全等直角三角形在实际生活中的应用

空间几何中的全等

在空间几何中，全等是一个基本的概念。全等指的是两个或多个几何图形在形状和大小上完全相同。在这篇文章中，我们将深入探讨空间几何中全等的性质、判定方法以及它们在实际生活中的应用。

一、全等的性质

在空间几何中，全等的性质与平面几何中的全等相似。具体来说，两个几何体全等的条件是它们对应的边长相等，对应的角度相等。不仅如此，在空间几何中，还需考虑到它们的位置关系。

全等的性质可以总结为以下几个方面：

1. 边长相等：两个全等几何体的对应边长是相等的。例如，如果两个三角形的三边分别相等，那么它们是全等的。

2. 角度相等：两个全等几何体的对应角度是相等的。例如，如果两个三角形的三个内角分别相等，那么它们是全等的。

3. 对应线段相等：两个全等几何体的对应线段相等。例如，如果两个四边形的对角线分别相等，那么它们是全等的。

4. 位置关系：两个全等几何体的相对位置和旋转角度相同。换句话说，只有通过平移、旋转和翻转操作，我们才能使一个几何体与另一个几何体重合。

二、全等的判定方法

在空间几何中，我们有多种方法来判定是否存在全等关系。 1. SSS判定法：如果两个三角形的三边分别相等，则它们是全等的。这是最基本的全等判定方法之一。

2. SAS判定法：如果两个三角形的两边和夹角分别相等，则它们是全等的。这个方法相对更容易应用，因为我们可以凭借角度和一边来判断全等关系。

3. ASA判定法：如果两个三角形的一边和两个夹角分别相等，则它们是全等的。与SAS判定法类似，在给定一边和两个夹角的情况下，我们可以判断三角形是否全等。

4. RHS判定法：如果两个直角三角形的斜边和一个锐角分别相等，则它们是全等的。这个方法有效地利用了直角三角形特有的性质。

通过上述的判定方法，我们可以在空间几何中准确地判断出两个几何体是否全等。

三、全等在实际生活中的应用

全等在实际生活中有着广泛的应用。以下是其中的几个例子：

2019苏科版八上数学专题 三角形全等的简单应用

1 / 27 三角形全等的简单应用

【学习目标】

1．感受三角形全等在生活中的应用；

2．能够用三角形全等解决一些实际问题及运动型问题．

【典型例题】

一．生活中的应用

例题1．如图所示的A、B是两根呈南北方向排列的电线杆，A、B之间有一条小河，小刚想估测这两根电线杆之间的距离，于是小刚从A点开始向正西方向走了20步到达一棵大树C处，接着又向前走了20步到达D处，然后他左转90°直行，当他看到电线杆B、大树C和他自己现在所处的位置E恰在同一条直线上时，他从D位置走到E处恰好走了100步，利用上述数据，小刚测出了A、B两根电线杆之间的距离．

（1）请你根据上述的测量方法在原图上画出示意图；

（2）如果小刚一步大约60厘米，请你求A、B两根电线杆之间的距离．

小河北BA

例题2如图，两根长12m的绳子，一端系在旗杆上的同一位置，另一端分别固定在地面上的两个木桩上（绳结处的误差忽略不计），现在只有一把卷尺，如何来检验旗杆是否垂直于地面？请说明理由． 2019苏科版八上数学专题 三角形全等的简单应用

2 / 27 DCBA

二．运动型问题中的应用

例题3 如图，AB＝6cm，AC＝BD＝4cm．∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．设点Q的运动速度为xcm/s，若使得△ACP与△BPQ全等，则x的值为 ．

QPDCBA

三．全等应用的几个重要模型

(1)中线型

例题4 （1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8．求AC边上的中线BD的取值范围．

小聪同学是这样思考的：延长BD至E使DE＝BD，连结CE.利用全等将边AB转化到CE，在△BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是 ；中线BD的取值范围是 ． 2019苏科版八上数学专题 三角形全等的简单应用

