一类非自治二阶差分方程的周期解

一类二阶边值系统周期解的存在性石义霞;吴英颖;周旭【摘要】利用极小作用原理在次线性条件下证明了非自治的二阶 Hamilton系统以及推广的二阶 Hamilton系统周期解的存在性.【期刊名称】《湛江师范学院学报》【年(卷),期】2007(028)003【总页数】4页(P7-10)【关键词】周期解;二阶系统;Sobolev不等式;Wirtinger不等式【作者】石义霞;吴英颖;周旭【作者单位】湛江师范学院,数学与计算科学学院,广东,湛江,524048;湛江师范学院,数学与计算科学学院,广东,湛江,524048;湛江师范学院,数学与计算科学学院,广东,湛江,524048【正文语种】中文【中图分类】O175.120 引言考虑二阶微分系统(1)其中T>0,F:[0,T]×RN→R,其中R满足条件(A): F(t,x)对于每个x∈RN关于t是可测的，a.e.t∈[0,T]关于x是可连续可微的,且存在a∈C(R+,R+),b∈L1([0,T];R+)使得|F(t,x)|≤a(|x|)b(t),|F(t,x)|≤a(|x|)b(t)对所用变分法研究二阶系统就是将求方程组(1)的解的问题转化为求泛函Ø在Hilbert空间中的临界点的问题.考虑推广的二阶Hamiliton系统(2)其中A为一反对称矩阵,且‖A‖<1.则用变分法研究二阶系统(2)就是将求方程组(2)的解的问题就可转化为求泛函在Hilbert空间中的临界点的问题(证明见[1]),其中:绝对连续，具有范数对于系统(1)文献利用极小作用原理已在次二次[5],强制[2], 次可加[4]等若干条件下, 讨论了周期解存在性.本文主要在次线性条件下利用极小作用原理获得系统(1)和(2)的周期解的存在性.1 主要结果定理1 假设F(t,x)=F1(t,x)+F2(t,x),F1(t,x),F2(t,x)满足条件(A),F1(t,x)满足: 当|x|→∞时,F1(t,x)dt→∞(3)F1(t,x)满足：存在h(t)∈L1(0,T;R+)，使得存在f,g∈L1(0,T;R+)及α∈[0,1],使得F1(t,x)对a.e.t∈[0,T]关于x是凸的;|F2(t,x)|≤f(t)|x|α+g(t),(4)对于所有x∈RN和a.e.t∈[0,T]成立，且有(5)则系统(1)在空间中至少有一个解使得Ø达到极小值.注所谓次线性条件是指对系统(1)中的非线性项F(t,x)关于空间变量x是次线性增长的,即存在f,g∈L1(0,T;R+)及α∈[0,1],使得|F(t,x)|≤f(t)|x|α+g(t)对于所有x∈RN和a.e.t∈[0,T]成立.次线性的一个重要特殊情况是所谓的有界非线性项即对应于α=0的情形.即存在g∈L1(0,T;R+),使得|F(t,x)|≤g(t)对于所有x∈RN和 a.e.t∈[0,T]成立.在以往的文献中在此条件下有过很多结论,本文在更为一般的条件下讨论周期解的存在性.定理2 假设F(t,x)=G(x)+H(t,x),满足条件(A),且存在正数r,及存在α∈[0,1]使得当|x|→+∞有|x|-2αF(t,x)dt→+∞(6)及(G(x)-G(y),x-y)≥-r|x-y|2(7)|H(t,x)|≤g(t)|x|α+h(t)(8)对于任何x,y∈RN及a.e.t∈[0,T]成立.则系统(2)至少存在一个周期解.2 定理的证明定理1的证明根据条件(4), young 不等式及Sobolev不等式有=|(≤≤≤其中是与α有关的正实数,适当选取ε(结合不等式初项的系数),有:≤(9)根据假设,所以在RN上定义:x→F1(t,x)dt , 则有一个极小点x0使得F1(t,x0)dt=0.(10)由Young不等式, Sobolev 不等式及(10)得φ(u)=(t)dt+[F1(t,u(t))-F1(t,u(t))]dt+F2(t,u(t))dt+F1(t,x0)dt=(t)dt+(F1(t,x0),(t)dt+F2(t,u(t))dt+F1(t,x0)dt其中由Sobolev不等式φ(u)≥(t)dt+(|F1(t,x0)|dt)+F2(t,u(t))dt+F1(t,x0)dt≥(t)dt-c1-c2((t)dt)1/2+[F2(t,u(t))-F2(t,)]dt+F2(t,)dt≥≥因为||u||→+∞的充要条件是又0<1+α<2,再由条件(5)知φ的每一个极小化序列有界，从而定理得证.定理2的证明为证明简便起见,下面令T=2π..在空间中有≤(Sobolev 不等式)及≤(Wirtinger不等式)根据(8)及Sobolev 不等式对于任意可得:≤≤由(9)及Wirtinger 不等式,对于任意可得≤其中a1,a2,a3 为常数. 可推得J(u)≥≥对任意成立因为当且仅当时有‖u‖→∞,则由上式及 (6) 及所以当‖u‖→∞时有J(u)→+∞根据定理1.1(见[3]) 定理2得证.参考文献:[1]Han Z Q.2π-Periodic solutions to ordinary differential systems at resonance [J]. Acta Ma th Sin, 2000, 43: 639-644.[2]Tang C L, Wu X P. Periodic solutions of second systems with not uniform ly coercive potential [J]. J Math Anal Appl , 2001, 259(1): 386-397.[3]Mawhin J, Willem M. Critical Point Theory and Hamiltonian Systems[M]. New York： Springer-Verlag,1989.[4]Ma Jia, Tang Chun-Lei. Periodic solutions of some no autonomous second-order systems [J].J Math Anal Apple , 2002, 275(2): 482-494.[5]Tang C L, Wu Xing-Ping. notes on periodic solutions of subqudratic second order system [J]. J Math Anal Appl, 2003, 285(1): 8-16.。

