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德阳市高2015级高三年级联合测试数学试题(文科)命题学校:德阳中学注意事项：1．本试卷共4页，包括选择题题（第1题~第12题）、非选择题（第13题~第22题）两部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、班级、学号写在答题纸内．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知全集U R =，2{|20}A x x x =-<，{|1}B x x =≥，则()B C A U =（ ）A. ()0,+∞B. (),1-∞C. (),2-∞D. ()0,12．已知复数21a ii --为纯虚数（其中i 是虚数单位），则a 的值为（） A. 2 B. -2C. 12D. 12-3．已知3cos 5α=， π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin2α的值为（）．A. 2425-B. 2425C. 725-D. 7254．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ,若23109a a a ++=，则9S = ( )A. 27B. 18C. 9D. 35．2014年5月12日，国家统计局公布了《2013年农民工监测调查报告》，报告显示：我国农民工收入持续快速增长．某地区农民工人均月收入增长率如图1，并将人均月收入绘制成如 图2的不完整的条形统计图．图1 图2根据以上统计图来判断以下说法错误的是( )A. 2013年农民工人均月收入的增长率是B. 2011年农民工人均月收入是元C. 小明看了统计图后说：“农民工2012年的人均月收入比2011年的少了”D. 2009年到2013年这五年中2013年农民工人均月收入最高6．已知函数()(),0,6log 0,22⎩⎨⎧≥+<=-x x x x f x ，则()[]=-1f f （ ）A ．2B.5log 2C ．7log 12+-D ．37．执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的k 是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A.34 B.25 C. 37 D. 35 9．在等比数列{}n a 中，“4a ，12a 是方程2310x x ++=的两根”是“81a =±”的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件10．已知()3f x x =,若[]1,2x ∈时，()()210f x ax f x -+-≤，则a 的取值范围是（ ）A. 1a ≤B. 1a ≥C. 32a ≥D. 32a ≤ 11．已知点A 是抛物线2:2(0)C x py p =>上一点，O 为坐标原点，若,A B 是以点(0,10)M 为圆心，||OA 的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点，且ABO ∆为等边三角形，则p 的值是（ ）A ．52B ．53C ．56D ．5912．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，O 为ABC ∆的外心，D 为BC 边上的中点，4=c ，5=∙，0sin 4sin sin =-+B A C ，则=A cos （ ）A.23 B. 41C. 21D. 32 第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）第8题图第7题图第12题图13．某企业三月中旬生产，A ．B ．C 三种产品共3000件，根据分层抽样的结果；企业统计员制作了如下的统计表格：由于不小心，表格中A ．C 产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C 的产品数量是件．14．若,x y 满足条件20{260 2x y x y x +-≥-+≥≤，则目标函数22z x y =+的最小值是.15．已知函数()()sin 0f x x x ωωω=>的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于2π，若将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位得到函数()y g x =的图象，则()y g x =单调递减区间为.16．设函数()2ln 2f x x x x =-+, 若存在区间[]1,,2a b ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭，使()f x 在[],a b 上的值域为()()2,2k a k b ⎡⎤++⎣⎦, 则k 的取值范围为_______________________.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S 满足()*13122n n S a a n N =-∈，且1231,2,7a a a -+成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令()*92log n n b a n N =∈，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18. 