“不定积分的概念与性质”教案

第22课不定积分的概念与性质积表达式，x称为积分变量，C称为积分常数．由以上定义可知，若()()F x f x'=，则有()d()f x x F x C=+⎰．求2dx x⎰．解由于323xx'⎛⎫=⎪⎝⎭，即33x是2x的一个原函数，因此231d3x x x C=+⎰．（例2、例3详见教材）【学生】理解原函数和不定积分的定义第二节课讲授新课（22 min）【教师】通过图形介绍不定积分的几何意义当积分常数C取不同值时，不定积分表示的不是一个函数，而是一族函数．从几何上看，它们代表一族曲线，称为函数()f x的积分曲线族，如图5-11所示．图5-11积分曲线族具有以下两个显著的特点：（1）积分曲线族中所有的曲线都可以由其中任意一条曲线沿着y轴的方向上下平移得到；（2）对应同一横坐标x的点，其所有切线互相平行．【教师】介绍13个基本积分公式和不定积分的性质，并通过例题讲解基本积分公式的运用在导数知识的基础上，我们可以利用积分与导数互为逆运算的性质得到以下一些常用的积分公式．（1）d k x kx C=+⎰；（2）11d(1)(1)n nx x x C nn+=+≠-+⎰；学习不定积分的几何意义和性质，基本积分公式及其应用。

边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化例1（3）1d ln ||x x C x=+⎰；（4）1d ln x xa x a C a=+⎰； （5）e d e x x x C =+⎰；（6）cos d sin x x x C =+⎰； （7）sin d cos x x x C =-+⎰；（8）221d sec d tan cos x x x x C x==+⎰⎰； （9）221d csc d cot sin x x x x C x==-+⎰⎰；（10）sec tan d sec x x x x C =+⎰； （11）csc cot d csc x x x x C =-+⎰；（12）21d arcsin 1x x C x =+-⎰；（13）21d arctan 1x x C x =++⎰．注：以上13个公式为积分常用公式，请熟记． 不定积分的性质如下： （1）被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号前面，即()d ()d kf x x k f x x =⎰⎰ (0k ≠)．（2）两个函数代数和的不定积分等于这两个函数不定积分的代数和，即1212[()()]d ()d ()d f x f x x f x x f x x ±=±⎰⎰⎰．性质（2）可以推广到任意有限多个函数代数和的情形．求221sin d 1x x x x ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭⎰．解 222211sin d d sin d d 11x x x x x x x x x x ⎛⎫+-=+- ⎪++⎝⎭⎰⎰⎰⎰ 31cos arctan 3x x x C =--+．（例5～例11详见教材）例4。

第一节 不定积分的概念与性质教学目的：使学生了解原函数与不定积分的概念，了解不定积分的性质。

教学重点：原函数与不定积分的概念。

教学难点：原函数的求法。

教学内容：一、原函数与不定积分的概念定义1 如果对任一I x ∈，都有)()(x f x F =' 或 dx x f x dF )()(=则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的原函数。

例如：x x cos )(sin ='，即x sin 是x cos 的原函数。

2211)1ln([x x x +='++，即)1ln(2x x ++是211x +的原函数。

原函数存在定理：定理：如果函数)(x f 在区间I 上连续，则)(x f 在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数)(x F ，使得对任一I x ∈，有)()(x f x F ='。

评注：⑴如果)(x f 有一个原函数，则)(x f 就有无穷多个原函数。

设)(x F 是)(x f 的原函数，则)(])([x f C x F ='+，即C x F +)(也为)(x f 的原函数，其中C 为任意常数。

⑵如果)(x F 与)(x G 都为)(x f 在区间I 上的原函数，则)(x F 与)(x G 之差为常数，即C x G x F =-)()( （C 为常数）⑶ 如果)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数，则C x F +)(（C 为任意常数）可表达)(x f 的任意一个原函数。

定义2 若函数F (x ),是f (x ) 在区间I 上,的一个原函数，则表达式()F x C +（其中C 为任意常数）称为()f x 在区间I 上的不定积分, 记作⎰dx x f )(. 其中⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 称为积分变量。

例1：因为 23)3(x x ='， 得 ⎰+=C x ds x 332例2：因为，0>x 时，x x 1)(ln ='；0<x 时，xx x x 1)(1])[ln(='--='-，得 x x 1)||(ln ='，因此有⎰+=C x dx x||ln 1例3：设曲线过点)2,1(，且其上任一点的斜率为该点横坐标的两倍，求曲线的方程。