非线性二阶差分系统周期解的多重性陈永刚;胡哲【摘要】变分方法是研究非线性差分方程周期解存在性的一种新的并且行之有效的方法.运用乘积空间上的环绕定理[1]证明二阶非线性差分系统{-△2un-1=μ1ua1n+f1(n,un)+λh1(n,un,vn),n∈(Z)/-△2vn-1=μ2va2n+f2(n,vn)+λh2(n,un,vn),n∈(Z)其中αi∈(0,1),i=1,2,至少存在3个非平凡的周期解.【期刊名称】《甘肃科学学报》【年(卷),期】2010(022)003【总页数】6页(P44-49)【关键词】非线性差分系统;环绕;非平凡周期解【作者】陈永刚;胡哲【作者单位】中国石油大学,数学与计算科学学院,山东,东营,257061;中国石油大学,数学与计算科学学院,山东,东营,257061【正文语种】中文【中图分类】O175其中αi∈(0,1),i=1,2,至少存在3个非平凡的周期解.Abstract:The variational method is an effective method for studying the existence of periodic solutions for nonlinear difference equations.The linking theorem on product space is applied to study the following secondorder nonlinear difference systemswhereαi∈(0,1),i=1,2.At least three nontrivial periodic solutions exist.Key words:nonlinear difference system;linking;nontrivial periodic solution非线性差分方程广泛应用于研究计算机科学、经济学、神经网络、生态学及控制论等学科中出现的离散模型.在过去的10年里,关于差分方程定性性质的研究成果出现于大量的文献,这些文献涵盖了差分方程的许多分支,如稳定性、吸引性、振动性与边值问题等.然而关于差分方程的周期解研究相对较少,其中主要原因是缺少必要的技巧来处理离散系统周期解的存在性问题.另一方面,已有许多学者对差分方程周期解的存在性与多重性运用不同的方法进行了深入广泛的研究,这些方法主要有Kaplan-Yorke耦合系统法、临界点理论(包括极小极大理论、几何指标理论与Mores理论)、重合度理论等[2～6],在这些方法中,临界点理论已成为处理这类问题的强有力的工具.运用临界点理论,郭志明等在文献[7]中研究如下差分方程周期解的存在性其中是整数集,f(t,u)是关于(t,u)∈ × 连续的,关于t是周期的和关于u是超线性的,证明了该方程至少存在2个非平凡的周期解.文献[8]中,证明了差分方程的周期解的存在性和多重性,其中α∈(0,1),μ≥0.考虑非线性差分系统其中Δxn=xn+1-xn,Δ2xn=Δ(Δxn);αi∈(0,1);λ＞0,hi∈C( × × , ),fi∈C( × , ),μi≥0;对于m∈Z,hi,fi(i=1,2)关于第1个变量是 m-周期的,即且存在函数 H满足用最近得到的乘积空间上的环绕定理证明非线性系统(3)pm-周期解的存在性.为了方便,首先给出主要条件:(ⅰ)fi(t,z)∈C( × , )且存在m∈Z+,使得对(ⅱ)对任意的并且当z→0时,fi(t,z)=o(z),i=1,2;(ⅲ)存在常数M′＞0,β＞2,使得当|z|≥M′时,zfi(t,z)(ⅳ)hi∈C( × × , )满足式(4)且(ⅴ)对任意的(x,y)∈ × ,满足其中(ⅵ)存在常数R＞0,γ＞2,当|x|+|y|≥R时,有其主要结论:定理1 假设 fi,hi(i=1,2)满足条件(ⅰ～ⅵ)且αi∈(0,1),i=1,2.则对任意λ＞0和p∈Z+,存在常数μ0＞0,使得当μ1+μ2＜μ0时,系统(3)至少存在3个以 pm-为周期的非平凡解.为了证明定理,应用文献[7]第2部分建立的变分结构,考虑泛函∶Epm×Epm→其中因为 un+pm=un,vn+pm=vn,∀(u,v)∈Epm,所以式(5)可以改写为由 fi(t,z),hi(t,u,v)(i=1,2)的连续性,φλ∈C1(Epm×Epm, ),则设u0=upm,v0=vpm,则有因此(u,v)∈Epm×Epm是φλ的临界点,i.e.φλ′(u,v)=0当且仅当(u,v)是系统(3)的解.所以求解系统(3)的 pm周期解转化为求解泛函φλ在Epm×Epm上的临界点. 定义u,v∈Epm,u=(u1,u2,…,upm)T,v=(v1,v2,…,vpm)T.以下只需考虑 pm ＞2的情形(pm≤2易证),把φλ(u,v)改写为如下形式其中A在文献[7]中第2部分定义.引理2 (极小极大定理见文献[4]).设X是Banach空间,I∈C1(X, )满足(P.S.)条件(即对任意序列{un}⊂X,满足(1){I(un)}有界;(2)当n→∞时,有I′(un)→0,则{un}在 X中存在收敛的子列).设∂Q在X中环绕S,且 I满足如下分离性条件则I存在临界点引理3 (乘积空间上的环绕定理见文献[1]).设 X,Y是Banach空间并带有如下直和分解:其中 X1,Y1分别是空间 X,Y的有限维子空间.令和其中r1,R1＞0,r2＞ρ＞0,R2＞τ＞0,ex∈X2,ey∈Y2,‖ex‖= ‖ey‖=1.则∂Q环绕S. 引理4 设函数 fi,hi(i=1,2)满足条件(ⅰ)～(ⅵ).则泛函φλ在Epm×Epm上上有界. 引理5 在定理1的条件下,泛函φλ满足(P.S)条件.