三年高考(2019-2021)数学(理)试题分项汇编——专题08 平面解析几何(解答题)(教师版)

专题07 平面解析几何（选择题、填空题）1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y += C ．22143x y +=D ．22154x y += 【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得n =22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2p p p -=，解得8p =，故选D ．【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，从而解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，从而得到选D ．3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为A BC ．2D 【答案】A【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴， 又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，∴||2c OA =，,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．e ∴=A ．【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．解答本题时，准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 的关系，可求双曲线的离心率．4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A ．4B ．2C ．D ．【答案】A【解析】由2,,a b c ===,P PO PF x =∴=，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在b y x a =上，则P P b y x a =⋅==11224PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ．【名师点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．5．【2019年高考北京卷理数】已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b【答案】B【解析】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-，化简得2234a b =， 故选B.【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，属于容易题，注重基础知识､基本运算能力的考查.由题意利用离心率的定义和,,a b c 的关系可得满足题意的等式.6．【2019年高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是 A ．① B ．② C ．①②D ．①②③【答案】C【解析】由221x y x y +=+得，221y x y x -=-，2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭厔，所以x 可取的整数有0，−1，1，从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0，1)，(0，−1)，(1，0)，(1，1)， (−1，0)，(−1，1)，共6个整点，结论①正确.由221x y x y +=+得，222212x y x y +++…，解得222x y +≤，所以曲线C 上任意一点到原点的距离. 结论②正确.如图所示，易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -， 四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=四边形，很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S 四边形，即“心形”区域的面积大于3，说法③错误.故选C.【名师点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用，属于难题，注重基础知识､基本运算能力及分析问题、解决问题的能力考查，渗透“美育思想”.将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.7．【2019年高考天津卷理数】已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为A BC ．2D【答案】D【解析】抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-， 双曲线的渐近线方程为by x a=±， 则有(1,),(1,)b b A B a a ---，∴2b AB a =，24ba=，2b a =，∴c e a a===故选D.【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB 的长度.解答时，只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率. 8．【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是A B ．1C D ．2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为0x y ±=，所以a b =，则c ==，所以双曲线的离心率ce a==故选C. 【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b =，进一步可得离心率，属于容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.9．【2018年高考北京卷理数】在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】C【解析】22cos sin 1θθ+=∴，P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点A （2，0），所以d 的最大值为OA +1=2+1=3,故选C.【名师点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．10．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣【答案】A【解析】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--,则AB =.点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴圆心为（2，0），则圆心到直线的距离1d ==.故点P 到直线20x y ++=的距离2d 的范围为，则[]2212,62ABP S AB d ==∈△. 故答案为A.【名师点睛】本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题.先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线的距离，得到点P 到直线距离的范围，由面积公式计算即可.11．【2017年高考浙江卷】椭圆22194x y +=的离心率是A ．3B ．3C ．23D ．59【答案】B【解析】椭圆22194x y +=的离心率e =，故选B ． 【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．12．【2018年高考全国Ⅱ理数】已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23 B ．12 C ．13D ．14【答案】D【解析】因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以212||2||PF F F c ==，由AP的斜率为6可得2tan 6PAF ∠=，所以2sin PAF ∠=，2cos PAF ∠=， 由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠，所以2225sin()3c a c PAF ==+-∠， 所以4a c =，14e =，故选D ． 【名师点睛】解决椭圆的离心率的求值及范围问题的关键就是确立一个关于 的方程或不等式，再根据 的关系消掉 得到 的关系式，而建立关于 的方程或不等式，要充分利用椭圆的几何性质、点的坐标的范围等.13．【2017年高考全国Ⅲ理数】已知椭圆C ：22220)1(x y a ba b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A．3B．3CD ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点(0,0)，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d a ==，整理可得223a b =，即2223()a a c =-即2223a c =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率c e a ===，故选A ． 【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见的有两种方法：①求出a ，c ，代入公式e ＝ca； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).14．【2018年高考浙江卷】双曲线2213x y -=的焦点坐标是A ．(，0)，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，)，(0)D ．(0，−2)，(0，2) 【答案】B【解析】设2213x y -=的焦点坐标为(,0)c ±，因为222314c a b =+=+=，2c =，所以焦点坐标为(2,0)±，故选B ．15．【2017年高考天津卷理数】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ．若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A ．22144x y -=B ．22188x y -=C ．22148x y -=D ．22184x y -=【答案】B【解析】由题意得2240,14,10()88x y a b c a b c -==⇒===⇒-=--， 故选B ．【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线的方程是高考的常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于,,a b c 的方程（组），解方程（组）求出,a b 的值．另外要注意巧设双曲线方程的技巧：①双曲线过两点可设为221(0)mx ny mn -=>，②与22221x y a b-=共渐近线的双曲线可设为2222x y a b-(0)λλ=≠，③等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠．16．【2018年高考全国Ⅱ理数】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A ．y =B ．y =C ．2y x =±D ．2y x =±【答案】A【解析】因为c e a ==，所以2222221312b c a e a a-==-=-=，所以b a =因为渐近线方程为by x a=±，所以渐近线方程为y =，故选A ． 17．【2017年高考全国Ⅱ理数】若双曲线:C 22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为A ．2BC D 【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线的距离为d =，则点()2,0到直线0bx ay +=的距离为2bd c===2224()3c a c -=， 整理可得224c a =，则双曲线的离心率2e ===． 故选A ．【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．18．【2017年高考全国III 理数】已知双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=【答案】B【解析】双曲线C ：22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为by x a=±，在椭圆中：2212,3a b ==，2229,3c a b c ∴=-==，故双曲线C 的焦点坐标为(3,0)±，据此可得双曲线中的方程组：2223,b c c a b a ===+，解得224,5a b ==，则双曲线C 的方程为2145x y 2-=．故选B ． 【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值.如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为()2220x y a bλλ2-=≠，再由条件求出λ的值即可.19．【2018年高考全国III 理数】设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1|||PF OP =，则C 的离心率为A B ．2C D 【答案】C【解析】由题可知2PF b =，2OF c =，PO a ∴=， 在2Rt POF △中，222cos PF bPF O OF c∠==， 在12Rt PF F △中，22221212212cos 2PF F F PF b PF O PF F F c∠+-==，b c=，即223c a =，e ∴=C ．20．【2018年高考全国I 理数】设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为23的直线方程为()223y x =+，与抛物线方程联立得()22234y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消元整理得：2680y y -+=，解得()()1,2,4,4M N ，又()1,0F ，所以()()0,2,3,4FM FN ==，从而可以求得03248FM FN ⋅=⨯+⨯=，故选D.【名师点睛】该题考查的是有关直线与抛物线相交求交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程，消元化简求解，从而确定出()()1,2,4,4M N ，之后借助于抛物线的方程求得()1,0F ，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M 、N 的坐标，应用根与系数的关系得到结果.21．【2017年高考全国I 理数】已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12D ．10【答案】A【解析】设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y D x y E x y ，直线1l 的方程为1(1)y k x =-，联立方程214(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得2222111240k x k x x k --+=，∴21122124k x x k --+=-212124k k +=， 同理直线2l 与抛物线的交点满足22342224k x x k ++=， 由抛物线定义可知2112342124||||2k AB DE x x x x p k ++=++++=+2222244k k ++=2212448k k ++≥816+=，当且仅当121k k =-=（或1-）时，取等号． 故选A ．【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，将到定点的距离转化到准线上；另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握．考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决．此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为α，则22||sin p AB α=，则2222||πcos sin (+)2p pDE αα==，所以222221||||4(cos sin cos p p AB DE ααα+=+=+ 222222222111sin cos )4()(cos sin )4(2)4(22)16sin cos sin cos sin ααααααααα=++=++≥⨯+=． 22．【2018年高考全国I 理数】已知双曲线22:13x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则||MN = A ．32B ．3 C．D ．4【答案】B【解析】由题可知双曲线C的渐近线的斜率为，且右焦点为(2,0)F ，从而可得30FON ∠=︒，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN 的方程为2)y x =-，分别与两条渐近线y x =和y x =联立，求得M，3(,2N ，所以||3MN ==，故选B ． 23．【2018年高考天津卷理数】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．22139x y -= D ．22193x y -= 【答案】C【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b -=可得：2b y a=±，不妨设：22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为：0bx ay -=，据此可得：21bc b d c -==，22bc b d c +==， 则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==，双曲线的离心率：2c e a ====， 据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=.本题选择C 选项.【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为()22220x y a bλλ-=≠，再由条件求出λ的值即可.解答本题时，由题意首先求得A ,B 的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b 的值，之后求解a 的值即可确定双曲线方程.24．【2019年高考浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m =___________，r =___________． 【答案】2-【解析】由题意可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m 代入直线AC 的方程得2m =-，此时||r AC ===【名师点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC 的斜率，进一步得到其方程，将(0,)m 代入后求得m ，计算得解.解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.25．【2019年高考浙江卷】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．【解析】方法1：如图，设F 1为椭圆右焦点.由题意可知||=|2OF OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y ，可得22(2)16x y -+=，与方程22195x y +=联立，可解得321,22x x =-=（舍）， 又点P 在椭圆上且在x轴的上方，求得3,22P ⎛- ⎝⎭，所以212PFk ==方法2：（焦半径公式应用）由题意可知|2OF |=|OM |=c =， 由中位线定理可得12||4PF OM ==，即342p p a ex x -=⇒=-，从而可求得3,22P ⎛- ⎝⎭，所以212PFk ==【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用圆的方程表示，与椭圆方程联立可进一步求解.也可利用焦半径及三角形中位线定理解决，则更为简洁.26．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】(【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===，∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又1201442MF F S y =⨯=∴=△0y =， 22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M \的坐标为(．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．解答本题时，根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标.27．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________． 【答案】2 【解析】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22,2.BF OA BF OA =∥ 由120F B F B ⋅=，得121,,F B F B OA F A ⊥∴⊥∴1OB OF =，1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，∴21,BOF AOF ∠=∠又21πBOF AOB AOF ∠+∠+∠=，∴2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=又渐近线OB 的斜率为tan 60b a =︒=2c e a ====． 【名师点睛】本题结合平面向量考查双曲线的渐近线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取几何法，利用数形结合思想解题．解答本题时，通过向量关系得到1F A AB =和1OA F A ⊥，从而可以得到1AOB AOF ∠=∠，再结合双曲线的渐近线可得21,BOF AOF ∠=∠进而得到2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=从而由tan 60ba=︒=. 28．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .【答案】y =【解析】由已知得222431b-=，解得b =b =因为0b >，所以b =因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.【名师点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的,a b 密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.29．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ . 【答案】4【解析】当直线x +y =0平移到与曲线4y x x=+相切位置时，切点Q 即为点P ，此时到直线x +y =0的距离最小.由2411y x '=-=-，得)x x ==，y =Q ，则切点Q 到直线x +y =04=，故答案为4．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.30．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为________．【答案】3【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭， 由0AB CD ⋅=得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-，因为0a >，所以 3.a =【名师点睛】以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.31．【2018年高考浙江卷】已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP =2PB ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．【答案】5【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2AP PB =得122x x -=，1212(1)y y -=-， 所以1223y y -=-，因为A ，B 在椭圆上，所以22114x y m +=，22224x y m +=，所以22224(23)4x y m +-=，所以224x +22324()m y -=，与22224x y m +=对应相减得234m y +=，2221(109)44x m m =--+≤， 当且仅当5m =时取最大值．【名师点睛】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.32．【2017年高考北京卷理数】若双曲线221y x m-=，则实数m =_______________．【答案】2【解析】221,a b m ==，所以1c a ==2m =． 【名师点睛】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于基础题．解题时要注意、、的关系，即，以及当焦点在x 轴时，哪些量表示22,a b ，否则很容易出现错误．最后根据离心率的公式计算即可.33．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c，则其离心率的值是________________． 【答案】2【解析】因为双曲线的焦点(,0)F c 到渐近线by x a =±，即0bx ay ±=bc b c ==，所以b =，因此2222223144a c b c c c =-=-=，12a c =，2e =．34．【2018年高考北京卷理数】已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n-=．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________________；双曲线N 的离心率为________________．1 2a b c 222c a b =+【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c +，再根据椭圆定义得2c a +=，所以椭圆M的离心率为1c a ==．双曲线N 的渐近线方程为ny x m=±，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为π3，所以222πtan 33n m ==，所以222222234m n m m e m m ++===，所以2e =．35．【2017年高考山东卷理数】在平面直角坐标系中，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为_____________．【答案】2y x =±【解析】由抛物线定义可得：||||=4222A B A B p p pAF BF y y y y p ++++=⨯⇒+=, 因为22222222221202x y a y pb y a b a bx py⎧-=⎪⇒-+=⎨⎪=⎩,所以222A B pb y y p a a +==⇒=⇒渐近线方程为y x =. 【名师点睛】1.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：（1）掌握方程；（2）掌握其倾斜角、斜率的求法；（3）会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数. 求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都与椭圆的有关问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，，时为椭圆，当时为双曲线.2.凡涉及抛物线上的点到焦点的距离，一般运用定义转化为到准线的距离处理．36．【2017年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是_______________．【答案】xOy F ()220x px p =>,A B 4AF BF OF +=122=+By Ax 0>A 0>B B A ≠0<AB【解析】右准线方程为x==，渐近线方程为y x=，设(1010P，则(1010Q，1(F，2F，所以四边形12F PF Q的面积S==【名师点睛】（1）已知双曲线方程22221(0,0)x ya ba b-=>>求渐近线：2222x y by xa b a-=⇒=±；（2）已知渐近线y mx=可设双曲线方程为222(0)m x yλλ-=≠；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离为b，垂足为对应准线与渐近线的交点．37．【2017年高考全国I理数】已知双曲线C：22221(0,0)x ya ba b-=>>的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为_______________．【解析】如图所示，作AP MN⊥，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则MN为双曲线的渐近线by xa=上的点，且(,0)A a，||||AM AN b==，而AP MN⊥，所以30PAN∠=，点(,0)A a到直线by xa=的距离||AP=，在Rt PAN △中，||cos ||PA PAN NA ∠=，代入计算得223a b =，即a =，由222c a b =+得2c b =，所以3c e a ===． 【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题备受出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是b ；③双曲线的顶点到渐近线的距离是abc. 38．【2017年高考全国II 理数】已知F 是抛物线:C 28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y轴于点N ．若M 为FN 的中点，则FN =_______________． 【答案】6【解析】如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点F'，作MB l ⊥于点B ，NA l ⊥于点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为2x =-，则||2,||4AN FF'==，在直角梯形ANFF'中，中位线||||||32AN FF'BM +==，由抛物线的定义有：||||3MF MB ==，结合题意，有||||3MN MF ==， 故336FN FM NM =+=+=．【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．39．【2018年高考全国Ⅲ理数】已知点()11M -，和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________．【答案】2【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，则21122244y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以22121244y y x x -=-，所以1212124y y k x x y y -==-+.取AB 中点()00M x y ',,分别过点A ,B 作抛物线准线1x =-的垂线，垂足分别为,A B ''，设F 为C 的焦点. 因为90AMB ︒∠=,所以()()111222MM AB AF BF AA BB ''==++'=. 因为M '为AB 中点，所以MM '平行于x 轴.因为M (−1,1)，所以01y =，则122y y +=，即2k =. 故答案为2.【名师点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设()()1122,,,A x y B x y ，利用点差法得到1212124y y k x x y y -==-+，取AB 中点()00M x y ',,分别过点A ,B 作抛物线准线1x =-的垂线，垂足分别为,A B ''，由抛物线的性质得到()12MM AA BB '=''+，进而得到斜率.。

