解直角三角形在实际生活中的应用
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资料 解直角三角形在实际生活中的应用
山东 李浩明
在现实生活中, 有许多和解直角三角形有关的实际问题，如航海航空、建桥修路、测量技术、图案设计等，解决这类问题其关键是把具体问题抽象成“直角三角形”模型，利用直角三角形的边角关系以及勾股定理来解决.下面举例说明，供大家参考．
一、航空问题
例1．（2008年桂林市）汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P点，测得A村的俯角为30，B村的俯角为60（如图1）．求A、B两个村庄间的距离．（结果精确到米，参考数据21.41431.732，）
分析:要求A、B两个村庄间的距离,由题意知AB=PB，在Rt△PBC中,可求得60PBC，又因为PC=450，所以可通过解直角三角形求得PB.
解：根据题意得：30A，60PBC，所以6030APB，所以APBA，所以AB=PB.
在RtBCP中，90,60CPBC，PC=450，所以
PB =4509003003sin603 .
所以3003520ABPB(米)
答：A、B两个村庄间的距离为520米．
二、测量问题
例2.（2008年湛江市）如图2所示，课外活动中，小明在离旗杆AB 10米的C处，QBCPA4506030图1 资料 用测角仪测得旗杆顶部A的仰角为40，已知测角仪器的高CD=1.5米，求旗杆AB的高(精确到0.1米) ．
分析:要求AB的高,由题意知可知CD=BE,先在Rt△ADE中求出AE的长,再利用AB=BE+AE求出AB的长.
解：在Rt△ADE中，tanADE=DEAE.
∵DE=10，ADE=40.
∴AE=DEtanADE =10tan40≈100.84=8.4.
∴AB=AE+EB=AE+DC=8.41.59.9.
答：旗杆AB的高为9.9米．
三、建桥问题
例4.（2008年河南）如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要经过DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．一直BC=11km，∠A=45°，∠B=37°．桥DC和AB平行，则现在从A地到达B地可比原来少走多少路程？（结果精确到0.1km．参考数据：1.412，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）.
分析:要求现在比原来少走多少路程，就需要计算两条路线路程之差，如图构造平行四边形DCBG，将两条路线路程之差转化为ADDGAG，作高线DH,将△ADG转化为两个直角三角形，先在在RtDGH△中求DH、GH，再在RtADH△中求AD、AH,此题即可得解.
解：如图，过点D作DHAB于H，DGCB∥交AB于G．
DCAB∥，四边形DCBG为平行四边形． 图2 40E D
C B A 资料 FEDCBA45°37°H
G
图3 ∴DCGB，11GDBC．
∴两条路线路程之差为ADDGAG．
在RtDGH△中，
sin37110.606.60DHDG，
cos37110.808.80GHDG≈≈．
在RtADH△中，
21.416.609.31ADDH≈≈．
6.60AHDH≈．
∴(9.3111)(6.608.80)4.9(km)ADDGAG≈．
即现在从A地到B地可比原来少走约4.9km．
四、图案设计问题
例4.（2008年上海市）“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图4所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O的半径OC所在的直线为对称轴的轴对称图形，A是OD与圆O的交点．由于图纸中圆O的半径r的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中1:0.75i是坡面CE的坡度），求r的值．
分析:要求圆O的半径r的值，需在直角三角形ODH中来解决,而已知的条件太少，需要先在直角三角形CEH中，根据条件5CE、坡面CE的坡度1:0.75i求出EH、CH，然后在直角三角形ODH中利用勾股定理列出方程，从而求出r的值．
解：由已知OCDE，垂足为点H，则90CHE． 图4 资料 1:0.75i，43CHEH．
在RtHEC△中，222EHCHEC．设4CHk，3(0)EHkk，
又5CE，得222(3)(4)5kk，解得1k．∴3EH，4CH．
∴7DHDEEH，7ODOAADr，4OHOCCHr．
在RtODH△中，222OHDHOD，∴222(4)7(7)rr．
解得83r．
航海中的安全问题
船只在海上航行，特别要注意安全问题，这就需要运用数学知识进行有关的计算，以确保船只航行的安全性.请看下面两例.
例1 （深圳市）如图1，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60的方向上．该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在北偏东30的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．
分析：问题的关键是弄清方位角的概念，过点C作CD⊥AB于D，然后通过解直角三角形求出CD的长，通过列方程解决几何问题也是一种常用方法.