证明定理1 首先易得最小的一个正解(uξ,vξ)∈BRξ×BRξ⊂ Epm×Epm.当BRξ×BRξ足够小,有所以(uξ,vξ)是系统(3)的一个解.由引理4知,φλ在Epm×Epm上上有界且即 C1-泛函 -φλ在有限维空间Epm×Epm是强制的.则存在点(u0,v0)∈Epm×Epm满足易证c0′＞0.实际上,由条件(ⅱ)和条件(ⅴ)知,对任意的ε′＞0,存在常数δ′＞0,使得当x′,y′∈Epm且满足|x′|=|y′|＜2δ′时,有和对任意的改写u和v分别为其范数分别为并且则对任意的u,v∈Epm,‖u‖2=δ′,‖v‖2=δ′,j=1,2,…,pm-1,|uj|≤δ′,|vj|≤δ′.从而有其中对任意的λ＞0,选取足够小的ε′＞0,使0成立;对任意的δ′＞0,有进而当=1,2时成立,其中u,v∈Epm,‖u‖2= ‖v‖2=δ′.所以c0′≥σ′＞0.注意到φλ(0,0)=0,则(u0,v0)是系统(3)的一个解.运用变分法证明泛函式(5)在空间Epm×Epm上存在鞍点.在引理3中,令X=Y=Epm=E和X1=Y1=E0,X2=Y2=E1,则有和其中r1,R1＞0,r2＞κ＞0,R2＞τ＞0,e1,e2∈E1,‖e1‖= ‖e2‖=1.则∂Q环绕S.证明分离性条件式(7).由式(10)知当κ=τ=δ时成立.选取e1,e2∈E1,‖e1‖= ‖e2‖=1,对任意的z1,z2∈E0和t1,t2∈ ,设 u= t1e1+z1,v=t2e2+z2,则其中Dκ(κ=1,2,3)是正常数,因为0＜α＜1,β＞2,γ＞2,所以α+1＜2＜β.当ti→+∞时,g(t1,t2, z1,z2)由β控制,所以对任意的μi(i=1,2)和λ＞0,有成立.从而存在常数 r1,R1＞0,r2＞κ＞0,R2＞τ＞0,满足φλ(u,v)≤0,∀(u,v)∈∂Q.分离性条件得到证明.由引理2知,泛函有临界点c≥σ′＞0,这里当然有c≤c0.当c＜c0,系统(3)至少存在3个非平凡解:一个解是一个解是最后一个解是(u,v)满足(u,v)=c.当c0=c,有2种情况:如果存在点≠(u0,v0)满足则定理1结论成立.以下考虑第2种情形:对任意的(u,v)∈Epm×Epm满足(u,v)=c=c0,则意味着(u,v)=(u0,v0).选取(e1,e2)∈(∂B1∩E1)×(∂B1∩E1),令e1′=-e1,e2′=-e2.通过前述类似的讨论,存在集合Q′满足∂Q′环绕S且泛函φλ满足分离性条件.因此φλ存在一个临界点c′≥σ＞0且其中如果c′＜c=c0,则定理成立.相反的,如果c′=c=c0,则有因此有实际上|∂Q≤0和|∂Q′≤0,则在集合Q和Q′内部某些点达到最大值,另一方面,Q∩Q′⊂E0×E0,意味着存在∈Epm×Epm满足证明当^μ′＞0足够小时,对任意的|μi|＜^μ′,式(13)不成立.取φλ(u,v)=(u,v,μ1,μ2),(u,v)=u,v,0,0),则有注意到(u,v,μ1,μ2)关于(μ1,μ2)是连续的,所以有类似于证明c0＞0,易得¯c＞0.我们知道 E0是对应于A的特征值λ0=0的特征子空间,如果式(13)成立,则有从而存在常数^μ′＞0,满足当μi＜^μ′时,式(13)不成立.选择μ0则定理1结论成立.陈永刚 (1978-)男,山东省滕州人,2004年毕业于兰州大学数学系,现任中国石油大学(华东)数学与计算机学院讲师,研究方向为非线性泛函分析.【相关文献】[1] Zhao P,Zhou W,Zhong C K.The Existence of Three Nontrivial Solutions of A Class of Elliptic Systems[J].Nonlinear Analysis TMA, 2002,49(3):431-443.[2] Zhao P,Wang X.The Existence of Positive Solution of Elliptic System by A Linking Theorem on Product Space[J].Nonlinear Analysis, 2004,56:227-240.[3] 赵培浩.一类椭圆方程正解的多重性[J].兰州大学学报,1998,34(1):10-14.[4] Felmer P,Manasevich R F,Thelin F De.Existence and Uniqueness of Positive Solutions for Certain Quasilinear Elliptic Systems[J]. Comm.Part.Diff.Equa.,1992,17:2 013-2 029. [5] Ambrosetti A,Brezis H,Cerami bined Effects of Concave and Convex Nonlinearities in Some Elliptic Problems[J].Journal of Functional Analysis,1994,122:519-543.[6] Li W T,Agarwal R P.Positive Solutions of Higher-order Nonlinear Delay Difference Equations[J].Computers Math.Applic.,2003,45(6-9):1 026-1 038.[7] 郭志明,庚建设.二阶超线性差分方程周期解和次调和解的存在性[J].中国科学(A辑),2003,3:226-235.[8] 陈永刚,胡哲.非线性二阶差分方程周期解的多重性[J].甘肃科学学报,2008,20(2):13-17.。