专题07 平面解析几何（选择题、填空题）1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y += C ．22143x y +=D ．22154x y += 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．83．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为A BC ．2D 4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A BC ．D ．5．【2019年高考北京卷理数】已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b6．【2019年高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是 A ．① B ．② C ．①②D ．①②③7．【2019年高考天津卷理数】已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为A BC ．2D 8．【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是A B ．1CD ．29．【2018年高考北京卷理数】在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 A ．1 B ．2 C ．3D ．410．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣11．【2017年高考浙江卷】椭圆22194x y +=的离心率是A ．3B ．3C ．23D ．5912．【2018年高考全国Ⅱ理数】已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23 B ．12 C ．13D ．1413．【2017年高考全国Ⅲ理数】已知椭圆C ：22220)1(x y a ba b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A BC ．3D ．1314．【2018年高考浙江卷】双曲线2213x y -=的焦点坐标是A ．(，0)，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，，(0D ．(0，−2)，(0，2)15．【2017年高考天津卷理数】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ．若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A ．22144x y -=B ．22188x y -=C ．22148x y -=D ．22184x y -=16．【2018年高考全国Ⅱ理数】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A ．y =B ．y =C ．2y x =±D ．2y x =±17．【2017年高考全国Ⅱ理数】若双曲线:C 22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为A ．2 BCD18．【2017年高考全国III 理数】已知双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=19．【2018年高考全国III 理数】设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1|||PF OP ，则C 的离心率为A B ．2C D20．【2018年高考全国I 理数】设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅u u u u r u u u r= A ．5 B ．6 C ．7D ．821．【2017年高考全国I 理数】已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12D ．1022．【2018年高考全国I 理数】已知双曲线22:13x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则||MN = A ．32B ．3C ．D ．423．【2018年高考天津卷理数】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．22139x y -= D ．22193x y -= 24．【2019年高考浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m =___________，r =___________．25．【2019年高考浙江卷】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．26．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.27．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB=u u u r u u u r ，120F B F B ⋅=u u ur u u u u r ，则C 的离心率为____________．28．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .29．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ .30．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u r u u u r，则点A 的横坐标为________．31．【2018年高考浙江卷】已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP u u u u r =2PB u u u u r ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．32．【2017年高考北京卷理数】若双曲线221y x m-=，则实数m =_______________．33．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c，则其离心率的值是________________． 34．【2018年高考北京卷理数】已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n-=．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________________；双曲线N 的离心率为________________．35．【2017年高考山东卷理数】在平面直角坐标系中，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为_____________．36．【2017年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是_______________．37．【2017年高考全国I 理数】已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN =60°，则C 的离心率为_______________．38．【2017年高考全国II 理数】已知F 是抛物线:C 28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y轴于点N ．若M 为FN 的中点，则FN =_______________．39．【2018年高考全国Ⅲ理数】已知点()11M -，和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________．。

专题08平面解析几何（解答题）近三年高考真题1．（2023•新高考Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点1(0,2的距离，记动点P 的轨迹为W ．（1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD 的周长大于【解析】（1）设点P 点坐标为(,)x y ，由题意得||y ，两边平方可得：22214y x y y ，化简得：214y x，符合题意．故W 的方程为214y x．（2）解法一：不妨设A ，B ，C 三点在W 上，且AB BC ．设21(,)4A a a ，21(,)4B b b ，21(,4C c c ，则22(,)AB b a b a ，22(,)BC c b c b．由题意，0AB BC，即2222()()()()0b a c b b a c b ，显然()()0b a c b ，于是1()()0b a c b ．此时，||b a ．||1c b ．于是{||min b a ，||}1c b ．不妨设||1c b ，则1a b b c，则||||||||AB BC b a c b||b a c b|||b a c b||c a1|b c b c设||x b c，则1()(f x x x 322(1)()x f x x ，又11222222222(1)(31)(1)(21)()x x x x x f x x x．显然，2x为最小值点．故()(2f x f 故矩形ABCD的周长为2(||||)2()AB BC f x ．注意这里有两个取等条件，一个是||1b c，另一个是||b c ，这显然是无法同时取到的，所以等号不成立，命题得证．解法二：不妨设A ，B ，D 在抛物线W 上，C 不在抛物线W上，欲证命题为||||2AB AD ．由图象的平移可知，将抛物线W 看作2y x 不影响问题的证明．设(A a ，2)(0)a a ，平移坐标系使A 为坐标原点，则新抛物线方程为22y x ax ，写为极坐标方程，即22sin cos 2cos a ，即2sin 2cos cos a．欲证明的结论为22sin()2cos()sin 2cos 3322||||cos 2cos ()2a a ，也即222sin 2cos ||||cos cos sin sin a a ．不妨设22||||cos sin，将不等式左边看成关于a 的函数，根据绝对值函数的性质，其最小值当22sin 0cos cos a 即sin 2cos a时取得，因此欲证不等式为21cos ||cos sin，即21||cos sin ，根据均值不等式，有2|cos sin |由题意，等号不成立，故原命题得证．2．（2023•上海）已知抛物线2:4y x ，在 上有一点A 位于第一象限，设A 的纵坐标为(0)a a ．（1）若A 到抛物线 准线的距离为3，求a 的值；（2）当4a 时，若x 轴上存在一点B ，使AB 的中点在抛物线 上，求O 到直线AB 的距离；（3）直线:3l x ，抛物线上有一异于点A 的动点P ，P 在直线l 上的投影为点H ，直线AP 与直线l 的交点为Q ．若在P 的位置变化过程中，||4HQ 恒成立，求a 的取值范围．【解析】（1）抛物线2:4y x 的准线为1x ，由于A 到抛物线 准线的距离为3，则点A 的横坐标为2，则2428(0)a a ，解得a ；（2）当4a 时，点A 的横坐标为2444，则(4,4)A ，设(,0)B b ，则AB 的中点为4(,2)2b ，由题意可得24242b ，解得2b ，所以(2,0)B ，则402423AB k，由点斜式可得，直线AB 的方程为2(2)3y x ，即2340x y ，所以原点O 到直线AB13；（3）如图，设22(,),(,),(3,)(0)44t a P t A a H t t a ，则22444AP t a k t a t a，故直线AP 的方程为24()4a y a x t a，令3x ，可得24(3)4a y a t a ，即24(3,(3))4a Q a t a，则24|||(3)|4a HQ t a t a，依题意，24|(3)|44a t a t a恒成立，又24(3)2204a t a a a t a ，则最小值为24a ，即2a ，即2a ，则221244a a a ，解得02a ，又当2a 时，1624442t t，当且仅当2t 时等号成立，而a t ，即当2a 时，也符合题意．故实数a 的取值范围为(0，2]．3．（2022•上海）设有椭圆方程2222:1(0)x y a b a b，直线:0l x y ， 下端点为A ，M 在l 上，左、右焦点分别为1(F ，0)、2F ，0)．（1）2a ，AM 中点在x 轴上，求点M 的坐标；（2）直线l 与y 轴交于B ，直线AM 经过右焦点2F ，在ABM 中有一内角余弦值为35，求b ；（3）在椭圆 上存在一点P 到l 距离为d ，使12||||6PF PF d ，随a 的变化，求d 的最小值．【解析】（1）由题意可得2,a b c ，22:1,(0,42x y A ，AM ∵的中点在x 轴上，M ，代入0x y 得M ．（2）由直线方程可知B ，①若3cos 5BAM，则4tan 3BAM ，即24tan 3OAF ，234OA OF ，b．②若3cos 5BMA，则4sin 5BMA ，∵4MBA， 34cos()252510MBA AMB ，cos BAMtan 7BAM ．即2tan 7OAF ， 7OA ， 7b ，综上b或27．（3）设(cos ,sin )P a b ，62a ，很明显椭圆在直线的左下方，则62a ，即) ，222a b ∵，) ，)22a ，|sin()|1 ，整理可得(1)(35)0a a ，即513a ，从而58626233d a ．即d 的最小值为83．4．（2022•浙江）如图，已知椭圆22112x y ．设A ，B 是椭圆上异于(0,1)P 的两点，且点1(0,2Q 在线段AB上，直线PA ，PB 分别交直线132y x 于C ，D 两点．（Ⅰ）求点P 到椭圆上点的距离的最大值；（Ⅱ）求||CD 的最小值．【解析】（Ⅰ）设椭圆上任意一点(,)M x y ，则222222||(1)12122111213PM x y y y y y y ，[1y ，1]，而函数211213z y y 的对称轴为1[1,1]11y ，则其最大值为21114411(213111111， 1441211||1111max PM，即点P 到椭圆上点的距离的最大值为121111；（Ⅱ）设直线11221:,(,),(,)2AB y kx A x y B x y ，联立直线AB 与椭圆方程有2212112y kx x y，消去y 并整理可得，22(121)1290k x kx ，由韦达定理可得，121222129,121121k x x x x k k， 22212121222212366161||()4()121121k k x x x x x x k k k，设3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，直线111:1y AP y x x ，直线221:1y BP y x x ，联立1111132y y x x y x 以及2211132y y x x y x，可得12341244,(21)1(21)1x x x x k x k x，由弦长公式可得21234124415||1()|||22(21)1(21)1x x CD x x k x k x1212212121225|5|[(21)1][(21)1](21)(21)()1x x x x k x k x k x x k x x66|231555k，当且仅当316k 时等号成立，||CD的最小值为5．5．（2022•北京）已知椭圆2222:1(0)x yE a ba b的一个顶点为(0,1)A，焦距为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点(2,1)P 作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N．当||2MN 时，求k的值．【解析】（Ⅰ）由题意得，12bc，1b，c ，2a ，椭圆E的方程为2214x y ．（Ⅱ）设过点(2,1)P 的直线为1(2)y k x，1(B x，1)y，2(C x，2)y，联立得221(2)141y k xx y，即2222(14)(168)16160k x k k x k k，∵直线与椭圆相交， △2222[(168)]4(14)(1616)0k k k k k，0k，由韦达定理得212216814k kx xk，2122161614k kx xk，111ABykx∵， 直线AB为1111yy xx，令0y ，则111xxy，11(1xMy，0)，同理22(1xNy ，0)，1212211212211||||||()|11(2)(2)22x x x x x xMNy y k x k x k x x212112122()11||||(2)(2)x xk x x k22|216162(168)41414k k，2|2k，1|2，4k ．6．（2022•新高考Ⅱ）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的右焦点为(2,0)F，渐近线方程为y ．（1）求C 的方程；（2）过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 在C 上，且120x x ，10y ．过P且斜率为Q且斜率为的直线交于点M ．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①M 在AB 上；②//PQ AB ；③||||MA MB ．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【解析】（1）由题意可得ba，2 ，解得1a，b ，因此C 的方程为2213y x ，（2）解法一：设直线PQ 的方程为y kx m ，(0)k ，将直线PQ 的方程代入2213y x 可得222(3)230k x kmx m ，△2212(3)0m k ，120x x ∵122203kmx x k ，2122303m x x k，230k，1222333x x k ，设点M 的坐标为(M x ，)M y，则1122))M M M M y y x x y y x x ，两式相减可得1212)M y y x x ，1212()y y k x x ∵，1212)()M x x k x x ，解得23M kmX k ，两式相加可得12122())M y y y x x ，1212()2y y k x x m ∵，12122)()2M y x x k x x m ，解得M y ，3M M y x k，其中k 为直线PQ 的斜率；若选择①②：设直线AB 的方程为(2)y k x ，并设A 的坐标为3(x ，3)y ，B 的坐标为4(x ，4)y ，则3333(2)y k x y，解得3x，3y ，同理可得4x4y 234243k x x k ，342123ky y k ，此时点M 的坐标满足(2)3M M M My k x y x k，解得234221()32M k X x x k ，34261()32M k y y y k ，M 为AB 的中点，即||||MA MB ；若选择①③：当直线AB 的斜率不存在时，点M 即为点(2,0)F ，此时不在直线3y x k上，矛盾，当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为(2)(0)y m x m ，并设A 的坐标为3(x ，3)y ，B 的坐标为4(x ，4)y ，则3333(2)y m x y，解得3x，3y ，同理可得4x，4y 此时234212()23M m x x x m ，34216()23M my y y m，由于点M 同时在直线3y x k 上，故2362m m k，解得k m ，因此//PQ AB ．若选择②③，设直线AB 的方程为(2)y k x ，并设A 的坐标为3(x ，3)y ，B 的坐标为4(x ，4)y ，则3333(2)y k x y，解得3x，3y ，同理可得4x4y 设AB 的中点(C C x ，)C y ，则234212()23C k x x x k ，34216()23C ky y y k ，由于||||MA MB ，故M 在AB 的垂直平分线上，即点M 在直线1()C C y y x x k上，将该直线3y x k 联立，解得2223M C k x x k ，263M C ky y k ，即点M 恰为AB 中点，故点M 在直线AB 上．（2）解法二：由已知得直线PQ 的斜率存在且不为零，直线AB 的斜率不为零，若选由①② ③，或选由②③ ①：由②成立可知直线AB 的斜率存在且不为0．若选①③ ②，则M 为线段AB 的中点，假设AB 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M 在x 轴上，即为焦点F ，此时由对称性可知P 、Q 关于x 轴对称，从而12x x ，已知不符．综上，直线AB 的斜率存在且不为0，直线AB 的斜率为k ，直线AB 的方程为(2)y k x ．则条件①M 在直线AB 上，等价于20000(2)(2)y k x ky k x ，两渐近线的方程合并为2230x y ，联立方程组，消去y 并化简得：2222(3)440k x k x k ，设3(A x ，3)y ，4(B x ，4)y ，线段中点为(N N x ，)N y ，则2342223N x x k x k ．26(2)3N N ky k x k ，设0(M x ，0)y ，则条件③||||AM BM 等价于222203030404()()()()x x y y x x y y ，移项并利用平方差公式整理得：3403434034()[2()]()[(2()]0x x x x x y y y y y ，3403403434[2()][2()]0y y x x x y y y x x，00()0N N x x k y y ，3403403434[2()][2()]0y y x x x y y y x x，00()0N N x x k y y ，200283k x ky k ，由题意知直线PM的斜率为QM的斜率为，由1010)y y x x，2020)y y x x，121202)y y x x x ，直线PQ的斜率1201212122)x x x y y m x x x x，直线00:)PM y x x y，即00y y ，代入双曲线的方程为22330x y，即)3y y 中，得0000(()]3y y ，解得P的横坐标为100)]3x y ，同理，2022003()3x y y x ，012002200323x x x x x y x ，03x m y， 条件②//PQ AB 等价于003m k ky x ，综上所述：条件①M 在AB 上等价于200(2)m k ky k x ，条件②//PQ AB 等价于003ky x ，条件③||||AM BM 等价于200283k x ky k ．选①② ③：由①②解得20223k x k 20002843k x ky x k ， ③成立；选①③ ②：由①③解得：20223k x k ，20263k ky k ，003ky x ， ②成立；选②③ ①：由②③解得：20223k x k ，20263k ky k ， 02623x k ， ①成立．7．（2022•上海）已知椭圆222:1(1)x y a a，A 、B 两点分别为 的左顶点、下顶点，C 、D 两点均在直线:l x a 上，且C 在第一象限．（1）设F 是椭圆 的右焦点，且6AFB，求 的标准方程；（2）若C 、D 两点纵坐标分别为2、1，请判断直线AD 与直线BC 的交点是否在椭圆 上，并说明理由；（3）设直线AD 、BC 分别交椭圆 于点P 、点Q ，若P 、Q 关于原点对称，求||CD 的最小值．【解析】（1）由题可得(0,1)B ，(,0)F c ，因为6AFB，所以1tan tan 63b AFBc c，解得c ，所以214a ，故 的标准方程为2214x y ；（2）直线AD 与直线BC 的交点在椭圆上，由题可得此时(,0)A a ，(0,1)B ，(,2)C a ，(,1)D a ，则直线3:1BC y x a ，直线11:22AD y x a ，交点为3(5a ，4)5，满足2223()45()15a a ，故直线AD 与直线BC 的交点在椭圆上；（3）(0,1)B ，(cos ,sin )P a ，则直线sin 1:1cos BP y x a ，所以sin 1(,1)cos C a，(,0)A a ，(cos ,sin )Q a ，则直线sin :()cos AQ y x a a a，所以2sin (,cos 1D a，所以222222sin cos 4sin cossin 12sin 222222||11cos cos 12222sin cos CD cos sin sin，设tan 2t ，则11||2()21CD t t，因为114a ba b ，所以114411t t t t，则||6CD ，即||CD 的最小值为6．8．（2021•北京）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b的一个顶点(0,2)A ，以椭圆E 的四个顶点围成的四边形面积为．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过点(0,3)P 作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB 、AC 分别与直线3y 交于点M 、N ，当||||15PM PN 时，求k 的取值范围．【解析】（Ⅰ）因为椭圆2222:1(0)x y E a b a b过点(0,2)A ，则2b ，又因为以四个顶点围成的四边形面积为，所以1222a b，解得a ，故椭圆E 的标准方程为22154x y；（Ⅱ）由题意，设过点(0,3)P ，斜率为k 的直线为直线l ，设直线l 的方程为(3)(0)y k x ，即3y kx ，当0k 时，直线l 与椭圆E 没有交点，而直线l 交椭圆E 于不同的两点B ，C ，所以0k ，设1(B x ，1)y ，2(C x ，2)y ，联立方程组223154y kx x y，可得22(45)30250k x kx ，则△22(30)425(45)0k k ，解得||1k ，所以1212223025,4545k x x x x k k，则221212121222036(3)(3)3()945k y y kx kx k x x k x x k ，121212224(3)(3)()645y y kx kx k x x k，直线AB 的方程为11(2)(2)(0)0y y x x ，即1122y y x x ，直线AC 的方程为22(2)(2)0)0y y x x，即2222y y x x ，因为直线AB 交3y 于点M ，所以令3y ，则112M x x y ，故11(,3)2x M y ，同理可得22(,3)2x N y ，注意到12225045x x k，所以1x ，2x 同号，因为120y ，220y ，所以M x ，N x 同号，故||||||||||M N M N PM PN x x x x ，则1212211212(2)(2)|||||||22(2)(2)x x x y x y PM PN y y y y 1221121212(3)(3)2()||2()4x kx x kx x x y y y y 121212122()||2()4kx x x x y y y y 22222253024545||20364844545kk k k k k k5||k ，故||||5||PM PN k ，又||||15PM PN ，即5||15k ，即||3k ，又||1k ，所以1||3k ，故k 的取值范围为[3 ，1)(1 ，3]．9．（2021•浙江）如图，已知F 是抛物线22(0)y px p 的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且||2MF ．（Ⅰ）求抛物线的方程：（Ⅱ）设过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若斜率为2的直线l 与直线MA ，MB ，AB ，x 轴依次交于点P ，Q ，R ，N ，且满足2||||||RN PN QN ，求直线l 在x轴上截距的取值范围．【解析】（Ⅰ）依题意，2p ，故抛物线的方程为24y x ；（Ⅱ）由题意得，直线AB 的斜率存在且不为零，设直线:(1)AB y k x ，将直线AB 方程代入抛物线方程可得，2222(24)0k x k x k ，则由韦达定理有，242,1A B A B x x x x k，则4A B y y ，设直线1:(1)AM y k x ，其中11A A y k x，设直线2:(1)BM y k x ，其中21B B yk x ，则12(1)(1)(1)(1)0011(1)(1)(1)(1)(1)(1)A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B y y y x y y x y k x x k x k x x k x k k x x x x x x x x，2122244(1)(1)1121A B A B y y k k k x x k k，设直线:2()l y x t ，联立2()(1)y x t y k x ，可得22R k t x k ，则2||||||22R k t k kt x t t k k ，联立12()(1)y x t y k x ，可得1122P k t x k ，则111112||||||22P k t k k t x t t k k ，同理可得，222222,||||22Q Q k t k k tx x t k k，又2||||||RN PN QN ，2112212||||222k k t k k tk kt k k k ，即2222(1)()234k kt k t k k ，22222222(1)343(2)12(2)16161243333()(1)(1)(2)(2)(2)22244t k k k t t k k k k k ，224(21)3(21)t t t t ，即21410t t，解得7t或71)t t ；当直线AB 的斜率不存在时，则直线:1AB x ，(1,2)A ，(1,2)B ，(1,0)M ，直线MA 的方程为1y x ，直线MB 的方程为1y x ，设直线:2()l y x t ，则(12,22)P t t ，2122(,)33t t Q ，(1,22)R t ，(,0)N t ，又2||||||RN PN QN，故22(1)(22)t t 解得t满足(,77,1)(1,) ．直线l 在x轴上截距的取值范围为(,77,1)(1,) ．10．（2021•新高考Ⅰ）在平面直角坐标系xOy中，已知点1(F ，0)，2F ，0)，点M 满足12||||2MF MF ．记M 的轨迹为C ．（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且||||||||TA TB TP TQ ，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和．【解析】（1）由双曲线的定义可知，M 的轨迹C 是双曲线的右支，设C 的方程为22221(0,0),1x y a b x a b ，根据题意22222c a c a b，解得14a b c，C 的方程为221(1)16y x x ；（2）（法一）设1(,)2T m ，直线AB 的参数方程为1cos 2sin x t y m t，将其代入C 的方程并整理可得，2222(16cos sin )(16cos 2sin )(12)0t m t m ，由参数的几何意义可知，1||TA t ，2||TB t ，则2212222121216117m m t t sin cos cos，设直线PQ 的参数方程为1cos 2sin x y m，1||TP ，2||TQ ，同理可得，212212117m cos ，依题意，22221212117117m m cos cos，则22cos cos ，又 ，故cos cos ，则cos cos 0 ，即直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0．