差分方程讲解

差分方程知识点总结一、差分方程的概念差分方程是指用差分运算符号（Δ）表示的方程。

差分运算符Δ表示的是某一变量在两个连续时间点的变化量。

差分方程通常用于描述离散时间下的变化规律，比如时间序列、离散动力系统等。

二、常见的差分方程1. 一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为：y(t+1) - y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。

一阶线性差分方程常常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律。

2. 二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为：y(t+2) - 2*y(t+1) + y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。

二阶线性差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的二阶线性变化规律。

3. 线性非齐次差分方程线性非齐次差分方程的一般形式为：y(t+1) - a*y(t) = b，其中a和b为常数。

线性非齐次差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律，并且受到外部条件的影响。

4. 滞后差分方程滞后差分方程的一般形式为：y(t+1) = f(y(t))，其中f为某一函数。

滞后差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的非线性变化规律。

5. 差分方程组差分方程组是指由多个差分方程组成的方程组。

差分方程组通常用于描述多个变量之间的变化规律，比如混合动力系统、多变量时间序列等。

三、差分方程的解法1. 特征根法特征根法是解一阶或二阶线性差分方程的一种常用方法。

通过求解特征方程，可以求得差分方程的通解。

2. 递推法递推法是解一阶或二阶非齐次差分方程的一种常用方法。

通过递推关系，可以求得差分方程的特解。

3. Z变换法Z变换法是解一阶或二阶差分方程的一种常用方法。

通过对差分方程进行Z变换，可以将其转换为等价的代数方程，然后求解其解。

4. 数值解法对于复杂的差分方程，通常采用数值解法求解。

数值解法包括Euler法、Runge-Kutta法、递推法等，通过迭代计算逼近差分方程的解。

差分方程的求解方法及其应用差分方程是数学中一个比较重要的分支，用于描述离散化的动态系统和过程，广泛应用于物理、工程、生态、经济、金融等领域。

通过离散化，可以将连续的问题转化为离散的数值计算问题，从而可以用计算机进行求解。

本文将介绍差分方程的求解方法及其应用，希望能够对读者有所帮助。

一、差分方程的定义差分方程是指包含有未知函数的离散变量的函数方程。

通俗的说，就是说差分方程用来描述离散的数学模型。

一般的差分方程可以写成如下形式：$$y_{n+1} = f(y_n, y_{n-1}, \cdots, y_{n-k+1}, n)$$其中，$y_n$ 是未知函数在 $n$ 时刻的值，$f$ 是一个给定的函数，$k$ 是差分方程中自变量的个数。

当 $k=1$ 时，常常称为一阶差分方程，如下所示：$$y_{n+1} = f(y_n, n)$$此外还有二阶、三阶等高阶差分方程。

差分方程与微分方程相似，都是用来描述某种动态系统的变化规律，只是微分方程是描述连续变化的模型，而差分方程是描述离散变化的模型。

二、差分方程的求解方法差分方程的求解方法可以分为两类，一类是解析解法，即用数学公式直接求解；另一类是数值解法，即用计算机进行数值计算求解。

1. 解析解法对于一些特殊的差分方程，可以用解析解法求出解析解。

解析解法就是通过数学公式直接求解，得到函数在论域上的解析表达式，从而可以对解析表达式进行分析求得有关该函数的很多重要信息。

以一阶线性差分方程为例，即：$$y_{n+1} = ay_n + b, \ \ (n=0,1,2,\cdots)$$其中 $y_0$ 是已知值， $a$ 和 $b$ 是常数。

可以通过数学公式得到该差分方程的解析解：$$y_n = a^ny_0 + b\frac{a^n-1}{a-1}, \ \ (n=0,1,2,\cdots)$$其它的高阶差分方程可以运用代数学、矩阵论、微积分等方法求解。

2. 数值解法数值解法是一种通过数值计算来求解差分方程的方法。

高等数学中的差分方程相关知识点详解在高等数学中，差分方程是一个非常重要的数学工具，它被广泛应用于各种科学领域，如物理、化学、工程学等。

差分方程与微分方程不同，在处理离散数据时更加方便，因此在实际应用中得到了广泛的应用。

接下来，我们将详细介绍差分方程的相关知识点。

1.差分方程的定义差分方程是一种用递推关系式描述离散变量间数值关系的数学工具，通常表示为：$a_n=F(a_{n-1},a_{n-2},...,a_{n-k})$其中，$a_n$表示一个数列的第$n$项，$k$为正整数，$F$为给定的函数。