第15卷第2期2013年6月应用泛函分析学报A C T A A N A IⅣSI S FU N雾垂i墓雾垂耋!手茎重；；i至耋童重薹耄薹l妻，茎三。

三宣量董．-三善乏≥≥墓i i量÷≥耋三芝i薹i童二!i薹|耋．耋霎i耋，爹；三i霎霎主囊；；器耋；l摹蓁l妻爹i事；；i÷l i!i一茎季一萋萋垂磊墼蓁垂饕羹薹雾雾翼雾蓁雾雾霎堑羹攀萎萋嗤薹薹霎蠹薹冀蓁}{霪蠹薹薹；錾羹静_卞来怎想不禁要问。

这热闷的课还是音乐课吗7音乐课上的’音乐。

去哪了?新颁发的<义务教育音乐课程标准(20”年舨l>(以下筒称。

新标准”)是在总结近十年嗣呈改革酌经验基础上和广泛听取一线音乐老师和一批专家意见后改擎和修订的。

新标准集中体现了音乐课程的独特性质：人文性、审芙性和实践性．是鉴于前期课改中一些老师过于强调学科综合而忽略音乐特赢的做法而提出的。

音乐课应突出音乐的特点。

中小学音乐课程洛领域的教学葵通过聆听、演唱、演奏、综合性艺术表演和音乐编创等多种实践形式才能得以实施。

帮标准明镌褪出：音乐课应爽出音乐特点。

这就向音乐教师明示了音乐课的基本捶念。

任何一个课堂教学活动的设计都应该翻绕警这个锺念。

在京堂中宴凸现音乐性。

因为只有音乐才蹇音乐课上的’主角。

音乐是声音的艺术。

聆听是音乐课‘堂首g簟主羹活动方式．无论什么样的教学内容．都要重视聆听音乐。

聆听起音乐审荚教育樽以卖现的蕞直接活动。

一、撇教学情境。

羹化课堂导入教师在备课时一定妻研究课程导入环节，好的课堂导入就如f每是乐曲印的引子。

精彩的导入可以激发学生的求知欲。

兴奋他们的大G={∑‰醌№∈z，1=7其中z表示整数集，丌：月拿_只}／G磷／G=×=(wz)z=日+w=日一oM=％／V则di m w<+∞，di m y<+∞，y与环面Ty中元素可以表示为Q包o=∑；：。

白eJ，其中白=cJ一如乃，(o≤缸=t正一+u++P乱义：(w)×y H R为：妒(7r(u))本文用到的临界点定理是广引理】令是空间，，∞．。

非自治二阶哈密顿系统周期解的存在性石璐;安天庆【摘要】用最小作用原理和临界点理论研究了一类非自治二阶哈密顿系统周期解的存在性问题.首先假设F(t,x)=F1(t,x)+F2(t,x)满足假设(A),再使F1满足次凸条件,并且在[0,T]上的积分趋于无穷,运用最小作用原理,得到一个解的新的存在性结果.另外,将F1在[0,T]上的积分趋于无穷这一条件减弱为F1在[0,T]的一个正测度子集E 上的积分趋于无穷,运用最小作用原理,也能得到同样的结果.【期刊名称】《江南大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(014)001【总页数】4页(P117-120)【关键词】次凸位势;周期解;临界点;最小作用原理【作者】石璐;安天庆【作者单位】河海大学理学院,江苏南京 210098;河海大学理学院,江苏南京210098【正文语种】中文【中图分类】O177考虑非自治二阶哈密顿系统周期解的存在性问题。

其中T＞0,且F:[0,T]× RN→R满足下述假设:(A)对每个x∈RN,F(t,x)关于t可测,对a.e.t∈[0,T],F(t,x)关于x连续可微,且存在a∈C[R+,R+],b∈L1([0,T];R+),使得很多学者已经用最小作用原理证明了问题(1)至少有一个解,且为φ在上的最小值。

文中受到文献[1-4]中结果与文献[5-7]中条件的激发,考虑了问题(1)中的次凸问题,同样通过运用最小作用原理,得到问题(1)的解的新结果。

文中假设F(t,x)=F1(t,x)+F2(t,x)满足假设(A)。

定理1 假设F1,F2满足假设(A),且(1)F1(t,·)是(λ,μ)次凸,且0＜(2)∃r∈L1(0,T;R+),α∈[0,2),且使得(3)则问题(1)至少有一个解,且为φ在(Ω)上的最小值。

注[2] 若对于λ,μ＞0,x,y∈RN,有称函数F:RN→R为(λ,μ)次凸。

定理2 假设F1,F2满足假设(A),且(1)F1(t,·)是(λ,μ)次凸,且0＜(2)∃r∈L1(0,T;R+),α∈[0,2),且使得(3)∃E⊂[0,T],且meas(E)＞0,使得并且∃γ∈L1(0,T),使得则问题(1)至少有一个解,且为φ在H1T(Ω)上的最小值。

二阶非自治Hamilton系统多周期解的存在性张淑梅;姚智慧【摘要】研究如下一类非自治二阶Hamilton系统{ü(t)=(▽)F(t,u(t))+e(t),a.e.t∈[0,T],u(0)-u(T):(u)(0)-(u)(T):0.}将非线性项分为自治或非自治两部分,在满足部分周期,线性,次线性及其他一些限制条件,应用临界点理论中的极小极大原理,证明周期解的多重存在性,获得了一些有意义的结果.【期刊名称】《黑龙江大学自然科学学报》【年(卷),期】2010(027)005【总页数】7页(P596-602)【关键词】二阶非自治Hamilton系统;多周期解;极小极大原理;(PS)G条件【作者】张淑梅;姚智慧【作者单位】中南大学数学科学与计算技术学院,长沙,410083;中南大学数学科学与计算技术学院,长沙,410083【正文语种】中文【中图分类】O175.12将非线性项分为自治或非自治两部分,在满足部分周期,线性,次线性及其他一些限制条件,应用临界点理论中的极小极大原理,证明周期解的多重存在性,获得了一些有意义的结果。