不定积分的概念教案Lesson Plan on the Concept of Indefinite Integral教学目标：1.了解不定积分的基本概念及意义。

2.掌握不定积分的符号表示和性质。

3.学会计算基本的不定积分。

教学内容：Introduction:In this lesson, we will introduce the concept of indefinite integral and understand its significance.We will also explore the notation and properties of indefinite integrals.引入：本节课我们将介绍不定积分的基本概念及其意义。

我们将探讨不定积分的符号表示和性质。

Section 1: Definition and Significance of Indefinite Integral1.1 Definition:An indefinite integral of a function f(x) is a function whose derivative is f(x), and it is denoted by ∫f(x)dx.The process of finding an indefinite integral is called antiderivative.1.2 Significance:Indefinite integrals play a crucial role in calculus.They are used tosolve problems involving area, volume, and accumulation.They also provide the foundation for calculating definite integrals, which are used to find exact values of functions.1.1 定义：函数f(x)的不定积分是一个导数为f(x)的函数，用符号∫f(x)dx表示。

不定积分教案范文一、教学目标：1.熟练掌握不定积分的概念和性质。

2.能够运用基本积分公式求不定积分。

3.能够运用换元法、分部积分法、有理函数积分法等方法求解不定积分。

4.能够运用不定积分的性质解决实际问题。

二、教学内容：1.不定积分的基本概念和性质。

2.基本积分公式及其运用。

3.换元法求不定积分。

4.分部积分法求不定积分。

5.有理函数积分法求不定积分。

6.不定积分的应用。

三、教学过程：1.不定积分的基本概念和性质：不定积分是微积分中的重要内容，是函数的一个全体定义域上的原函数集合。

具体来说，设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，则函数 F(x)在区间 [a, b] 上的不定积分是 f(x) 的一个原函数，记作∫f(x)dx=F(x)+C，其中 F(x) 称为 f(x) 的一个原函数，C 为任意常数。

不定积分具有以下性质：（1）积分的线性性质：∫[af(x)+bg(x)]dx=a∫f(x)dx+b∫g(x)dx；（2）积分和求导的逆关系：如果F(x)是f(x)的一个原函数，则F'(x)=f(x)；（3）换元积分法：设 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，g(x) 是可导函数，则∫f[g(x)]g'(x)dx=F[g(x)]+C；（4）分部积分法：设 F(x) 和 G(x) 分别是 f(x) 和 g(x) 的原函数，则∫f(x)g'(x)dx=F(x)g(x)-∫F'(x)g(x)dx。