差分方程起始值$a_0,a_1,...,a_{k-1}$也是给定的。

2.差分方程的求解方法求解差分方程的过程与求解微分方程的过程类似，需要先求出差分方程的通解，然后根据初始条件得到特解。

（1）求通解对于一个$k$阶差分方程，我们可以猜测一个$k$次线性递推数列$\{b_n\}$，即$b_n=c_1\lambda_1^n+c_2\lambda_2^n+...+c_k\lambda_k^n$，其中$c_1,c_2,...,c_k$是任意常数，$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_k$是$k$个根。

将猜测的线性递推数列带入差分方程中得到：$c_1\lambda_1^n+c_2\lambda_2^n+...+c_k\lambda_k^n=F(c_1\la mbda_1^{n-1}+c_2\lambda_2^{n-1}+...+c_k\lambda_k^{n-1},c_1\lambda_1^{n-2}+c_2\lambda_2^{n-2}+...+c_k\lambda_k^{n-2},...,c_1\lambda_1^{n-k}+c_2\lambda_2^{n-k}+...+c_k\lambda_k^{n-k})$整理得到：$c_1(\lambda_1^n-F(\lambda_1^{n-1},\lambda_1^{n-2},...,\lambda_1^{n-k}))+c_2(\lambda_2^n-F(\lambda_2^{n-1},\lambda_2^{n-2},...,\lambda_2^{n-k}))+...+c_k(\lambda_k^n-F(\lambda_k^{n-1},\lambda_k^{n-2},...,\lambda_k^{n-k}))=0$由于$c_1,c_2,...,c_k$是任意常数，因此需要使方程的每个系数都等于$0$，也就是：$\lambda_1^n-F(\lambda_1^{n-1},\lambda_1^{n-2},...,\lambda_1^{n-k})=0$$\lambda_2^n-F(\lambda_2^{n-1},\lambda_2^{n-2},...,\lambda_2^{n-k})=0$...$\lambda_k^n-F(\lambda_k^{n-1},\lambda_k^{n-2},...,\lambda_k^{n-k})=0$将上述$k$个方程写成矩阵的形式，即可解得$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_k$。

