圆周角和圆心角

圆周角和圆心角的定理圆周角和圆心角的定理，听起来有点高深莫测，其实也没那么复杂。

想象一下，你在公园里散步，看到一个大圆形的花坛，花坛有棵树。

树的影子就像个小圆心，而你和花坛边缘的距离就形成了一个大圆。

圆心角就是从树的影子到花坛边缘的角度，圆周角呢，就是你站在花坛边上，看着树的影子和花坛另一边的角度。

这个小故事其实就能说明，圆心角和圆周角之间的关系。

圆心角是指从圆心出发，指向圆周上两点的角度。

嘿，这就好比你从花坛中心看着两个花朵，瞧，那两朵花的方向和它们之间的距离就构成了一个圆心角。

然后，圆周角就有点意思了，站在圆周上看向同样的两朵花，形成的角度就是圆周角。

这里面有个小秘密哦，圆心角的大小恰好是圆周角的两倍。

是不是有点儿像“家有一老如有一宝”的道理？这个关系让人觉得很亲切，不是吗？说到这里，很多人可能会想，这样的理论有什么用呢？嘿，别小看这玩意儿。

圆周角和圆心角在我们的生活中其实到处可见。

比如，你在玩转盘游戏，那个转盘就是个大圆。

你转动的时候，转盘的某一部分会被划分成一个个区域，转动的角度就是个圆心角，而转盘上的箭头指向的每个区域的角度，就是圆周角。

想想看，玩得不亦乐乎的时候，这些角度就在你身边悄悄发挥着作用。

再说了，几何图形的美，圆形就是其中之一。

它是最对称的，最完美的。

有时候在学校，老师拿出圆规，跟你讲解如何画圆，那种感觉就像是打开了一扇新世界的大门。

你会发现，几何学里藏着无数有趣的秘密。

你可以用这些知识去解锁一些谜题，或者在生活中解决实际问题。

嘿，这就是圆周角和圆心角的魅力所在。

不仅如此，想象一下，当你在街上骑自行车，转弯的时候，其实你也在无形中用到了这些知识。

你身体的转动角度和车轮转动的角度，恰恰就是那圆心角和圆周角在发挥作用。

你骑得越顺，转弯的感觉就越流畅，嘿，真是一种乐趣！还有一个值得一提的例子是，航海中的导航。

船长们利用这些几何知识，计算出正确的航向，以确保船只不会迷失方向。

海上可是一片茫茫大海，圆心角和圆周角帮助他们保持在正确的航道上，真是了不起的智慧啊。

OABC第16讲 圆（二）知识要点梳理：一、圆心角的定义：如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．(∠AOB 是AB所对的圆心角)二、圆心角定理及推论：（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 （2）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．（3）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．三、圆周角的定义：如图所示，∠ACB 的顶点在圆周上，像这样的角叫做圆周角(∠ACB 是AB 所对的圆周角)． 四、圆周角的定理及推论：(1)定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半． (2)推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径． 五、圆的内接四边形对角互补，对角互补的四边形是圆的内接四边形经典例题：例1．如图，AB 是⊙O 的直径，∠DCB=30°，则∠ACD= °， ∠ABD= °例2、如图，OA 、OB 、OC 都是圆O 的半径，∠AOB=2∠BOC ．求证：∠ACB=2∠BACODC B ACA EFDO B例3、如图，AB 、CD 是⊙O 的直径，DF 、BE 是弦，且DF=BE 。

求证：∠D=∠B例4.四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BC=b ，AB=AC=AD=a ，求BD 的长．例5、如图，以△ABC 的一边AB 为直径作⊙O ，⊙O 与BC 边的交点恰好为BC 的中点D ，过点D 作AC DE ⊥,交AC 于点E ．连接OD 、OE （1）求证：DE ⊥OD ；（2）若AB=3DE ，且48=∆ABC S ,求OE 的长。