2.基本积分公式及其运用：（1）常数函数积分：∫kdx=kx+C，其中 k 为常数。

（2）幂函数积分：∫x^n dx=(n+1)x^(n+1)/(n+1)+C，其中 n 为任意实数，n ≠ -1（3）指数函数积分：∫e^xdx=e^x+C。

（4）三角函数积分：a. ∫sinxdx=-cosx+C；b. ∫cosxdx=sinx+C。

（5）倒数函数积分：∫1/xdx=ln，x，+C。

微积分不定积分教案一、教学目标1. 理解不定积分的概念和物理意义。

2. 掌握基本积分公式和积分方法。

3. 能够运用不定积分解决实际问题。

二、教学内容1. 不定积分的定义和性质。

2. 基本积分公式：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的积分。

3. 换元积分法：代数换元、三角换元。

4. 分部积分法。

5. 积分在物理、经济学等领域的应用。

三、教学重点与难点1. 重点：不定积分的概念、性质和基本积分公式。

2. 难点：换元积分法、分部积分法的运用。

四、教学方法与手段1. 采用讲授法，讲解不定积分的概念、性质和积分方法。

2. 利用多媒体课件，展示积分过程和应用实例。

3. 引导学生通过讨论、练习，巩固所学知识。

五、教学安排1. 第一课时：介绍不定积分的定义、性质和基本积分公式。

2. 第二课时：讲解换元积分法。

3. 第三课时：讲解分部积分法。

4. 第四课时：举例分析不定积分在实际问题中的应用。

5. 第五课时：课堂练习和总结。

六、教学评估1. 课堂练习：布置相关的不定积分题目，检查学生对基本积分公式和积分方法的掌握程度。

2. 课后作业：布置综合性的不定积分题目，要求学生在课后完成，以检验学生对课堂内容的理解和应用能力。

3. 课堂讨论：鼓励学生积极参与课堂讨论，提问和解答问题，评估学生对不定积分概念的理解和分析问题的能力。

七、教学资源1. 教材：选用权威的微积分教材，提供系统的理论知识。

2. 多媒体课件：制作精美的多媒体课件，通过图像、动画等形式展示积分过程，增强学生的直观理解。

3. 练习题库：整理一套丰富的练习题库，包括不同难度层次的题目，以满足不同学生的学习需求。

4. 应用案例：收集一些实际问题，用于讲解不定积分在实际中的应用。

八、教学建议1. 强化基础知识：在学习不定积分之前，确保学生掌握了函数、极限、导数等基本概念，以便能够顺利理解不定积分的性质和计算方法。

2. 逐步引导：从简单的积分公式开始，逐步引导学生掌握更复杂的积分方法，避免一开始就给出复杂的公式和方法，让学生能够逐步建立信心。

第四章 不定积分§4-1 不定积分的概念与性质一、不定积分的概念1.原函数定义定义1：如果在区间I 上，可导函数()F x 的导数为()f x ，即对任一xI ，都有()()F x f x 或()()dF x f x dx ，则称()F x 为()f x 在区间I 上的一个原函数。

例：(sin )cos x x ，则sin x 是cos x 的一个原函数；1(sin 1)(sin )(sin 3)cos 2x xx x ，则都是cos x 的原函数。

2.原函数性质定理1：如果()f x 在区间I 上连续，则在该区间原函数一定存在。

定理2：如果()F x 是()f x 的一个原函数，则()F x C 是()f x 的全体原函数，且任一原函数与()F x 只差一个常数。

例：验证2211cos 2,sin 2,cos 233x x x 都是sin 2x 的原函数 证：2211(cos 2)sin 233(sin 2)sin 2(cos 2)sin 2x x x x xx，则三个函数都是sin 2x 的原函数3.不定积分定义定义2：()f x 的全体原函数称为()f x 的不定积分，记作()f x dx ，其中称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 称为积分变量。

说明：如果()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，则()F x C 就是()f x 的不定积分，即()()f x dxF x C例1：求23x dx解：因为32()3x x ，所以3x 是23x 的一个原函数则233x dx x C例2：求1dx x解：当0x时，1(ln )x x当0x 时，11ln()x xx 所以1 ln ||(0)dx x C xx4.不定积分几何意义在相同横坐标的点处切线是平行的，切线斜率都为()f x ，可由()yF x 沿y 轴平移得到。

例：一条积分曲线过点(1,3)，且平移后与231y x x 重合，求该曲线方程解：设2()31f x x x C由于曲线过(1,3) 则3131C ，2C2()31f x xx二、不定积分性质性质1：[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx性质2：()(0)()0(0)kf x dx k kf x dxdxC k性质3：(())(),()()f x dx f x f x dx f x C三、基本积分表(1)kdx kx C (k 是常数) (2)111ααx dxx C α(3)1ln ||dx x C x (4)x xe dx e C (5)ln x xa a dxC a(6)sin cos xdxxC(7)cos sin xdx x C (8)221sec tan cos dx xdx x C x(9)221csc cot sin dx xdx x C x (10)sec tan sec x xdx xC(11)csc cot csc x dx xC (12)21arctan 1dxx C x(13)21arcsin 1dx x C x例1：求51dx x解：55154111514dx x dxx CC x x例2：求x xdx解：313522223512x x xdx x dxCx C例3：求3(sin )xx dx解：433(sin )sin cos 4x x x dx xdxx dxxC例4：求2(1)x dx x解：22(1)211(2)x x x dx dx x dx xx x2122ln ||2x xdx dxdx xx C x注：根式或多项式函数需化成αx 形式，再利用公式。