差分方程pdf差分方程是数学中的一种重要概念，广泛应用于各个领域，如物理学、经济学、生物学等。

本文将从引言概述、正文内容和总结三个部分来详细阐述差分方程的相关知识。

引言概述：差分方程是一种离散形式的微分方程，它描述了变量之间的差异或变化率。

与微分方程相比，差分方程更适用于描述离散的变化过程。

差分方程通常以递推关系的形式表示，其中每个变量的值都依赖于前面的一个或多个变量的值。

差分方程的解可以通过递推关系逐步计算得到。

正文内容：1. 概念与分类1.1 差分方程的概念差分方程是一种数学方程，它描述了变量之间的离散关系。

差分方程通常用于描述离散的时间或空间中的变化过程，而微分方程则用于描述连续的变化过程。

1.2 差分方程的分类差分方程可以分为线性差分方程和非线性差分方程两类。

线性差分方程中的未知函数及其导数或高阶导数之间的关系是线性的，而非线性差分方程则不满足这一条件。

2. 解法与性质2.1 差分方程的解法差分方程的解可以通过递推关系逐步计算得到。

常见的解法包括特征根法、变量分离法、Z变换法等。

其中，特征根法适用于线性差分方程，而变量分离法和Z 变换法适用于一般的差分方程。

2.2 差分方程的稳定性差分方程的稳定性是指解的性质是否随着时间的推移而趋于稳定。

稳定性分为有界稳定和渐近稳定两种情况，其中有界稳定是指解的值在某个有界区间内波动，而渐近稳定是指解的值随着时间的推移趋于某个固定值。

2.3 差分方程的周期性差分方程的周期性是指解在某个时间间隔内重复出现相同的模式。

周期性可以通过解的性质和递推关系的周期性来判断。

3. 应用领域3.1 物理学中的应用差分方程在物理学中广泛应用于描述离散的物理过程，如粒子运动、电路分析等。

通过建立差分方程模型，可以对物理系统的变化进行预测和分析。

3.2 经济学中的应用差分方程在经济学中常用于描述经济系统的变化过程，如经济增长、通货膨胀等。

通过差分方程模型，可以对经济系统的发展趋势和影响因素进行研究。

第七节 差分方程对连续型变量而言，我们常常回导致到微分方程的问题. 对离散型变量将导致一类的问题.一、差分的定义定义 设)(x y y =是一个函数, 自变量从x 变化到x +1, 这时函数的增量记为)()1(x y x y y x -+=∆, 我们趁这个量为)(x y 在点x 步长为1的一阶差分,简称为)(x y 的一阶差分. 为了方便我们也记)(),1(1x y y x y y x x =+=+,即x x x y y y -=∆+1.称x x x x x x x x y y y y y y y y +-=---=∆∆+++++121122)()()(为)(x y 二阶差分,简记为x y 2∆.同样记)(2x y ∆∆为x y 3∆,并称为三阶差分.一般记)(1x n x n y y -∆∆=∆,称为n 阶差分.且有i n x i ni i n x ny C y -+=-=∆∑)1(0. 性质: 当a,b,C 是常数, y x 和z x 是函数时,(1) Δ(C )=0;(2) Δ(Cy x )= C Δ(y x );(3) Δ(ay x + b z x )= a Δy x + b Δ z x ;(4) Δ(y x z x )= z x+1Δy x +y x Δ z x = y x+1Δz x +z x Δy x ;(5) 1111++++∆-∆=∆-∆=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆x x x x x x x x x x x x x xz z z y y z z z z y y z z y . 例 已知),0(≠=x x y x α求Δ(y x ).解 Δ(y x )= ααx x -+)1(.特别, 当n 为正整数时, Δ(y x )= i n n i i n x C-=∑1, 阶数降了一阶.推论 若m, ,n 为正整数时, m,> n P(x)为n 次多项式,则0)(=∆x P m .例 已知),10(≠<=a a y x x 求Δ(y x ).解 Δ(y x )= )1(1-=-+a a a a x x x .二、差分方程定义 设是含有未知函数差分的等式，称为差分方程。