考虑二阶非自治 Ham ilton系统其中 T>0,F:[0,T]×RN→R满足下列假设(A)对∀x∈RN,F(t,x)关于 t可测,对a.e.t∈[0,T],F(t,x)关于 x连续可微,存在r∈L1(0,T;R+)使得对a.e.t∈[0,T],∀ x∈RN,有此外 F(t,x)关于 xi是 Ti周期,1≤i≤r,即所以φ有下界。

类似于定理 0.1的证明,可证φ满足 (PS)G条件,从而由定理 1.1易系统 (0.1)有 r+1个不同的解,证毕。

is considered. The nonlinearity is assumed to divide into auto mous and non - automous parts and satisfies some periodicity,linearity, sub - linearity and other conditions. Under these assump tions, some meaningful results on the existence and multip licity of periodic solutions are obtained by using minimax priciple in critical point theory.【相关文献】[1] MAWH IN J,W ILLEM M.C ritical poin t theory and Ham iltonian system s[M].Berlin:Sp ringer-Verlag,1989.[2] CHANG K C.On the periodic non linerity and themultip licity of solution[J].Non linearAnal,1989,13(5):527-537.[3] L IU JQ.Generalized saddelpoint thorem[J].Jdifferential Equations,1989,82:327-385.[4] MAWH IN J.Nonineroscillations,one hundred years after Liapunov andPoincare[J].ZAngew Math,1993,73(4-5):54-62.[5] RAB INOW ITZ PH.On a classof functions invariantunder a Zn action[J].TransAmerMath Soc,1988,310(1):303-311.[6] WU Xing-ping.Periodic solution for nonautonomous second-order system swith bounded nonlinearity[J].JMath AnalApp l,1999,230(1):135-141.[7] MA Jian,TANGC L.Periodic solutions for some nonautonomous second-order systems[J].JMath AnalApp l,2002,275:482-494.[8] TANG C L,WU X ing-p ing.Periodic solution for second-order system swith not uniform ly coercive potential[J].JMath Anal App l,2001,259(1):386-387.。