（法二）设1(,)2T t ，直线AB 的方程为11()2y k x t ，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，设1212x x ，将直线AB 方程代入C 的方程化简并整理可得，22222111111(16)(2)1604k x k tk x k k t t ，由韦达定理有，22211111212221111624,1616k k t t k k tx x x x k k ，又由111111(,),(,)22A x k x k t T t可得11||)2AT x ，同理可得21||)2BT x ，222111221(1)(12)11||||(1)()()2216k t AT BT k x x k，设直线PQ 的方程为233441(),(,),(,)2y k x t P x y Q x y ，设3412x x ，同理可得22222(1)(12)||||16k t PT QT k ，又||||||||AT BT PT QT ，则22122212111616k k k k ，化简可得2212k k ，又12k k ，则12k k ，即120k k ，即直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0．11．（2021•乙卷（文））已知抛物线2:2(0)C y px p 的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程；（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF，求直线OQ 斜率的最大值．【解析】（1）由题意知，2p ，24y x ．（2）由（1）知，抛物线2:4C y x ，(1,0)F ，设点Q 的坐标为(,)m n ，则(1,)QF m n，9(99,9)PQ QF m nP 点坐标为(109,10)m n ，将点P 代入C 得21004036n m ，整理得22100362594010n n m ，当0n 时，2100259n n K m n，当0n 时，2101019259325n n K m n n n，当且仅当925n n ，即35n 时，等号成立，取得最大值．故答案为：13．12．（2022•甲卷（文））设抛物线2:2(0)C y px p 的焦点为F ，点(,0)D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，||3MF ．（1）求C 的方程；（2）设直线MD ，ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线MN ，AB 的倾斜角分别为 ， ．当 取得最大值时，求直线AB 的方程．【解析】（1）由题意可知，当x p 时，222y p，得M y，可知||MD ，||2p FD ．则在Rt MFD 中，222||||||FD DM FM，得22())92p，解得2p ．则C 的方程为24y x ；（2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，3(A x ，3)y ，4(B x ，4)y ，当MN 与x 轴垂直时，由对称性可知，AB 也与x 轴垂直，此时2，则0 ，由（1）可知(1,0)F ，(2,0)D ，则1212221212124tan 44MN y y y y k y y x x y y，又N 、D 、B 三点共线，则ND BD k k ，即24240022y y x x，242224002244y y y y，得248y y ，即428y y；同理由M 、D 、A 三点共线，得318y y ．则34123434124tan 2()y y y y x x y y y y．由题意可知，直线MN 的斜率不为0，设:1MN l x my ，由241y x x my ，得2440y my ，124y y m ，124y y ，则41tan 4m m，41tan 242m m，则11tan tan 12tan()1111tan tan 122m m m m m m，∵1tan m，1tan 2m，tan 与tan 正负相同，22， 当 取得最大值时，tan() 取得最大值，当0m时，1tan()142m m；当0m 时，tan() 无最大值， 当且仅当12m m，即2m 时，等号成立，tan() 取最大值，此时AB 的直线方程为33344()y y x x y y ，即34344()0x y y y y y ，又123412128()888y y y y m y y y y∵34128816y y y y ，AB的方程为4160x，即40x ．13．（2023•甲卷（文））已知直线210x y 与抛物线2:2(0)C y px p 交于A ，B两点，||AB ．（1）求p ；（2）设F 为C 的焦点，M ，N 为C 上两点，且0FM FN，求MFN 面积的最小值．【解析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立22102(0)x y y px p，消去x 得：2420y py p ，124y y p ，122y y p ，△21680p p ，(21)0p p ，12p，12|||4AB y y ，216848p p ，2260p p ，(23)(2)0p p ，2p ，（2）由（1）知24y x ，所以(1,0)F ，显然直线MN 的斜率不可能为零，设直线:MN x my n ，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 由24y x x my n，可得2440y m n ，所以124y y m ，124y y n ，△22161600m n m n ，因为0MF NF，所以1212(1)(1)0x x y y ，即1212(1)(1)0my n my n y y ，即221212(1)(1)()(1)0m y y m n y y n ，将124y y m ，24y n ，代入得22461m n n ，224()(1)0m n n ，所以1n ，且2610n n ，解得3n 或3n 设点F 到直线MN 的距离为d ，所以d12|||MN y y1|n ，所以MNF 的面积11||1|22S MN d n，又3n 或3n 3n 时，MNF 的面积2(212min S ．14．（2023•甲卷（理））设抛物线2:2(0)C y px p ，直线210x y 与C 交于A ，B 两点，且||AB ．（1）求p 的值；（2）F 为22y px 的焦点，M ，N 为抛物线上的两点，且0MF NF，求MNF 面积的最小值．【解析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立22102(0)x y y px p，消去x 得：2420y py p ，124y y p ，122y y p ，△21680p p ，(21)0p p ，12p，12|||4AB y y ，216848p p ，2260p p ，(23)(2)0p p ，2p ；（2）由（1）知24y x ，所以(1,0)F ，显然直线MN 的斜率不可能为零，设直线:MN x my n ，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，由24y x x my n，可得2440y my n ，所以124y y m ，124y y n ，△22161600m n m n ，因为0MF NF ，所以1212(1)(1)0x x y y ，即1212(1)(1)0my n my n y y ，即221212(1)(1)()(1)0m y y m n y y n ，将124y y m ，24y n ，代入得22461m n n ，224()(1)0m n n ，所以1n ，且2610n n ，解得3n 或3n 设点F 到直线MN 的距离为d ，所以d12|||MN y y1|n ，所以MNF 的面积11||1|22S MN d n ，又3n 或3n 3n 时，MNF 的面积2(212min S ．15．（2023•天津）设椭圆22221(0)x y a b a b的左、右顶点分别为1A ，2A ，右焦点为F ，已知1||3A F ，2||1A F ．（Ⅰ）求椭圆方程及其离心率；（Ⅱ）已知点P 是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线2A P 交y 轴于点Q ，若△1A PQ 的面积是△2A FP 面积的二倍，求直线2A P 的方程．【解析】（Ⅰ）由题意可知，31a c a c ，解得21a c，222413b a c ．则椭圆方程为22143x y ，椭圆的离心率为12c e a ；（Ⅱ）由题意可知，直线2A P 的斜率存在且不为0，当0k 时，直线方程为(2)y k x ，取0x ，得(0,2)Q k ．联立22(2)143y k x x y ，得2222(43)1616120k x k x k ．△2222(16)4(43)(1612)1440k k k ，221612243P k x k ，得228643P k x k ，则21243P k y k ．11212322111216124(2)4()224343A PQ A A Q A A Pk k k S S S k k k ．22211261()24343A FP k k S k k ． 3221612124343k k k k k ，即223k ，得6(0)2k k ；同理求得当0k 时，62k ． 直线2A P 的方程为6(2)2y x ．16．（2022•天津）椭圆22221(0)x y a b a b的右焦点为F 、右顶点为A ，上顶点为B ，且满足||3||2BF AB ．（1）求椭圆的离心率e ；（2）直线l 与椭圆有唯一公共点M ，与y 轴相交于(N N 异于)M ．记O 为坐标原点，若||||OM ON ，且OMN 3【解析】（1）∵22||3||BF aAB a b 22234a a b ，223a b ，2223()a a c ，2223a c ，222633c e a ；（2）由（1）可知椭圆为222213x y a a，即2223x y a ，设直线:l y kx m ，联立2223x y a ，消去y 可得：2222(31)6(3)0k x kmx m a ，又直线l 与椭圆只有一个公共点，△2222364(31)(3)0k m k m a ，2223(31)m a k ，又2331M km x k ， 22233131M M k m m y kx m m k k ，又||||OM ON ， 222223(()3131km m m k k ，解得213k，3k ，又OMN的面积为2113||||||||2231M km ON x m k ，212224m ，又k 2223(31)m a k ，26a ，22b ， 椭圆的标准方程为22162x y ．17．（2022•新高考Ⅰ）已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a 上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 的斜率之和为0．（1）求l 的斜率；（2）若tan PAQ ，求PAQ 的面积．【解析】（1）将点A 代入双曲线方程得224111a a ，化简得42440a a ，22a ，故双曲线方程为2212x y ，由题显然直线l 的斜率存在，设:l y kx m ，设1(P x ，12)(y Q x ，2)y ，则联立双曲线得：222(21)4220k x kmx m ，故122421km x x k ，21222221m x x k ，12121212111102222AP AQ y y kx m kx m k k x x x x ，化简得：12122(12)()4(1)0kx x m k x x m ，故2222(22)4(12)(4(1)02121k m km m k m k k ，即(1)(21)0k m k ，而直线l 不过A 点，故1k ；（2）设直线AP 的倾斜角为，由tan PAQ22tan21tan 2PAQ PAQ，得tan 22PAQ 由2PAQ ， 2PAQ，得tan AP k，即1112y x ，联立1112y x ，及221112x y得1110533x y ，同理22x y 故12122068,39x x x x ，而12||2|,|||2|AP x AQ x，由tan PAQsin 3PAQ，故12121||||sin 2()4|29PAQ S AP AQ PAQ x x x x ．18．（2023•新高考Ⅱ）已知双曲线C中心为坐标原点，左焦点为( 0)．（1）求C 的方程；（2）记C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，过点(4,0) 的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于P ，证明P 在定直线上．【解析】（1）双曲线C中心为原点，左焦点为( 0)，则222c a b c c e a，解得24a b ，故双曲线C 的方程为221416x y ；（2）证明：过点(4,0) 的直线与C 的左支交于M ，N 两点，则可设直线MN 的方程为4x my ，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，记C 的左，右顶点分别为1A ，2A ，则1(2,0)A ，2(2,0)A ，联立224416x my x y ，化简整理可得，22(41)32480m y my ，故△222(32)448(41)2641920m m m 且2410m ，1223241m y y m ，1224841y y m ，直线1MA 的方程为11(2)2y y x x，直线2NA 方程22(2)2y y x x ，故21211212(2)(2)22(2)(6)y x y my x x y x y my 121211212()26my y y y y my y y 12212483222414148641m m y m m m y m 1212162141483641m y m m y m ，故2123x x ，解得1x ，所以1P x ，故点P 在定直线1x 上运动．19．（2021•上海）已知22:12x y ，1F ，2F 是其左、右焦点，直线l 过点(P m，0)(m ，交椭圆于A ，B 两点，且A ，B 在x 轴上方，点A 在线段BP 上．（1）若B 是上顶点，11||||BF PF ，求m 的值；（2）若1213F A F A ，且原点O 到直线l的距离为15，求直线l 的方程；（3）证明：对于任意m 12//F A F B 的直线有且仅有一条．【解析】（1）因为 的方程：2212x y ，所以22a ，21b ，所以2221c a b ，所以1(1,0)F ，2(1,0)F ，若B 为 的上顶点，则(0,1)B ，所以1||BF ，1||1PF m ，又11||||BF PF ，所以1m（2）设点A ，sin ) ，则2221211)213F A F A sin cos sin ，因为A 在线段BP 上，横坐标小于0，解得cos ，故()33A ，设直线l的方程为(0)33y kx k ，由原点O 到直线l，则15d ，化简可得231030k k ，解得3k 或13k ，故直线l的方程为13y x或3y x（舍去，无法满足m ，所以直线l的方程为139y x ；（3）联立方程组2212y kx km x y ，可得22222(12)4220k x k mx k m ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则222121222422,1212k m k m x x x x k k ，因为12//F A F B ，所以2112(1)(1)x y x y ，又y kx km ，故化简为122212x x k ，又122216882||||1212k k m x x k k ，两边同时平方可得，2224210k k m ，整理可得22142k m ，当m 时，221042k m ，因为点A ，B 在x 轴上方，所以k 有且仅有一个解，故对于任意m ，使得12//F A F B 的直线有且仅有一条．20．（2021•甲卷（文））在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 ．（1）将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A 的直角坐标为(1,0)，M 为C 上的动点，点P满足AP ，写出P 的轨迹1C 的参数方程，并判断C 与1C 是否有公共点．【解析】（1）由极坐标方程为，得2cos ，化为直角坐标方程是22x y ，即22(2x y，表示圆心为C 0)（2）【解法1】根据题意知，点P 的轨迹是以A为缩放比例将圆1C 作位似变换得到的，因此1C的圆心为(3 0)，半径差为2 ，所以圆C 内含于圆1C ，圆C 与圆1C 没有公共点．【解法2】设点P 的直角坐标为(,)x y ，1(M x ，1)y ，因为(1,0)A ，所以(1,)AP x y ，1(1AM x ，1)y ，由AP ，即1111)x x y ，解得11(1)122x x y y ，所以1)1M x)y ，代入C的方程得221)1)2x ，化简得点P的轨迹方程是22(34x y，表示圆心为1(3C ，0)，半径为2的圆；化为参数方程是32cos 2sin x y， 为参数；计算1|||(332CC ，所以圆C 与圆1C 内含，没有公共点．21．（2023•北京）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b，A 、C 分别为E 的上、下顶点，B 、D 分别为E 的左、右顶点，||4AC ．（1）求E 的方程；（2）点P 为第一象限内E 上的一个动点，直线PD 与直线BC 交于点M ，直线PA 与直线2y 交于点N ．求证：//MN CD ．【解析】（1）由题意可得：24b，c e a，222a b c ，解得2b ，29a ， 椭圆E 的方程为22194x y ．（2）证明：(0,2)A ，(3,0)B ，(0,2)C ，(3,0)D ，直线BC 的方程为132x y ，化为2360x y ．设直线AP 的方程为：2y kx ，(0)k ，4(N k ，2) ．联立222194y kx x y ，化为：22(49)360k x kx ，解得0x 或23649k k，236(49k P k ，22818)49k k ．直线PD 方程为：22218849(3)36349k k y x k k ，即22188(3)273612k y x k k ，与2360x y 联立，解得26432k x k k ，2281896k y k k．264(32k M k k，2281896k k k ．2228182296464332MN k k k k k k k k，23CD k，//MN CD ．22．（2021•新高考Ⅱ）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b，右焦点为F ，0)．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x 相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN ．【解析】（Ⅰ）由题意可得，椭圆的离心率3c a，又c所以a 2221b a c ，故椭圆的标准方程为2213x y ；（Ⅱ）证明：先证明充分性，当||MN 时，设直线MN 的方程为x ty s ，此时圆心(0,0)O 到直线MN的距离1d ，则221s t ，联立方程组2213x ty s x y ，可得222(3)230t y tsy s ，则△22222244(3)(3)12(3)24t s t s t s ，因为2||3MN t ，所以21t ，22s ，因为直线MN 与曲线222(0)x y b x 相切，所以0s，则s ，则直线MN的方程为x ty恒过焦点F ，故M ，N ，F 三点共线，所以充分性得证．若M ，N ，F 三点共线时，设直线MN的方程为x my ，则圆心(0,0)O 到直线MN的距离为1d ，解得21m ，联立方程组2213x my x y，可得22(3)10m y ，即2410y ，所以||44MN所以必要性成立；综上所述，M，N，F三点共线的充要条件是||MN．23．（2021•天津）已知椭圆22221(0)x y a ba b的右焦点为F，上顶点为B，离心率为，且||BF．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若//MP BF，求直线l的方程．【解析】（1）因为离心率5e，||BF所以222caaa b c，解得a ，2c ，1b ，所以椭圆的方程为2215x y ．（2）先证明椭圆22221x ya b上过点(M x，)y的椭圆的切线方程为：00221xx yya b．由于椭圆过点0(x，0)y，则2200221x ya b①，对椭圆求导得22b xya y，即切线的斜率22b xka y，故切线的方程2002()b xy y x xa y，将①代入得00221xx yya b．则切线MN 的方程为0015x x y y ，令0x ，得01N y y，因为PN BF ，所以1PN BF k k ，所以1(12PN k ，解得2NP k ，设1(P x ，0)，则01120NPy k x ，即1012x y ，因为//MP BF ，所以MP BF k k ，所以0001122y x y ，即000122y x y ，所以000122x y y，又因为220015x y ，所以22002042115520y y y ，解得06y ，因为0N y ，所以00y ，所以06y，036x ，所以6156y，即0x y ．24．（2021•甲卷（文））抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点在x 轴上，直线:1l x 交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ．已知点(2,0)M ，且M 与l 相切．（1）求C ，M 的方程；（2）设1A ，2A ，3A 是C 上的三个点，直线12A A ，13A A 均与M 相切．判断直线23A A 与M 的位置关系，并说明理由．【解析】（1）因为1x 与抛物线有两个不同的交点，故可设抛物线C 的方程为：22(0)y px p ，令1x ，则2y p ，根据抛物线的对称性，不妨设P 在x 轴上方，Q 在x 轴下方，故2),(1,2P p Q p ，因为OP OQ ，故112(202p p p，抛物线C 的方程为：2y x ，因为M 与l 相切，故其半径为1，故22:(2)1M x y ．另（1）根据抛物线的对称性，由题意可得45POx QOx ，因此点P ，Q 的坐标为(1,1) ，由题意可设抛物线C 的方程为：22(0)y px p ，可得12p ，因此抛物线C 的方程为2y x ．而圆M 的半径为圆心M 到直线l 的距离为1，可得M 的方程为22(2)1x y ．（2）很明显，对于12A A 或者13A A 斜率不存在的情况以及23A A 斜率为0的情况满足题意．否则：设11(A x ，1)y ，22(A x ，2)y ，33(A x ，3)y ．当1A ，2A ，3A 其中某一个为坐标原点时（假设1A 为坐标原点时），设直线12A A 方程为0kx y ，根据点(2,0)M 到直线距离为11，解得k 联立直线12A A 与抛物线方程可得3x ，此时直线23A A 与M 的位置关系为相切，当1A ，2A ，3A 都不是坐标原点时，即123x x x ，直线12A A 的方程为1212()0x y y y y y ，1 ，即22212121(1)230y y y y y ，同理，由对称性可得，22213131(1)230y y y y y ，所以2y ，3y 是方程222111(1)230y t y t y 的两根，则2112323221123,11y y y y y y y y ，依题意有，直线23A A 的方程为2323()0x y y y y y ，令M 到直线23A A 的距离为d ，则有22122223122123213(2)(2)1121()1()1y y y y d y y y y ，此时直线23A A 与M 的位置关系也为相切，综上，直线23A A 与M 相切．（2）另设2(i i A y ，)i y ，1i ，2，3，由直线的两点式可知，直线12A A 的方程为222122122()()()()y y y y y y x y ，化简可得1212()0x y y y y y ，因为直线12A A 与圆M2212121(2)1()y y y y ，整理得22212121(1)230y y y y y ，同理有22213131(1)230y y y y y ，所以2y ，3y 是关于y 的方程222111(1)230y y y y y 的两个根，则2112323221123,11y y y y y y y y ，依题意有，直线23A A 的方程为2323()0x y y y y y ，令M 到直线23A A 的距离为d ，则有22122223122123213(2)(2)1121()1()1y y y y d y y y y ，此时直线23A A 与M 的位置关系也为相切，综上，直线23A A 与M 相切．25．（2023•乙卷（文））已知椭圆2222:1(0)y x C a b a b的离心率为3，点(2,0)A 在C 上．（1）求C 的方程；（2）过点(2,3) 的直线交C 于点P ，Q 两点，直线AP ，AQ 与y 轴的交点分别为M ，N ，证明：线段MN 的中点为定点．【解析】（1）由题意，22232c a b a b c，解得32a b c ． 椭圆C 的方程为22194y x ；证明：（2）如图，要使过点(2,3) 的直线交C 于点P ，Q 两点，则PQ 的斜率存在且小于0，设:3(2)PQ y k x ，即23y kx k ，0k ，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，联立2223194y kx k y x ，得22(49)8(23)16(3)0k x k k x k k ．△22[8(23)]4(49)16(3)17280k k k k k k ．1228(23)49k k x x k ，12216(3)49k k x x k ，直线11:(2)2y AP y x x，取0x ，得112(0,)2y M x ；直线22:(2)2y AQ y x x，取0x ，得222(0,2y N x ． 1212211212222(2)2(2)22(2)(2)y y y x y x x x x x 12211212(23)(2)(23)(2)22()4kx k x kx k x x x x x 121212122(43)()4(23)22()4kx x k x x k x x x x 222216(3)8(23)2(43)4(23)4949216(3)8(23)244949k k k k k k k k k k k k k k k 32322322223296649648723272481082164832481636k k k k k k k k k k k k k k 1082636．MN 的中点为(0,3)，为定点．。

（9）平面解析几何——高考数学三年真题专项汇编卷（2019-2021）1.【2021年·全国乙卷（理）】设B 是椭圆22221(0):x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是()A.22⎫⎪⎢⎪⎣⎭B.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.20,2⎛ ⎝⎦D.10,2⎛⎤⎥⎝⎦2.【2021年·全国乙卷（文）】设B 是椭圆22:15x C y +=的上顶点，点P 在C 上，则PB的最大值为()A.52D.23.【2021年·新高考Ⅰ卷】已知1F ，2F 是椭圆22:194x y C +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为()A.13B.12C.9D.64.【2020年·全国Ⅰ卷（文）】已知圆2260x y x +-=，过点()1,2的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A.1B.2C.3D.45.【2021年·全国甲卷（理）】已知1F ，2F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且1260F PF ∠=°，123PF PF =，则C 的离心率为()A.2B.26.【2020年·全国Ⅰ卷（理）】已知22:2220M x y x y +---=e ，直线:220l x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为()A.210x y --=B.210x y +-= C.210x y -+= D.210x y ++=7.【2019年·全国Ⅱ卷（理）】若抛物线()220y px p =>的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =()A ．2B ．3C ．4D ．88.【2020年·新高考Ⅰ卷】（多选）已知曲线22:1C mx ny +=，()A.若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B.若0m n =>，则CC.若0mn <，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D.若0m =，0n >，则C 是两条直线9.【2021年·全国乙卷（理）】已知双曲线22:1(0)x C y m m-=>的一条渐近线为0my +=，则C 的焦距为_____________.10.【2021年·全国乙卷（文）】双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为___________.11.【20202:4C y x =的焦点，且与C 交于,A B 两点，则||AB =_________.12.【2021年·全国甲卷（理）】已知1F ，2F 为椭圆22:1164x y C +=的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12PQ F F =，则四边形12PF QF 的面积为___________.13.【2020年·新高考Ⅰ卷】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，且过点(2,1)A (1)求C 的方程；(2)点,M N 在C 上，且,AM AN AD MN ⊥⊥，D 为垂足，证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值.14.【2021年·全国乙卷（文）】已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2.（1）求C 的方程；（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.15.【2021年·全国乙卷（理）】已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4.（1）求p .（2）若点P 在M 上，PA 、PB 是C 的两条切线，A 、B 是切点，求PAB 面积的最大值.答案以及解析1.答案：C解析：本题考查椭圆的方程与几何性质、离心率，二次函数的图象与性质，不等式的求解.由题可得(0,)B b ，设()00,P x y ，0[,]y b b ∈-，则有2200221x y a b +=，可得2220021y x a b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故()2222222000002||12y PB x y a y b b y b b ⎛⎫=+=-+-+=⎪⎝⎭-223222222000022222c c b y by a b y y a b b b c ⎛⎫--++=-⋅+++ ⎪⎝⎭，根据题目条件知0y b =-时，2||PB 取得最大值22(2)4b b =，则有32b b c-≤-，整理得22b c ≥，即222a c c -≥，解得a ≥，故椭圆离心率c e a =≤0e <≤.2.