第十章 差分方程在经济与管理及其它实际问题中，许多数据都是以等间隔时间周期统计的. 例如，银行中的定期存款是按所设定的时间等间隔计息，国民收入按年统计等等. 通常称这类变量为离散型变量. 描述离散型变量之间的关系的数学模型成为离散型模型，差分方程是研究它们之间变化规律的有效方法.本章介绍差分方程的基本概念、解的基本定理及其解法，差分方程在经济中的简单应用，与微分方程类似.§10.1 差分方程的基本概念一、差分设函数()y f t =，当自变量t 取离散的等间隔整数值012t =±± ，，，，则相应的函数值列为(1),(0),(1),,(),(1),f f f f t f t -+简记为1011,,,,,,t t y y y y y -+即)(t f y t =()012t =±± ，，，.定义1 设函数)(t f y t =，当自变量从t 变到1+t 时，相应的函数值的改变量1(1)()t t t y y y f t f t +∆=-=+-称为函数)(t f y t =在t 处的一阶差分，记作t y ∆.按一阶差分的定义，可以定义函数的高阶差分.定义2 函数)(t f y t =在t 处的一阶差分的差分称为函数在t 处的二阶差分，记作2t y ∆，即21211()()()t t t t t t t t y y y y y y y y ++++∆=∆∆=∆-∆=---t t t y y y +-=++122.依次定义函数)(t f y t =在t 处的三阶差分为3222121()2t t t t t t t y y y y y y y +++∆=∆∆=∆-∆=∆-∆+∆t t t t y y y y -+-=+++12333.一般地，函数)(t f y t =在t 处的n 阶差分定义为1111n n n n t t t t y y y y ---+∆=∆∆=∆-∆（）.二阶以及二阶以上的差分称为高阶差分.例1 设322-+=t t y t ，求2,t t y y ∆∆.解 221[(1)2(1)3](23)23t t t y y y t t t t t +∆=-=+++--+-=+，()21()2(1)3232t t t t y y y y t t +∆=∆∆=∆-∆=++-+=注意 二阶差分也可由公式2212t t t t y y y y ++∆=-+计算.二、差分方程最常见的两类差分方程：例1（等差数列）公差为12d =的数列，满足 112n n a a +-=，1,2,n = （1） 通项111(1)(1)2n a a n d a n =+-=+-，1,2,n = （2） 例2（等比数列） 公差为3q =-的数列，满足13n n a a +=-，1,2,n = （3）通项()11113n n n a a q a --==-，1,2,n = （4）方程(1)，（3）就是差分方程，（2），（4）分别是它们的解.定义3 含有自变量，未知函数以及未知函数差分的函数方程，称为差分方程.差分方程中，未知函数最大下标与最小下标之差（或含有差分的最高阶数）称为差分方程的阶.定义4 n 阶差分方程一般形式2(,,,,)0n t t t t F t y y y y ∆∆∆= （5）或1(,,,,)0t t t n F t y y y ++= （6） 其中，（5）式中的n t y ∆在方程中一定出现，（6）式中的,t t n y y +在方程中一定要出现.注意 在一个差分方程中由（5）式定义的阶数与将该方程化为（6）的形式后所定义的阶数不一定相同.例如，差分方程20t t y y ∆-=按（5）式应是二阶差分方程，由于222t t t t y y y y +∆=-+,因此该方程可化为220t t y y +-=.按（6）式定义应为一阶差分方程,所以今后讨论差分方程的阶数按（6）式的定义. 例3 判断下列差分方程的阶数.（1）223t t t y y ∆-= （2）2123t t t t y y y ++--=（3）21223t t t t y y y -----= （4）320t t t y y ∆++=.解 方程（1），（2），（3）都是二阶差分方程，实质是同一差分方程.方程（4）含有三阶差分3t y ∆，但可化为3213320t t t t y y y +++-++=因此，它是二阶差分方程.定义5 若n 阶差分方程可以表为如下形式()()()1111()t n t n n t n t y a t y a t y a t y f t ++--+++++= （8）则称为n 阶线性差分方程，其中12(),(),,()n a t a t a t 和()f t 均为自变量是t 的已知函数. 且()0n a t ≠，当()f t ≡0时，方程（8）称为n 阶非齐次线性差分方程.当()0f t ≡时，()()()11110t n t n n t n t y a t y a t y a t y ++--+++++= （9）称为n 阶齐次线性差分方程，或方程（8）对应的齐次方程.例如，方程2123t t t t y y y ++--=是二阶非齐次线性差分方程，而 2120t t t y y y ++--=是对应的齐次方程.三、差分方程的解定义6 任何代入差分方程后使其成为恒等式的函数，都称为该差分方程的解.定义7 若在差分方程的解中，含有与该方程的阶数相同的个数且相互独立的任意常数，则称这个解为差分方程的通解.通解中给任意常数以确定值的解，称为该差分方程的特解.确定通解中任意常数的条件，称为初始条件或定解条件.例4 设差分方程12t t y y +-=，验证2t y t C =+是差分方程的通解，并求满足015y =的特解.解 将2t y t C =+代入方程，左边=()()2122t C t C ++-+==右边，所以2t y t C =+是方程的解，该方程是一阶差分方程，且含一个任意常数C ，故2t y t C =+为方程通解.将015y =代入，得15C =，即215t y t =+为所求特解.