经典练习：一、选择题．1．如果两个圆心角相等，那么（ ）A ．这两个圆心角所对的弦相等B ．这两个圆心角所对的弧相等C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D ．以上说法都不对2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD ，则两条弧AB 与CD 关系是（ ）A ．AB =2CD B ．AB >CDC ．AB <2CD D ．不能确定 3．如图5，⊙O 中，如果AB =2AC ，那么（ ）．A ．AB=ACB ．AB=2AC C ．AB<2ACD ．AB>2ACOBA(5) 4．如图1，A 、B 、C 三点在⊙O 上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（ ）． A ．140° B ．110° C ．120° D ．130°OB2143OB(1) (2) (3) 5．如图2，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（ ） A ．∠4<∠1<∠2<∠3 B ．∠4<∠1=∠3<∠2C ．∠4<∠1<∠3<∠2D ．∠4<∠1<∠3=∠26．如图3，AD 是⊙O 的直径，AC 是弦，OB ⊥AD ，若OB=5，且∠CAD=30°，则BC 等于（ ）．A ．3B ．3C ．5-123D ．5二、填空题1．一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________．2．如图6，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE=3，则弦CE=________．3. 若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于 4．如图4，A 、B 是⊙O 的直径，C 、D 、E 都是圆上的点，则∠1+∠2=_______．•O BC21EDOBCOBACED(4) (5) (6)OA CDO BP 5．如图5，已知△ABC 为⊙O 内接三角形，BC=•1，∠A=•60°，则⊙O•半径为_______．三、解答题1．如图，在⊙O 中，C 、D 是直径AB 上两点，且AC=BD ，MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，M 、N 在⊙O 上． （1）求证：AM =BN ；（2）若C 、D 分别为OA 、OB 中点，则AM MN NB ==成立吗？OBAC D N M2．如图，以ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，分别交BC 、AD 于E 、F ，若∠D=65°，求BE 的度数和EF 的度数．BACEDF3.如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？4．如图，已知AB=AC ，∠APC=60° （1）求证：△ABC 是等边三角形．（2）若BC=4cm ，求⊙O 的面积．HGIOEDABCF30°B ANOMP OBACy xM5．如图，⊙C 经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A 与点B ，点A 的坐标为（0，4），M 是圆上一点，∠BMO=120°．（1）求证：AB 为⊙C 直径．（2）求⊙C 的半径及圆心C 的坐标．能力拓展1.如图所示，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上， ∠AMN=30°，点B 为劣弧AN 的中点，点P 是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值是（ ） A.2 B.1 C.2 D.222.已知在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点E,F 为BA 延长线上一点，连接EF,以EF 为直径的⊙O 经过点D,与CD 边交于点G.(1)求∠FDE; (2)判断四边形ACDF 是什么四边形，说明理由（3）若G 为CD 中点，①求证：FD=FI ②设AC =2m ，BD =2n ，求⊙O 的面积与菱形ABCD 的面积之比．ODBAC 课后巩固：1.如图所示，A 、B 、C 三点在圆O 上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（ ） A. 140° B. 110° C. 120° D. 130°2.如图所示，四边形ABCD 内接于圆O ，∠BCD=120°，则∠BOD=__________度。

圆周角圆心角定义
嘿，朋友们！今天咱来唠唠圆周角和圆心角。

你说这俩家伙像不像一对欢喜冤家呀！
咱先说说圆心角，它呀，就像是圆心这个“老大”派出的代表，那可是正儿八经地对着圆心呢！它的两条边就像是圆心伸出来的两只胳膊，大大方方地拥抱住了一段弧。

这圆心角的度数那可是明明白白的，多直接呀！
再看看圆周角，它可就调皮多啦！它呀，就像是在圆这个大舞台上到处乱窜的小精灵，随便找个地方就站住脚啦。

它的顶点在圆上，两边和圆相交，嘿，就这么独特！
你想想看，一个圆里那得有多少个圆周角呀，就跟一群小猴子似的，到处都是。

可别小瞧了这些圆周角，它们和圆心角之间可有奇妙的关系呢！就好像它们之间有着一种神秘的联系，等着我们去发现。

比如说，在同一个圆里，同一条弧所对的圆周角那可都是相等的哦！这就好比一群小伙伴，面对同一件事情都有着相同的反应。

而且呀，圆周角的度数还等于它所对弧上的圆心角度数的一半呢！这就好像圆周角是圆心角的小跟班，但又有着自己独特的地位。

咱再来打个比方，圆心角就像是舞台上的主角，光芒万丈，而圆周角呢，就是那些配角，但没有配角的衬托，主角也没法那么耀眼呀，对吧？它们相互配合，才能让这个圆的世界变得更加精彩有趣呢！
你说要是没有圆周角，这圆得多单调呀！只有圆心角在那孤孤单单地展示。