非自治p(t)-拉普拉斯系统周期解的存在性张申贵;慕嘉【摘要】In this paper, we investigate a class of non-autonomous p(t)-Laplacian system. By using saddle point theorem and the least action principle, some sufficient conditions for the existence of periodic solutions are obtained, which generalize and improve the resuls in [8].%本文研究一类非自治p(t)-Laplace系统.利用鞍点定理和极小作用原理,获得了周期解存在的充分条件,推广和改进了文献[8]中的结果.【期刊名称】《数学杂志》【年(卷),期】2017(037)002【总页数】10页(P409-418)【关键词】周期解;p(t)-Laplace系统;临界点【作者】张申贵;慕嘉【作者单位】西北民族大学数学与计算机科学学院,甘肃兰州 730030;西北民族大学数学与计算机科学学院,甘肃兰州 730030【正文语种】中文【中图分类】O175.8;O176.3考虑二阶 Hamilton 系统(其中 T ＞ 0,设 F:满足如下假设(A) 对每个关于 t 可测;对几乎所有的关于 x 连续可微,且存在使得对所有的和成立.Mawhin 和 Willem 在文 [1]在非线性项有界,即存在使得对所有和成立时,得到了系统 (1.1) 周期解的存在性定理.文 [2]假设非线性项是次线性增长的,即存在使得对所有和成立.在具有线性增长非线性项,即存在f,g ∈ L1(0,T;R+),使得对所有x ∈ RN和 a.e.t ∈ [0,T]成立时,文 [3]中得到以下定理.定理A[3]设 F 满足 (1.2) 式, 且若则系统 (1.1) 在 Sobolev 空间 HT1中至少有一个周期解.文 [4]将定理 A 中的强制性条件改进为下方有界的情形当非线性项▽F(t,x) 线性增长时, 文 [5–7]中分别在具有部分周期位势, 脉冲作用项, 单调性条件下得到了二阶 Hamilton 系统周期解的存在性定理.设存在常数 M0＞ 0,M1＞ 0,M2＞ 0 和非负函数ω ∈ C([0,∞),[0,∞)), 使得受到文 [8]和 [9]的启发, 我们考虑用控制函数ω(|x|) 替换线性增长条件 (1.2) 中的|x|,并将上述结果推广到非自治 p(t)- 拉普拉斯系统其中p(t) ∈ C([0,T],R+),p(t)=p(t+T),且临界点理论是研究微分方程和差分方程边值问题可解性的有效方法, 如文 [10–12]. 非自治 p(t)- 拉普拉斯系统来自于非线性弹性问题和流体力学,该系统刻画了“逐点异性”的物理现象.近年来,临界点理论已用于研究非自治 p(t)- 拉普拉斯系统周期解的存在性,参见文[13–21].记p(t) ∈ C([0,T],R+), 定义当p−＞ 1 时,空间 W1,p(t)T 是自反的 Banach 空间,其范数为记则引理2.1,存在常数有其中引理2.2有引理2.3[16]在 Sobolev 空间 W1,p(t)T 上定义泛函ϕ如下:则u ∈ WT1,p(t)是问题 (1.3) 的周期解当且仅当 u 是泛函ϕ的临界点, 且ϕ连续可微,定义1设 X 为 Banach 空间, 若泛函ϕ∈ C1(X,R) 满足: 对任何点列 {un} ⊂ X, 由{ϕ(un)} 有界,ϕ′(un) → 0 蕴含 {un} 有收敛子列, 则称泛函ϕ满足 (PS) 条件.引理2.4[1](极小作用原理) 若泛函ϕ:X → R 弱下半连续, 且ϕ在自反的Banach 空间 X 中强制,即当‖u‖ → ∞ 时,有ϕ(u) → +∞,则泛函ϕ在空间 X 中有极小值.引理2.5[1](鞍点定理) 设 E 是 Hilbert 空间,E=E1⊕ E2, 其中 E2/={0} 是有限维子空间. 若ϕ∈ C1(X,R) 满足 (PS) 条件和以下两个条件(i) 存在e ∈ Bρ∩ E2和常数ω ＞σ, 使得ϕ|e+E1≥ ω; (ii) 存在常数σ 和ρ, 使得ϕ|∂Bρ∩E2≤ σ,则ϕ有临界值c≥ω且其中;id 表示恒等算子;Bρ是 E 中以 0 为中心半径为 r 的开球;∂Bρ表示Bρ的边界. 