在刚刚结束的联考中，某校对甲、乙两个文科班的数学成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀，成绩统计后，得到如下的22⨯列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为3.(1)请完成上面的列联表；(2)请问：是否有75%的把握认为“数学成绩与所在的班级有关系”？ (3)用分层抽样的方法从甲、乙两个文科班的数学成绩优秀的学生中抽取5名学生进行调研，然后再从这5名学生中随机抽取2名学生进行谈话，求抽到的2名学生中至少有1名乙班学生的概率. 参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ (其中n a b c d =+++)参考数据：19.已知ABC ∆是锐角三角形，向量()cos ,sin ,cos ,sin 33m A A n B B ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且m n ⊥.（1）求A B -的值； （2）若3cos ,85B AC ==，求BC 的长.20. 已知函数()32f x ax x b =++的图象在点1x =处的切线方程为13y =,其中实数,a b 为常数.（1）求,a b 的值;（2）设命题p 为“对任意()12,x ∈+∞,都存在()21,x ∈+∞,使得()()121f x f x =”，问命题p 是否为真命题？证明你的结论.21. 已知函数()()2ln 1,f x x a x =+-其中0.a > (1).讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 有两个极值点12,,x x 且12,x x <求证：()02ln 212<<-x f选做题：（共10分）请考生在第22，23题中任选一题作答。
高三理数三模数学试卷一、单项选择题1.设是虚数单位.假设复数是纯虚数，那么的值为〔〕A. -3B. 1C. -1D. 32.集合，.那么〔〕A. B. C. D.3.如图为某商场一天营业额的扇形统计图，根据统计图你不能得出的信息为〔〕A. 该商场家用电器销售额为全商场营业额的40%B. 服装鞋帽和百货日杂共售出29000元C. 副食的销售额为该商场营业额的10%D. 家用电器部所得利润最高4. ，：向量与共线，那么是的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.阅读如下列图的框图，运行相应的程序，输出的值等于〔〕A. -3B. -10C. 0D. -26.如图，在正四棱柱中，点是平面内一点，那么三棱锥的主(正)视图与左(侧)视图的面积之比为〔〕A. 3：2B. 2：1C. 2：3D. 1：17.设函数在R上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，那么函数的图像可能是〔〕A. B. C. D.8.抛物线的弦的中点的横坐标为3，那么的最大值为〔〕A. 2B. 4C. 6D. 89.设函数的图象关于直线对称，它的周期是π，那么以下说法正确的个数为〔〕①将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象；② 的图象过点(0，1)；③的图象的一个对称中心是；④ 在上是减函数A. 1B. 2C. 3D. 410.假设数列对于任意的正整数满足：，且，那么称数列为“积增数列〞.“积增数列〞中，，数列的前项和为，那么对于任意的正整数，有〔〕A. B. C. D.11.过双曲线的左顶点作斜率为1的直线，假设直线与双曲线的两条渐近线分别相交于点、，且，那么双曲线的离心率为〔〕〔为原点〕A. B. C. D.12.函数，假设存在，使，那么实数的取值范围为〔〕A. B. C. D.二、填空题13.等比数列满足，，那么________．14.实数满足，那么目标函数的最大值为________．15.的展开式中的常数项为________．16.在直角三角形中，，是斜边的中点，将沿直线翻折，假设在翻折过程中存在某个位置，使得，那么边长的最大值为________.三、解答题17.为了更好的开展高中数学综合实践课的教学，结合高中数学与物理紧密联系的特点，某高级中学数学组与物理组进行联合教学实践活动.在一次实践活动中，某班学生分成五组进行物理实验〔研究某物理现象中两个物理量、之间的关系〕，得到五组数据如下表所示.12 11 13 10 927 25 29 24 20参考公式：，.〔1〕为了减少一定的运算量，同学们决定用前三组的数据研究两个物理量、的线性回归方程，并由该回归方程预估第4，5组物理量的值，假设产生的残差的绝对值不超过1，那么认为本次实践活动成功.请问本次实践活动是否成功？并说明理由；〔2〕老师打算从这五组学生中随机选取两组学生进行校本科研课题：?数学与物理深度融合研究?的问卷调查，记组号差的绝对值为，求的分布列与数学期望.18.在中，，，，为内一点，且.〔1〕假设，求；〔2〕假设，设，求.19.四棱锥中，，，，平面平面，点为的中点.〔1〕求证：向量、、共面；〔2〕假设，求二面角的余弦值.20.设圆的圆心为，过点且与轴不重合的直线交明于、两点，过作的平行线交于点.〔1〕证明为定值，并写出点的轨迹的方程；〔2〕点，，过点的直线与曲线交于、两点.记与的面积分别为和，求的最大值.21.函数.〔1〕求的极值；〔2〕，函数，假设关于的不等式恒成立，试确定的取值范围.22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为( 为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为. 〔1〕写出曲线的极坐标方程，并指出它是何种曲线；〔2〕设与曲线交于､两点，与曲线交于､两点，求四边形面积.23.函数，．〔1〕解不等式．〔2〕假设对任意，都有，使得成立，求实数的取值范围．答案解析局部一、单项选择题1.【解析】【解答】由题得，因为复数是纯虚数，所以.故答案为：B【分析】由复数代数形式的运算性质整理化简再由复数的定义即可得出答案。