而有了圆周角，就好像给圆注入了无限的活力和生机。

所以呀，圆周角和圆心角这对“活宝”，在圆的世界里可是缺一不可呢！它们共同构成了圆的丰富多彩，让我们在数学的海洋里尽情遨游，去探索它们的奥秘，去感受它们带来的乐趣。

这就是圆周角和圆心角，它们是不是很有意思呀？。

同弧所对的圆周角和圆心角关系好吧，咱们今天聊聊同弧所对的圆周角和圆心角之间的关系。

听上去有点高大上的样子，但其实这玩意儿简单得很。

想象一下，圆就像一个大大的披萨，真的是好吃得让人流口水。

每个角就像披萨上的不同切片，切得好，大家都能享受。

而这个同弧，简单来说，就是同一块披萨上，两种不同的切法。

圆心角就像披萨的中心，指向那些食材的地方。

而圆周角嘛，就像披萨边上的小朋友，偷偷瞄着那些食材。

你看，虽然位置不同，但其实大家都在关注同一个东西。

是不是有点意思？我们再来深挖一下这两位主角的性格。

圆心角，哈哈，绝对是个主场掌控者。

它在圆心那里，权威得不得了。

这个角的大小跟所夹的弧成正比，越大的弧，它的角就越大，真是个显摆的家伙。

就像一个站在舞台的明星，所有的光都洒在它身上。

然后是圆周角，嘿嘿，它的日子也不差。

它就像个听众，坐在一边，听着圆心角的故事。

它的大小，嘿，你猜猜，竟然只跟那段弧的大小有关，和圆心的位置半毛钱关系都没有。

简直是个低调的王者，真让人羡慕。

说到这里，咱们再聊聊这两个角的具体关系。

圆心角和圆周角之间，有个黄金比例哦。

圆心角的大小是圆周角的两倍。

就像一对双胞胎，虽然一个高一个矮，但却是同一个基因。

有人可能会说，这么简单的关系，谁不会啊？可你可别小看这玩意儿，生活中可是常常用得着。

比如在设计一个花坛，或者在绘制地图的时候，这些角的关系可是相当重要的。

得好好把握住。

再说说这个同弧的意思吧。

想象一下，你跟朋友一起分享一块披萨，你吃一口，朋友也来一口。

虽然你们的位置不同，但依然是在分享同一个口味。

也就是说，不论你坐在哪个地方，所看到的都是同一块圆的风景。

没错，这就是同弧带来的乐趣。

数学里常常有这种奇妙的现象，角的关系往往让人惊讶。

就像在生活中，你可能没想到，原来身边的人和事也有着千丝万缕的联系。

还有一个有趣的现象就是，咱们在学习的时候，常常会遇到这种巧妙的关系。

记得我第一次听到这个知识点的时候，简直是惊呆了。

圆心角与圆周角复习一、知识梳理1、圆心角圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．1°圆心角所对的弧叫做1°的弧． n°的圆心角所对的弧就是n°的弧．2、圆心角的性质性质1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；相等的弦或相等的弧所对的圆心角相等．性质2：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等．如图所示，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，若下列四个等式：①∠AOB=∠COD；②AB=CD；③；④OE＝OF中有一个等式成立，则其他三个等式也成立，即：若①成立②，③，④成立；若②成立①，③，④成立；若③成立①，②，④成立；若④成立①，②，③成立．特别强调：(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等．(2)若无特殊说明，性质中“弧”一般指劣弧．3、圆周角(1)圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫做圆周角．(2)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．推论1：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等．4、重要结论：圆的内接四边形对角互补习题库 一．同弧（等弧）所对的圆周角相等； 同弧（等弧）所对的弦相等；同弧（等弧）所对的圆周角等于圆心角的一半；在处理角的问题时，除了要熟悉和圆相关的角的性质外，还要熟悉三角形角的性质、四边形角的性质，并能将这些性质进行综合应用。

