D．(¬p)∧(¬q)
【答案】B
【解析】因为x＝－1时，2－1＞3－1，所以命题p：“∀x∈R,2x＜3x”为假命题，则¬p为真命题．令f(x)＝x3＋x2－1，因为f(0)＝－1＜0，f(1)＝1＞0，所以函数f(x)＝x3＋x2－1在(0,1)上存在零点，即命题q：“∃x0∈R，x30＝1－x20”为真命题．则(¬p)∧q为真命题．故选B．
一、选择题
1．下列全称命题中真命题的个数是（ ）
①末位是0的整数，可以被2整除；
②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
③正四面体中两侧面的夹角相等；
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列存在性命题中假命题的个数是（ ）
①有的实数是无限不循环小数； ②有些三角形不是等腰三角形； ③有的菱形是正方形；
A．0 B．1 C．2 D．3
3．下列命题为存在性命题的是（ ）
A．偶函数的图象关于y轴对称 B．正四棱柱都是平行六面体
C．不相交的两条直线是平行直线 D．有很多实数不小于3
4． 下列命题中为全称命题的是（ ）
A.圆内接三角形中有等腰三角形 B.存在一个实数与它的相反数的和不为0
C.矩形都有外接圆 D.过直线外一点有一条直线和已知直线平行
5．下列命题中，真命题的是（ ）
A.一元二次方程都有两个实数根 B.一切实数都有算术根
C.有些直线没有倾斜角 D.存在体积相等的球和正方体
6． 命题“所有自然数的平方都是正数”的否定为（ ）
A. 所有自然数的平方都不是正数 B. 有的自然数的平方是正数
C. 至少有一个自然数的平方是正数 D. 至少有一个自然数的平方不是正数
7． 命题“存在一个三角形，内角和不等于1800”的否定为（ ）
A．存在一个三角形，内角和等于1800 B．所有三角形，内角和都等于1800
C．所有三角形，内角和都不等于1800 D．很多三角形，内角和不等于1800
8． “220ab”的含义是（ ）
A．,ab不全为0 B． ,ab全不为0