注 微分描述变量变化的连续过程，差分描述变量变化的离散过程，两者之间的关系如下：0limx y dy y dy x dx x dx ∆→∆∆=⇔≈∆∆ ⇔(1)()(1)()(1)t y f t f t dy f t f t y x t t dx∆+-==+-=∆≈∆+- 所以，差分方程与微分方程在概念、解的结构及求解方法等很多方面相似. 下面以二阶常系数线性差分方程为例.定义8 二阶常系数线性差分方程的一般形式为)(12t f by ay y t t t =++++， （10）其中,a b 为常数，且0≠b ，)(t f 为t 的已知函数.当()f t ≡0时，方程（10）又称为二阶常系数非齐次线性差分方程.当()0f t ≡时，210t t t y ay by ++++= （11） 称为二阶常系数齐次线性差分方程或方程（10）对应的齐次方程.定理1 若函数)(1t y ，)(2t y 是二阶齐次线性差分方程（11）的解，则)()()(2211t y C t y C t y +=，也是该方程的解，其中1C 、2C 为任意常数.定理2（齐次线性差分方程解的结构定理） 若函数)(1t y ，)(2t y 是二阶齐次线性差分方程（11）的线性无关特解，则1122()()()y t C y t C y t =+是该方程的通解，其中1C 、2C 为任意常数.定理3（非齐次线性差分方程解的结构定理） 若)(*t y 是二阶非齐次线性差分方程（10）的一个特解，()Y t 是齐次线性差分方程（11）的通解，则差分方程（10）的通解为*()()t y Y t y t =+.定理4（解的叠加原理） 若函数)(*1t y ，)(*2t y 分别是二阶非齐次线性差分方程211()t t t y ay by f t ++++=与212()t t t y ay by f t ++++=的特解，则)()(*2*1t y t y +是差分方程)()()()(2112t f t f y t b y t a y t t t +=++++的特解.注 上述解的结构定理，可推广到任意阶线性差分方程.习题10.11．求下列函数的一阶、二阶差分：（1）21t y t =+； （2）22t y t t =-；（3）3t t y =； （4）t t y a =.2．改写下列差分方程，并指出阶数：（1）235t t y y ∆-=； （2）3323t t t y y y ∆-∆-=；（3）2223t t t y y y t ∆+∆+=； （4）223t t t y y ∆-=.§10.2 一阶常系数线性差分方程定义1 一阶常系数线性差分方程的一般形式为)(1t f ay y t t =++（1） 其中常数0≠a ，)(t f 为t 的已知函数.当()f t ≡0时，方程（1）称为一阶常系数非齐次线性差分方程；当0)(≡t f 时，01=++t t ay y （2） 称为一阶常系数齐次线性差分方程或方程（1）对应的齐次方程.一、一阶常系数齐次线性差分方程由01=++t t ay y ，得10()y a y =-2210()()y a y a y =-=-,3320()()y a y a y =-=-,10()()t t t y a y a y -=-=-.设0y C =为任意常数，则方程（2）的通解为()tt y C a =-.注意 实质是公比q a =-的等比数列通项0()t t t y y q C a ==-特别地，当1-=a 时，方程（2）的通解为C y t =， ,2,1,0=t .例1 求差分方程 120t t y y ++=的通解.解 由于2a =，所以方程通解为(2)t t y C =-，0,1,2,t =例2 求差分方程 150t t y y +-=的通解.解 方程变形为1105t t y y +-=，由于15a =-，所以方程通解为 15tt y C ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0,1,2,t = . 二、一阶常系数非齐次线性差分方程求解步骤：（1）求出对应齐次方程01=++t t ay y 的通解()Y t ；（2）求出非齐次方程)(1t f ay y t t =++的一个特解()y t *；（3）写出非齐次方程)(1t f ay y t t =++的通解t y Y y *=+.注 关键确定非齐次方程的特解()y t *，下面介绍常见两种类型的求特解的方法. 1．()()n f x P t =型其中()n P t 为n 次多项式.方程1()t t ny ay P t ++=的特解形式为()()k n y t t Q t *=n n 例3 写出下列差分方程的特解形式()y t *（1）2121t t y y t +-=+； （2）13t t y y t +-=+；（3）122t t y y t ++=+. 解 （1）由于21a =-≠-，22()1P t t =+为二次代数多项式,故特解设为 2()y t at bt c *=++．（2）由于1a =-，1()3P t t =+为一次代数多项式,故特解设为()()y t t at b *=+．（3）方程化为111122t t y y t ++=+，由于112a =≠-，1()12t P t =+为一次代数多项式,故特解设为()y t at b *=+．例4 求差分方程21221t t y y t +-=-的通解.解 由于21a =-≠-，所以齐次差分方程的通解为()2t Y t C =．又由于22()21P t t =-为二次代数多项式,因此非齐次差分方程的特解为2012()y t a t a t a *=++，代入原方程，得()()22001012221a t a a t a a a t -+-++-=-，比较系数，得02a =-，14a =-，25a =-，故特解为*2()245y t t t =---，于是，所求通解为22245t t y Y y C t t *=+=--- (C 为任意常数).2．()t f x bd =型.其中,b d 为非零常数.方程1t t t y ay bd ++=的特解形式为()k t y t t Ad *=例5 写出下列差分方程的特解形式y *（1）1232t t t y y ++=⋅； （2）122t t t y y +-=； （3）133tt t y y +-=. 