(1)同弧与圆心角、圆周角的关系1.如图，点A 、B 、P 在⊙O 上，点P 为动点，要是△ABP 为等腰三角形，则所有符合条件的点P 有 个.2. 如图，ABC △内接于圆O ，50A =∠，60ABC =∠，BD 是圆O 的直径， BD 交AC于点E ，连结DC ，则AEB ∠= .3.如图，AB 是⊙O 的直径，弦DC 与AB 相交于点E ，若∠ACD=60°，∠ADC=50°，则∠ABD= ，∠CEB= .4．如图，△ABC 内接于⊙O ，点P 是C A上任意一点（不与C A 、重合），POC ABC ∠=∠则,55的取值范围是 ．(2)等弧与圆周角 1．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD ＝DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠DBE 相等的角有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5 个2.如图，已知AB 是半圆O 的直径，∠BAC=32º，D 是弧AC 的中点，那么∠DAC 的度数是（ ） A.25º B.29º C.30º D.32°3.如图，点D 是弧AC 的中点，则图中与∠ABD 相等的角的个数是（ ）。

圆周角和圆心角的区分?
疑点：圆周角和圆心角的区别与联系有哪些?
解析：圆心角：圆心角的顶点在圆心上。

如下图：∠AOB 是弧AB所对的圆心角。

圆周角：圆周角的顶点在圆上。

如下图：∠ACB是弧AB所对的圆周角。

注意：一条弧所对的圆心角只有一个，一条弧所对的圆周角却有无数个，但是它们的大小都相等。

重要结论： 1、同一条弧所对的圆心角等于圆周角的两倍。

如上图，圆心角∠AOB、圆周角∠ACB 是同一段弧AB所对的两个角，此时有：∠AOB=2∠ACB。

2、同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角等于90°。

如下图：
图1中：∠AB1C和∠AB2C都是弧AC所对的圆周角，此时有：∠AB1C=∠AB2C;
图2中：∠AB1C和∠AB2C均是直径AC所对的圆周角，此时有：∠AB1C=∠AB2C=90°;
结论：圆心角的顶点是圆心，圆周角的顶点在圆上。