2016年四川省成都市高考数学三诊试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知田径队有男运动员56人，女运动员42人，若按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出14人参加比赛，则抽到女运动员的人数为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 2．命题“∀x ∈（﹣1，+∞），ln （x+1）＜x”的否定是（ ） A ．∀x ∉（﹣1，+∞），ln （x+1）＜x B ．∀x 0∉（﹣1，+∞），ln （x 0+1）＜x 0 C ．∀x ∈（﹣1，+∞），ln （x+1）≥x D ．∃x 0∈（﹣1，+∞），ln （x 0+1）≥x 03．已知复数z=﹣i （其中i 为虚数单位），则|z|=（ ）A ．3B ．C ．2D ．14．已知α，β是空间中两个不同的平面，m 为平面β内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥α”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知向量，满足=2， •=﹣3，则在方向上的投影为（ ）A ．B ．C ．D ．6．一块边长为8cm 的正方形铁板按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足为底面中心的四棱锥）形容器，O 为底面ABCD 的中心，则侧棱SC 与底面ABCD 所成角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．7．执行如图所示的程序框图，若依次输入m=，n=﹣2，p=，则输出的结果为（ ）A ．B ．C ．﹣2D ．8．已知椭圆C ：+=1（0＜n ＜16）的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若|AF 2|+|BF 2|的最大值为10，则n 的值为（ ）A ．15B ．14C ．13D ．129．某工厂用A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品需用4个A 配件耗时1h ，每生产一件乙产品需用4个B 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得24个A 配件和16个B 配件，每天生产总耗时不超过8h ．若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利4万元，则通过恰当的生产安排，该工厂每天可获得的最大利润为（ ）A ．24万元B ．22万元C ．18万元D ．16万元10．定义在（1，+∞）上的函数f （x ）同时满足：①对任意的x ∈（1，+∞），恒有f （2x ）=f （x ）成立；②当x ∈（1，2]时，f （x ）=2﹣x ．记函数g （x ）=f （x ）﹣k ，若函数g （x ）恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[，） B ．（，） C ．[，1） D ．（，1）二、填空题：（大题共5小题，每小题5分，共25分.11．计算：sin65°cos35°﹣sin25°sin35°=______．12．若直线l 1：x ﹣2y+5=0与l 2：2x+my ﹣5=0相互垂直，则实数m=______．13．若直线2ax+by ﹣1=0（a ＞0，b ＞0）经过曲线y=cosπx +1（0＜x ＜1）的对称中心，则+的最小值为______．14．设双曲线C ：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0）（c＞0），P为双曲线C右支上的一点，线段PF与圆x2+y2+x+=0相切于点Q ，且+3=，则双曲线C的离心率为______．15．函数f（x）=（a＞0，b＞0），因其图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，我们把函数f（x）的图象与y轴的交点关于原点的对称点称为函数f（x）的“囧点”，以函数f（x）的“囧点”为圆心，与函数f（x）的图象有公共点的圆，皆称函数f （x）的“囧圆”，则当a=b=1时，有下列命题：①对任意x∈（0，+∞），都有f（x ）＞成立；②存在x0∈（，），使f（x）＜tanx成立；③函数f（x）的“囧点”与函数y=lnx 图象上的点的最短距离是；④函数f（x）的所有“囧圆”中，其周长的最小值为2π．其中的正确命题有______（写出所有正确命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=sin2x+2sin（x+）cos（x+）+．