高中数学 第一章 三角函数 1.3.3 函数y=Asin(ωx+φ)

正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像平移及解析式的求法

【知识点梳理及分析】

一、有关正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)基础知识

1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：

x 0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω

ωx＋φ 0 π2 π 3π2 2π

y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0

2.当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈[0，＋∞))表示一个振动时，A叫做振幅，T＝2πω叫做周期，f＝1T叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．

3．函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的性质如下：

定义域 R

值域 __________

周期性 T＝____________

奇偶性 φ＝______________时是奇函数；φ＝____________________________时是偶函数；当φ≠kπ2(k∈Z)时是__________函数

单调性 单调增区间可由__________________________________________得到，单调减区间可由______________________________得到

4．图象的对称性

函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：

(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝xk(其中 ωxk＋φ＝kπ＋π2，k∈Z)成轴对称图形．

(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(xk,0)(其中ωxk＋φ＝kπ，k∈Z)成中心对称图形．

二、图像的平移转换

图像的平移转换遵循左加右减，上加下减原则

1.函数y＝Asin(ωx＋φ)图像变换

（1）左右平移：由y＝sinx的图象向左或向右平行移动｜φ｜个单位，得到y＝sin（x＋φ）的图象.

【高中数学】函数y=Asin（ωx+φ）的图象重难点题型【举一反三系列】

【知识点1 用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象】

用“五点法”作sin()yAx的简图，主要是通过变量代换，设zx，由z取30,,,,222来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象.

用“五点法”作图象的关键是点的选取，其中横坐标成等差数列，公差为4T.

【知识点2 函数y=Asin（ωx+φ）中有关概念】

sin()0,0yAxA表示一个振动量时，A叫做振幅，2T叫做周期，12fT叫做频率，x叫做相位，x=0时的相位称为初相.

【知识点3 由y=sinx得图象通过变换得到y=Asin（ωx+φ）的图象】

1.振幅变换： sin()yAxsinyAxxR，(A>0且A≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0

2.周期变换：

函数sin01yxxR，且的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短1或伸长01到原来的1倍(纵坐标不变).若0则可用诱导公式将符号“提出”再作图.决定了函数的周期.

3.相位变换：

函数sinyxxR，(其中0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当＞0时)或向右(当＜0时)平行移动个单位长度而得到.(用平移法注意讲清方向：“左加右减”).

一般地，函数sin()0,0yAxAxR，的图象可以看作是用下面的方法得到的：

(1) 先把y=sinx的图象上所有的点向左(>0)或右(<0)平行移动个单位；

(2) 再把所得各点的横坐标缩短1或伸长01到原来的1倍(纵坐标不变)；

(3) 再把所得各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0

【考点1 正、余型函数作图】

1 辅导讲义――函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质

教学内容

1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞) 振幅 周期 频率 相位 初相

A T＝2πω f＝1T＝ω2π ωx＋φ φ

2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图

五个特征点的取法：设=ωx＋φ，由取0，2，，23，2来求出相应的x的值，及对应的y值，再描点作图.

如下表所示.

x 0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω

ωx＋φ 0 π2 π 3π2 2π

y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0

3．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤如下：

[例1] 函数)421sin(2xy的周期，振幅，初相分别是______________.

[巩固1] 函数)20,0,)(sin(Rxxy的部分图象如图，则=______；=______

知识模块1 y＝Asin(ωx＋φ)

精典例题透析

2 [巩固2] 已知函数)0,0)(sin()(xxf是R上的偶函数，其图象关于点M（0,43）对称，且在区间]2,0[上是单调减函数，则的值为____________.

[巩固3] 已知函数)0)(3sin()(xxf在(0，2]上恰有一个最大值点和一个最小值点，则的取值范围是_____.

[例2] 函数)33tan()(xxf的单调递减区间是_______________.

[巩固] 函数)23sin(3)(xxf的单调递增区间是_____________.

1.3.3函数xsinAy的图象（第一课时）

教学目的：本节课是苏教版必修4第1章第3节第3课时；它是函数图象伸缩平移变换的典型例子，是初等数学一般函数图象变换的基础，是高考的热点、难点；它是在完成了本节的“正弦函数、余弦函数的图象和性质，五点作图法，图象的三种基本变换”等内容的教学之后进行的，主要揭示了由正弦曲线得到函数)sin(xAy的图象的一种思维过程。

为了更好的解决这一问题，掌握每一种变换方式，我要求学生手绘四条函数图象，看似耗费时间，实则加深印象，从静态的图象中去体会伸长和缩短、平移等形变过程。

当然我也设计制作了教学课件，直观形象地展示形变过程作为总结。化抽象为具体，由静到动，使学生真实体验“变”的过程。同时结合我校数学活动室的多媒体网络教学环境，为学生构建自主探究与合作交流的平台。最终利用由特殊到一般的化归思想，借助具体函数的结论归纳出一般函数的结论。

教学目的：

1．分别通过对三角函数图象的各种变换的复习和动态演示进一步让学生了解三角函数图象各种变换的实质和内在规律．

２．通过对函数xsinAy (A>0，ω>0)的图象的探讨，让学生进一步掌握三角函数的图象各种变换的内在联系

３．培养学生观察问题和探索问题的能力.

教学重点：函数xsinAy的图象的画法，该图象与函数y=sinx图象的关系，以及对各种变换内在联系的揭示．

教学难点：各种变换内在联系的揭示，函数图象变换的本质，函数图象变换的一般方法．

教学过程：

一、情境创设：

1．物理实例：简谐振动中，位移与时间的关系

y = Asin(ωt+)( A>0，ω>0)

2．介绍其中几个量的物理意义

A是物体振动时离开平衡位置的最大距离，称为振动的振幅；

2T是往复振动一次所需的时间，称为振动的周期；

2T1f是单位时间内往复振动的次数，称为振动的频率；

ωt+称为相位，t=0时的相位称为初相.