同一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半。

索罗学院整理。

3·3圆周角和圆心角的关系1.圆周角定义：圆周角(angle in a circular segment)：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角．两个特征：(1)角的顶点在圆上；(2)两边在圆内的部分是圆的两条弦．2．圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，所对的圆周角都等于它所对的圆心角的一半．注意：(1)定理的条件是同一条弧所对的圆周角和圆心角，结论是圆周角等于圆心角的一半．(2)不能丢掉“一条弧所对的”而简单说成“圆周角等于圆心角的一半”．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．注意：(1)“同弧”指“同一个圆”．(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”．(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．3．直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．注意：这一推论应用非常广泛，一般地，如果题目的已知条件中有直径时，往往作出直径上的圆周角——直角：如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题．4.反证法：注意：用反证法证明命题的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立；(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾．(3)山矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．5.圆内角与圆外角：我们把顶点在圆内(两边自然和圆相交)的角叫圆内角(如图1．顶点在圆外并且两边都和圆相交的角叫圆外角(如图2)．定理：圆内角的度数，等于它所对弧的度数与它的对顶角所对弧的度数之和的一半．圆外角的度数，等于它的两边所夹两条弧的度数的差的一半．1.已知：⊙O 中，所对的圆周角是∠ABC ，圆心角是∠AOC ．求证：∠ABC ＝12AOC ． 【解析】证明：∠AOC 是△ABO 的外角，∴∠AOC ＝∠ABO ＋∠BAO ．∵OA ＝OB ，∴∠ABO ＝∠BAO ． ∴∠AOC ＝2∠ABO ．即∠ABC ＝12∠AOC ．如果∠ABC 的两边都不经过圆心(如下图)，那么结果怎样？特殊情况会给我们什么启发吗？你能将下图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决吗？如图(1)，点O 在∠ABC 内部时，只要作出直径BD ，将这个角转化为上述情况的两个角的和即可证出．由刚才的结论可知：∠ABD ＝12∠AOD ，∠CBD ＝12∠COD ， ∴∠ABD ＋∠CBD ＝12(∠AOD ＋∠COD)，即∠ABC ＝12∠AOC ．在图(2)中，当点O 在∠ABC 外部时，仍然是作出直径BD ，将这个角转化成上述情形的两个角的差即可．由前面的结果，有 ∠ABD ＝12∠AOD ，∠CBD ＝12∠COD ．∴∠ABD －∠CBD ＝12(∠AOD －∠COD)，即∠ABC＝12∠AOC．2.如图示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系?为什么?[分析]由于AB是⊙O的直径，故连接AD．由推论直径所对的圆周角是直角，便可得AD⊥BC，又因为△ABC中，AC＝AB，所以由等腰三角形的二线合一，可证得BD=CD．【解析】BD=CD．理由是：连结AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．即AD⊥BC．又∵AC＝AB,∴BD＝CD．3．为什么有些电影院的坐位排列(横排)呈圆弧形？说一说这种设计的合理性．【解析】有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等．4．如下图，哪个角与∠BAC相等?【解析】∠BDC＝∠BAC．5. 如下图，⊙O的直径AB＝10 cm，C为⊙O上的一点，∠ABC＝30°，求AC的长．【解析】∵AB为⊙O的直径．∴ACB=90°．又∵∠ABC=30°， ∴AC=21AB=21×10=5(cm)． 6．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形，根据下图，你能判断哪个是半圆形?为什么?【解析】图(2)是半圆形、理由是：90°的圆周角所对的弦是直径．7.船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁，如下图，A 、B 表示灯塔，暗礁分布在经过A 、B 两点的一个圆形区域内，C 表示一个危险临界点，∠ACB 就是“危险角”．当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，就能避免触礁．(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么? (2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么? 分析：这是一个有实际背景的问题，由题意可知：“危险角” ∠ACB 实际上就是圆周角，船P 与两个灯塔的夹角为∠α，P 有可能在⊙O 外，P 有可能在⊙O 内，当∠α＞∠C 时，船位于暗礁区域内；当∠α＜∠C 时，船位于暗礁区域外，我们可采用反证法进行论证． 