三角形全等的应用
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word格式-可编辑-感谢下载支持 经典例题透析
类型一：三角形全等的应用
1. 如图：BE、CF相交于点D，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，且DE=DF。求证：AB=AC。
思路点拨：挖掘并合理运用隐含条件：(1)隐含相等的线段：公共边、线段的和(或差)；（2）隐含相等的角：公共角、对顶角、角的和或差。
解析：∵DE⊥AC，DF⊥AB
∴∠DFB=∠ DEC=90° （垂直的定义）
在△BDF和△CDE中
∴△BDF≌△CDE（ASA）
∴ BD=CD（全等三角形对应边相等）
又 DE=DF
∴ BE=CF
在△ABE和△ACF中
∴△ABE≌△ACF（AAS）
∴ AB=AC（全等三角形对应边相等）
总结升华：复杂题目都是由简单题目组合而成，所以要特别注意简单典型题目的解题思想以及图形特点。
举一反三：
【变式1】如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。
求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。
解析：∵BE⊥AC，CF⊥AB
∴∠AEB=∠ AFC=90° （垂直的定义）
∴∠1+∠BAC=∠2+∠BAC=90°
（直角三角形的两个锐角互余）
∴∠1=∠2
在△ABM和△NCA中
∴△ABM≌△NCA（SAS）
∴ AM=AN，∠3=∠N（全等三角形对应边、对应角相等）
在Rt△AFN中： ∠4+ ∠ N=90 ° （直角三角形两个锐角互余）
∴∠3+ ∠4=90 °
∴ AM⊥AN（垂直的定义）
【变式2】如图：∠BAC=90°，CE⊥BE，AB=AC ，∠ABE=∠CBE，求证：BD=2EC。
解析：延长BA、CE相交于点F word格式-可编辑-感谢下载支持
∵CE⊥BE
∴∠BEF=∠BEC=90° （垂直的定义）
在△BEC和△BEF中
∴△BEC≌△BEF（ASA）
∴ CE=EF（全等三角形对应边相等）
即 FC=2CE
∵CA⊥BA
∴∠BAC=∠FAC=90° （垂直的定义）
在Rt△ABD和Rt△BEF中
∠ABD+∠ADB=∠ABD+∠F=90°（直角三角形两个锐角互余）
∴∠ADB=∠F
在△ABD和△ACF中
∴△ABD≌△ACF（AAS）
∴ BD=FC（全等三角形对应边相等）
∴BD=2EC
类型二：构造全等三角形
2．如图，△ABC与△ABD中，AD与BC相交于O点，∠1=∠2，请你添加一个条件（不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），使AC=BD，并给出证明。
你添加的条件是：__________。
思路点拨：此题属于开放型题目，此类题目一般包括：条件开放型、结论开放型、综合开放型。此类题目的答案一般不唯一。本题答案就不唯一，若按照以下方式之一来添加条件：①BC=AD，②∠C=∠D，③∠CAD=∠DBC，④∠CAB=∠DBA，都可得△CAB≌△DBA，从而有AC=BD。
答案：你添加的条件是：BC=AD 。
证明：在△CAB与△DBA中
所以，△CAB≌△DBA（SAS）
从而有AC=BD（全等三角形的对应边相等）
总结升华：本题考查了全等三角形的判定和性质，要由已知条件结合图形通过逆向思维找出合适的条件，有一定的开放性和思考性。
举一反三： word格式-可编辑-感谢下载支持
【变式1】如图，已知AB=AD，BC=CD，AC、BD相交于E。由这些条件可以得到若干结论，请你写出其中三个正确的结论。（不要添加字母和辅助线，不要求证明）
结论1：
结论2：
结论3：
解析：由已知条件不难得到△ABC≌△ADC、△ABE≌△ADE、△BEC≌△DEC，同时有∠DAE=∠BAE、∠DCA=∠BCA、∠ADC=∠ABC，AC平分∠DAB与∠DCB且垂直平分DB等。以上是解决本题的关键所在，也都可以作为最后结论。
【变式2】如图，点E在AB上，AC=AD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明。
所添条件____________。你得到的一对全等三角形是△________≌△________。
解析：在已知条件中已有一组边相等，另外图形中还有一组公共边。因此只要添加以下条件之一：①CE=DE，②CB=DB，③∠CAE=∠DAE，都可以直接根据SSS或SAS证得△CAB≌△DAB或△CAE≌△DAE；并且在此基础上又可以进一步得到△CEB≌△DEB。
类型三：角平分线的性质与判定
3．已知：如图所示，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC．
思路点拨：由CD⊥AB，BE⊥AC，可知∠ADC=∠AEB=90°，又由OA平分∠BAC可知，OE=OD，再利用“角边角”证明出△OBD≌△OCE，从而得到OB=OC．
证明：因为CD⊥AB，BE⊥AC，则∠ADC=∠AEB=90°．
又因为AO平分∠BAC，
所以OD=OE（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
在△BOD和△COE中，
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所以Rt△BOD≌Rt△COE（ASA）．