答案：A解析：本题考查椭圆的性质、两点间距离公式、复合函数的最值、极坐标系.由椭圆C 的方程：2215x y +=得其上顶点(0,1)B ，,sin )(1sin 1,1cos 1)P θθθθ-≤≤-≤≤.由||PB ==1sin 4θ=-时，max 5||2PB ==.3.答案：C解析：本题考查椭圆的性质，二次函数的最值.设点M 的坐标为(,)x y ，所以2125339339MF MF x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=+-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.因为33x -≤≤，所以2125999MF MF x ⋅=-≤，当0x =时，取得最大值9.4.答案：B解析：将圆的方程2260x y x +-=化为标准方程22(3)9x y -+=，设圆心为C ，则(30)C ，，半径3r =.设点(12)，为点A ，过点(12)A ，的直线为l ，因为22(13)29-+<，所以点(12)A ，在圆C 的内部，则直线l 与圆C 必相交，设交点分别为B D ，.易知当直线l AC ⊥时，直线l 被该圆所截得的弦的长度最小，设此时圆心C 到直线l 的距离为d ，则d AC ==，所以min ||2BD ==，即弦的长度的最小值为2，故选B.5.答案：A解析：本题考查双曲线的定义及离心率、余弦定理.设122PF PF a -=，由123PF PF =，可知13PF a =，2PF a =，又122F F c =，1260F PF ∠=︒，故222(2)(3)23cos60c a a a a =+-⨯︒，解得2247c a =.6.答案：D解析：通解由22:2220M x y x y +---=e ①，得22:(1)(1)4M x y -+-=e ，所以圆心(11)M ，.如图，连接AM ，BM ，易知四边形PAMB 的面积为1||||2PM AB ⋅，欲使||||PM AB ⋅最小，只需四边形PAMB 的面积最小，即只需PAM V 的面积最小.因为||2AM =，所以只需||PA 最小.又||PA ==，所以只需直线220x y ++=上的动点P 到M=，此时PM l ⊥，易求出直线PM 的方程为210x y -+=.由220210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，，得10x y =-⎧⎨=⎩，，所以(10)P -，.易知P A M B ，，，四点共圆，所以以PM 为直径的圆的方程为222122x y ⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即2210x y y +--=②，由①②得，直线AB 的方程为210x y ++=，故选D.优解因为22:(1)(1)4M x y -+-=e ，所以圆心(11)M ，.连接AM BM ，，易知四边形PAMB 的面积为1||||2PM AB ⋅，欲使||||PM AB ⋅最小，只需四边形PAMB 的面积最小，即只需PAM V 的面积最小.因为||2AM =，所以只需||PA 最小.又||PA ==||PM 最小，此时PM l ⊥.因为PM AB ⊥，所以l AB P ，所以2AB k =-，排除A ，C.易求出直线PM 的方程为210x y -+=，由220210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，，得10x y =-⎧⎨=⎩，，所以(10)P -，.因为点M 到直线1x =-的距离为2，所以直线1x =-过点P 且与M e 相切，所以(11)A -，.因为点(11)A -，在直线AB 上，故排除B.故选D.7.答案：D解析：因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p是椭圆2231x y p p+=的一个焦点，所以23()2pp p -=，解得8p =，故选D ．8.答案：ACD解析：对于选项A ，0m n >>Q ，110m n∴<<，方程221mx ny +=可变形为22111x y m n +=，∴该方程表示焦点在y 轴上的椭圆，正确；对于选项B ，0m n =>Q ，∴方程221mx ny +=可变形为221x y n +=的圆，错误；对于选项C ，0mn <Q ，∴该方程表示双曲线，令220mx ny y +=⇒=，正确；对于选项D ，0m =Q ，0n >，∴方程221mx ny +=变形为21ny y =⇒=，该方程表示两条直线，正确.综上选ACD.9.答案：4解析：本题考查双曲线的方程与几何性质、渐近线方程及其性质.由双曲线22:1x C y m-=可得其渐近线方程为0y=0my +=，解得3m =，故2c ==，所以C 的焦距为24c =.10.答案：解析：本题考查双曲线的性质、点到直线的距离.由双曲线的方程22145x y -=，得其右焦点为(3,0)F ，所以点(3,0)F 到直线280x y +-=的距离为d ==11.答案：163解析：由题意得直线方程为1)y x =-，联立方程，得21)4y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，，得231030x x -+=，103A B x x ∴+=，故1016||11233A B AB x x =+++=+=.12.答案：8解析：本题考查椭圆的定义、焦点，矩形的判定和面积.由题可知四边形12PF QF 是矩形，且222121248PF PF F F +==，1228PF PF a +==，可得128PF PF ⋅=.13.答案：(1)由题设得222224111,2a b a b a -+==，解得226,3a b ==.所以C 的方程为22163x y +=.(2)设()()1122,,,M x y N x y .若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y kx m =+，代入22163x y +=得()222124260k xkmx m +++-=.于是2121222426,1212km m x x x x k k -+=-=++.①由AM AN ⊥知0AM AN ⋅=，故()()()()121222110x x y y --+--=，可得()()2212121(2)(1)40kx x km k x x m ++--++-+=.将①代入上式可得()222222641(2)(1)401212m km k km k m k k -+---+-+=++.整理得(231)(21)0k m k m +++-=.因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故2310,1k m k ++=≠.于是MN 的方程为21(1)33y k x k ⎛⎫=--≠ ⎪⎝⎭.所以直线MN 过点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，若直线MN 与x 轴垂直，可得()11,N x y -，由0AM AN ⋅=得()()()()111122110x x y y --+---=.又2211163x y +=，可得2113840x x -+=.解得12x =（舍去），123x =.此时直线MN 过点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.令Q 为AP 的中点，即41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭.若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故1||||23DQ AP ==.若D 与P 重合，则1|||2DQ AP =|.综上，存在点41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得DQ 为定值.14.答案：（1）由题意知2p =，所以24y x =.（2）由（1）知，抛物线2:4C y x =，(1,0)F .设点Q 的坐标为(,)m n ，则(1,)QF m n =--，9(99,9)PQ QF m n ==--，所以点P 的坐标为(109,10)m n -，将点P 代入C 得21004036n m =-，整理得22100362594010n n m ++==，所以2101019259325n n k m n n n===≤++，当且仅当35n =时取最大值，所以直线OQ 斜率的最大值为13.15.答案：（1）点0,2p P ⎛⎫⎪⎝⎭到圆M 上的点的距离的最小值为||14142p FM -=+-=，解得2p =.（2）由（1）知，抛物线的方程为24x y =，即214y x =，则12y x '=，设切点()11,A x y ，()22,B x y ，直线PA 的方程为1111()2y y x x x -=-，又点()11,A x y 在抛物线上，所以2114x y =，所以211:24PA x x l y x =-，同理可得，222:24PB x x l y x =-，联立211222,24,24x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩从而得到1212,24x x x x P +⎛⎫⎪⎝⎭.设:AB l y kx b =+，联立2,4,y kx b x y =+⎧⎨=⎩消去y 并整理可得2440x kx b --=，所以216160k b ∆=+>，即20k b +>，且124x x k +=，124x x b =-，所以(2,)P k b -.因为||AB =，点P 到直线AB 的距离d =，所以()3221||42PAB SAB d k b =⋅=+①，又点(2,)P k b -在圆22:(4)1M x y ++=上，代入得221(4)4b k --=，代入①得，322121544PABb b S⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，而[5,3]P y b =-∈--，所以当5b =时，()maxPAB S=.。

p = 1 的一个焦点，则 p = 2 4B ．专题 07 平面解析几何（选择题、填空题）1．【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆 C 的焦点为 F 1( - 1,0)，F 2(1,0)，过 F 2 的直线与 C 交于 A ，B两点．若 | AF |= 2 | F B | ， | AB |=| BF | ，则 C 的方程为2 21A ． x 2 2+ y 2= 1B ． x 2 y 2+ = 13 2C ． x 2 y 2+ = 14 3D ． x 2 y 2+ = 15 42．【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线 y 2=2px(p >0)的焦点是椭圆A ．2B ．3C ．4D ．8x 2 3 p + y 23．【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】设 F 为双曲线 C ： x 2 y 2- a b 2= 1(a > 0, b > 0) 的右焦点， O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆 x 2 + y 2 = a 2 交于 P ，Q 两点．若 PQ = OF ，则 C 的离心率为A ． 2C ．2B ． 3D ． 5x 2 y 24．【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线 C ： - =1 的右焦点为 F ，点 P 在 C 的一条渐近线上，O 为4 2坐标原点，若 PO = PF △，则 PFO 的面积为A ． 3 2 3 2 2C ． 2 2D ． 3 25．【2019 年高考北京卷理数】已知椭圆A ．a 2=2b 2C ．a =2b x 2 y 2+ a 2 b 21 = 1 （a ＞b ＞0）的离心率为 ，则 2B ．3a 2=4b 2D ．3a =4bA．26．【2019年高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2=1+|x|y就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是A．①C．①②B．②D．①②③7．【2019年高考天津卷理数】已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，若l与双曲线x2y2-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|=4|OF|（O为原点），则双曲a2b2线的离心率为A．2 C．2B．3 D．58．【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是2B．1C．2D．29．【2018年高考北京卷理数】在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x-my-2=0的距离，当θ，m变化时，d的最大值为A．1 C．3B．2 D．4⎦⎦3B．3D．512．【2018年高考全国Ⅱ理数】已知F，F是椭圆C：a b222C．D．110．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x-2)2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是A．[2，6] C．⎡⎣2，32⎤B．[4，8]D．⎡⎣22，32⎤x2y211．【2017年高考浙江卷】椭圆+=1的离心率是94A．1353C．2129x2y2+=1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，△PF F为等腰三角形，∠F F P=120︒，则C的离心率为1212A．C．2313B．D．121413．【2017年高考全国Ⅲ理数】已知椭圆C：x2y2+a b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切，则C的离心率为A．63B．33 233x214．【2018年高考浙江卷】双曲线-y2=1的焦点坐标是3A．(−2，0)，(2，0)B．(−2，0)，(2，0)C．(0，−2)，(0，2)2 【 1b 2D ．(0， 2)，(0，2)15．【2017 年高考天津卷理数】已知双曲线x 2 y 2- a 2 b 2= 1(a > 0, b > 0) 的左焦点为 F ，离心率为 2 ．若经过 F 和 P(0, 4) 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为x 2 y 2A ． - = 14 4x 2 y 2 C ． - = 14 816．【2018 年高考全国Ⅱ理数】双曲线A ． y = ± 2 xx 2 y 2- a b 2 x 2 y 2B ． - = 18 8x 2 y 2D ． - = 18 4= 1( a > 0, b > 0) 的离心率为 3 ，则其渐近线方程为B ． y = ± 3xC ． y = ± 2 2 xD ． y = ± 3 2x17． 2017 年高考全国Ⅱ理数】若双曲线 C :所截得的弦长为 2，则 C 的离心率为x 2 y 2- a 2 b 2= （ a > 0 ， > 0 ）的一条渐近线被圆 (x - 2)2 + y 2 = 4A ．2C ． 2B ． 3D ． 2 3318．【2017 年高考全国 III 理数】已知双曲线 C ： x 2 y 2 - a 2 b 2= 1 (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为 y =5 2 x ，x 2 y 2且与椭圆 + = 1 有公共焦点，则 C 的方程为12 3x 2 y 2A ． - = 18 10x 2 y 2 C ．-= 154x 2 y 2B ． - = 14 5x 2 y 2D ． - = 14 319．【2018 年高考全国 III 理数】设 F ， F 是双曲线 C : 1 2 x2 y 2 -a b 2= 1(a > 0, b > 0) 的左、右焦点，O 是坐标222．【2018年高考全国I理数】已知双曲线C:-y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直A．3原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若|PF1|=6|OP|，则C的离心率为A．5 C．3B．2 D．220．【2018年高考全国I理数】设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–，0）且斜率为2 3M，N两点，则FM⋅FN=的直线与C交于A．5 C．7B．6 D．821．【2017年高考全国I理数】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为A．16 C．12B．14 D．10 x23线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|= 2B．3C．23D．423．【2018年高考天津卷理数】已知双曲线x2y2-a2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d和d，且12d+d=6，则双曲线的方程为12A．C．x2y2-=1412x2y2-=139B．D．x2y2-=1124x2y2-=19324．【2019年高考浙江卷】已知圆C的圆心坐标是(0,m)，半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C相切26．【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】设 F ，F 为椭圆 C: + = 1 的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象 36 202 1 【2于点 A(-2, -1) ，则 m =___________， r =___________．25．【2019 年高考浙江卷】已知椭圆 x 2 y 2+ = 1 的左焦点为 F ，点 P 在椭圆上且在 x 轴的上方，若线段 PF9 5的中点在以原点 O 为圆心， OF 为半径的圆上，则直线 PF 的斜率是___________．x 2 y 21 2限.若 △MF 1F 2 为等腰三角形，则 M 的坐标为___________.27．【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线 C ： x 2 y 2 - a b 2= 1(a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，过 F 1 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A ，B 两点．若 F 1A = AB ， F B ⋅ F 2 B = 0 ，则 C 的离心率为____________．28．【2019 年高考江苏卷】在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 x 2 -双曲线的渐近线方程是 ▲.y 2 b 2= 1(b > 0) 经过点（3，4)，则该29．【2019 年高考江苏卷】在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线 y = x +4 x( x > 0) 上的一个动点，则点 P到直线 x +y =0 的距离的最小值是 ▲.30．【2018 年高考江苏卷】在平面直角坐标系 x Oy 中，A 为直线 l : y = 2x 上在第一象限内的点， B (5,0) ，以AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D ．若 AB ⋅ C D = 0 ，则点 A 的横坐标为________．x 231．【2018 年高考浙江卷】已知点P(0，1)，椭圆 +y 2=m (m >1)上两点 A ，B 满足 AP =2 PB ，则当4m =___________时，点 B 横坐标的绝对值最大．y 232．【2017 年高考北京卷理数】若双曲线 x 2 -= 1 的离心率为 3 ，则实数 m =_______________． m33． 2018 年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线 x2 y 2 - a b 2= 1(a > 0, b > 0) 的右焦点 F (c,0)到一条渐近线的距离为3 c ，则其离心率的值是________________．2【 2 【 1 y34． 2018 年高考北京卷理数】已知椭圆 M : x 2 y 2 x 2 y 2 + = 1(a > b > 0) ，双曲线 N : -a 2b 2 m 2 n 2= 1 ．若双曲线 N的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________________；双曲线 N 的离心率为________________．35．【2017 年高考山东卷理数】在平面直角坐标系 x Oy 中，双曲线 x 2 y 2 - a 2 b 2= 1(a > 0, b > 0) 的右支与焦点为 F 的抛物线 x 2 = 2 px ( p > 0) 交于 A, B 两点，若 AF + BF = 4 OF ，则该双曲线的渐近线方程为_____________．x 236．【2017 年高考江苏卷】在平面直角坐标系 x Oy 中，双曲线 - y 2 = 1 的右准线与它的两条渐近线分别3交于点 P ， Q ，其焦点是 F 1 , F 2 ，则四边形 F 1PF 2Q 的面积是_______________．37．【2017 年高考全国 I 理数】已知双曲线 C ： x 2 y 2 - a b 2= 1(a > 0, b > 0) 的右顶点为 A ，以 A 为圆心，b为半径作圆 A ，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M ，N 两点．若∠MAN =60°，则 C 的离心率为_______________．38．【2017 年高考全国 II 理数】已知 F 是抛物线 C : y 2 = 8x 的焦点， M 是 C 上一点， FM 的延长线交 y轴于点 N ．若 M 为 FN 的中点，则 FN = _______________．39． 2018 年高考全国Ⅲ理数】已知点 M (-1，) 和抛物线 C ： 2 = 4 x ，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C交于 A ， B 两点．若 ∠AMB = 90︒ ，则 k = ________．。

+ 2y 专题 08 平面解析几何（解答题）1. 【2020 年高考全国Ⅰ卷文数】已知 A 、B 分别为椭圆E ：x 2 a 2y= 1 （a >1）的左、右顶点，G 为 E 的上顶点， AG ⋅ GB = 8 ，P 为直线 x =6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C ，PB 与 E 的另一交点为 D ．（1） 求 E 的方程；（2） 证明：直线 CD 过定点.【解析】（1）由题设得 A (-a , 0), B (a , 0),G (0,1) ．则 AG = (a ,1) ， GB = (a , -1) ．由 AG ⋅ GB = 8 得 a 2 - 1 = 8 ，即 a = 3 ．所以 E 的方程为 x 2 + 29= 1 ．（2）设C (x 1, y 1), D (x 2 , y 2 ), P (6, t ) ．若t ≠ 0 ，设直线CD 的方程为 x = my + n ，由题意可知-3 < n < 3 ．由于直线 PA 的方程为 y = t (x + 3) ，所以 y = t(x + 3) ．9 19 1直线 PB 的方程为 y = t (x - 3) ，所以 y = t (x- 3) ．3可得3y 1(x 2 - 3) = y 2 (x 1 + 3) ．23 2x 22(x 2 + 3)(x 2 - 3)由于 2 + y 2 = 1 ，故 y 2 = - ，可得27 y 1 y 2 = -(x 1 + 3)(x 2 + 3) ，929即(27 + m 2 ) y y + m (n + 3)( y + y ) + (n + 3)2 = 0 ．①1 212x = my + n x 2 + 22 2 2将 代入 9 y = 1 得(m + 9) y + 2mny + n - 9 = 0 ．2mn n 2 - 9所以 y 1 + y 2 = - m 2 + 9 , y 1 y 2 = - m 2 + 9．代入①式得(27 + m 2 )(n 2 - 9) - 2m (n + 3)mn + (n + 3)2 (m 2 + 9) = 0 ． 解得 n = -3 （舍去），n = 3． 2故直线CD 的方程为 x = my + 3 ，即直线CD 过定点( 3, 0) ．2 2若t = 0 ，则直线CD 的方程为 y = 0 ，过点( 3, 0) ．23综上，直线CD 过定点( , 0) ．2【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力， 属于难题.a 2 -b 2 2 x 2 + y 2 =2. 【2020 年高考全国Ⅱ卷文数】已知椭圆 C 1： a 2 b2 1(a >b >0)的右焦点 F 与抛物线 C 2 的焦点重合，C 1 4的中心与 C 2 的顶点重合．过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C 1 于 A ，B 两点，交 C 2 于 C ，D 两点，且|CD |=3（1） 求 C 1 的离心率；（2） 若 C 1 的四个顶点到 C 2 的准线距离之和为 12，求 C 1 与 C 2 的标准方程．|AB |．【解析】（1）由已知可设C 2 的方程为 y 2 = 4cx ，其中c = .不妨设 A , C在第一象限，由题设得 A , B 的纵坐标分别为 b a，- b；C , D a的纵坐标分别为2c ，-2c ，2b 2 故| AB |=， a| CD |= 4c .由| CD |= 4 | AB |得4c = 8b 2，即3⨯ c = 2 - 2( c )2 ，解得 c = -2 （舍去）， c = 1 .3 3aa a a a 2 所以C 的离心率为 1.1（2）由（1）知 a 2= 2c ，b =x 2 3c ，故C 1 : 4c2+ y 23c 2= 1 .所以C 1 的四个顶点坐标分别为(2c , 0)，(-2c , 0) ，(0, 3c ) ， (0, - 3c ) ， C 2 的准线为 x = -c .由已知得3c + c + c + c = 12 ，即c = 2 .Cx 2 y 2C2所以 1 的标准方程为+ = 1， 2 的标准方程为 y 16 12= 8x .【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力.x 2 y 215 3. 【2020 年高考全国Ⅲ卷文数】已知椭圆C : 25 + m 2 = 1(0 < m < 5) 的离心率为右顶点．， A ，B 分别为C 的左、4（1） 求C 的方程；（2） 若点 P 在C 上，点Q 在直线 x = 6 上，且| BP |=| BQ | ， BP ⊥ BQ ，求△APQ 的面积．【解析】（1）由题设可得 25 - m 2=15 ，得 m 2 = 25 ， 541621 +y 2Q1010130+22 22x2+y2所以C 的方程为25 2516 = 1.（2）设P(x P , y P ), Q(6, y Q ) ，根据对称性可设y Q > 0 ，由题意知y P > 0 ，由已知可得B(5, 0) ，直线BP 的方程为y =-1yQ(x - 5) ，所以| BP |=，|BQ |=，因为| BP |=| BQ | ，所以y P = 1，将y P = 1 代入C 的方程，解得x P = 3 或-3 .由直线BP 的方程得y Q = 2 或8.所以点P, Q 的坐标分别为P1 (3,1), Q1 (6, 2); P2 (-3,1), Q2 (6,8) .| PQ |=，直线PQ 的方程为y =1x ，点A(-5, 0) 到直线PQ 的距离为10 ，故△APQ 的面1 1积为1⨯1 1 310⨯=5.1 1 1 12 2 2| PQ |= 130 ，直线P Q 的方程为y =7x +10，点A 到直线P Q 的距离为130，故△AP Q 的2 2面积为12 2 93 26130=5.2 26 2综上，△APQ 的面积为5 .2【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.4.【2020 年高考北京】已知椭圆C : x2+y2=过点A(-2, -1) ，且a = 2b ．a2 b21（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点B(-4,0)的直线l交椭圆C于点M , N ,直线MA, NA 分别交直线x =-4 于点P,Q．求|PB|的| BQ |值．【解析】(1)设椭圆方程为：x2y= 1(a >b > 0 )，由题意可得：a b1 +y 2Q2 222y P y QPB PQ y Py Q=2 2 ⎧ 4 + 1 = 1⎧a 2 = 8 ⎪ 2 2⎨ a b⎩⎪ a = 2b，解得： ⎨ ， ⎩b = 22 故椭圆方程为： x+ y = 1.8 2(2)设 M ( x 1, y 1 ) ， N (x 2 , y 2 ) ，直线 MN 的方程为： y = k ( x + 4) ，与椭圆方程 x 2 + y2= 1联立可得：x 2 + 4k 2 ( x + 4)2= 8 ， 82即：(4k 2 +1) x 2 + 32k 2 x + (64k 2 - 8) = 0 ，-32k 2 则： x 1 + x 2 = 4k 2 +1, x 1 x 2 = 64k 2 - 8. 4k 2+1直线 MA 的方程为： y +1 =y 1 +1( x + 2) ，x 1 + 2令 x = -4 可得： y = -2⨯ y 1 +1 -1 = -2⨯ k ( x 1 + 4) +1- x 1 + 2 = - (2k +1)(x 1 + 4 ) ， P x + 2 x + 2 x + 2 x + 2同理可得： y 1 1 1 1= -(2k +1)( x 2 + 4 ) . x 2 + 2很明显 y P y Q < 0 ，且：= ，注意到：y + y = -(2k +1)⎛ x 1 + 4 + x 2 + 4 ⎫ = -(2k +1)⨯ ( x 1 + 4)( x 2 + 2) + ( x 2 + 4)( x 1 + 2) ， P Q x + 2 x + 2 ⎪ ( x + 2)( x + 2) ⎝ 1 2 ⎭ 1 2而： ( x 1 + 4)( x 2 + 2) + ( x 2 + 4)( x 1 + 2) = 2 ⎡⎣x 1x 2 + 3( x 1 + x 2 ) + 8⎤⎦= ⎡ 64k 2 - 8⎛ -32k 2 ⎫ ⎤2 ⎢ 4k 2 +1 + 3⨯ 4k 2 +1 ⎪ + 8⎥ ⎣⎝ ⎭ ⎦ (64k 2- 8) + 3⨯ (-32k 2)+ 8 (4k 2+1) 2 04k 2 +1故 y P + y Q = 0, y P = - y Q .从而= = 1 . PB PQ Q2 2 2 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1) 注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2) 强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．x 2225. 【2020 年高考浙江】如图，已知椭圆C 1 :2+y = 1，抛物线C 2 : y = 2 px ( p > 0) ，点 A 是椭圆C 1 与抛物线C 2 的交点，过点 A 的直线 l 交椭圆C 1 于点 B ，交抛物线C 2 于点 M （B ，M 不同于 A ）．（Ⅰ）若 p =1，求抛物线C 的焦点坐标；16 2（Ⅱ）若存在不过原点的直线 l 使 M 为线段 AB 的中点，求 p 的最大值．【解析】（Ⅰ）由 p =1得C 的焦点坐标是( 1, 0) ．16 2 32（Ⅱ）由题意可设直线l : x = my + t (m ≠ 0,t ≠ 0) ，点 A (x 0 , y 0 ) ．