【解析】(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角” ∠C 时，船位于暗礁区域内(即⊙O 内)，理由是：连结BE ，假设船在(⊙O 上，则有∠α=∠C ，这与∠α＞∠C 矛盾，所以船不可能在⊙O 上；假设船在⊙O 外，则有∠α＜∠AEB ，即∠α＜∠C ，这与∠α＞∠C 矛盾，所以船不可能在⊙O 外．因此．船只能位于⊙O 内．(2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”∠C时，船位于暗礁区域外(即⊙O 外)．理由是：假设船在⊙O上，则有∠α＝∠C，这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O内，则有∠α>∠AEB，即∠α>∠C．这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O内，因此，船只能位于⊙O外．8.如图，已知在⊙O中，直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D．求BC、AD和BD的长．分析：由AB为直径，知∠ACB=90°，又AC、AB已知，可由勾股定理求BC．又∠ADB=90°，AD=DB，由勾股定理可求AD、BD．【解析】∵AB为直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，又∵AB＝10cm，AC＝6cm，又∵CD是∠ACB的平分线，∠ACD=∠DCB，∴AD=DB．在 Rt∠ADB中，9.已知AB是⊙O的直径，AE是弦，C是的中点，CD⊥AB于D，交AE于F，CB交AE于G．求证：CF=FG．分析：如图7—107，要证CF=FG，只需证∠FCG=∠FGC．由已知，∠FCG与∠B互余．如果连结AC，∠ACB=90°．∠FGC与∠CAG互余．【解析】证明：连结AC，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∠FGC=90°-∠CAE．又∵CD⊥AB于D，∠FCG=90°-∠B，∴∠FGC=∠FCG．因此，CF=FG．10.如图，AB 是⊙O 的直径.(1)若OD ∥AC ，的大小有什么关系？为什么？(2)把(1)中的条件和结论交换一下，还能成立吗？说明理由. 【解析】(1)=延长DO 交⊙O 于E . ∵AC∥OD , ∴=. ∵∠1=∠2, ∴=. ∴=.(2)仍成立，延长DO 交⊙O 于点E ，连结AD . ∵=，=, ∴=. ∴∠3=∠D . ∴AC ∥OD .11.如图，⊙O 上三点A 、B 、C ，AB =AC ，∠ABC 的平分线交⊙O 于点E ，∠ACB 的平分线交⊙O 于点F ，BE 和CF 相交于点D ，四边形AFDE 是菱形吗？验证你的结论.【解析】四边形AFDE 是菱形.证明：∵∠ABC=∠ACB, ∠ABE=∠EBC=∠ACF=∠FCB. 又∠FAB ，∠FCB 是同弧上的圆周角, ∴∠FAB=∠FCB ，同理∠EAC=∠EBC. 有∠FAB=∠ABE=∠EAC=∠ACF.∴AF ∥ED ，AE ∥FD 且AF=AE. ∴四边形AFDE 是菱形.12.如图是一大型圆形工件被埋在土里而露出地表的部分.为推测它的半径，小亮同学谈了他的做法：先量取弦AB 的长，再量中点到AB 的距离CD 的长，就能求出这个圆形工件的半径.你认为他的做法合理吗？如不合理，说明理由；如合理，请你给出具体的数值，.BDCABD【解析】小亮的做法合理.取AB=8 m ，CD=2 m, 设圆形工件半径为r, ∴r 2=(r －2)2+42. 得r=5(m).13.如图，现需测量一井盖(圆形)的直径，但只有一把角尺(尺的两边互相垂直，一边有刻度，且两边长度都长于井盖的半径)，请配合图形，用文字说明测量方案，写出测量的步骤.(要求写出两种测量方案)【解析】方案1：使角尺顶点在圆上，角尺两边与圆两交点连接就是圆的直径，用刻度尺量出直径.方案2：任画圆的一条弦，用尺量出弦的中点，利用角尺过弦中点做弦的垂线，垂线与圆的两交点间的线段为圆的直径.14.如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB ⊥CD . (1)P 是上一点(不与C 、D 重合)，求证：∠CPD =∠COB .(2)点P ′在劣弧CD 上(不与C 、D 重合)时，∠CP′D 与∠COB 有什么数量关系？请证明你的结论.【解析】(1)证明：连结OD, ∵AB 是直径，AB ⊥CD, ∴=.∴∠COB=∠DOB=21∠COD. 又∵∠CPD=21∠COD, ∴∠CPD=∠COB. (2)∠CP ′D 与∠COB 的数量关系是：∠CP ′D+∠COB=180°.证明：∵∠CPD+∠CP ′D=180°，∠COB=∠CPD, ∴∠CP ′D+∠COB=180°15.(9分)已知，如图20，AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,连接AC,过点C 作直线CD ⊥AB 于D(AD<DB),点E 是DB 上任意一点(点D 、B 除外)，直线CE 交⊙O 于点F,连接AF 与直线CD 交于点G.(1)求证：AC 2=AG ·AF ;(2)若点E 是AD (点A 除外)上任意一点，上述结论是否仍然成立？若成立，请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由.B【解析】(1)证明：连接CB ，∵AB 是直径，CD ⊥AB , ∴∠ACB =∠ADC =90°. ∴Rt △CAD ∽Rt △BAC . ∴得∠ACD =∠ABC . ∵∠ABC =∠AFC , ∴∠ACD =∠AFC . ∴△ACG ∽△ACF . ∴ACAF AG AC . ∴AC 2=AG ·AF . (2)当点E 是AD (点A 除外)上任意一点，上述结论仍成立 ①当点E 与点D 重合时，F 与G 重合, 有AG =AF ，∵CD ⊥AB ，∴=, AC =AF . ∴AC 2=AG ·AF .②当点E 与点D 不重合时(不含点A )时，证明类似①.。