所以OB=OC（全等三角形对应边相等）．
总结升华：灵活运用角平分线的性质和判定．
举一反三：
【变式】如图，在中，，平分，，那么点到直线的距离是__________cm．
答案：3 cm
类型四：三角形全等和角平分线的综合应用（常见辅助线的添法）
4．如图所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E， AE=BD，求证：BD是∠ABC的平分线．
思路点拨：如果BD是∠ABC的角平分线，则应有∠ABD=∠CBD，根据已知条件，很难找到这两个角相等的直接条件，但可以延长AE和BC，令其交于一点，先证出全等三角形，再利用全等三角形对应角相等解题．
证明：延长AE和BC，交于点F，
因为AC⊥BC，BE⊥AE，∠ADE=∠BDC（对顶角相等），
所以∠EAD+∠ADE=∠CBD+∠BDC．即∠EAD=∠CBD．
在Rt△ACF和Rt△BCD中．
所以Rt△ACF≌Rt△BCD（ASA）．
则AF=BD（全等三角形对应边相等）．
因为AE=BD，所以AE=AF，
即AE=EF． word格式-可编辑-感谢下载支持
在Rt△BEA和Rt△BEF中，
则Rt△BEA≌Rt△BEF（SAS）．
所以∠ABE=∠FBE（全等三角形对应角相等），
即BD是∠ABC的平分线．
总结升华：如果由题目已知无法直接得到三角形全等，不妨试着添加辅助线构造出三角形全等的条件，使问题得以解决．平时练习中多积累一些辅助线的添加方法。
举一反三：
【变式1】已知如图所示，PA=PB，∠1+∠2=180°，求证：OP平分∠AOB．
错解：因为PA=PB，
所以OP平分∠AOB（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）．
误区分析：判断角平分线应是根据这点到角两边的距离相等，即到角两边垂线段的长度相等，而题中PA、PB不是到角两边的垂线段，故不能直接得到OP平分∠AOB．
正解：如图所示，过点P作PE⊥AO，PF⊥OB，
垂足分别为E、F．
因为∠2+∠1=180°，
又因为∠2+∠PBO=180°，
所以∠1=∠PBO．
在△AEP和△BFP中，
所以△AEP≌△BFP（AAS）．
所以PE=PF（全等三角形对应边相等）．
所以OP平分∠AOB（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）．
【变式2】如图所示，△ABC中，AB>AC，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DM相交于D，过D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，求证：BE=CF．
分析：由已知条件不能直接证明BE=CF，则需连接DB和DC，证明△DEB≌△DFC．
证明：连接BD、CD，
因为AD是∠A的平分线， word格式-可编辑-感谢下载支持
DE⊥AB，DF⊥AC，
所以DE=DF（角平分线上的点到角的两边距离相等）．
因为MD是BC的垂直平分线，
所以DB=DC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）．
所以Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）．
所以BE=CF（全等三角形对应边相等）．
总结升华：线段垂直平分线和角平分线性质可直接用于证明的过程中．
【变式3】如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的中线，∠1=∠2，求证：AB=AC．
分析：如果AB=AC，则有∠B=∠C，所以作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，得到Rt△BDE≌Rt△CDF，则有∠B=∠C．
证明：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
因为∠1=∠2，DE⊥AB，DF⊥AC，
所以DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
所以Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）．
所以∠B=∠C（全等三角形对应角相等）．
则AB=AC（等角对等边）．
总结升华：利用角平分线性质找全等三角形是关键．
类型五：探究型题
5. 我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等。那么在什么情况下，它们会全等？
（1）阅读与证明：
对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等。
对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）
对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：
已知：△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB=A1B1，BC=B1C1，∠C=∠C1。
求证：△ABC≌△A1B1C1。
（请你将下列证明过程补充完整）
（2）归纳与叙述：
由（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论。