解：由已知，得AB=24×21=12，∠CAB=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°，所以∠C=30°，所以∠C=∠CAB，所以CB=AB=12. 图1 北
60° 30°
A B C
M
D 资料 在Rt△CBD中，sin∠CBD=CBCD，所以CD=CB·sin∠CBD=12×3623.∵936
所以货船继续向正东方向行驶无触礁危险．
例2 如图2，一艘渔船在A处观测到东北方向有一小岛C，已知小岛C周围4.8海里范围内是水产养殖场.渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B处，在B处测得小岛C在北偏东60°方向上，这时渔船改变航线向正东（即BD）方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？
分析：先将实际问题转化为解直角三角形的问题.可有如下两种方法求解.
解法一：如图3，过点B作BM⊥AH于M，则BM//AF.所以∠ABM=∠BAF=30°.
在Rt△BAM中，AM=21AB=5，BM=35.
过点C作CN⊥AH于点N，交BD于K.
在Rt△BCK中，∠CBK=90°-60°=30°.
设CK=x，则BK=3x.
在Rt△CAN中，因为∠CAN=90°-45°=45°，所以AN=NC.所以AM+MN=CK+KN.
又NM=BK，BM=KN，所以x+35=5+3x.解得x=5.
因为5>4.8，所以渔船没有进入养殖场的危险.
解法二：如图4，过点C作CE⊥BD于E.所以CE//GB//FA.
所以∠BCE=∠GBC=60°，∠BCA=∠FAC=45°.
所以∠BCA=∠BCE-∠ACE=60°-45°=15°.
又∠BAC=∠FAC-∠FAB=45°-30°=15°， F F F
A A A B B B D D D C C C
M N K E
图2 图3 图4 资料 所以∠BCA=∠BAC.所以BC=AB=10.
在Rt△BCE中，CE=BC·cos∠BCE=BC·cos60°=10×21=5.
也5>4.8，所以渔船没有进入养殖场的危险.
实际中的仰角和俯角问题
在进行测量时，从下向上看,视线与水平线的夹角叫做仰角;从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角.
计算原理:视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角、俯角和另一边，利用解直角的知识就可以求出物体的高度.
梳理总结：⑴仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的；可巧记为“上仰下俯”.在测量物体的高度时，要善于将实际问题抽象为数学问题.
⑵在测量山的高度时，要用“化曲为直”的原则把曲的山坡“化整为零地分成一些小段，把每一小段山坡长近似地看作直的，测出仰角求出每一小段山坡对应的高，再把每部分高加起来，就得到这座山的高度.
例1 (成都)如图2，甲、乙两栋高楼的水平距离BD为90米，从甲楼顶部C点测得乙楼顶部A点的仰角为30，测得乙楼底部B点的俯角为60，求甲乙两栋高楼各有多高？(计算过程和结果都不取近似值.
分析:过点C作CE⊥AB于点E, 在Rt△BCE和Rt△ACE中, BE和AE可用含CE(即为水平距离)的式子表示出来,从而求得两楼的高.
解:作CE⊥AB于点E,
∵CE∥DB,CD∥AB,且∠CDB=090,∴四边形BECD是矩形.
∴CD=BE,CE=BD. 视线
视线 水平线
俯角 仰角 铅垂线
图1
E
图2 资料 在Rt△BCE中, ∠=060,CE=BD=90米.
∵,tanCEBE∴BE=CE39060tan90tan0(米).
∴CD=BE=390(米).
在Rt△ACE中, ∠=030,CE=90米.
∵ ,tanCEAE
∴AE=CE330339030tan90tan0(米).
∴AB=AE+BE=3120390330(米).
答:甲楼高为390米,乙楼高为3120米.
反思:仰角和俯角问题是解直角三角形中的常见题型,作辅助线构造直角三角形(一般同时得到两个直角三角形)并解之是解决这类问题的常用方法.
例2 （乐山）如图3，小山上有一棵树．现有测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，在山脚水平地面上测出小树顶端A到水平地面的距离AB．
要求：⑴画出测量示意图；
⑵写出测量步骤（测量数据用字母表示）；
⑶根据（2）中的数据计算AB．
分析：要测量底步不能到达的物体的高度,要转化为双直角三角形问题,测量方案如图2,计算的关键是求 AE,可设AE=x,则在Rt△AGF和 Rt△AEF中,
利用三角函数可得tanxHE,tanxEF ,再根据HE-FE=CD=m建立方程即可.
解：（1）测量图案（示意图）如图4所示
（2）测量步骤：第一步：在地面上选择点C安装测角仪，测得此时树尖A的仰角AHE∠;
第二步：沿CB前进到点D，用皮尺量出CD，之间的距离CDm; A
B
图3
A
E F H
C D B
图4