弦所对的圆周角和圆心角的关系1. 引言大家好，今天咱们来聊聊一个看似有点儿高深、其实很简单的几何概念，那就是弦所对的圆周角和圆心角的关系。

听起来是不是有点儿复杂？别担心，我们慢慢来，肯定能把这个“圆”搞明白。

首先，咱们得了解这两个概念，顺便给大家普及一下，让你在下次喝茶聊天时也能来一句“你知道圆周角和圆心角的关系吗？”绝对能让朋友们刮目相看！1.1 圆心角的定义好，咱们先从圆心角说起。

圆心角，顾名思义，就是以圆心为顶点，连接圆上两点的角。

想象一下，你在圆心位置，像个“老大”，一手指向圆周上的A点，另一手指向B 点，然后就形成了一个“心”的角度。

这个角度的大小，基本上就是这两条线和圆心之间的“角斗”结果。

嘿，听起来是不是很酷？这就像你和朋友之间比拼谁的手机拍照更好，看谁的角度更完美。

1.2 圆周角的定义接着，咱们聊聊圆周角。

圆周角和圆心角的区别可大了！圆周角的顶点在圆的边缘，而不是圆心。

它是由两条弦的延长线形成的角度。

想象一下，你在海边，看到两条长长的沙滩，跟朋友说：“你看，这两个地方的海水都很漂亮！”然后你伸出手，想要把两个地方连起来，这样形成的角度就是圆周角。

虽然不那么显眼，但它的存在可一点也不简单。

2. 它们之间的关系说到这儿，大家可能会问：“这两个角到底有什么关系呢？”别急，接下来就是重点了！其实，弦所对的圆周角恰好等于相应的圆心角的一半。

简单来说，就是圆心角大，圆周角小。

就像在家里吃饭，你爸妈给你做了一个大份的菜，你能吃的部分就得少一些。

哎，这就叫“量入为出”嘛！2.1 数学公式所以，数学上我们可以用公式表示出来：圆周角 = 圆心角 / 2。

是不是简单明了？这个公式就像是一把钥匙，打开了圆心角和圆周角之间的秘密。

记住这句话，下次在考试时可别忘了！2.2 实际应用那么，这个关系有什么用呢？当然有了！在生活中，尤其是建筑设计和艺术创作中，我们常常需要用到这两种角度。

比如说，画一个大圆时，你需要确定一些关键点，这时候就得运用圆心角和圆周角的关系。

九年级数学圆周角和圆心角知识点引言：数学作为一门博大精深的学科，其中的几何知识在我们的日常生活中无处不在。

而在九年级数学学习中，圆周角和圆心角是我们必须理解和掌握的重要概念之一。

本文将深入探讨九年级数学中的圆周角和圆心角知识点，希望能够为同学们的学习提供一些帮助。

一、圆周角圆周角是指一个图形所对的圆的圆周上的一部分，以弧所对的角叫做圆周角。

我们可以通过弧所对的圆心角来计算圆周角的大小。

假设圆的半径为r，圆弧对应的圆心角为θ（弧度制），那么圆周角的度数就是θ的度数。

例如，当θ为π/2时（即90度），圆周角也是90度。

圆周角的度数取决于其对应的圆心角的度数大小，换言之，圆周角可以看作是圆心角对应弧的一种度数表示。

二、圆心角圆心角是指圆周上任意两点连线与定点所夹的角，定点即为圆心。

通过圆心角的大小，我们可以判断出对应弧的长短和角的大小。

圆周上的所有圆心角的和等于360度，这是因为360度对应于一整个圆周。

根据圆心角的大小，我们可以将其分为三类：锐角、直角和钝角。

如果一个圆心角的度数小于90度，则称之为锐角；如果一个圆心角的度数等于90度，则称之为直角；如果一个圆心角的度数大于90度但小于180度，则称之为钝角。

三、圆周角和圆心角的关系圆周角和圆心角有着密切的联系。

首先，同一个圆弧所对应的圆心角和圆周角的度数相等。

这是因为，圆周角可以看作是圆心角对应的弧的度数表示。

其次，同一个圆的圆周角之和等于360度。

这是由圆心角之和等于360度所决定的。

另外，当两个圆心角的度数相等时，它们所对应的圆周角的度数也是相等的。

四、常见的圆周角和圆心角问题在九年级数学学习中，我们经常会遇到一些与圆周角和圆心角相关的问题。

下面我们来讨论一些常见的问题类型。

问题类型一：已知圆心角的度数，求圆周角的度数。

根据前文的介绍，我们可以直接通过圆心角的度数来确定圆周角的度数。

例如，当圆心角的度数为120度时，对应的圆周角的度数也为120度。