解 （1）由于2a d =≠-，故特解设为()2t y t A *=.（2）由于2a d =-=-，故特解设为()2t y t At *=. （3）方程化为11133t t t y y -+-=，由于13a d =-≠-，故特解设为()3t y t A *=. 例6 求差分方程t t t y y 21=++的通解.解 由于1a d =≠-，齐次差分方程的通解为()(1)t Y t C =-，非齐次差分方程特解为*()2t y t A =，代入原方程，得1222t t t A A ++=，比较系数，得13A =，故特解为t t y 231)(*=，于是，所求通解为*1(1)23t t t y Y y C =+=-+ (C 为任意常数). 例7 求差分方程1232t t t y y ++=⋅满足04y =的特解.解 已知2a d =≠-，所以齐次差分方程的通解为()(2)t Y t C =-，非齐次差分方程的特解设为()2t y t A *=，代入原方程，得1222 3.2t t t A A ++=，比较系数，得34A =， 故特解为 3()24t y t *=⨯， 于是，所求通解为*3(2)24t t t y Y y C =+=-+⨯，（C 为任意常数） 由04y =，得134C =，故所求特解为 133(2)244t t t y =-+⨯.习题10.21．求下列差分方程的通解或特解：（1）132t t y y +-=-； （2）132t t y y t +-=+；（3）2122t t y y t +-=+； （4）12tt t y y +-=；（5）144t t t y y +-=； （6）12t t t y y t +-=；（7）122t t y y t +-=+，04y =； （8）12t t t y y ++=，02y =. §10.3 二阶常系数线性差分方程二阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式为)(12t f by ay y t t t =++++ （1）其中,a b 为常数，且0≠b ，)(t f 为t 的已知函数，其对应的齐次方程为210t t t y ay by ++++= （2）一、二阶常系数齐次线性差分方程由解的结构定理，求解方程（2）关键是找它的两个线性无关的特解，显然t t y λ=符合方程（2）的系数特点，将其代入方程（2）有()20t a b λλλ++=因为0≠t λ，所以02=++b a λλ （3）定义1 方程（3）称为方程（2）的特征方程，特征方程的根称为特征根. 可见，若t t y λ=是方程（2）的解的充要条件是λ为其特征根.与微分方程类似，二阶常系数齐次线性差分方程求解步骤：（1）写出它的特征方程02=++b a λλ；（2）求出特征方程的两个特征根12,λλ；例1 求差分方程2120t t t y y y +++-=的通解.解 特征方程为 220λλ+-=,特征根为122,1λλ=-=,则该方程通解为()122tt y C C =-+ （1C ，2C 为任意常数）.例2 求差分方程09612=+-++t t t y y y 的通解. 解 特征方程为0962=+-λλ,特征根为321==λλ,则该方程通解为12()3t t y C C t =+ （1C ，2C 为任意常数）.例3 求差分方程016412=+-++t t t y y y 的通解. 解 特征方程为01642=+-λλ,特征根为i 32221±=，λ,则令4r ==,由tan βωα===得3πω=,所以原方程的通解为124(cossin)33t t y C t C t ππ=+ (12,C C 为任意常数).二、二阶常系数非齐次线性差分方程求解步骤:（1）求出对应齐次方程210t t t y ay by ++++=的通解()Y t ； （2）求出非齐次方程210()t t t y ay by f t ++++==的一个特解()yt *；（3）写出非齐次方程210()t t t y ay by f t ++++==的通解t y Y y *=+.注意 关键是确定非齐次方程的特解形式()yt *，常见形式如下表n n 注 该表也适用于高阶常系数非齐次线性差分方程求特解. 例4 求差分方程)12(3612+=--++t y y y t t t t 的通解. 解 特征方程为260λλ--=,特征根为21-=λ，32=λ,故对应的齐次方程通解为()1223tt t Y C C =-+ （1C ，2C 为任意常数）又由于()()321t f t t =+,其中3d =是单根，故特解设为*01()3()t y t t a t a =+,代入原方程，化简得()010(301533)3321t t a t a a t ++=+比较系数，得1225a =-，0115a =, 从而特解为)252151(3)(*-=t t t y t , 故所求通解为*1212(2)33()1525t t t t y Y y C C t t =+=-++-（1C ，2C 为任意常数）.例5 求差分方程t t t t y y y 39612=+-++的通解. 解 特征方程为2690λλ-+=,特征根为321==λλ,故对应的齐次方程通解为12()3t t Y C C t =+ （1C ，2C 为任意常数）,又由于()3t f t =,其中3d =为二重根，故特解设为*2()3t y t At =,将其代入差分方程，得22212(2)36(1)3933t t t t A t A t At +++-++=,解得118A =, 于是特解为t t t y 3181)(2*=, 所求通解为*2121()3318t tt y Y y C C t t =+=++（1C ，2C 为任意常数）. 例6 求差分方程53312=+-++t t t y y y 满足初值条件50=y ，81=y 的特解. 