定理3.1设ω ∈ C([0,∞),[0,∞)),满足(ω1)–(ω4). 设存在f,g ∈ L1(0,T;R+), 使得对所有x ∈ RN和 a.e.t ∈ [0,T]成立,且则问题 (1.3) 在 Sobolev 空间 WT1 ,p(t)中至少有一个周期解.注定理 3.1 推广与改进了定理 A 和文献 [8]中定理 1.5. 首先, 定理 3.1 中将对应结果推广到了非自治 p(t)- 拉普拉斯系统;另一方面,易见式 (3.2) 中极限是下方有界的. 取p(t)≡ 2,则p−=p+=2,令其中β(t) ∈ L1(0,T;R+), 则 F 满足定理 3.1 的条件,但不满足定理 A 和文 [8]中定理 1.5.证由条件(ω1)–(ω3), 式 (3.1),(2.1),有利用 Young 不等式及,有由式 (3.4) 和 (3.5) 式,有Z由引理 1.2, 由式 (3.2) 和(ω4), 并注意到时. 注意到当p−＞ 1 时, 空间 WT1 ,p(t)是自反的 Banach空间, 泛函ϕ弱下半连续[20], 由极小作用原理可知, 泛函ϕ至少有一个临界点, 从而得到问题 (1.3) 至少有一个周期解.定理3.2设非负函数ω 满足F 满足 (3.1) 和 (3.3) 式,且其中则问题 (1.3) 在 Sobolev 空间 WT1 ,p(t)中至少有一个周期解.注取,则,令则 F 满足定理 3.2 中的条件,但不满足文 [13–21]中定理.Z证我们将利用鞍点定理来证明定理 3.2,设第1步证明泛函ϕ满足 (PS) 条件, 即任何点列, 由有界,可推得 {un} 有收敛子列. 首先证明有界.类似于 (3.4) 式的证明,有由式 (3.5),(3.8),有另一方面, 由式 (2.1),可得由式 (3.9),(3.10), 有其中. 由式 (3.9),有由式 (3.4),(3.5),(3.12),有其中 K 为式 (3.7) 中定义的正常数. 反设在 WT1,p(t)中无界,当由引理 2.2,当当n → ∞ 时,, 有ω(|u¯n|) → +∞. 由式 (3.6),(3.13), 并注意到p−＞ 1,当n → ∞ 时,当n→ ∞ 时, 式 (3.12), 有ω(|u¯n|) → +∞. 由式 (3.6),(3.13),并注意到p−＞ 1,当n → ∞ 时,ϕ(un) → −∞.这与有界矛盾! 故 {un} 在 WT1 ,p(t)中有界. 注意到当 p−＞ 1 时,WT1,p(t)紧嵌入C([0,T];RN) 和 WT1 ,p(t)的一致凸性, 类似于文献 [19]中定理 3.2 的证明,{un} 在 WT1,p(t)中有收敛子列,故泛函ϕ满足 (PS)条件.第2步取我们证明鞍点定理的环绕条件成立. 对u ∈ E1, 类似于 (3.4) 式的证明,有由式 (3.14),有对,由引理由 (3.3) 式知故当时, 有成立. 显然存在常数η,使得ϕ(u)≥ η.另一方面,对,由式 (3.6),∀ε＞ 0,当充分大时,有令ε充分小, 当时,, 则因此存在正常数ρ, 使得【相关文献】[1]Mawhin J,Willem M.Criticalpoint theory and Hamiltonian systems[M].NewYork:Springer Verlag, 1989.[2]Tang C L.Periodic solutions ofnon-autonomous second order systems with sublinear nonlinearity[J]. Proc.Amer.Math.Soc.,1998,126(11):3263–3270.[3]Zhao F K,Wu X.Existence of periodic solutions for nonautonmous second order systems with linear nonlinearity[J].Nonl.Anal.,2005,60(7):325–335.[4]Tang X H,Meng Q.Solutions of a second-order Hamiltonian system with periodic boundary conditions[J].Nonl.Anal.,2010,11:3722–3733.[5] 张申贵. 一类非自治二阶系统的多重周期解 [J]. 山东大学学报 (理学版),2011,46(11):64–69.