x 2 22 2 2 将直线l 的方程代入椭圆C 1 : 2 + y = 1 得(m + 2) y + 2mty + t - 2 = 0 ，所以点 M 的纵坐标 y M= - mt ． m 2+ 2将直线l 的方程代入抛物线C : y 2 = 2 px 得 y 2- 2 pmy - 2 pt = 0 ，2 p (m 2 + 2)所以 y 0 y M = -2 pt ，解得 y 0 = m，2 p (m 2 + 2)2因此 x 0 =x 2． m 2 1 = 4(m + 2 )2 + 2(m + 2 )4≥ 160由 0 + y 2 = 1 得 2 ，2p m m 所以当 m = ，t = 10 时， p 取到最大值 10 ． 5 40【点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，涉及到求函数的最值，考查学生的数 学运算能力，是一道有一定难度的题.26. 【2020 年高考江苏】在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 E : x +y= 1 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，43y 点 A 在椭圆 E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线 AF 1 与椭圆 E 相交于另一点 B ．（1） 求△AF 1F 2 的周长；（2） 在 x 轴上任取一点 P ，直线 AP 与椭圆 E 的右准线相交于点 Q ，求OP ⋅ Q P 的最小值；（3） 设点 M 在椭圆 E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为 S 1，S 2，若 S 2 = 3S 1 ，求点 M 的坐标．【解析】（1）椭圆 E : x 2 + = 1 的长轴长为 2a ，短轴长为 2b ，焦距为 2c ，4 3则 a 2 = 4, b 2 = 3, c 2 = 1 .所以△AF 1F 2 的周长为 2a + 2c = 6 .（2） 椭圆 E 的右准线为 x = 4 .设 P (x , 0),Q (4, y ) ，则OP = (x , 0),QP = (x - 4, - y ) ，OP ⋅ QP = x (x - 4) = (x - 2)2 - 4 ≥ -4, 在 x = 2 时取等号.所以OP ⋅ QP 的最小值为-4 .x 2 （3） 因为椭圆 E :4 + y 23= 1 的左、右焦点分别为 F 1 , F 2 ，点 A 在椭圆 E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1 F 2 ，2⎪+ = AM AN 1 2 1 2 2 2则 F 1 (- 31, 0), F 2 (1, 0), A (1, 2) .所以直线 AB : 3x - 4 y + 3 = 0.设 M (x , y ) ，因为 S 2 = 3S 1 ，所以点 M 到直线 AB 距离等于点O 到直线 AB 距离的 3 倍. 由此得| 3x - 4 y + 3 | = 3 ⨯ | 3 ⨯ 0 - 4 ⨯ 0 + 3 | ，5 5则3x - 4 y + 12 = 0 或3x - 4 y - 6 = 0 . ⎧3x - 4 y + 12 = 0, ⎪由⎨ x 2 + y 2 =⎩ 4 3得7x 2 + 24x + 32 = 0 ，此方程无解；⎧3x - 4 y - 6 = 0, ⎪ 2 2 由⎨ x 2 ⎪⎩ 4 + y 2 = 3得7x -12x - 4 = 0 ，所以x = 2 或 x = - . 7代入直线l : 3x - 4 y - 6 = 0 ，对应分别得 y = 0 或 y = -12.7因此点 M 的坐标为(2, 0) 或(- 2 , - 12) .7 7【点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用，熟悉运用公式以及根据 S 2 = 3S 1 推出 d = 9是解答本题的关键.57. 【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C ： xa 2y 2+ = 1(a > b > 0) 的离心率为 b 2 2，且过点A （2，1）．（1） 求C 的方程：（2） 点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．4 + 1 =a 2 -b 2 1【解析】（1）由题设得 a2 1 ， b 2a 2 = ，解得 a = 6 ，b = 3 ． 2 所以C 的方程为 x y 1 ．6 3（2）设 M (x 1, y 1) ， N (x 2 , y 2 ) ．若直线 MN 与 x 轴不垂直，设直线 MN 的方程为 y = kx + m ，x 2 + y 2 =(1 + 2 2+ + 2 - = 代入 得 6 3 4km2k )x 4kmx 2m 2m 2- 6 6 0 ． 于是 x 1 + x 2 = -1 + 2k 2 , x 1 x 2 = 1 + 2k 2由 AM ⊥ AN 知 ⋅= 0 ，故(x ．① - 2)(x - 2) + ( y -1)( y - 1) = 0 ， 12 2 2 1 1 22m 6 - 4km Q ( , ) Q ( , ) 可得(k 2 + 1)x x + (km - k - 2)(x + x ) + (m -1)2 + 4 = 0 ．1 212将①代入上式可得(k 2+ 1) 2 -(km - k - 2) + (m -1)2 + 4 = 0 ．1 + 2k2 整理得(2k + 3m +1)(2k + m -1) = 0 ．1 + 2k 2因为 A (2,1) 不在直线 MN 上，所以 2k + m - 1 ≠ 0 ，故 2k + 3m + 1 = 0 ， k ≠ 1 ． 于是 MN 的方程为 y = k (x - 2) - 1(k ≠ 1) .3 3 所以直线 MN 过点 P ( 2 , - 1) .3 3若直线 MN 与 x 轴垂直，可得 N (x 1 , - y 1 ) .由 AM ⋅ AN = 0 得(x 1 - 2)(x 1 - 2) + ( y 1 - 1)(- y 1 - 1) = 0 .x 2 又 1 y 2+ 1 = 1 ，可得3x 2 - 8x + 4 = 0 .解得 x = 2 （舍去）， x = 2 . 6 3 1 1 1 1 3 此时直线 MN 过点 P ( 2 , - 1) .3 3令Q 为 AP 的中点，即 4 1.3 3若 D 与 P 不重合，则由题设知 AP 是Rt △ADP 的斜边，故| DQ |= 1 | AP |= 2 2.2 3若 D 与 P 重合，则| DQ |= 1| AP | .2综上，存在点 4 1 3 3，使得| DQ | 为定值.【点睛】本题考查椭圆的标准方程和性质，圆锥曲线中的定点定值问题，关键是第二问中证明直线 MN经过定点，并求得定点的坐标,属综合题，难度较大.8. 【2020 年新高考全国Ⅱ卷】已知椭圆 C ： xa 2y 2+ = 1(a > b > 0) 过点 M （2，3）,点 A 为其左顶点，且b 2AM 的斜率为 1，2（1） 求 C 的方程；（2） 点 N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.【解析】(1)由题意可知直线 AM 的方程为： y - 3 = 1(x - 2) ，即 x - 2 y = -4 .2当 y =0 时，解得 x = -4 ，所以 a =4，x2y24 + 9= 1椭圆C :+ a2b 2 = 1(a > b > 0 ) 过点 M (2，3)，可得16 b 2，21+412 55 2 解得 b 2=12.2所以 C 的方程： x + y = 1.16 12(2)设与直线 AM 平行的直线方程为： x - 2 y = m ，如图所示，当直线与椭圆相切时，与 AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为 N ，此时△AMN 的面积取得最大值.联立直线方程 x - 2 y = m 与椭圆方程 x y 2+ = 1，可得： 3(m + 2 y )2+ 4 y 2 = 48 ，16 12化简可得：16 y 2 +12my + 3m 2 - 48 = 0 ，所以∆ = 144m 2 - 4 ⨯16 (3m 2 - 48)= 0 ，即 m 2=64，解得 m =±8，与 AM 距离比较远的直线方程： x - 2 y = 8 ， 直线 AM 方程为： x - 2 y = -4 ，点 N 到直线 AM 的距离即两平行线之间的距离，8 + 4利用平行线之间的距离公式可得： d == ，5由两点之间距离公式可得| AM |== 3 .所以△AMN 的面积的最大值： 1⨯ 3 5 ⨯12 5= 18 . 25(2 + 4)2 + 32 2y += ⎝ ⎭⎝ ⎭22 + =3 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1) 注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2) 强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、 三角形的面积等问题．x 2 9. 【2020 年高考天津】已知椭圆 a 2 2+ = 1(a > b > 0) 的一个顶点为 A (0, -3) ，右焦点为 F ，且b 2| OA |=| OF | ，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC = OF ，点 B 在椭圆上（ B 异于椭圆的顶点），直线 AB 与以C 为圆心的圆相切于点 P ，且 P 为线段 AB 的中点．求直线 AB 的方程．【解析】（Ⅰ）由已知可得b = 3 ．记半焦距为c ，由| OF |=| OA | 可得c = b = 3 ．又由 a 2 = b 2 + c 2 ，可得 a 2 = 18 ．所以，椭圆的方程为x y 1．189（Ⅱ）因为直线 AB 与以C 为圆心的圆相切于点 P ，所以 AB ⊥ CP ．依题意，直线 AB 和直线CP 的⎧ y = kx - 3, ⎪斜率均存在．设直线 AB 的方程为 y = kx - 3 ．由方程组⎨ x 2 y 2 ⎩18 9 1,消去 y ，可得2 212k ⎛ 12k 6k 2 - 3 ⎫(2k +1) x -12kx = 0 ，解得 x = 0 ，或 x = 2k 2 +1 .依题意，可得点 B 的坐标为 2k 2 , 1 2k 2+1 ⎪ ．因为 P 为线段 AB 的中点，点 A 的坐标为(0, -3) ，所以点 P 的坐标为⎛ 6k, -3．由3OC = OF ，2k 2 +1 2k 2+1⎪ -3 - 0得点C 的坐标为(1, 0) ，故直线CP 的斜率为 2k 2+1 6k -1 2k 2 +13，即 2k 2- 6k +1．又因为 AB ⊥ CP ，所以 k ⋅ 2k 2- 6k +1 = -1，整理得2k 2- 3k +1 = 0 ，解得 k = 1 ，或 k = 1． 2所以，直线 AB 的方程为 y = 1x - 3 ，或 y = x - 3 ．210. 【2019 年高考全国Ⅰ卷文数】已知点 A ，B 关于坐标原点 O 对称，│AB │=4，⊙M 过点 A ，B 且与直线⎪ + ⎫x+2=0 相切．（1）若A 在直线x+y=0 上，求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P，使得当A 运动时，│MA│−│MP│为定值？并说明理由．【答案】（1） M的半径r=2或r=6 ；（2）存在，理由见解析.【解析】（1）因为 M 过点A, B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线x+y=0 上，且A, B 关于坐标原点O 对称，所以M 在直线y =x 上，故可设M (a, a) .因为 M 与直线x+2=0相切，所以 M 的半径为r =| a + 2 | .由已知得|AO|=2 ，又MO ⊥AO ，故可得2a2 + 4 = (a + 2)2 ，解得a=0 或a=4 .故 M 的半径r=2 或r=6 .（2）存在定点P(1, 0) ，使得| MA | - | MP | 为定值.理由如下：设M (x, y) ，由已知得 M 的半径为r=|x+2|,|AO|=2 .由于MO ⊥AO ，故可得x2 +y2 + 4 = (x + 2)2 ，化简得M的轨迹方程为y2 = 4x .因为曲线C : y2 = 4x 是以点P(1, 0) 为焦点，以直线x =-1 为准线的抛物线，所以|MP|=x+1.因为|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2 - (x+1)=1 ，所以存在满足条件的定点P.【名师点睛】本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题.解决定点定值问题的关键是能够根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程，进而根据抛物线的定义得到定值，验证定值符合所有情况，使得问题得解.1.【2019 年高考全国Ⅱ卷文数】已知F , F 是椭圆C : x2+y2=>>的两个焦点，P 为C 上一点，1 2 a 21(a b 0) b2O 为坐标原点．（1）若△POF2 为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P，使得PF1 ⊥PF2 ，且△F1PF2 的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．【答案】（1）-1；（2）b = 4 ，a的取值范围为[42,+∞).【解析】（1）连结PF1 ，由△POF2 为等边三角形可知在△F1PF2 中，∠F1PF2 = 90︒，PF2=c ，33 2 = 1PF 1 = 3c ，于是 2a = PF 1 + PF 2= ( 3 +1)c ，故C 的离心率是e = c= -1 . a（2）由题意可知，满足条件的点 P (x , y ) 存在．当且仅当 1 | y | ⋅2c = 16 ， y ⋅ y 2 = -1 x 2 y 2， + = 1，x + c x - c a b即c |y | = 16 ，①x 2 + y 2 = c 2 ，②x 2 y 2 + = 1，③a 2b2由②③及a 2 = b 2 + c 2 得 y 2b 4 = ，又由①知 y 2c 2 162 = ，故b 4 ． c22a 2222222由②③得 x=2(c - b ) ，所以c ≥ b ，从而 a2 2= b + c ≥ 2b = 32, 故 a ≥ 4 .当b = 4 ， a ≥ 4时，存在满足条件的点P ．所以b = 4 ， a 的取值范围为[4 2, +∞) ．【名师点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，考查计算能力，属于中档试题.x 2- 1 12.【2019 年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线 C ：y = 2，D 为直线 y = 上的动点，过 D 作 C 的两条切线，2切点分别为 A ，B ．（1） 证明：直线 AB 过定点；5（2） 若以 E (0， 2)为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求该圆的方程．【答案】（1）见解析；（2） x 2+ ⎛ y - ⎝ 5 ⎫2⎪ ⎭ = 4 或 x 2+ ⎛ y - ⎝ 5 ⎫2⎪ ⎭= 2 .【解析】（1）设 D ⎛ t , - 1 ⎫ , A ( x , y ) ，则 x 2 = 2 y ． 2 ⎪ 1 1 1 1 ⎝ ⎭y + 1由于 y' = x ，所以切线DA 的斜率为 x ，故 1 2 = x ． x 1 - t整理得2 tx 1 - 2 y 1 +1=0.2 22 2 2 c12设 B (x 2, y 2 ) ，同理可得 2tx 2 - 2 y 2 +1=0 ． 故直线AB 的方程为 2tx - 2 y +1 = 0 ．1所以直线AB 过定点(0, ) ．2（2）由（1）得直线AB 的方程为 y = tx + 1．2⎧y = tx + 1 ⎪ 由⎨ 2 ⎪ y = x ⎩ 2 2 ，可得 x 2 - 2tx -1 = 0 ． 于是 x + x = 2t , y + y = t ( x + x ) +1 = 2t 2+1 .121212设M 为线段AB 的中点，则 M ⎛t , t 2+ 1 ⎫ ．2 ⎪ ⎝⎭由于 EM ⊥ AB ，而EM = (t , t 2- 2)，AB 与向量(1, t ) 平行，所以t + (t 2- 2)t = 0 ．解得t =0或t = ±1．当t =0时， | EM | =2，所求圆的方程为 x 2+ ⎛ y - ⎝ 5 ⎫2⎪ ⎭⎛ = 4 ；5 ⎫2 当t = ±1时， | EM |= ，所求圆的方程为 x 2+ y - ⎝ ⎪ = 2 ．⎭【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求圆的方程，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小.x 2 y 2(1, 0)A (0,1)13.【2019 年高考北京卷文数】已知椭圆C : a 2 + = 1 的右焦点为 b2 ，且经过点 ．（1） 求椭圆 C 的方程；（2） 设 O 为原点，直线l : y = kx + t (t ≠ ±1) 与椭圆 C 交于两个不同点 P ，Q ，直线 AP 与 x 轴交于点M ，直线 AQ 与 x 轴交于点 N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线 l 经过定点．x 22【答案】（1）+ y 2= 1；（2）见解析.【解析】（1）由题意得，b 2=1，c =1． 所以a 2=b 2+c 2=2．⎪ 2 2y ⋅ + - ⋅ - + -所以椭圆C 的方程为 x 2 + 22= 1．（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则直线AP 的方程为 y =y 1 -1 x +1．x 1令y =0，得点M 的横坐标 x M = - x 1． y -1又 y = kx 1+ t ，从而| OM |= x = |x 1 | ．11同理，| ON |= |⎧ y = kx + t , Mx 2 |．kx 2 + t -1kx 1 + t -1⎪由⎨ x 2 + y 2 = 1 得(1+ 2k 2 ) x 2 + 4ktx + 2t 2 - 2 = 0 ． ⎪⎩ 2x + x = -4kt2t 2 - 2则 121+ 2k 2， x 1x 2 =1+ 2k 2 ．所以| OM | ⋅ | ON |= |x 1 kx 1 + t -1 |⋅| x 2 |kx 2 + t -1 = | k 2x x x 1x 2+ k (t -1) (x + x ) + (t -1)2 | 1 2122t 2 - 2 = |1+ 2k 2|22t 2- 2 4kt 2k 1+ 2k 2 k (t 1) ( 1+ 2k 2 ) (t 1) = 2|1+ t | ．1- t又| OM | ⋅ | ON |= 2 ，所以 2|1+ t| = 2 ．1- t解得t =0，所以直线l 经过定点（0，0）．【名师点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：3 3 1 2 2 ⎪ 2 (1) 注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2) 强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、 三角形的面积等问题．14.【2019 年高考天津卷文数】设椭圆 x a 2 y 2+ = 1(a > b > 0) 的左焦点为 F ，左顶点为 A ，上顶点为 B .已b 2知 | OA |= 2 | OB | （O 为原点）.（1） 求椭圆的离心率；3 （2） 设经过点 F 且斜率为 4的直线 l 与椭圆在 x 轴上方的交点为 P ，圆 C 同时与 x 轴和直线 l 相切，圆心 C 在直线 x =4 上，且OC ∥AP ，求椭圆的方程.1 x2 【答案】（1） ；（2） 2 y 2+ = 1. 16 12⎛⎫2【解析】（1）设椭圆的半焦距为 c ，由已知有 3a = 2b ，又由 a 2 = b 2 + c 2，消去b 得 a 2 = a ⎝ 2 ⎭+ c 2 ， 解得 c = 1 .a 21所以，椭圆的离心率为 .2x 2 y 2（2）由（1）知， a = 2c , b = 3c ，故椭圆方程为 4c 2 + = 1 .3c 2由题意， F ( - c , 0) ，则直线l 的方程为 y = 3(x + c ) ，4 ⎧ x 2 + y 2=⎪ 4c 2 点 P 的坐标满足⎨ 3c 21, 消去 y 并化简，得到7x 2 + 6cx -13c 2 = 0 ，解得 x = c , x = - 13c . ⎪ y = 3 (x + c ), 7⎩⎪ 4代入到l 的方程，解得 y 1 = 3 c , y 2 2= - 9 c . 14 x ⎛ 3 ⎫因为点 P 在 轴上方，所以 P c , c ⎪ .⎝ ⎭由圆心C 在直线 x = 4 上，可设C (4, t ) .因为OC ∥AP ，且由（1）知 A ( - 2 c , 0) ，故 t 43 c= c + 2c，解得t = 2 .24 2 因为圆C与 x 轴相切，所以圆的半径长为 2，3(4 + c ) - 2 又由圆C 与l 相切，得 4= 2 ，可得c =2 . ⎛ 3 ⎫21+ ⎪ ⎝ ⎭2 所以，椭圆的方程为 x + y= 1.16 12【名师点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.15.【2019 年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C : xa 2 y 2+ = 1(a > b > 0) 的焦点为 F 1b2（–1、0），F 2（1，0）．过 F 2 作 x 轴的垂线 l ，在 x 轴的上方，l 与圆 F 2: (x -1)2 + y 2 = 4a 2 交于点 A ， 与椭圆 C 交于点 D .连结 AF 1 并延长交圆 F 2 于点 B ，连结 BF 2 交椭圆 C 于点 E ，连结 DF 1． 5已知 DF 1= ．2（1） 求椭圆 C 的标准方程；（2） 求点 E 的坐标．【答案】（1） x 2 + y 2= ；（2）E (-1, - 3) . 4312【解析】（1）设椭圆 C 的焦距为 2c . 因为 F 1(−1，0)，F 2(1，0)，所以 F 1F 2=2，c =1. 5又因为 DF 1= 2所以 DF 2= ，AF 2⊥x 轴，== 3 ， 2DF 2- F F 21 12 ( 5)2 - 22 2 2⎩ 2 2 ⎨ 1因此 2a =DF 1+DF 2=4，从而 a =2.由 b 2=a 2−c 2，得 b 2=3.2因此，椭圆 C 的标准方程为 x + y = 1.4 3（2）解法一：2由（1）知，椭圆 C ： x + y = 1，a =2，4 3因为 AF 2⊥x 轴，所以点 A 的横坐标为 1.将 x =1 代入圆 F 2 的方程(x −1) 2+y 2=16，解得 y =±4. 因为点 A 在 x 轴上方，所以 A (1，4). 又 F 1(−1，0)，所以直线 AF 1：y =2x +2.⎧ y = 2x + 2由⎨(x -1)2 + y 2= 16，得5x 2 + 6x -11 = 0 ， 解得 x = 1 或 x = - 11.5将 x = - 11 代入 y = 2x + 2 ，得 y = - 12，5 5 因此 B (- 11 , - 12) .又 F 2(1，0)，所以直线 BF 2： y = 3(x -1) .5 5 4 ⎧ y = 3(x -1) 由⎪ 4 ，得7x 2 - 6x -13 = 0 ，解得 x = -1 或x = 13. ⎪ x 2 + y 2= 7 ⎪⎩ 4 3又因为 E 是线段 BF 2 与椭圆的交点，所以 x = -1 . 将 x = -1 代入 y = 3 (x -1) ，得 y = - 3. 4 2因此 E (-1, - 3) .22解法二：2由（1）知，椭圆C：x+y= 1.如图，连结EF1.4 3因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，从而∠BF1E=∠B.因为F2A=F2B，所以∠A=∠B，所以∠A=∠BF1E，从而EF1∥F2A.因为AF2⊥x 轴，所以EF1⊥x 轴.⎧x =-1⎪ 3因为F1(−1，0)，由⎨x2 y2⎪⎩4+3，得y =±.=1 2又因为E 是线段BF2 与椭圆的交点，所以y =-3.2因此E(-1, -3) .2【名师点睛】本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.16.【2019年高考浙江卷】如图，已知点F(1，0)为抛物线y2=2px(p>0)的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B 两点，点C 在抛物线上，使得△ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q，且Q 在点F 的右侧．记△AFG,△CQG 的面积分别为S1, S2 ．（1）求p 的值及抛物线的准线方程；S1（2）求的最小值及此时点G 的坐标．2S【答案】（1）p=2，准线方程为x=−1；（2）最小值为1+【解析】（1）由题意得p= 1，即p=2. 2所以，抛物线的准线方程为x=−1.3，此时G（2，0）．2（2）设A(x, y ), B (x, y ),C (x, y )，重心G (x, y ).令y = 2t, t ≠ 0 ，则x=t 2 .A AB B c c G G A A由于直线AB过F，故直线AB方程为x =2 (t 2 -1) t 2 -12ty +1，代入y2= 4x ，得y2 -ty - 4 = 0 ，故2ty =-4 ，即y =-2，所以B⎛1, -2 ⎫.B B t t 2 t ⎪⎝⎭又由于x =1 (x +x +x ), y =1 (y +y +y )及重心G 在x 轴上，故2t -2+y= 0 ，得G 3 A B c G 3 A B c t c ⎛⎛1⎫2 ⎛1⎫⎫⎛2t 4 - 2t 2 + 2 ⎫Ct -t ⎪ , 2t-t ⎪⎪, G 3t 2, 0 ⎪.⎝⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭所以，直线AC方程为y - 2t = 2t (x-t 2 )，得Q (t 2 -1, 0).由于Q在焦点F的右侧，故t 2 > 2 .从而1 2 m ⋅ 3 + 4m3 S y 1S | FG | ⋅ y A 2t 4 - t 2 t 2 - 2 1 = 2 = S 2 1 | QG | ⋅ y 22t 4 - 2t 2 + 2 2= = t 4 -1 2- t 4 -1 . 2c | t -1- 3t 2 | ⋅ | - 2t | t令 m = t 2 - 2 ，则m >0，S 1= 2 -S 2 m m 2 + 4m + 3 S 1= 2 - 1 m + 3 + 4 m32 - = 1+3 2 . 当 m = 时， 取得最小值1+ 2 ，此时G （2，0）．2【名师点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.17.【2018 年高考全国Ⅰ文数】设抛物线C ：y 2 = 2x ，点 A (2 ，0) ， B (-2 ，0) ，过点 A 的直线l 与C 交于M ， N 两点．（1） 当l 与 x 轴垂直时，求直线 BM 的方程； （2） 证明：∠ABM =∠ABN ．【答案】（1）y = 1 x +1 或 y = - 1x -1 ；（2）见解析.22【解析】（1）当 l 与 x 轴垂直时，l 的方程为 x =2，可得 M 的坐标为（2，2）或（2，–2）． 所以直线 BM 的方程为 y = 1x +1 或 y = - 1x -1 ．22（2）当 l 与 x 轴垂直时，AB 为 MN 的垂直平分线，所以∠ABM =∠ABN ．当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 y = k (x - 2)(k ≠ 0) ，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则 x 1>0，x 2>0．⎧ y = k (x - 2) 2 由⎨ 2⎩ = 2x得 ky 2–2y –4k =0，可知 y 1+y 2= k ，y 1y 2=–4． 直线 BM ，BN 的斜率之和为k + k= y 1 + y 2 = x 2 y 1 + x 1 y 2 + 2( y 1 + y 2 ) ．①BMBNx + 2 x + 2 (x + 2)(x + 2) 1 2 1 2将 x = y 1 + 2 ， x = y2 + 2 及 y 1+y 2，y 1y 2 的表达式代入①式分子，可得1k2kx y + x y + 2( y + y ) = 2 y 1 y 2 + 4k ( y 1 + y 2 ) = -8 + 8 = 0 ． 2 1 1 2 1 2k k2t 4 - 2t 2 + 2 - 3t 2 1 ⋅ | 2t |⎩ 所以 k BM +k BN =0，可知 BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM =∠ABN ． 综上，∠ABM =∠ABN ．【名师点睛】本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象与数学运算.在设直线的方程时，一定要注意所设方程的适用范围，如用点斜式时，要考虑到直线的斜率不存在的情况，以免解答不严密或漏解.（1） 求出直线 l 与抛物线的交点，利用两点式写出直线 BM 的方程;（2） 由（1）知，当直线 l 与 x 轴垂直时，结论显然成立，当直线 l 与 x 轴不垂直时，设出斜率 k ，联立直线 l 与 C 的方程，求出 M ，N 两点坐标之间的关系，再表示出 BM 与 BN 的斜率，得其和为 0，从而说明 BM 与 BN 两条直线的斜率互为相反数，进而可知两角相等.18.【2018 年高考全国Ⅱ卷文数】设抛物线C ：y 2= 4x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为k(k > 0) 的直线l 与C 交于 A ， B 两点， | AB | = 8 ．（1） 求l 的方程；（2） 求过点 A ， B 且与C 的准线相切的圆的方程．【答案】（1）y =x –1；（2） (x - 3)2 + ( y - 2)2 = 16 或(x -11)2 + ( y + 6)2= 144 ．【解析】（1）由题意得 F （1，0），l 的方程为 y =k （x –1）（k >0）．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． ⎧ y = k (x -1)由⎨ y 2 = 4x得 k 2 x 2 - (2k 2 + 4)x + k 2= 0 ．2k 2 + 4∆ = 16k 2+16 = 0 ，故x + x = ．12k2所以 AB = AF + BF = (x 1 + 1) + (x 2 + 1) =4k 2+ 4．k2由题设知 4k 2 + 4k2= 8 ，解得 k =–1（舍去），k =1．因此 l 的方程为 y =x –1．（2）由（1）得 AB 的中点坐标为（3，2），所以 AB 的垂直平分线方程为y - 2 = -(x - 3) ，即 y = -x + 5 ．设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则⎧y0 =-x0 + 5，⎪⎧x0= 3，⎧x= 11，⎨( y -x +1)2解得⎨或⎨⎪(x +1)2 =0 0 +16. ⎩y0 = 2 ⎩y0 =-6.⎩0 2因此所求圆的方程为(x - 3)2 + ( y - 2)2 = 16 或(x -11)2 + ( y + 6)2 = 144 ．【名师点睛】本题主要考查抛物线与直线和圆的综合，考查考生的数形结合能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.（1）利用点斜式写出直线l 的方程，代入抛物线方程，得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系以及抛物线的定义加以求解;（2）由题意写出线段AB 的垂直平分线所在直线的方程，设出圆心的坐标，由题意列出方程组，解得圆心的坐标，即可求解.x2 19.【2018 年高考全国Ⅲ卷文数】已知斜率为k 的直线l 与椭圆C：y2+= 1 交于A ，B 两点．线段AB4 3 的中点为M (1, m)(m > 0) ．（1）证明：k <-1 ；2（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP +FA +FB =0 ．