解 特征方程为2330λλ-+=,特征根为i 232321±=，λ, 因为3=r ，由33tan =ω，得3πω=,所以齐次差分方程的通解为12(cossin)66t t Y C t C t ππ=+,又由于()5f t =,其中1d =不是特征根，故特解设为*()y t A =,将其代入差分方程得335A A A -+=,从而5A =,于是特解为5)(*=t y ,所以原方程通解为5)6sin6cos()3()(21++=t C t C t y t ππ,将8,510==y y 分别代入上式，解得01=C ，322=C ,故所求特解为56sin)3(2)(1*+=+t t y t π.习题10.31．求下列差分方程的通解（1）2120t t t y y y ++--=； （2）212150t t t y y y +++-=；（3）21440t t t y y y ++-+=； （4）2120t t t y y y ++++=； （5）21220t t t y y y ++-+=； （6）2109t t y y ++=. 2．求下列差分方程的通解或特解（1）21212t t t y y y +++-=，011,1y y ==； （2）21343t t t y y y t +++-=； （3）2124t t t y y y ++-+=,011,5y y ==； （4）21443t t t y y y t ++-+=+ （5）21t t y y t ++=+，011,1y y == （6）2154t t t y y y t ++++=§10.4 差分方程在经济学中的应用一、筹措教育经费模型某家庭从现在着手从每月工资中拿出一部分资金存入银行，用于投资子女的教育，并计划20年后开始从投资帐户中每月支取1000元，直到10年后子女大学毕业用完全部资金. 要实现这个投资目标，20年内共要筹措多少资金？每月要向银行存入多少钱？假设投资的月利率为0.5%.设第t 个月投资帐户资金为t S 元，每月存入资金为a 元. 于是，20年后关于t S 的差分方程模型为1 1.0051000t t S S +=- （1）并且x S S ==0120,0. 解方程（1），得通解10001.005 1.0052000001 1.005t t t S C C =-=+-由1200S =得120120 1.0052000000S C =+=因此1202000001.005C =-,由0S x =有 0200000S C x =+= 从而有45.07390005.1000200000200120=-=x从现在到20年内，t S 满足的差分方程为1 1.005t t S S a +=+ （2）且45.07390,02400==S S 解方程（2），得通解1.005 1.0052001 1.005t t t aS C C a =+=--以及240240 1.00520090073.45S C a =-=02000S C a =-=从而有95.194=a即要达到投资目标，20年内要筹措资金90 073.45元，平均每月要存入银行194.95元. 二、价格与库存模型设t P 为第t 个时段某类产品的价格，t L 为第t 个时产品的库存量，L 为该产品的合理库存量. 一般情况下，如果库存量超过合理库存，则该产品的价格下跌，如果库存量低于合理库存，则该产品的价格上涨，于是有方程)(1t t t L L c P P -=-+， （3）其中c 为比例常数. 由（3）式可得211()t t t P P c L L +++-=- (4)由(4)-(3)可得)(2112t t t t t L L c P P P --=+-+++ （5）又设库存量t L 的改变与产品销售状态有关，且在第1+t 时段库存增加量等于该时段的供求之差，即11+++-=-t t t t t D S L L （6）若设供给函数和需求函数分别为βαα+--=-=)(),(P b D P a S ,代入到（6式得ααb a P b a L L t t t t --+=-++)(1,再由（5）得方程21[()2]()t t t P c a b P P c a b α++++-+=+ （7）设方程（7）的特解为A P t =*，代入方程得α=A ，方程（7）对应的齐次方程的特征方程为01]2)([2=+-++λλb a c ,解得]2)([21,122,1-+=-±-=b a c r r r λ,于是若1||<r ，并设θcos =r ，则方程（7）的通解为12cos sin t P B t B t θθα=++,12,B B 为两个任意实数.若1||>r ，则21,λλ为两个实根，方程（7）的通解为1122t tt P A A λλα=++,由于1122-<-<---=r r r λ,则当+∞→t 时，2t λ将迅速变化，方程无稳定解.因此，当11<<-r ，即210<+<r ，亦即ba c +<<40时，价格相对稳定， 其中c b a ,,为正常数.复习题十1．填空题：（1）设1t y t=，则t y ∆= .（2）设12tty e =，则2t y ∆= . （3）差分方程225t t y y ∆+∆=的阶数为 . （4）差分方程333t t t y y y ∆-∆-=的阶数为 .2．求下列差分方程的通解或特解：（1）135t t y y t ++=； （2）2121t t y y t +-=+；（3）121050t t y y t ++-=； （4）132tt t y y +-=，01y =；（5）122tt t y y ++=，043y =； （6）11232tt t y y +⎛⎫-= ⎪⎝⎭.3．求下列差分方程的通解：（1）21230t t t y y y +++-=； （2）2110250t t t y y y ++++=；（3）210t t t y y y ++++=； （4）21324t t t y y y ++-+=； （5）2128t t t y y y ++-+=； （6）212235tt t t y y y ++-+=⋅.4．某公司每年的工资总额正比上一年增加20%的基础上再追加2百万元，若以t W 表示第t 年的工资总额（单位百万元），求t W 满足的差分方程.。

