正弦定理题目解析
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1.正弦定理
类型一定理证明
例1在钝角△ABC
中，证明正弦定理.
证明如图，过C
作CD
⊥AB
，垂足为D
，D
是BA
延长线上一点，
根据正弦函数的定义知：＝sin∠CAD＝sin(180
°－A
)CD
b
＝sinA
，＝sinB
.CD
a
∴CD
＝b
sinA
＝a
sinB
.
∴＝.a
sinAb
sinB
同理，＝.故＝＝.b
sinBc
sinCa
sinAb
sinBc
sinC
类型二用正弦定理解三角形
例2在△ABC
中，已知A
＝32.0°，B
＝81.8°，a
＝42.9cm，解三角形.
解根据三角形内角和定理，C
＝180°－(A
＋B
)＝180°－(32.0°＋81.8°)＝66.2°.
根据正弦定理，b
＝＝≈80.1(cm)；a
sinB
sinA42.9sin81.8°
sin32.0°
根据正弦定理，c
＝＝≈74.1(cm).a
sinC
sinA42.9sin66.2°
sin32.0°
跟踪训练2在△ABC
中，已知a
＝18，B
＝60°，C
＝75°，求b
的值.
解根据三角形内角和定理，
A
＝180°－(B
＋C
)＝180°－(60°＋75°)＝45°.
根据正弦定理，b
＝＝＝9.a
sinB
sinA18sin60°
sin45°6
类型三边角互化
例3在任意△ABC
中，求证：a
(sinB
－sinC
)＋b
(sinC
－sinA
)＋c
(sinA
－sinB
)＝0.
证明由正弦定理，令a
＝k
sinA
，b
＝k
sinB
，c
＝k
sinC
，k
>0.代入得：
左边＝k
(sinA
sinB
－sinA
sinC
＋sinB
sinC
－sinB
sinA
＋sinC
sinA
－sinC
sinB
)＝0＝右
边，
所以等式成立.
跟踪训练3在△ABC
中，角A
、B
、C
的对边分别是a
、b
、c
，若A
∶B
∶C
＝1∶2∶3，求a
∶b
∶c
的值.
解∵A
＋B
＋C
＝π，A
∶B
∶C
＝1∶2∶3，
∴A
＝，B
＝，C
＝，π
6π
3π
2
∴sinA
＝，sinB
＝，sinC
＝1.1
23
2
设＝＝＝k
(k
>0)，则a
sin
Ab
sinBc
sinC
a
＝k
sinA
＝，b
＝k
sinB
＝k
，c
＝k
sinC
＝k
，k
232
∴
a
∶b
∶
c
＝∶∶1＝1∶∶2.1
23
23
类型四判断三角形解的个数
例4在△ABC
中，已知a
＝20cm，b
＝28cm，A
＝40°，解三角形(角度精确到1°，边长精确
到1cm).
解根据正弦定理，sinB
＝＝≈0.8999.b
sinA
a28sin40°
20
因为0°
<180°，且b
>a
，B
>A
，
(1)当B
≈64°时，
C
＝180°－(A
＋B
)≈180°－(40°＋64°)＝76°，
c＝＝≈30(cm).a
sinC
sinA20sin76°
sin40°
(2)当B
≈116°时，
C
＝180°－(A
＋B
)≈180°－(40°＋116°)＝24°，
c＝＝≈13(cm).a
sinC
sinA20sin24°
sin40°
综上，B
≈64°，C
＝76°，c
≈30cm或B
≈116°，C
＝24°，c
≈13cm，
所以B
≈64°，或B
≈116°.
跟踪训练4
已知一三角形中a
＝2，b
＝6，A
＝30°，判断三角形是否有解，若有解，解该3
三角形.
解a
＝
2，b
＝6，a
，A
＝30°<90°.3
又因为b
sinA
＝6sin30°＝3，a
>bsinA
，
所以本题有两解，由正弦定理得，
sinB＝＝
＝，b
sinA
a6sin30°
233
2
因为b
>a
，B
>A
，B
∈(0°，180°)，
所以B
＝60°或120°.
当B
＝60°时，C
＝90°，c
＝＝
4；a2
＋b2
3
当B
＝120°时，C
＝30
°，c
＝a
＝2.3
所以B
＝60°，C
＝90°，c
＝43
或B
＝120°，C
＝
30°，c
＝2.3
类型五利用正弦定理求最值或取值范围
例5在锐角△ABC
中，角A
，B
，C
分别对应边a
，b
，c
，且a
＝2b
sinA
，求cosA
＋sinC
的
取值范围.
解∵a
＝2b
sinA
，
∴由正弦定理得sinA
＝2sinB
sinA
，
又∵A
∈(0，)，sinA
≠0，π
2
∴sinB
＝.∵B
为锐角，∴B
＝.1
2π
6
令y
＝cosA
＋sinC
＝cosA
＋sin
π－B
＋A
[]
＝cosA
＋sinπ
6＋A()
＝cosA
＋sincosA
＋cossinAπ
6π
6
＝cosA
＋s
inA
＝sin.3
23
23A
＋π
3()
由锐角△ABC知，
－B
<，∴
<.π
2π
2π
3π
2∵
<，2π
3π
35π
612A＋π
3()3
2∴
n<，即
<.3
23A
＋π
3()
3
23
23
2
∴cosA
＋sinC
的取值范围是.32，3
2()
跟踪训练5在△ABC
中，若C
＝2B
，求的取值范围.c
b
解因为A
＋B
＋C＝π，C
＝2B
，
所以A
＝π－3B
>0，所以0
<，π
3
所以
<1，1
2
所以1<2cosB
<2，
又＝＝＝2cosB
，c
bsinC
sin
Bsin2B
sin
B
所以1<<2.c
b
类型六正弦定理与三角变换的综合
例6已知△ABC
的三个内角A
、B
、C
的对边分别为a
、b
、c
，若a
＋c
＝2b
，且2cos2B
－8cos
B
＋5＝0，求角B
的大小并判断△ABC
的形状.
解∵2cos2B
－8cosB
＋5＝0，
∴2(2cos2
B
－1)－8cosB
＋5＝0.
∴4cos2
B
－8cosB
＋3＝0，
即(2cosB
－1)(2cosB
－3)＝0.
解得cosB
＝或cosB
＝(舍去).1
23
2
∵0
＝.π
3
∵a
＋c
＝2b
.
由正弦定理得sinA
＋sinC
＝2sinB
＝2sin
＝.π
33
∴sinA
＋sin
＝，2π
3－A()
3
∴sinA
＋sincosA
－cossinA
＝.2π
32π
33
化简得sinA
＋cos
A
＝，∴sin＝1.3
23
23A
＋π6()∵0
＋<，π
6π
67π6
∴A＋＝.∴A
＝，C
＝.π
6π
2π
3π
3
∴△ABC
是等边三角形.
跟踪训练6已知方程x2
－(b
cosA
)x
＋a
cosB
＝0的两根之积等于两根之和，且a
、b
为△ABC
的两边，A
、B
为两内角，试判断这个三角形的形状.
解设方程的两根为x
1、x
2，
由根与系数的关系得∴b
cosA
＝a
cosB
.x
1＋x
2＝b
cosA
，
x
1x
2＝a
cosB
，{
由正弦定理得sinB
cosA
＝sinA
cosB
，
∴sinA
cosB
－cosA
sinB
＝0，sin(A
－B
)＝0.
∵A
、B
为△ABC
的内角，
∴0
－B
∴A
－B
＝0，即A
＝B
.