证明：2 | FP |=| FA | + | FB | ．【答案】（1）见解析；（2）见解析.x2 y2 x2 y2【解析】（1）设A(x1 ，y1 ) ，B(x2 ，y2 ) ，则1+1= 1，2 +2= 1．4 3 4 3两式相减，并由y1-y2 =k 得x1 +x2 +y1 +y2 ⋅k = 0 ．x1-x24 3由题设知x1+x2 = 1，y1+y2 =m ，于是k =-3．2 2 4m由题设得0 <m <3，故k <-1．2 2（2）由题意得F（1，0）．设P(x3，y3)，则(x3-1，y3)+(x1-1，y1)+(x2-1，y2)=(0，0)．由（1）及题设得x3 = 3 - (x1 +x2 ) = 1 ，y3 =-( y1 +y2 ) =-2m < 0 ．(x -1)2 + y 2 1 1 2 2 3 |FP |=, ) y y 又点 P 在 C 上，所以 m = 3 ，从而 P (1，- 3) ， 3 ．于是4 2 2x |FA |= = x 同理|FB |=2 - 2．21= 2 - 1 ． 2所以 FA + FB = 4 - 2 (x 1 + x 2 ) =3 ． 故2|FP |=|FA |+|FB |．【名师点睛】本题主要考查椭圆的方程及简单几何性质、直线的斜率公式、直线与椭圆的位置关系、向量的坐标运算与向量的模等，考查运算求解能力、数形结合思想，考查的数学核心素养是数学抽象、 数学运算.圆维曲线中与中点弦有关的问题常用点差法，建立弦所在直线的斜率与中点坐标间的关系， 也可以通过联立直线方程与圆锥曲线方程，消元，根据根与系数的关系求解.x 2 y 2 6 20.【2018 年高考北京卷文数】已知椭圆 M : + a 2 b 2 = 1(a > b > 0) 的离心率为 3，焦距为2 .斜率为k 的直线 l 与椭圆 M 有两个不同的交点 A ，B .（1） 求椭圆 M 的方程；（2） 若 k = 1，求|AB |的最大值；（3） 设 P (-2, 0) ，直线 PA 与椭圆 M 的另一个交点为 C ，直线 PB 与椭圆 M 的另一个交点为 D .若 C ,D和点Q (- 7 1 4 4共线，求 k .【答案】（1） x 2 + 23= 1；（2）；（3）1.【解析】（1）由题意得2c = 2 ，所以c = ，又e = c =a6 ，所以 a = ，3所以b 2 = a 2 - c 2 = 1 ，所以椭圆 M 的标准方程为 x 2 + 23= 1．（2）设直线 AB 的方程为 y = x + m ，(x -1) + 3(1 - 2x 2 14 1 ) 2 61+ k 2 6 6 x + 21 12 2 1 1 11 1 ⎧ y = x + m ⎪ 由⎨2 ⎪⎩ 3y = 1 消去 y 可得 4x 2 + 6mx + 3m 2 - 3 = 0 ，则∆= 36m 2 - 4⨯ 4(3m 2 - 3) = 48 -12m 2 > 0 ，即 m 2 < 4 ，设 A (x , y ) ， B (x , y ) ，则 x + x = -3m， x x 3m 2- 3 = ，11则| AB |= 221221 2| x 1 - x 2 |= ⋅ 4=6 ⨯4 - m 2 2易得当 m 2 = 0 时， | AB |max = ，故| AB | 的最大值为 ． （3）设 A (x 1 , y 1 ) ， B (x 2 , y 2 ) ， C (x 3 , y 3 ) ， D (x 4 , y 4 ) ，则 x 2 + 3y 2 = 3 ①， x 2 + 3y 2 = 3 ②，又 P (-2, 0) ，所以可设 k 1⎧ y = k 1 (x + 2) = k PA =y 1x 1 + 2，直线 PA 的方程为 y = k 1 (x + 2) ， ⎪由⎨ x 2 + y 2 = 1 消去 y 可得(1+ 3k 2 )x 2 +12k 2 x +12k 2 - 3 = 0 ，⎪⎩ 312k 212k 2则 x 1 + x 3 = - 1，即 x 3 = - 1- x 1 ，又 k = 1+ 3k 2 y 1，代入①式可得 x 1+ 3k 2= -7x 1 -12 ，所以 y = y 1 ， x 1 + 2 4x 1 + 7 4x 1 + 7所以C ( -7x 1 -12 , y 1 ) ，4x 1 + 7 4x 1 + 7同理可得D ( -7x 2 -12 , y 2 ) ．4x 2 + 7 4x 2 + 77 1 7 1 故QC = (x 3 + 4 , y 3 - 4) ， QD = (x 4 + 4 , y 4 - 4) ，因为Q , C , D 三点共线，所以(x + 7 )( y - 1 ) - (x + 7 )( y - 1) = 0 ，3 4 4 4 44 3 4将点C , D 的坐标代入化简可得y 1 - y 2= 1，即 k = 1． x 1 - x 2 1+ k 2 (x + x )2 - 4x x 1 2 1 2 ，13 313 13 2 【名师点睛】本题主要考查椭圆的方程及几何性质、直线与椭圆的位置关系，考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查数形结合思想，考查的数学核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算.解决椭圆的方程问题，常用基本量法，同时注意椭圆的几何量的关系；弦长的计算，通常要将直线与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求解.21.【2018 年高考天津卷文数】设椭圆xa 2率为 5， | AB |= ．3y 2+ = 1(a > b > 0) 的右顶点为 A ，上顶点为 B ．已知椭圆的离心b 2（1） 求椭圆的方程；（2） 设直线l : y = kx (k < 0) 与椭圆交于P , Q 两点，l 与直线 AB 交于点 M ，且点 P ，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BPQ 面积的 2 倍，求 k 的值．【答案】（1） x9 + y 2 4= 1；（2） - 1 ． 2【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．满分 14 分．（1） 设椭圆的焦距为 2c ，由已知得 c a 2又由 a 2 = b 2 + c 2 ，可得2a = 3b ．= 5，9由| AB |= = ，从而 a = 3, b = 2 ．2 所以，椭圆的方程为 x+ y = 1．9 4（2） 设点 P 的坐标为(x 1, y 1) ，点 M 的坐标为(x 2 , y 2 ) ，由题意， x 2 > x 1 > 0 ，点Q 的坐标为(-x 1, - y 1) ．由△BPM 的面积是△BPQ 面积的 2 倍，可得|PM |=2|PQ | ， 从而 x 2 - x 1 = 2[x 1 - (-x 1)] ，即 x 2 = 5x 1 ． 易知直线 AB 的方程为 2x + 3y = 6 ，a 2 +b 2 2 2 29k 2 + 4 9k 2+ 42 ⎩ +y ⎧2x + 3y = 6, 6 由方程组 消去 y ，可得 x = ． ⎨ y = kx , ⎧ x 2 y 2 ⎪ 由方程组⎨ 9 4 ⎪⎩ y = kx ,2= 1, 消去 y ，可得 x 1 3k + 2= 6 ． 由 x = 5x ，可得= 5(3k + 2) ，两边平方，整理得18k 2 + 25k + 8 = 0 ，解得 k = - 8 ，或 219k = - 1 ．2 当 k = - 8 时， x = -9 < 0 ，不合题意，舍去；当 k = - 1 时， x = 12 ， x = 12，符合题意．9 2 2 2 15所以， k 的值为- 1．2【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系，涉及轨迹方程问题、定值问题、最值问题、参数的取值或取值范围问题等，其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线，解决此类 问题要重视化归与转化思想及设而不求法的应用.22.【2018 年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C 过点( 3, 1) ，焦点 F(-3, 0), F ( 3, 0) ，圆 O 的直径为 F 1F 2 ． （1） 求椭圆 C 及圆 O 的方程；（2） 设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P ．①若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标；②直线 l 与椭圆 C 交于 A , B 两点．若△OAB 的面积为212，求直线 l 的方程．【】1）椭圆 C 的方程为x 2 + 24 = 1，圆 O 的方程为 x 2 + y 2 =（2）① ( 2,1) ；② y = -5x + 3 ．【解析】（1）因为椭圆 C 的焦点为 F 1 (- 3, 0), F 2 ( 3, 0) ，2 6748 y 2 (x 2 -2)0 0y 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0y 可设椭圆 C 的方程为 x a 2 y 2+ = 1(a > b > 0) ．b 21 ⎧ 3 + 1= 1, ⎧a 2 = 4, 又点( 3, ) 在椭圆 C 上，所以⎪ a 2 4b 2⎪ ，解得2因此椭圆 C 的方程为x 2 + 24⎨⎪⎩a 2 -b 2 = 3,= 1．⎨ ⎪⎩b 2 = 1,因为圆 O 的直径为 F 1F 2 ，所以其方程为 x 2+ y 2= 3 ．（2）①设直线 l 与圆 O 相切于 P (x , y )(x > 0, y > 0) ，则 x 2 + y 2= 3 ，所以直线 l 的方程为 y = - x 0 (x - x ) + y ，即 y = - x 0x +3．⎧ x 2 + 2⎪ 4 0 0= 1, y 0 y 0由⎨ ⎪ x 0消去 y ，得(4x 2 + y 2 )x 2 - 24x x + 36 - 4 y 2= 0 ．（*） 3⎪⎩y = - y x + ,y 0因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，所以∆= (-24x )2 - 4(4x 2 + y 2 )(36 - 4 y 2 ) = 48 y 2(x 2 - 2) = 0 ．因为 x 0 , y 0 > 0 ，所以 x 0 = 2, y 0 = 1 ．因此点 P 的坐标为( 2,1) ．②因为三角形 OAB 的面积为2 6 ，所以 1 AB ⋅ OP =2 6 ，从而 AB =4 2 ．727724x ± 设 A (x 1 , y 1 ), B (x 2 , y 2 ) ，由（*）得 x 1,2 =，2(4x 2 + y 2 )2 y2 0x 2 48y 2 (x 2 - 2) 所 以 AB 2 = (x - x )2 + ( y - y )2 = (1+ 0 ) ⋅ 0 0．1 2 1 2 y 2 (4x 2 + y 2 )216(x 2- 2) 32 因为 x 2+ y 2= 3 ，所以 AB 2= 0= ，即2x 4 - 45x 2 +100 = 0 ， 0 0 (x 2 +1)249 0 0解得 x 2 = 5 (x 2 = 20 舍去），则 y 2 = 1 ， 0 2 0 02因此 P 的坐标为( 10 , 2 ) ．2 2综上，直线 l 的方程为 y = - 5x + 3 ．【名师点睛】本题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力.（1） 利用椭圆的几何性质求圆的方程和椭圆的方程.（2） ①利用直线与圆、椭圆的位置关系建立方程求解；②结合①，利用弦长公式、三角形的面积公式求解.23.【2018 年高考浙江卷】如图，已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点，抛物线 C ：y 2=4x 上存在不同的两点 A ，B 满足 PA ，PB 的中点均在 C 上．（1） 设 AB 中点为 M ，证明：PM 垂直于 y 轴；y2（2） 若 P 是半椭圆 x 2+ =1(x <0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围． 4【答案】（1）见解析；（2）[6 2,15 10]． 4【解析】本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.满分 15 分.（1）设P (x , y ) ， 1 2，1 2．0 0A ( 4 y 1 , y 1 )B ( 4 y 2 , y 2 ) 因为 PA ， PB 的中点在抛物线上，1 y2 + x所以 y ， y 为方程 y + y 2 0即 y 2 - 2 y y + 8x - y 2= 0 的两个不同的实数根．1 2( 0 ) = 4 ⋅ 40 0 02 2所以 y 1 + y 2 = 2 y 0 ．因此， PM 垂直于 y 轴．⎧⎪ y 1 + y 2 = 2 y 0 , （2）由（1）可知⎨ y y = 8x - y 2,⎩⎪ 1 2 0 0所以| PM |= 1 ( y 2 + y 2 ) - x = 3 y 2- 3x ，| y - y 8 |= 2 12 0．4 0 0 1 2因此， △PAB 的面积 S= 1 | PM | ⋅ | y - y |= 3( y 2 - 4x )2 ． △PAB 2 1 2 4 0y 2因 为 x 2 +0 = 1(x < 0) ，所以 y 2- 4x = -4x 2- 4x + 4 ∈[4, 5] ． 04因此， △PAB 面积的取值范围是[6 2,15 10 ]．4【名师点睛】圆锥曲线问题是高考重点考查内容之一，也是难点之一.椭圆、抛物线是其中常考内容， 需要熟练地掌握椭圆和拋物线的定义、基本性质、标准方程等，对于处理有关问题有很大的帮助.同时还要注意运算能力的培养和提高.2( y 2 - 4x ) 0 0 3 2 0 0 0 0。

2019年高考理科数学真题分类汇编立体几何、平面解析几何第一节立体几何全国Ⅰ卷已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，P A=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为A．B．C．D．【答案】D【解析】解法一：为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，，又，分别为，的中点，，，又，平面，∴平面，，为正方体的一部分，，即，故选D．解法二：设，分别为的中点，，且，为边长为2的等边三角形，，又，，中，由余弦定理可得，作于，，为的中点，，，，，又，两两垂直，，，，故选D.【名师点睛】本题主要考查学生的空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．全国Ⅱ卷设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选B．【名师点睛】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若，则”此类的错误．全国Ⅲ卷如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则A．BM=EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM=EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线【答案】B【解析】如图所示，作于，连接，BD，易得直线BM，EN是三角形EBD的中线，是相交直线.过作于，连接，平面平面，平面，平面，平面，与均为直角三角形．设正方形边长为2，易知，，，故选B．【名师点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角形.解答本题时，先利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．浙江卷祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是A．158 B．162C．182 D．324【答案】B【解析】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为.故选B.【名师点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体——棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积，常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.浙江卷设三棱锥V–ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点）．记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与平面ABC所成的角为β，二面角P–AC–B的平面角为γ，则A．β<γ，α<γB．β<α，β<γC．β<α，γ<αD．α<β，γ<β【答案】B【解析】如图，为中点，连接VG，在底面的投影为，则在底面的投影在线段上，过作垂直于于E，连接PE，BD，易得，过作交于，连接BF，过作，交于，则，结合△PFB，△BDH，△PDB均为直角三角形，可得，即；在Rt△PED中，，即，综上所述，答案为B.【名师点睛】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角，未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.全国Ⅲ卷学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥O—EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，，3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.【答案】118.8【解析】由题意得，，∵四棱锥O−EFGH的高为3cm，∴．又长方体的体积为，所以该模型体积为，其质量为．【名师点睛】本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解．根据题意可知模型的体积为长方体体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量即可.北京卷某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．【答案】40【解析】如图所示，在棱长为4的正方体中，三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱之后余下的几何体，则几何体的体积.【名师点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体，再根据题目给定的数据，计算几何体的体积.属于中等题.(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．北京卷已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥；③l⊥．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．【答案】如果l⊥α，m∥α，则l⊥m.【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l⊥α，m∥α，则l⊥m，正确；（2）如果l⊥α，l⊥m，则m∥α，不正确，有可能m在平面α内；（3）如果l⊥m，m∥α，则l⊥α，不正确，有可能l与α斜交、l∥α.故答案为：如果l⊥α，m∥α，则l⊥m.【名师点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.将所给论断，分别作为条件、结论加以分析即可.天津卷已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________．【答案】【解析】由题意，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，借助勾股定理，可知四棱锥的高为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为，圆柱的底面半径为，故圆柱的体积为.【名师点睛】根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径.注意本题中圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半.江苏卷如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥E−BCD的体积是▲ .【答案】10【解析】因为长方体的体积为120，所以，因为为的中点，所以，由长方体的性质知底面，所以是三棱锥的底面上的高，所以三棱锥的体积.【名师点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.全国Ⅰ卷如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A−MA1−N的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）连结B1C，ME．因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME=B1C．又因为N为A1D的中点，所以ND=A1D．由题设知A1B1DC，可得B1C A1D，故ME ND，因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED．又MN平面EDC 1，所以MN∥平面C1DE．（2）由已知可得DE⊥DA．以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，则，A1(2，0，4)，，，，，，．设为平面A1MA的法向量，则，所以可取．设为平面A1MN的法向量，则所以可取．于是，所以二面角的正弦值为．【名师点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型.全国Ⅱ卷如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由已知得，平面，平面，故．又，所以平面．（2）由（1）知．由题设知≌，所以，故，．以为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D–xyz，则C（0，1，0），B（1，1，0），（0，1，2），E（1，0，1），，，．设平面EBC的法向量为n=（x，y，x），则即所以可取n=.设平面的法向量为m=（x，y，z），则即所以可取m=（1，1，0）．于是．所以，二面角的正弦值为．【名师点睛】本题考查了利用线面垂直的性质定理证明线线垂直以及线面垂直的判定，考查了利用空间向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函数关系，考查了数学运算能力.全国Ⅲ卷图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的二面角B−CG−A的大小.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）由已知得AD BE，CG BE，所以AD CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．由已知得AB BE，AB BC，故AB平面BCGE．又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE．（2）作EH BC，垂足为H．因为EH平面BCGE，平面BCGE平面ABC，所以EH平面ABC．由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC=60°，可求得BH=1，EH=．以H为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H–xyz，则A（–1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，），=（1，0，），=（2，–1，0）．设平面ACGD的法向量为n=（x，y，z），则即所以可取n=（3，6，–）．又平面BCGE的法向量可取为m=（0，1，0），所以．因此二面角B–CG–A的大小为30°．【名师点睛】本题是很新颖的立体几何考题，首先是多面体折叠问题，考查考生在折叠过程中哪些量是不变的，再者折叠后的多面体不是直棱柱，最后通过建系的向量解法将求二面角转化为求二面角的平面角问题，突出考查考生的空间想象能力.北京卷如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且．（1）求证：CD⊥平面PAD；（2）求二面角F–AE–P的余弦值；（3）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.【解析】（1）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD．又因为AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD．（2）过A作AD的垂线交BC于点M．因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AM，PA⊥AD．如图建立空间直角坐标系A−xyz，则A（0，0，0），B（2，1，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．因为E为PD的中点，所以E（0，1，1）．所以．所以.设平面AEF的法向量为n=（x，y，z），则即令z=1，则．于是．又因为平面PAD的法向量为p=（1，0，0），所以.由题知，二面角F−AE−P为锐角，所以其余弦值为．（3）直线AG在平面AEF内．因为点G在PB上，且，所以.由（2）知，平面AEF的法向量.所以.所以直线AG在平面AEF内.【名师点睛】（1）由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；（2）建立空间直角坐标系，结合两个半平面的法向量即可求得二面角F−AE−P的余弦值；（3）首先求得点G的坐标，然后结合平面的法向量和直线AG的方向向量即可判断直线是否在平面内.天津卷如图，平面，，．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）若二面角的余弦值为，求线段的长．【答案】（1）见解析；（2）；（3）．【解析】依题意，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得，．设，则．（1）依题意，是平面的法向量，又，可得，又因为直线平面，所以平面．（2）依题意，．设为平面的法向量，则即不妨令，可得．因此有．所以，直线与平面所成角的正弦值为．（3）设为平面的法向量，则即不妨令，可得．由题意，有，解得．经检验，符合题意．所以，线段的长为．【名师点睛】本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识．考查用空间向量解决立体几何问题的方法．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．江苏卷如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因为ED⊂平面DEC 1，A1B1平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.因为三棱柱ABC−A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又因为BE⊂平面ABC，所以CC1⊥BE.因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC=C，所以BE⊥平面A1ACC1.因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.【名师点睛】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.浙江卷如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是AC，A1B1的中点.（1）证明：；（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）．【解析】方法一：（1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC．又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC．又因为A1F∥AB，∠ABC=90°，故BC⊥A1F．所以BC⊥平面A1EF．因此EF⊥BC．（2）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形．由于A1E⊥平面ABC，故A1E⊥EG，所以平行四边形EGFA1为矩形．由（1）得BC⊥平面EGFA1，则平面A1BC⊥平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上．连接A1G交EF于O，则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）．不妨设AC=4，则在Rt△A1EG中，A1E=2，EG=.由于O为A1G的中点，故，所以．因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是．方法二：（1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC．如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E–xyz．不妨设AC=4，则A1（0，0，2），B（，1，0），，，C(0，2，0)．因此，，．由得．（2）设直线EF与平面A1BC所成角为θ．由（1）可得．设平面A1BC的法向量为n，由，得，取n，故，因此，直线EF与平面A1BC所成的角的余弦值为．【名师点睛】本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力.第二节平面解析几何全国Ⅰ卷已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为A．B．C．D．【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．所求椭圆方程为，故选B．法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．全国Ⅱ卷若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆的一个焦点，则p=A．2 B．3C．4 D．8【答案】D【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程，从而解出，或者利用检验排除的方法，如时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A，同样可排除B，C，从而得到选D．全国Ⅱ卷设F为双曲线C：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P，Q两点．若，则C的离心率为A．B．C．2 D．【答案】A【解析】设与轴交于点，由对称性可知轴，又，为以为直径的圆的半径，∴，，又点在圆上，，即．，故选A．【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．解答本题时，准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c与a的关系，可求双曲线的离心率．全国Ⅲ卷双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为A．B．C．D．【答案】A【解析】由，又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，则，，故选A．【名师点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．