[6]Chen P,Tang X H.Existence of solutions for a class of second-order p-Laplacian systems with impulsive eff ects[J].Appl.Math.,2014,59(5):543–570.[7] 吴越, 安天庆. 一类非自治二阶哈密顿系统的周期解 [J]. 吉林大学学报 (理学版),2013,51(1):57–63.[8]Wang Z Y,Zhang J H.Periodic solutions of a class of second order non-autonomous Hamiltonian systems[J].Nonl.Anal.,2010,72(12):4480–4487.[9]Zhang Q F,Tang X H.Periodic solutions for second ordersystems[J].Appl.Math.,2012,41(5), 303–310.[10] 彭艳芳.R3中一类 Kirchhoff 型方程变号解的存在性及集中性 [J]. 数学杂志,2015,35(1):75–84.[11] 敖恩, 张国伟. 关于二阶半线性椭圆方程的 Dirichlet 边值问题一个注记 [J]. 数学杂志,2014,34(1): 37–42.[12] 张克玉, 徐家发. 一类二阶差分方程边值问题解的存在性 [J]. 数学杂志,2014,34(5):857–862.[13]Ge B,Xue X P,ZHOU Q M.Existence of periodic solutions for a diff erential inclusion systems involving the p(t)-Laplacian[J].Acta Math.Sci.,2011,31B(5):1786–1802.[14]Fan X L.A Knobloch-type result for p(t)-Laplaciansystems[J].J.Math.Anal.Appl.,2003,282(3): 453–464.[15]Zhang L,Tang X H,Chen J.Infinitely many periodic solutions for some second-order diff erential systems with p(t)-Laplacian[J].Boundary Value Problems,2011,33(2):1–15.[16]Wang X J,Yuan R.Existence of periodic solutions for p(t)-Laplaciansystems[J].Nonl.Anal.,2009, 70(1):866–880.[17] 张申贵. 一类超线性 p(t)-Laplacian 系统的无穷多周期解 [J]. 吉林大学学报 (理学版),2014,52(1): 34–38.[18]Zhang L,Tang X H.Existence and multiplicity ofperiodic solutions for some second order diff erential systems with p(t)-Laplacian[J].Math.Slovaca,2013,63(6):1269–1290. [19]Zhang L,Tang X H.Subharmonic solutions for some nonautonomous Hamiltonian systems with p(t)-Laplacian[J].Bull.Belg.Math.Soc.(2),2011,18(2):385–400.[20]Zhang L,Chen Y.Existence of periodic solutions of p(t)-Laplaciansystems[J].Bull.Malays.Math. Sci.Soc.(2),2012,35(1):25–38.[21]Chen P,Tang X H,Agarwal R.Existence of homoclinic solutions for p(n)-Laplacian Hamiltonian systems on orlicz sequence space[J]put.Model.,2012,55(3):989–1002.。