专训1 六种常见的实际应用

名师点金：利用三角形全等解决实际问题的步骤：

(1)明确应用哪些知识来解决实际问题；(2)根据实际问题抽象出几何图形；

(3)结合图形和题意分析已知条件；(4)找到已知与未知的联系，寻求恰当的解决途径，并表述清楚．

利用三角形全等测量能到两端的距离

1．如图，为了测量出池塘两端A，B之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC，AC，使∠ACB＝90°，然后在BC的延长线上确定点D，使CD＝BC，那么只要测量出AD的长度就得到了A，B两点之间的距离．你能说明其中的道理吗

(第1题)

利用三角形全等求两端的距离

2．【中考·宜昌】杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语．其具体信息汇集如下，

|

如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等．AC，BD相交于O，OD⊥CD垂足为D.已知AB＝20米．请根据上述信息求标语CD的长度．

(第2题)

利用三角形全等测量物体的内径

3．如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，动手制作一个简单的工具，利用三角形全等的知识，求出x.

(第3题)

利用三角形全等解决工程中的问题

4．如图，工人师傅要在墙壁的点O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的点B处打开，墙壁厚35 cm，点B与点O的垂直距离AB长20 cm，在点O处作一直线平行于地面，再在直线上截取OC＝35 cm，过点C作OC的垂线，在垂线上截取CD＝20 cm，连接OD，然后沿着DO的方向打孔，结果钻头正好从点B处打出，这是什么道理

`

(第4题)

利用三角形全等解决面积问题

5．育新中学校园内有一块直角三角形(Rt△ABC，∠BAC＝90°)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在△ABD区域内种植了一串红，在△ACD区域内种植了鸡冠花，并量得两直角边AB＝20 m，AC＝10 m，求两种花草的种植面积各是多少．

全等三角形八大模型归纳

全等三角形是初中数学中重要的概念之一，它是指两个三角形的对应边相等且对应角相等。全等三角形具有许多性质和特点，可以归纳为八大模型，分别是SSS、SAS、ASA、AAS、HL、LLL、LLA、LAL。下面将分别介绍这八种模型的特点和应用。

第一种模型是SSS，即三边全等。当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形就是全等的。这种模型在实际生活中的应用非常广泛，比如在建筑、工程设计中，需要测量房屋的各个边长是否相等，以确保建筑物的稳定性和均衡性。

第二种模型是SAS，即两边夹角边全等。当两个三角形的两边和夹角分别相等时，这两个三角形就是全等的。这种模型常常用于证明两个三角形全等的情况，可以通过辅助线的引入来简化证明过程。

第三种模型是ASA，即两角边角全等。当两个三角形的两个角和夹边分别相等时，这两个三角形就是全等的。这种模型在解题过程中也经常用到，特别是在证明题中，可以根据已知条件找到相等的角和边，从而得出结论。

第四种模型是AAS，即两角边角全等。当两个三角形的两个角和一边分别相等时，这两个三角形也是全等的。这种情况在证明过程中比较常见，可以通过找到两个角和一边相等来得出结论。

第五种模型是HL，即斜边和直角边全等。当两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等时，这两个三角形就是全等的。这种情况在解决直角三角形的问题时经常用到，可以利用勾股定理和全等三角形的性质来求解。

第六种模型是LLL，即三边全等。这种模型和SSS模型类似，只不过LLL模型更加具体，强调了三个边全部相等的情况。在实际问题中，可以通过测量三角形的三边长度来判断两个三角形是否全等。

第七种模型是LLA，即两边和一个角全等。当两个三角形的两个边和一个非夹角的角相等时，这两个三角形是全等的。这种情况在解题过程中也会经常遇到，可以通过找到两个边和一个非夹角的角相等来证明两个三角形全等。

第八种模型是LAL，即一边和两个角全等。当两个三角形的一条边和两个角分别相等时，这两个三角形也是全等的。这种情况在证明过程中也经常出现，可以通过找到一条边和两个角相等来得出结论。