北京卷已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则A．a2=2b2B．3a2=4b2C．a=2b D．3a=4b【答案】B【解析】椭圆的离心率，化简得，故选B.【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，属于容易题，注重基础知识､基本运算能力的考查.由题意利用离心率的定义和的关系可得满足题意的等式.北京卷数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是A．①B．②C．①②D．①②③【答案】C【解析】由得，，，所以可取的整数有0，−1，1，从而曲线恰好经过(0，1)，(0，−1)，(1，0)，(1，1)，(−1，0)，(−1，1)，共6个整点，结论①正确.由得，，解得，所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过. 结论②正确.如图所示，易知，四边形的面积，很明显“心形”区域的面积大于，即“心形”区域的面积大于3，说法③错误.故选C.【名师点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用，属于难题，注重基础知识､基本运算能力及分析问题、解决问题的能力考查，渗透“美育思想”.将所给方程进行等价变形确定x的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.天津卷已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为A．B．C．D．【答案】D【解析】抛物线的准线的方程为，双曲线的渐近线方程为，则有，∴，，，∴.故选D.【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度.解答时，只需把用表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率.浙江卷渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是A． B．1C．D．2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为，所以，则，所以双曲线的离心率.故选C.【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得，进一步可得离心率，属于容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.浙江卷已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆C相切于点，则=___________，=___________．【答案】，【解析】由题意可知，把代入直线AC的方程得，此时.【名师点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线的斜率，进一步得到其方程，将代入后求得，计算得解.解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.浙江卷已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是___________．【答案】【解析】方法1：如图，设F1为椭圆右焦点.由题意可知，由中位线定理可得，设，可得，与方程联立，可解得（舍），又点在椭圆上且在轴的上方，求得，所以.方法2：（焦半径公式应用）由题意可知，由中位线定理可得，即，从而可求得，所以.【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用圆的方程表示，与椭圆方程联立可进一步求解.也可利用焦半径及三角形中位线定理解决，则更为简洁.全国Ⅲ卷设为椭圆C:的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则M的坐标为___________.【答案】【解析】由已知可得，，∴．设点的坐标为，则，又，解得，，解得（舍去），的坐标为．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．解答本题时，根据椭圆的定义分别求出，设出的坐标，结合三角形面积可求出的坐标.全国Ⅰ卷已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．【答案】2【解析】如图，由得又得OA是三角形的中位线，即由，得∴，，又OA与OB都是渐近线，得又，∴又渐近线OB的斜率为，∴该双曲线的离心率为．【名师点睛】本题结合平面向量考查双曲线的渐近线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取几何法，利用数形结合思想解题．解答本题时，通过向量关系得到和，从而可以得到，再结合双曲线的渐近线可得进而得到从而由可求离心率.江苏卷在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是▲ .【答案】【解析】由已知得，解得或，因为，所以.因为，所以双曲线的渐近线方程为.【名师点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.江苏卷在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是▲ .【答案】4【解析】当直线x+y=0平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P，此时到直线x+y=0的距离最小.由，得，，即切点，则切点Q到直线x+y=0的距离为，故答案为．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.全国Ⅰ卷已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|．【答案】（1）；（2）.【解析】设直线．（1）由题设得，故，由题设可得．由，可得，则．从而，得．所以的方程为．（2）由可得．由，可得．所以．从而，故．代入的方程得．故．【名师点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及平面向量、弦长的求解方法，解题关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，利用根与系数的关系构造等量关系.全国Ⅱ卷已知点A(−2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C.（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.（i）证明：是直角三角形；（ii）求面积的最大值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）由题设得，化简得，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为．由得．记，则．于是直线的斜率为，方程为．由得．①设，则和是方程①的解，故，由此得．从而直线的斜率为．所以，即是直角三角形．（ii）由（i）得，，所以△PQG的面积．设t=k+，则由k>0得t≥2，当且仅当k=1时取等号．因为在[2，+∞）单调递减，所以当t=2，即k=1时，S取得最大值，最大值为．因此，△PQG面积的最大值为．【名师点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，以及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及三角形面积最大值问题，考查了数学运算能力，考查了求函数最大值问题.全国Ⅲ卷已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.。

全国通用2020_2022三年高考数学真题分项汇编：08 平面解析几何（解答题）1．【2022年全国甲卷】设抛物线C:y 2=2px(p >0)的焦点为F ，点D (p,0)，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，|MF |=3．(1)求C 的方程；(2)设直线MD,ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线MN,AB 的倾斜角分别为α,β．当α−β取得最大值时，求直线AB 的方程． 【答案】(1)y 2=4x ； (2)AB:x =√2y +4. 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义可得|MF|=p +p2，即可得解；（2）设点的坐标及直线MN:x =my +1，由韦达定理及斜率公式可得k MN =2k AB ，再由差角的正切公式及基本不等式可得k AB =√22，设直线AB:x =√2y +n ，结合韦达定理可解.(1)抛物线的准线为x =−p2，当MD 与x 轴垂直时，点M 的横坐标为p ， 此时|MF|=p +p2=3，所以p =2， 所以抛物线C 的方程为y 2=4x ； (2) 设M(y 124,y 1),N(y 224,y 2),A(y 324,y 3),B(y 424,y 4)，直线MN:x =my +1，由{x =my +1y 2=4x 可得y 2−4my −4=0，Δ>0,y 1y 2=−4，由斜率公式可得k MN =y 1−y 2y 124−y 224=4y1+y 2，k AB =y 3−y 4y 324−y 424=4y3+y 4，直线MD:x =x 1−2y 1⋅y +2，代入抛物线方程可得y 2−4(x 1−2)y 1⋅y −8=0，Δ>0,y 1y 3=−8，所以y 3=2y 2，同理可得y 4=2y 1， 所以k AB =4y3+y 4=42(y1+y 2)=k MN 2又因为直线MN 、AB 的倾斜角分别为α,β， 所以k AB =tanβ=k MN 2=tanα2，若要使α−β最大，则β∈(0,π2)， 设k MN =2k AB=2k >0，则tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=k 1+2k 2=11k+2k ≤2√1k⋅2k=√24，当且仅当1k =2k 即k =√22时，等号成立，所以当α−β最大时，k AB =√22，设直线AB:x =√2y +n ，代入抛物线方程可得y 2−4√2y −4n =0， Δ>0,y 3y 4=−4n =4y 1y 2=−16，所以n =4， 所以直线AB:x =√2y +4. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标间的关系.2．【2022年全国乙卷】已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A (0,−2),B (32,−1)两点． (1)求E 的方程；(2)设过点P (1,−2)的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =TH ⃑⃑⃑⃑⃑ ．证明：直线HN 过定点． 【答案】(1)y 24+x 23=1(2)(0,−2) 【解析】 【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）设出直线方程，与椭圆C 的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解. (1)解：设椭圆E 的方程为mx 2+ny 2=1，过A (0,−2),B (32,−1)， 则{4n =194m +n =1 ，解得m =13，n =14，所以椭圆E 的方程为：y 24+x 23=1.(2)A(0,−2),B(32,−1)，所以AB:y +2=23x ，①若过点P(1,−2)的直线斜率不存在，直线x =1.代入x 23+y 24=1，可得M(1,2√63)，N(1,−2√63)，代入AB 方程y =23x −2，可得T(√6+3,2√63)，由MT⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =TH ⃑⃑⃑⃑⃑ 得到H(2√6+5,2√63).求得HN 方程： y =(2−2√63)x −2，过点(0,−2).②若过点P(1,−2)的直线斜率存在，设kx −y −(k +2)=0,M(x 1,y 1),N(x 2,y 2).联立{kx −y −(k +2)=0x 23+y 24=1,得(3k 2+4)x 2−6k(2+k)x +3k(k +4)=0，可得{x 1+x 2=6k(2+k)3k 2+4x 1x 2=3k(4+k)3k 2+4，{y 1+y 2=−8(2+k)3k 2+4y 2y 2=4(4+4k−2k 2)3k 2+4， 且x 1y 2+x 2y 1=−24k3k 2+4(∗) 联立{y =y 1y =23x −2 ,可得T(3y 12+3,y 1),H(3y 1+6−x 1,y 1).可求得此时HN:y −y 2=y 1−y 23y1+6−x 1−x 2(x −x 2)，将(0,−2)，代入整理得2(x 1+x 2)−6(y 1+y 2)+x 1y 2+x 2y 1−3y 1y 2−12=0， 将(∗)代入，得24k +12k 2+96+48k −24k −48−48k +24k 2−36k 2−48=0, 显然成立，综上，可得直线HN 过定点(0,−2). 【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 3．【2022年新高考1卷】已知点A(2,1)在双曲线C:x 2a 2−y 2a 2−1=1(a >1)上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线AP,AQ 的斜率之和为0．(1)求l 的斜率；(2)若tan ∠PAQ =2√2，求△PAQ 的面积． 【答案】(1)−1； (2)16√29．【解析】 【分析】（1）由点A(2,1)在双曲线上可求出a ，易知直线l 的斜率存在，设l:y =kx +m ，P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)，再根据k AP +k BP =0，即可解出l 的斜率；（2）根据直线AP,AQ 的斜率之和为0可知直线AP,AQ 的倾斜角互补，再根据tan ∠PAQ =2√2即可求出直线AP,AQ 的斜率，再分别联立直线AP,AQ 与双曲线方程求出点P,Q 的坐标，即可得到直线PQ 的方程以及PQ 的长，由点到直线的距离公式求出点A 到直线PQ 的距离，即可得出△PAQ 的面积． (1)因为点A(2,1)在双曲线C:x 2a 2−y 2a 2−1=1(a >1)上，所以4a 2−1a 2−1=1，解得a 2=2，即双曲线C:x 22−y 2=1易知直线l 的斜率存在，设l:y =kx +m ，P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)， 联立{y =kx +m x 22−y 2=1可得，(1−2k 2)x 2−4mkx −2m 2−2=0，所以，x 1+x 2=−4mk 2k 2−1,x 1x 2=2m 2+22k 2−1，Δ=16m 2k 2+4(2m 2+2)(2k 2−1)>0⇒m 2−1+2k 2>0．所以由k AP +k BP =0可得，y 2−1x2−2+y 1−1x 1−2=0， 即(x 1−2)(kx 2+m −1)+(x 2−2)(kx 1+m −1)=0， 即2kx 1x 2+(m −1−2k )(x 1+x 2)−4(m −1)=0， 所以2k ×2m 2+22k 2−1+(m −1−2k )(−4mk2k 2−1)−4(m −1)=0，化简得，8k 2+4k −4+4m (k +1)=0，即(k +1)(2k −1+m )=0， 所以k =−1或m =1−2k ，当m =1−2k 时，直线l:y =kx +m =k (x −2)+1过点A (2,1)，与题意不符，舍去， 故k =−1． (2)不妨设直线PA,PB 的倾斜角为α,β(α<β)，因为k AP +k BP =0，所以α+β=π， 因为tan ∠PAQ =2√2，所以tan (β−α)=2√2，即tan2α=−2√2， 即√2tan 2α−tanα−√2=0，解得tanα=√2，于是，直线PA:y =√2(x −2)+1，直线PB:y =−√2(x −2)+1， 联立{y =√2(x −2)+1x 22−y 2=1可得，32x 2+2(1−2√2)x +10−4√2=0， 因为方程有一个根为2，所以x P =10−4√23，y P =4√2−53， 同理可得，x Q =10+4√23，y Q = −4√2−53．所以PQ:x +y −53=0，|PQ |=163，点A 到直线PQ 的距离d =|2+1−53|√2=2√23， 故△PAQ 的面积为12×163×2√23=16√29．4．【2022年新高考2卷】已知双曲线C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y =±√3x ． (1)求C 的方程；(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)在C 上，且x 1>x 2>0,y 1>0．过P 且斜率为−√3的直线与过Q 且斜率为√3的直线交于点M .从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|=|MB|．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)x2−y23=1(2)见解析【解析】【分析】（1）利用焦点坐标求得c的值，利用渐近线方程求得a,b的关系，进而利用a,b,c的平方关系求得a,b的值，得到双曲线的方程；（2）先分析得到直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k, M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等价分析得到x0+ky0=8k2k2−3；由直线PM和QM的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率m=3x0y，由②PQ//AB等价转化为ky0=3x0，由①M在直线AB上等价于ky0=k2(x0−2)，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.(1)右焦点为F(2,0)，∴c=2,∵渐近线方程为y=±√3x，∴ba=√3，∴b=√3a，∴c2=a2+ b2=4a2=4，∴a=1，∴b=√3．∴C的方程为：x2−y23=1；(2)由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，直线AB的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M为线段AB的中点，假若直线AB的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M在x轴上，即为焦点F,此时由对称性可知P、Q关于x轴对称，与从而x1=x2，已知不符；总之，直线AB的斜率存在且不为零.设直线AB的斜率为k,直线AB方程为y=k(x−2),则条件①M在AB上，等价于y0=k(x0−2)⇔ky0=k2(x0−2)；两渐近线的方程合并为3x2−y2=0,联立消去y并化简整理得：(k2−3)x2−4k2x+4k2=0设A(x3,y3),B(x3,y4),线段中点为N(x N,y N),则x N=x3+x42=2k2k2−3,y N=k(x N−2)=6kk2−3,设M(x0,y0),则条件③|AM|=|BM|等价于(x0−x3)2+(y0−y3)2=(x0−x4)2+(y0−y4)2, 移项并利用平方差公式整理得：(x 3−x 4)[2x 0−(x 3+x 4)]+(y 3−y 4)[2y 0−(y 3+y 4)]=0， [2x 0−(x 3+x 4)]+y 3−y 4x 3−x 4[2y 0−(y 3+y 4)]=0,即x 0−x N +k (y 0−y N )=0,即x 0+ky 0=8k 2k 2−3；由题意知直线PM 的斜率为−√3, 直线QM 的斜率为√3, ∴由y 1−y 0=−√3(x 1−x 0),y 2−y 0=√3(x 2−x 0), ∴y 1−y 2=−√3(x 1+x 2−2x 0), 所以直线PQ 的斜率m =y 1−y2x 1−x 2=−√3(x 1+x 2−2x 0)x 1−x 2, 直线PM:y =−√3(x −x 0)+y 0,即y =y 0+√3x 0−√3x ,代入双曲线的方程3x 2−y 2−3=0,即(√3x +y)(√3x −y)=3中， 得：(y 0+√3x 0)[2√3x −(y 0+√3x 0)]=3, 解得P 的横坐标：x 1=2√3(y +√3x +y 0+√3x 0),同理：x 2=2√3(y−√3x y 0−√3x 0)，∴x 1−x 2=√3(3y0y 02−3x 02+y 0),x 1+x 2−2x 0=−3xy 02−3x 02−x 0,∴m =3x 0y 0,∴条件②PQ//AB 等价于m =k ⇔ky 0=3x 0， 综上所述：条件①M 在AB 上，等价于ky 0=k 2(x 0−2)； 条件②PQ//AB 等价于ky 0=3x 0；条件③|AM|=|BM|等价于x 0+ky 0=8k 2k 2−3；选①②推③:由①②解得：x 0=2k 2k 2−3,∴x 0+ky 0=4x 0=8k 2k 2−3,∴③成立；选①③推②：由①③解得：x 0=2k 2k 2−3，ky 0=6k 2k 2−3， ∴ky 0=3x 0，∴②成立； 选②③推①：由②③解得：x 0=2k 2k 2−3，ky 0=6k 2k 2−3，∴x 0−2=6k 2−3， ∴ky 0=k 2(x 0−2)，∴①成立.5．【2021年甲卷文科】抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：1x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥．已知点()2,0M ，且M 与l 相切．（1）求C ，M 的方程；（2）设123,,A A A 是C 上的三个点，直线12A A ，13A A 均与M 相切．判断直线23A A 与M 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）抛物线2:C y x =，M 方程为22(2)1x y -+=；（2）相切，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知抛物线与1x =相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出,P Q 坐标，由OP OQ ⊥，即可求出p ；由圆M 与直线1x =相切，求出半径，即可得出结论；（2）方法一：先考虑12A A 斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若121323,,A A A A A A 斜率存在，由123,,A A A 三点在抛物线上，将直线121223,,A A A A A A 斜率分别用纵坐标表示，再由1212,A A A A 与圆M 相切，得出2323,y y y y +⋅与1y 的关系，最后求出M 点到直线23A A 的距离，即可得出结论. 【详解】（1）依题意设抛物线200:2(0),(1,),(1,)C y px p P y Q y =>-， 20,1120,21OP OQ OP OQ y p p ⊥∴⋅=-=-=∴=，所以抛物线C 的方程为2y x =，()2,0,M M 与1x =相切，所以半径为1，所以M 的方程为22(2)1x y -+=；（2）[方法一]：设111222333(),(,),(,)A x y A x y A x y 若12A A 斜率不存在，则12A A 方程为1x =或3x =， 若12A A 方程为1x =，根据对称性不妨设1(1,1)A ， 则过1A 与圆M 相切的另一条直线方程为1y =，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在3A ，不合题意； 若12A A 方程为3x =，根据对称性不妨设12(3,A A 则过1A 与圆M 相切的直线13A A为3)y x -=-，又131********A A y y k y x x y y -==∴=-+， 330,(0,0)x A =，此时直线1323,A A A A 关于x 轴对称，所以直线23A A 与圆M 相切； 若直线121323,,A A A A A A 斜率均存在，则121323121323111,,A A A A A A k k k y y y y y y ===+++， 所以直线12A A 方程为()11121y y x x y y -=-+， 整理得1212()0x y y y y y -++=，同理直线13A A 的方程为1313()0x y y y y y -++=， 直线23A A 的方程为2323()0x y y y y y -++=， 12A A 与圆M相切，1=整理得22212121(1)230y y y y y -++-=，13A A 与圆M 相切，同理22213131(1)230y y y y y -++-= 所以23,y y 为方程222111(1)230y y y y y -++-=的两根，2112323221123,11y y y y y y y y -+=-⋅=--，M 到直线23A A 的距离为：2123|2|y -+=22121111y y +===+，所以直线23A A 与圆M 相切；综上若直线1213,A A A A 与圆M 相切，则直线23A A 与圆M 相切.[方法二]【最优解】：设()()()222111113333322222,,,,,,,,A x y y x A x y y x A x y y x ===．当12x x =时，同解法1．当12x x ≠时，直线12A A 的方程为()211121y y y y x x x x --=--，即121212y y x y y y y y =+++． 由直线12A A 与M1=，化简得()121212130y y x x x +--+=，同理，由直线13A A 与M 相切得()131312130y y x x x +--+=．因为方程()1112130y y x x x +--+=同时经过点23,A A ，所以23A A 的直线方程为()1112130y y x x x +--+=，点M 到直线23A A1==．所以直线23A A 与M 相切．综上所述，若直线1213,A A A A 与M 相切，则直线23A A 与M 相切． 【整体点评】第二问关键点：过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；法一是要充分利用1213,A A A A 的对称性，抽象出2323,y y y y +⋅与1y 关系，把23,y y 的关系转化为用1y 表示，法二是利用相切等条件得到23A A 的直线方程为()1112130y y x x x +--+=，利用点到直线距离进行证明，方法二更为简单，开拓学生思路6．【2021年乙卷文科】已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2． （1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值. 【答案】（1）24y x =；（2）最大值为13.【解析】 【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；（2）设()00,Q x y ，由平面向量的知识可得()00109,10P x y -，进而可得20025910y x +=，再由斜率公式及基本不等式即可得解. 【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为222p p p ⎛⎫--== ⎪⎝⎭， 所以该抛物线的方程为24y x =；（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法 设()00,Q x y ，则()00999,9PQ QF x y ==--， 所以()00109,10P x y -， 由P 在抛物线上可得()()200104109y x =-，即20025910y x +=，据此整理可得点Q 的轨迹方程为229525=-y x ，所以直线OQ 的斜率000220001025925910OQ y y y k y x y ===++， 当00y =时，0OQ k =； 当00y ≠时，0010925OQ k y y =+， 当00y >时，因为0092530y y +≥=， 此时103OQ k <≤，当且仅当00925y y =，即035y =时，等号成立；当00y <时，0OQ k <；综上，直线OQ 的斜率的最大值为13.[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法同方法一得到点Q 的轨迹方程为229525=-y x ． 设直线OQ 的方程为y kx =，则当直线OQ 与抛物线229525=-y x 相切时，其斜率k 取到最值．联立2,29,525y kx y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩得22290525k x x -+=，其判别式222940525⎛⎫∆=--⨯= ⎪⎝⎭k ，解得13k =±，所以直线OQ 斜率的最大值为13．[方法三]：轨迹方程+换元求最值法同方法一得点Q 的轨迹方程为229525=-y x ． 设直线OQ 的斜率为k ，则22229525⎛⎫==- ⎪⎝⎭y k x x x． 令11009⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭t t x ，则2292255=-+k t t 的对称轴为59t =，所以21110,933≤≤-≤≤k k ．故直线OQ 斜率的最大值为13．[方法四]：参数+基本不等式法由题可设()24,4(0),(,)>P t t t Q x y ．因为(1,0),9=F PQ QF ，所以()24,49(1,)--=--x t y t x y ．于是249(1)49x t x y t y ⎧-=-⎨-=-⎩，所以21049104x t y t ⎧=+⎨=⎩则直线OQ的斜率为244194934==≤=++y t x t t t ．当且仅当94t t=，即32t =时等号成立，所以直线OQ 斜率的最大值为13．【整体点评】方法一根据向量关系，利用代点法求得Q 的轨迹方程，得到直线OQ 的斜率关于y 的表达式，然后利用分类讨论，结合基本不等式求得最大值；方法二 同方法一得到点Q 的轨迹方程，然后利用数形结合法，利用判别式求得直线OQ 的斜率的最大值，为最优解；方法三同方法一求得Q 的轨迹方程，得到直线OQ 的斜率k 的平方关于x 的表达式，利用换元方法转化为二次函数求得最大值，进而得到直线OQ 斜率的最大值；方法四利用参数法，由题可设()24,4(0),(,)>P t t t Q x y ，求得x,y 关于t 的参数表达式，得到直线OQ 的斜率关于t 的表达式，结合使用基本不等式，求得直线OQ 斜率的最大值.7．【2021年乙卷理科】已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB △面积的最大值． 【答案】（1）2p =；（2）【解析】 【分析】（1）根据圆的几何性质可得出关于p 的等式，即可解出p 的值；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，利用导数求出直线PA 、PB ，进一步可求得直线AB 的方程，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，求出AB 以及点P 到直线AB 的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得PAB △面积的最大值. 【详解】（1）[方法一]：利用二次函数性质求最小值由题意知，0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设圆M 上的点()00,N x y ，则()22041++=x y ． 所以()()22001453=-+-≤≤-x y y ．从而有||==FN=因为053y -≤≤-，所以当03y=-时，min ||4FN ． 又0p >，解之得2p =，因此2p =．