第一节 不定积分的概念与性质一．原函数与不定积分的概念1.原函数的概念引例 设x x f cos )(=',求)(x f . 解 因为x x cos )(sin =',所以c x x f +=sin )(.此时称x sin 为x cos 的一个原函数.定义 如果在区间I 上,可导函数)(x F 的导函数为)(x f ,即I x ∈∀,有 )()(x f x F =' (或dx x f x dF )()(=)则称)(x F 为)(x f (或))(dx x f 在区间I 上的一个原函数.如x arctan 是211x +的原函数;211x +是)1ln(2x x ++的原函数.什么样的函数具有原函数呢?有定理(原函数存在定理) 连续函数必有原函数.即如果函数)(x f 在区间I 上连续,则在区间I 上存在可导函数)(x F ,使得对I x ∈∀,有 )()(x f x F ='即)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数.其证明见289P . 注意 (1)由原函数的定义可知:如果)(x F 为)(x f 在区间I 上的原函数,则C x F +)(也是)(x f 的原函数,即)(x f 若有原函数,则)(x f 有无限多个原函数.(2)设)(x F 和)(x Φ都是)(x f 在区间I 上的原函数,则)(x F =C x +Φ)(.事实上 0)()()()(])()([=-=Φ'-'='Φ-x f x f x x F x x F所以)(x F C x =Φ-)(,即)(x F =C x +Φ)(.2.不定积分的概念 定义 在区间I 上, )(x f 的原函数的全体,称为)(x f (或))(dx x f 在区间I 上的不定积分,记作⎰dx x f )(.其中:‘⎰’——积分符号; )(x f ——被积函数;dx x f )(—被积表达式;x ——积分变量.显然,如果)(x F 是)(x f 的一个原函数,则 ⎰dx x f )(C x F +=)(.因此,求)(x f 的不定积分归结于求)(x f 的一个原函数)(x F .如x arctan 是211x +的一个原函数,所以 ⎰+=+C x dx x arctan 112. 又如211x +是)1ln(2x x ++的一个原函数,则=+⎰dx x 211C x x +++)1ln(2.例1 求⎰dx x 1.解 当),0(+∞∈x 时,x x 1)(ln =',所以C x dx x +=⎰ln 1. 当)0,(-∞∈x 时, x x 1])[ln(='-,所以C x dx x +-=⎰)ln(1. 综上,有 C x dx x +=⎰ln 1.例2 设,2cos )(sin x x f ='求)(x f .解 ,c o s 21)(s i n 2x x f -='故221)(t t f -='.因为 2321)32(t t t -='- 所以332t t -是221t -的一个原函数,故 ⎰+-=-C t t dt t 3232)21( 即)(x f =C x x +-332. 例3 设曲线过点)2,1(,且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解 设曲线方程为)(x f y =,则x dxdy 2=. 所以C x y +=2.又2|1==x y ,所以C +=12,从而1=C .故所求曲线方程为12+=x y .3.不定积分与微分的关系(1)⎰=dx x f dx x f d )()( 或⎰=')(])([x f dx x f ; (2)⎰+=C x F x dF )()( 或⎰+='C x F dx x F )()(. 即先积后微,形式不变;先微后积,添个常数.二.基本积分表1.⎰+=C kx kdx (k 是常数);2.⎰++=+C x dx x 111μμμ (1-≠μ); 3. C x dx x +=⎰ln 1; 4. ⎰+=+C x dx x arctan 112; 5.⎰+=-C x dx x arcsin 112; 6.⎰+=C x xdx sin cos ;7.⎰+=C x xdx cos sin ; 8.⎰⎰+==C x xdx dx x tan sec cos 122; 9.⎰⎰+-==C x xdx dx x cot csc sin 122;10.⎰+=C x xdx x sec tan sec ;11.⎰+-=C x xdx x csc cot csc ; 12.⎰+=C e dx e x x ; 13.⎰+=C a a dx a x x ln ; 14.⎰+=C chx shxdx ;15.⎰+=C shx chxdx .例4 ⎰⎰+==C x dx x dx x x 2725272.三.不定积分的性质性质1 ⎰⎰⎰+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([. 性质2 ⎰⎰=dx x f k dx x kf )()( (k 是常数).例5 求dx xx ⎰-23)1(. 解 原式⎰⎰⎰⎰⎰-+-=-+-=dx xdx x dx xdx dx x x x 221133)133( C xx x x +++-=1ln 3322. 例6 ⎰⎰++=+==C e C e e dx e dx e xx x x x x 12ln 2)2ln()2()2(2. 例7 ⎰⎰⎰++=+++=+++dx x x dx x x x x dx x x x x )111()1()1()1(122222 ⎰⎰++=++=C x x dx x dx x arctan ln 1112. 例8 ⎰⎰⎰++-=++-=+dx xx dx x x dx x x )111(11)1(1222424 C x x x ++-=arctan 313.例9 ⎰⎰+-=-=C x x dx x xdx tan )1(sec tan 22.例10 ⎰⎰⎰+-=-=-=C x x dx x dx x dx x )sin (21)cos 1(212cos 12sin2. 例11 ⎰⎰⎰+-====C x xdx dx x dx x x cot 4csc 4sin 142cos 2sin 12222.例12 ⎰⎰⎰+=+=dx x x dx x x x x dx x x )sec (csc sin cos sin cos sin cos 122222222C x x +-=cot tan .。