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A满足f（A）=1+，若a=3，sinB=2sinC，求b的值．17．如图，在三棱台DEF﹣ABC中，已知底面ABC是以AB为斜边的直角三角形，FC⊥底面ABC，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（1）求证：平面ABED∥平面GHF；（2）若BC=CF=AB=1，求棱锥F﹣ABHG的体积．18．某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如表：语言表达能力人数逻辑思维能力一般良好优秀一般221良好 4m 1 优秀13 n由于部分数据丢失，只知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为．（1）求m ，n 的值；（2）从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率．19．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且3S n +a n ﹣3=0，n ∈N *． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列{b n }满足b n =log 2（1﹣S n+1），求数列{}的前n 项和T n ．20．设抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，过点F 且垂直于x 轴的直线l 交抛物线C 于M ，N 两点，已知|MN|=4．（1）求抛物线C 的方程； （2）过点F 任意作相互垂直的两条直线l 1，l 2，分别交抛物线C 于不同的两点A ，B 和不同的两点D ，E ，设线段AB ，DE 的中点分别为P ，Q ，求证：直线PQ 过定点R ，并求出定点R 的坐标．21．已知函数f （x ）=（x 2+ax ﹣2a ﹣3）e x ，其中a ∈R ，e=…为自然对数的底数． （1）讨论函数f （x ）的单调性； （2）当x ∈[0，1]时，若函数f （x ）的图象恒在直线y=e 的上方，求实数a 的取值范围．2016年四川省成都市高考数学三诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知田径队有男运动员56人，女运动员42人，若按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出14人参加比赛，则抽到女运动员的人数为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 【考点】分层抽样方法．【分析】先求出每个个体被抽到的概率，再用女运动员的人数乘以此概率，即得所求．【解答】解：每个个体被抽到的概率等于=，则样本中女运动员的人数为 42×=6． 故选：C ．2．命题“∀x ∈（﹣1，+∞），ln （x+1）＜x”的否定是（ ）A ．∀x ∉（﹣1，+∞），ln （x+1）＜xB ．∀x 0∉（﹣1，+∞），ln （x 0+1）＜x 0C ．∀x ∈（﹣1，+∞），ln （x+1）≥xD ．∃x 0∈（﹣1，+∞），ln （x 0+1）≥x 0 【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：∵全称命题的否定是特称命题， ∴命题“∀x ∈（﹣1，+∞），ln （x+1）＜x”的否定是：“∃x 0∈（﹣1，+∞），ln （x 0+1）≥x 0”，故选：D ．3．已知复数z=﹣i （其中i 为虚数单位），则|z|=（ ） A ．3 B ． C ．2 D ．1 【考点】复数求模．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的公式得答案． 【解答】解：∵z=﹣i=，∴|z|=．故选：A ．4．已知α，β是空间中两个不同的平面，m 为平面β内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥α”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面β内的一条直线，且m⊥α，则α⊥β，反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥α，所以不一定能得到m⊥α，所以“α⊥β”是“m⊥α”的必要不充分条件．故选B．5．已知向量，满足=2，•=﹣3，则在方向上的投影为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量数量积的定义与投影的定义，进行计算即可．【解答】解：∵||=2，•（﹣）=﹣3，∴•﹣=•﹣22=﹣3，∴•=1，∴向量在方向上的投影为=．故选：C．6．一块边长为8cm的正方形铁板按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足为底面中心的四棱锥）形容器，O为底面ABCD的中心，则侧棱SC与底面ABCD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】直线与平面所成的角．【分析】连接OC，则∠SCO为侧棱SC与底面ABCD所成角，根据图1可知棱锥底面边长为6，斜高为4，从而棱锥的侧棱长为5．