[方法二]【最优解】：利用圆的几何意义求最小值抛物线C 的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，42pFM =+，所以，F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4142p+-=，解得2p =； （2）[方法一]：切点弦方程+韦达定义判别式求弦长求面积法 抛物线C 的方程为24x y =，即24x y =，对该函数求导得=2xy '，设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ， 直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即112x xy y =-，即11220x x y y --=， 同理可知，直线PB 的方程为22220x x y y --=，由于点P 为这两条直线的公共点，则10102020220220x x y y x x y y --=⎧⎨--=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程00220x x y y --=， 所以，直线AB 的方程为00220x x y y --=，联立0022204x x y y x y --=⎧⎪⎨=⎪⎩，可得200240x x x y -+=， 由韦达定理可得1202x x x +=，1204x x y =，所以，AB ==点P 到直线AB的距离为d =所以，()3220011422PABS AB d x y =⋅==-△， ()()2222000000041441215621x y y y y y y -=-+-=---=-++，由已知可得053y -≤≤-，所以，当05y =-时，PAB △的面积取最大值321202⨯=[方法二]【最优解】：切点弦法+分割转化求面积+三角换元求最值 同方法一得到1201202,4+==x x x x x y ．过P 作y 轴的平行线交AB 于Q ，则2000,2⎛⎫- ⎪⎝⎭x Q x y ．()32221200001111||242222⎛⎫=⋅-=-- ⎪⎝⎭PABSPQ x x x y x y ． P 点在圆M 上，则00cos ,4sin ,x y αα=⎧⎨=-+⎩()()333222222001114cos 4sin 16(sin 2)21222ααα⎡⎤=-=-+=-++⎣⎦PABSx y ． 故当sin 1α=-时PAB △的面积最大，最大值为 [方法三]：直接设直线AB 方程法设切点A ，B 的坐标分别为211,4x A x ⎛⎫⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭．设:AB l y kx b =+，联立AB l 和抛物线C 的方程得2,4,y kx b x y =+⎧⎨=⎩整理得2440x kx b --=．判别式2Δ16160=+>k b ，即20k b +>，且12124,4x x k x x b +==-． 抛物线C 的方程为24x y =，即24x y =，有2x y '=． 则()2111:42-=-PA x x l y x x ，整理得21124x x y x =⋅-，同理可得222:24=⋅-PB x x l y x ．联立方程211222,24,24x x y x x x y x ⎧=⋅-⎪⎪⎨⎪=⋅-⎪⎩可得点P 的坐标为1212,24x x x x P +⎛⎫ ⎪⎝⎭，即(2,)P k b -． 将点P 的坐标代入圆M 的方程，得22(2)(4)1+-+=k b ，整理得221(4)4b k --=．由弦长公式得12||=-=AB x=点P 到直线AB的距离为d =所以21||222==+=PABSAB d k b= 其中[5,3]=-∈--P y b ，即[3,5]∈b ．当5b =时，()max=PAB S【整体点评】（1）方法一利用两点间距离公式求得FN 关于圆M 上的点()00,N x y 的坐标的表达式，进一步转化为关于0y 的表达式，利用二次函数的性质得到最小值，进而求得p 的值；方法二，利用圆的性质，F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值，简洁明快，为最优解；（2）方法一设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，利用导数求得两切线方程，由切点弦方程思想得到直线AB 的坐标满足方程00220x x y y --=，然手与抛物线方程联立，由韦达定理可得1202x x x +=，1204x x y =，利用弦长公式求得AB 的长，进而得到面积关于()00,P x y 坐标的表达式，利用圆的方程转化得到关于0y 的二次函数最值问题；方法二，同方法一得到1202x x x +=，1204x x y =，过P 作y 轴的平行线交AB 于Q ，则2000,2⎛⎫- ⎪⎝⎭x Q x y ．由121||2PABSPQ x x =⋅-求得面积关于()00,P x y 坐标的表达式，并利用三角函数换元求得面积最大值，方法灵活，计算简洁，为最优解；方法三直接设直线:AB l y kx b =+，联立直线AB 和抛物线方程，利用韦达定理判别式得到20k b +>，且12124,4x x k x x b +==-．利用点P 在圆M 上，求得,k b 的关系，然后利用导数求得两切线方程，解方程组求得P 的坐标(2,)P k b -，进而利用弦长公式和点到直线距离公式求得面积关于b 的函数表达式，然后利用二次函数的性质求得最大值；8．【2021年新高考1卷】在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)2122F MF MF -=，，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程； （2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.【答案】（1）()221116y x x -=≥；（2）0. 【解析】 【分析】(1) 利用双曲线的定义可知轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点双曲线的右支，求出a 、b 的值，即可得出轨迹C 的方程；(2)方法一：设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C 的方程，结合韦达定理求得直线的斜率，最后化简计算可得12k k +的值.【详解】(1)因为12122MF MF F F -=<=所以，轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则22a =，可得1a =，4b =，所以，轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥.（2）[方法一] 【最优解】：直线方程与双曲线方程联立 如图所示，设1(,)2T n ,设直线AB 的方程为112211(),,(2,(),)y n k x A x y B x y -=-．联立1221()2116y n k x y x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩, 化简得22221111211(16)(2)1604k x k k n x k n k n -+---+-=.则22211112122211111624,1616k n k n k k n x x x x k k +-+-+==--．故12,11||)||)22TA x TB x -=-．则222111221(12)(1)11||||(1)()()2216n k TA TB k x x k ++⋅=+--=-．设PQ 的方程为21()2y n k x -=-，同理22222(12)(1)||||16n k TP TQ k ++⋅=-． 因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，所以22122212111616k k k k ++=--，化简得22121717111616k k +=+--，所以22121616k k -=-，即2212k k =．因为11k k ≠，所以120k k +=． [方法二] ：参数方程法设1(,)2T m ．设直线AB 的倾斜角为1θ，则其参数方程为111cos 2sin x t y m t θθ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩， 联立直线方程与曲线C 的方程2216160(1)x y x --≥=，可得222221111cos 116(cos )(sin 2sin )1604t m t t mt θθθθ+-++-=+，整理得22221111(16cos sin )(16cos 2sin )(12)0t m t m θθθθ-+--+=．设12,TA t TB t ==，由根与系数的关系得2212222111(12)12||||16cos sin 117cos t m m TA TB t θθθ-++⋅===--⋅．设直线PQ 的倾斜角为2θ，34,TP t TQ t ==，同理可得2342212||||117cos m T T t P Q t θ+⋅==-⋅由||||||||TA TB TP TQ ⋅=⋅，得2212cos cos θθ=．因为12θθ≠，所以12s o o s c c θθ=-．由题意分析知12θθπ+=．所以12tan tan 0θθ+=， 故直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0． [方法三]：利用圆幂定理因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，由圆幂定理知A ，B ，P ，Q 四点共圆． 设1(,)2T t ,直线AB 的方程为11()2y t k x -=-，直线PQ 的方程为21()2y t k x -=-,则二次曲线1212()()022k kk x y t k x y t --+--+=． 又由22116y x -=，得过A ，B ，P ，Q 四点的二次曲线系方程为： 221212()()(1)0(0)2216k k y k x y t k x y t x λμλ--+--++--=≠，整理可得： []2212121212()()()()16k x y k k xy t k k k k k x μμλλλλ++--+++-12(2)02y k k t m λ++-+=， 其中21212()42k k t m t k k λμ⎡⎤=+-+-⎢⎥⎣⎦．由于A ，B ，P ，Q 四点共圆，则xy 项的系数为0，即120k k +=. 【整体点评】(2)方法一：直线方程与二次曲线的方程联立，结合韦达定理处理圆锥曲线问题是最经典的方法，它体现了解析几何的特征，是该题的通性通法，也是最优解；方法二：参数方程的使用充分利用了参数的几何意义，要求解题过程中对参数有深刻的理解，并能够灵活的应用到题目中.方法三：圆幂定理的应用更多的提现了几何的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.9．【2021年新高考2卷】已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为F ，且． （1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F三点共线的充要条件是||MN =【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）由离心率公式可得a =2b ，即可得解；（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证MN 充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<，由直线与圆相切得221b k =+，联立直线与椭圆方=1k =±，即可得解. 【详解】（1）由题意，椭圆半焦距c =c e a ==a = 又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>，当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意；当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ， 必要性：若M ，N ，F三点共线，可设直线(:MN y k x =即0kx y -=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，解得1k =±，联立(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩可得2430x -+=，所以121234x x x x +=⋅=，所以MN 所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<即0kx y b -+=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，所以221b k =+，联立2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x kbx b +++-=， 所以2121222633,1313kb b x x x x k k -+=-⋅=++，所以MN ==化简得()22310k -=，所以1k =±，所以1k b =⎧⎪⎨=⎪⎩1k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩:MN y x =y x =-所以直线MN 过点F ，M ，N ，F 三点共线，充分性成立； 所以M ，N，F 三点共线的充要条件是||MN = 【点睛】 关键点点睛：解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.10．【2020年新课标1卷理科】已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.【答案】（1）2219x y +=；（2）证明详见解析.【解析】 【分析】（1）由已知可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G ，即可求得21AG GB a ⋅=-，结合已知即可求得：29a =，问题得解.（2）方法一：设()06,P y ，可得直线AP 的方程为：()039y y x =+，联立直线AP 的方程与椭圆方程即可求得点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，同理可得点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，当203y ≠时，可表示出直线CD 的方程，整理直线CD 的方程可得：()02043233y y x y ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭即可知直线过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭，命题得证. 【详解】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a +=>可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G∴(),1AG a =，(),1GB a =- ∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =∴椭圆方程为：2219x y +=（2）[方法一]：设而求点法 证明：设()06,P y ， 则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭. 同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭ 当203y ≠时，∴直线CD 的方程为：0022200002222000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++， 整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭ 整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭所以直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭． 故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．[方法二]【最优解】：数形结合设(6,)P t ，则直线PA 的方程为(3)9ty x =+，即930-+=tx y t ． 同理，可求直线PB 的方程为330--=tx y t ．则经过直线PA 和直线PB 的方程可写为(93)(33)0-+--=tx y t tx y t ．可化为()22292712180-+-+=txy txy ty ．④易知A ，B ，C ，D 四个点满足上述方程，同时A ，B ，C ，D 又在椭圆上，则有2299x y -=-，代入④式可得()2227912180--+=tytxy ty ．故()227912180⎡⎤--+=⎣⎦y t y tx t ，可得0y =或()227912180--+=t y tx t ．其中0y =表示直线AB ，则()227912180--+=t y tx t 表示直线CD ．令0y =，得32x =，即直线CD 恒过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭． 【整体点评】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.第二问的方法一最直接，但对运算能力要求严格；方法二曲线系的应用更多的体现了几何与代数结合的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.11．【2020年新课标2卷理科】已知椭圆C 1：22221x y a b +=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.【答案】（1）12；（2）221:13627x y C +=，22:12C y x =.【解析】 【分析】（1）求出AB 、CD ，利用43CD AB =可得出关于a 、c 的齐次等式，可解得椭圆1C 的离心率的值；（2）[方法四]由（1）可得出1C 的方程为2222143x y c c+=，联立曲线1C 与2C 的方程，求出点M 的坐标，利用抛物线的定义结合5MF =可求得c 的值，进而可得出1C 与2C 的标准方程. 【详解】（1）(),0F c ，AB x ⊥轴且与椭圆1C 相交于A 、B 两点， 则直线AB 的方程为x c =，联立22222221x cx y a b a b c =⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，则22b AB a =，抛物线2C 的方程为24y cx =，联立24x cy cx =⎧⎨=⎩，解得2x cy c =⎧⎨=±⎩，4CD c ∴=，43CD AB =，即2843b c a=，223b ac =，即222320c ac a +-=，即22320e e +-=，01e <<，解得12e =，因此，椭圆1C 的离心率为12； （2）[方法一]：椭圆的第二定义由椭圆的第二定义知20||=-MF e a x c，则有200||⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭a MF e x a ex c ，所以0152-=a x ，即0210=-x a ． 又由0||5=+=MF x c ，得052=-a x ． 从而21052-=-aa ，解得6a=． 所以3,6,6====c a b p ．故椭圆1C 与抛物线2C 的标准方程分别是2221,123627+==x y y x ．[方法二]：圆锥曲线统一的极坐标公式以(c,0)F 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．由（Ⅰ）知2a c =，又由圆锥曲线统一的极坐标公式2||1cos θ=-cMF ，得255cos θ=-c ，由132||11cos 2θ⨯=+c MF ，得3105cos θ=+c ，两式联立解得3c =． 故1C 的标准方程为2213627x y+=，2C 的标准方程为212y x =．[方法三]：参数方程由（1）知2,a c b ==，椭圆1C 的方程为2222143x yc c+=，所以1C 的参数方程为{x =2c ⋅cosθ,y =√3c ⋅sinθ（θ为参数），将它代入抛物线22:4C y cx =的方程并化简得23cos 8cos 30θθ+-=，解得1cos 3θ=或cos 3θ=-（舍去），所以sin θ=M的坐标为23⎛ ⎝⎭c ．又||5MF =，所以由抛物线焦半径公式有5+=M x c ，即253+=cc ，解得3c =． 故1C 的标准方程为2213627x y+=，2C 的标准方程为212y x =．[方法四]【最优解】：利用韦达定理由（1）知2a c =，b =，椭圆1C 的方程为2222143x yc c+=，联立222224143y cx x y c c ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得22316120x cx c +-=， 解得23x c =或6x c =-（舍去）， 由抛物线的定义可得25533cMF c c =+==，解得3c =. 因此，曲线1C 的标准方程为2213627x y+=，曲线2C 的标准方程为212y x =. 【整体点评】(2)方法一：椭圆的第二定义是联系准线与离心率的重要工具，涉及离心率的问题不妨考虑使用第二定义，很多时候会使得问题简单明了.方法二：圆锥曲线统一的极坐标公式充分体现了圆锥曲线的统一特征，同时它也是解决圆锥曲线问题的一个不错的思考方向.方法三：参数方程是一种重要的数学工具，它将圆锥曲线的问题转化为三角函数的问题，使得原来抽象的问题更加具体化.方法四：韦达定理是最常用的处理直线与圆锥曲线位置关系的方法，联立方程之后充分利用韦达定理可以达到设而不求的效果.12．【2020年新课标2卷文科】已知椭圆C 1：22221x y a b +=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．【答案】（1）12；（2）1C ：2211612x y +=，2C ： 28y x =. 【解析】 【分析】（1）根据题意求出2C 的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设,A C 在第一象限，运用代入法求出,,,A B C D 点的纵坐标，根据4||||3CD AB =，结合椭圆离心率的公式进行求解即可； （2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可； 【详解】解：（1）因为椭圆1C 的右焦点坐标为：(c,0)F ,所以抛物线2C 的方程为24y cx =，其中c 不妨设,A C 在第一象限，因为椭圆1C 的方程为：22221x ya b+=，所以当x c =时，有222221c y b y a b a +=⇒=±，因此,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a-；又因为抛物线2C 的方程为24y cx =，所以当x c =时，有242y c c y c =⋅⇒=±，所以,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||bAB a=，||4CD c =.由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⋅=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c =，b =，故22122:143x y C c c+=，所以1C 的四个顶点坐标分别为(2,0)c ，(2,0)c -，)，(0,)，2C 的准线为x c =-. 由已知得312c c c c +++=，即2c =.所以1C 的标准方程为2211612x y+=，2C 的标准方程为28y x =.【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力.13．【2020年新课标3卷理科】已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积． 【答案】（1）221612525x y +=；（2）52. 【解析】 【分析】（1）因为222:1(05)25x y C m m+=<<，可得5a =，b m =，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）方法一：过点P 作x 轴垂线，垂足为M ，设6x =与x 轴交点为N ，可得 PMB BNQ ≅△△，可求得P 点坐标，从而求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ 的面积. 【详解】 （1）222:1(05)25x y C m m +=<<∴5a =，b m =，根据离心率c e a ===，解得54m =或54m =-(舍)，∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=． （2）［方法一］：通性通法不妨设P ,Q 在x 轴上方，过点P 作x 轴垂线，垂足为M ，设直线6x =与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图||||BP BQ =，BP BQ ⊥， 90PMB QNB ∠=∠=︒，又90PBM QBN ∠+∠=︒， 90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=，∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=， 设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y +=， 可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或(3,1)-，①当P 点为(3,1)时，故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△，∴||||2MB NQ ==，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图(5,0)A -, (6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为d ===，根据两点间距离公式可得：AQ ==，∴APQ 面积为：1522⨯=； ②当P 点为(3,1)-时，故5+38MB ==，PMB BNQ ≅△△，∴||||8MB NQ ==，可得：Q 点为(6,8)，画出图象，如图(5,0)A -, (6,8)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为d ==根据两点间距离公式可得：AQ =∴APQ 面积为： 1522=，综上所述，APQ 面积为：52. ［方法二］【最优解】：由对称性，不妨设P ，Q 在x 轴上方，过P 作PE x ⊥轴，垂足为E ．设(6,0)D ，由题知，PEB BDQ ≌．故131p BP PE PEPE x QB BD ==⇒=⇒=±， ①因为(3,1),(5,0),(6,2)P A Q -，如图，所以，52APQAQDPEDQ PEAS SS S=--=．②因为(3,1),(5,0),(6,8)P A Q --，如图，所以52APQAQDPEDQ PEASSS S=--=．综上有52APQ S =△ ［方法三］：由已知可得()5,0B ，直线,BP BQ 的斜率一定存在，设直线BP 的方程为()5y k x =-，由对称性可设0k <，联立方程22(5),161,2525y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()22221161601625250k x k x k +-+⨯-=，由韦达定理得221625255116P k x k ⨯-=+，所以22805116P k x k -=+，将其代入直线BP 的方程得210116P ky k -=+，所以22280510,116116k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，则||BP = 因为BP BQ ⊥，则直线BQ 的方程为1(5)y x k=--，则16,,||Q BQ k ⎛⎫-== ⎪⎝⎭ 因为||||BP BQ ==422566810k k -+=， 即()()22641410k k --=，故2164k =或214k =，即18k =-或12k =-．当18k =-时，点P ，Q的坐标分别为(3,1),(6,8),||P Q PQ -=直线PQ 的方程为71093y x =+，点A 到直线PQ故APQ 的面积为1522=．当12k =-时，点P ，Q 的坐标分别为(3,1),(6,2),||P Q PQ =直线PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线PQ故APQ 的面积为1522．综上所述，APQ 的面积为52．［方法四］：由（1）知椭圆的方程为221612525x y +=，(5,0),(5,0)A B -．不妨设()00,P x y 在x 轴上方，如图．设直线:(5)(0)AP y k x k =+>．因为||||,BP BQ BP BQ =⊥，所以00||1,||5Q y BN y BM x ====-．由点P 在椭圆上得201612525x +=，所以209x =．由点P 在直线AP 上得()015k x =+，所以015k x k -=．所以2159k k -⎛⎫= ⎪⎝⎭，化简得216101k k =-． 所以0110155516k x k k k -⎛⎫-=--== ⎪⎝⎭，即(6,16)Q k ． 所以，点Q 到直线AP 的距离d ==又)0||5AP x ==+=．故115222APQSAP d =⋅==．即APQ 的面积为52．［方法五］：由对称性，不妨设P ，Q 在x 轴上方，过P 作PC x ⊥轴，垂足为C ，设(6,0)D ， 由题知PCB BDQ ≌，所以131p BP PC PCPC x QB BD ==⇒=⇒=±． （1）(3,1),(5,0),(6,2)P A Q -． 则221221115(||||)(||||)|82111|222APQSAP AQ AP AQ x y x y =⋅-⋅=-=⨯-⨯=． （其中()()1122,,,AP x y AQ x y ==）． （2）(3,1),(5,0),(6,8)P A Q --． 同理，221221115(||||)()|28111|222APQSAP AQ AP AQ x y x y =-⋅=-=⨯-⨯=． （其中()()1122,,,AP x y AQ x y ==） 综上，APQ 的面积为52．【整体点评】（2）方法一：根据平面几何知识可求得点P 的坐标，从而得出点Q 的坐标以及直线AQ 的方程，再根据距离公式即可求出三角形的面积，是通性通法；方法二：同方法一，最后通过面积分割法求APQ 的面积，计算上有简化，是本题的最优解；方法三：通过设直线BP 的方程()5y k x =-与椭圆的方程联立，求出点P 的坐标，再根据题目等量关系求出k 的值，从而得出点Q 的坐标以及直线AQ 的方程，最后根据距离公式即可求出三角形的面积，思想简单，但运算较繁琐；方法四：与法三相似，设直线AP 的方程:(5)(0)AP y k x k =+>，通过平面知识求出点P 的坐标，表示出点Q ，再根据距离公式即可求出三角形的面积；方法五：同法一，只是在三角形面积公式的选择上，利用三角形面积的正弦形式结合平面向量的数量积算出．14．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点()2,1A ． （1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．【答案】（1）22163x y +=；（2）详见解析.【解析】 【分析】（1）由题意得到关于,,a b c 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.（2）方法一：设出点M ，N 的坐标，在斜率存在时设方程为y kx m =+, 联立直线方程与椭。