整式的乘除

1 整式的乘除

一、同底数幂的乘法

1.幂:求几个相同因数积的运算叫做乘方，乘方的结果叫作幂。

2. 一般地，对于任意底数a与任意正整数m,n，都有am・an=am+n

语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加

注意：（1）同底数幂的乘法性质只有在底数相同时才能使用

（2）单个字母或数字可以看成是指数为1的幂。

（3）底数可以是单项式或多项式。

3.推广：am・an・ap=am+n+p (m,n,p都是正整数）

4.逆用：am+n =am・an

5.当互为相反数的底数幂相乘时，要化为相同底数再乘

（-a）n =an（n为偶数） （-a）n =-an（n为奇数）

二、幂的乘方

1. 意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘。（am）n 读作a的m次幂的n次方，表示n个am相乘。

2.性质：一般地，对于任意底数a与任意正整数m,n,都有（am）n =amn

语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘

3.推广：[(am)n]p=amnp(m,n,p都是正整数）

4.逆用：amn=（am）n (m,n,都是正整数）

三、积的乘方

1.意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方，如（ab）3,（ab）n

2.性质：一般地，对于任意底数a,b与任意正整数n,都有（ab）n =anbn

2 语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

3.推广：（abc）n =anbncn(n都是正整数）

4.逆用：anbn=（ab）n (n都是正整数）

四、同底数幂的除法

1.性质：一般地，对于不为0的底数 a与任意正整数m,n(m>n），都有am÷an=am-n

语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减

注意：（1）同底数幂的除法性质只有在底数相同时才能使用

（2）单个字母或数字可以看成是指数为1的幂。

（3）底数a可以是不为0的单项式或多项式。

2. 推广：am÷an÷ap=am-n-p (a≠0,m,n,p都是正整数且m>n+p）

3. 逆用：am-n =am÷an(a≠0,m,n都是正整数且m>n）

五、零指数幂和负指数幂

1. 规定：a0=1（a≠0）

语言叙述：任何不等于0的0次幂都等于1。

注意：（1）若a=0，则零的零次幂没有意义。

（2）底数a可以是不为零的单项式或多项式。

2. 规定：a-P=pa1（a≠0,p是正整数）

语言叙述：任何不等于0的数的-p次幂都等于这个数的p次幂的倒数。

注意:同底数幂的除法、零指数幂和负指数幂底数都不为0。

3 六、整式的乘法

1、单项式乘以单项式

法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

注意事项：（1）先确定积的符号，再计算积的绝对值

（2）系数是带分数的一定要化为假分数

（3）有同类项的一定要合并同类项

2、单项式乘以多项式

法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式里的每一项，再把所得的积相加。

用式子表示为：p（a+b+c）=pa+pb+pc

注意：多项式中的每一项都包含它前面的符号

3、多项式乘以多项式

法则：多项式与多项式相乘，就是用多项式里的每一项乘另一个多项式里的每一项，再把所得的积相加。

用式子表示为：（a+b）（p+q）=ap+aq+bp+bq

七、平方差公式

1.符号语言：（a+b）（a-b）=a2-b2

语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差

2.平方差的结构特征

（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；

4 （2）右边是相同项的平方减去相反项的平方

（3）公式中的a与b既可以是单项式，也可以是多项式

3.平方差公式的常见变形

（1）项的位置变化：（b+a）（-b+a）=a2-b2

（2）符号变化：（-a-b）（a-b）=（-b-a）（-b+a）b2-a2

（3）系数变化：（2a+3b）（2a-3b）=（2a）2-（3b）2=4a2-9b2

（4）指数变化：（a2+b2）（a2-b2）=（a2）2-（b2）2=a4-b4

（5）增项变化：（a+b+c）（a-b-c）=a2-（b+c）2

（6）连用公式变化：（a+b）（a-b）（a2+b2）（a4+b4）=a8-b8

（7）逆用公式变化：a2-b2=（a+b）（a-b）

八、完全平方公式

1.符号语言：（a+b）2=a2+2ab+b2

（a-b）2=a2-2ab+b2

语言叙述：两个数的和（差）的平方等于它们的平方和加上（减去）它们积的2倍。

2.完全平方公式的结构特征

两个公式的左边都是一个二项式的平方，右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍。

3. 完全平方公式的常见变形

（1）a2+b2=（a+b）2-2ab=（a-b）2+2ab

（2）（a+b）2=（a-b）2+4ab

5 （3）（a-b）2=（a+b）2-4ab

（4）（a+b）2+（a-b）2=2（a2+b2）

（5）（a+b）2-（a-b）2=4ab

（6）ab=21[（a+b）2-（a2+b2）]=2222）（）（baba

（7）（a+b+c）=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

（8）a2+b2+c2+ab+ac+bc=21[（a+b）2+（a+c）2+（b+c）2]

4. 添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。

九、整式的除法

1.单项式除以单项式

法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

2. 多项式除以单项式

法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

用式子表示为：（am+bm）÷m=am÷m+bm÷m=a+b

6 同底数幂的乘法

1．下列式子：①1644333；②7343)3()3(；③81)3(322；④544222.其中计算正确的有( )

A．1个 B. 2个 C．3个 D. 4个

2．1002+1012所得的结果是（ ）

A．1002 B. 1002 C．2 D. 2

3．nx与nx)(的关系正确的是（ ）

A．相等

B．互为相反数

C．当n为奇数时它们互为相反数，当n为偶数时它们相等

D．当n为奇数时它们相等，当n为偶数时它们互为相反数

4．4435)()(aaaa等于（ ）

A．0 B. 82a C．16a D. 162a

5．计算12))(()(mnbaabba的结果是（ ）

A．mnba2)( B. mnba2)(

C．mnab2)( D．以上都不对

6．432aaaa= .

7．423)()()(yxyxx= .

8．1116aa .

9．36aa .

10．123mmaa= .

11．计算.

7 （1）43)())((mnmnnm；

（2）)44)((44maaamm；

（3）),0()()(122为整数且mmxyyxmm.

12．把下列各式化为nbak)(的形式.

（1）23)(4)(3yxyx；

（2）)(49)(327nmnm；

（3）)1()(32)(2)(3212mbababamm.

13．求值.

（1）已知7ma，3na，求nma的值；

（2）已知27312x，求x的值；

（3）已知52a，202b，82c，求a，b，c之间的值；

8 幂的乘方与积的乘方

1、计算：

（1）34)(x；

（2）3223)()(xx；

（3）31212)()(nnaa；

（4）2332])[(])[(yxyx；

（5）32)21(ab；

（6）344321044)(52)2(2)2(xxxxx。

2、计算mnmnmnmxxxx)()()(3232

3、计算：

(1) 5232)()(aa (用两种方法计算) ；

(2)

5352)()(xx (用两种方法计算) 。

4、用简便方法计算：

（1）88165513；（2）2416)5.2(；（3）19991998)21(2

5、已知3,2nnyx，求nyx22)(的值。

9 同底数幂的除法

1、计算：

（1）38aa； （2）36xx；

（3）37xyxy； （4）25yxyx．

2、判断下列各式是否正确，错误请改正.

（1）428xxx； （2）335yyy；

（3）639yxyxxy； （4）321yyymm；

（5）xxxx348．

3、计算：

（1）203212121； （2）0130231.0360030110．

4、计算：

（1）2332343aaaa；

（2）3546yxyxyxyx

5、计算：（1）122416mm； （2）113mmyy．

6、已知2mx，3nx，求nmx23.

7、已知2mx，3nx，求nmx23.