差分方程百科内容来自于:差分方程是含有未知函数及其导数的方程，满足该方程的函数称为差分方程的解。

基本概念一、差分的概念设函数yt=f(t)在t=…，-2，-1，0，1，2，…处有定义,对应的函数值为…，y-2，y-1，y0，y1，y2，…，则函数yt=f(t)在时间t的一阶差分定义为Dyt=yt+1-yt=f(t+1)-f(t)。

依此定义类推，有Dyt+1=yt+2-yt+1=f(t+2)-f(t+1)，Dyt+2=yt+3-yt+2=f(t+3)-f(t+2)，………………一阶差分的性质(1) 若yt=C(C为常数)，则Dyt=0；(2) 对于任意常数k，D(kyt)=kDyt；(3) D(yt+zt)=Dyt+Dzt。

函数yt=f(t)在时刻t的二阶差分定义为一阶差分的差分，即D2yt= D (D yt)= D yt+1- D yt=(yt+2-yt+1)-(yt+1-yt)=yt+2-2yt+1+yt．依此定义类推，有D2yt+1= Dyt+2- Dyt+1=yt+3-2yt+2+yt+1，D2yt+2= Dyt+3-Dyt+2=yt+4-2yt+3+yt+2，………………类推，计算两个相继的二阶差分之差，便得到三阶差分D3yt= D2yt+1- D2yt=yt+3-3yt+2+3yt+1-yt，D3yt+1= D2yt+2- D2yt+1=yt+4-3yt+3+3yt+2-yt+1，………………一般地,k阶差分(k为正整数)定义为这里二、差分方程含有未知函数yt=f(t)以及yt的差分Dyt，D2yt，…的函数方程，称为常差分方程(简称差分方程)；出现在差分方程中的差分的最高阶数，称为差分方程的阶。

n阶差分方程的一般形式为F(t，yt，Dyt，…，Dnyt)=0，其中F是t，yt, Dyt，…，Dnyt的已知函数，且Dnyt一定要在方程中出现。

含有两个或两个以上函数值yt，yt+1，…的函数方程，称为(常)差分方程，出现在差分方程中未知函数下标的最大差，称为差分方程的阶。