于是cos∠SCO=．【解答】解：由图1可知四棱锥的底面边长为6，斜高为4．∴棱锥的侧棱长为5．连接OC，∵SO⊥平面ABCD，∴∠SCO为侧棱SC与底面ABCD所成的角．∵AB=BC=6，∴OC=AC=3．∴cos∠SCO=．故选：B．7．执行如图所示的程序框图，若依次输入m=，n=﹣2，p=，则输出的结果为（）A．B．C．﹣2D．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得该流程图的作用是求出m、n、p中的最小数，化简比较三个数即可得解．【解答】解：根据题意，该流程图的作用是求出m、n、p中的最小数，并将此最小的数用变量x表示并输出，由于，m==，n=﹣2=，p==，可得，＞＞，即：n＞m＞p．故选：A．8．已知椭圆C ： +=1（0＜n ＜16）的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若|AF 2|+|BF 2|的最大值为10，则n 的值为（ ）A ．15B ．14C ．13D ．12 【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知椭圆是焦点在x 轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF 2|+|AF 2|=16﹣|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB 垂直于x 轴时|AB|最小，把|AB|的最小值，代入|BF 2|+|AF 2|=16﹣|AB|，由|BF 2|+|AF 2|的最大值等于10，列式求n 的值．，【解答】解：由0＜n ＜16可知，焦点在x 轴上，由过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，由椭圆的定义可得|BF 2|+|AF 2|+|BF 1|+|AF 1|=2a+2a=4a=16， 即有|BF 2|+|AF 2|=16﹣|AB|．当AB 垂直x 轴时|AB|最小，|BF 2|+|AF 2|值最大， 此时|AB|===，即为10=16﹣， 解得n=12． 故选：D ．9．某工厂用A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品需用4个A 配件耗时1h ，每生产一件乙产品需用4个B 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得24个A 配件和16个B 配件，每天生产总耗时不超过8h ．若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利4万元，则通过恰当的生产安排，该工厂每天可获得的最大利润为（ ）A ．24万元B ．22万元C ．18万元D ．16万元 【考点】简单线性规划．【分析】根据条件建立不等式组即线性目标函数，利用图象可求该厂的日利润最大值． 【解答】解：设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，工厂获得的利润为z 又已知条件可得二元一次不等式组：目标函数为z=3x+4y，由，可得，利用线性规划可得x=6，y=1时，此时该厂的日利润最大为z=3×6+4=22万元，故选：B．10．定义在（1，+∞）上的函数f（x）同时满足：①对任意的x∈（1，+∞），恒有f（2x）=f（x）成立；②当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．记函数g（x）=f（x）﹣k，若函数g（x）恰有两个零点，则实数k的取值范围是（）A．[，）B．（，）C．[，1） D．（，1）【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】根据题中的条件分别求出函数f（x）在（1，8]上对应的解析式，即可求出参数k的范围即可．【解答】解：∵对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=f（x）∴f（x）=f（），若x∈（2，4]，则∈（1，2]，此时f（x）=f（）=1﹣，若x∈（4，8]，则∈（2，4]，此时f（x）=f（）=﹣，x=2时，f（2）=，x=4，f（4）=．由题意得函数g（x）=f（x）﹣k，若函数g（x）恰有两个零点，∴≤k＜．故选：A．二、填空题：（大题共5小题，每小题5分，共25分.11．计算：sin65°cos35°﹣sin25°sin35°=．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由条件利用诱导公式、两角而和的余弦公式，求得所给式子的值．【解答】解：sin65°cos35°﹣sin25°sin35°=cos25°cos35°﹣sin25°sin35°=cos （25°+35°）=cos60°=，故答案为：．12．若直线l1：x﹣2y+5=0与l2：2x+my﹣5=0相互垂直，则实数m= 1 ．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】对m分类讨论，利用直线相互垂直的直线的充要条件即可得出．【解答】解：m=0时不满足条件，舍去．∵直线l1：x﹣2y+5=0与l2：2x+my﹣5=0相互垂直，∴=﹣1，解得m=1．故答案为：1．13．若直线2ax+by﹣1=0（a＞0，b＞0）经过曲线y=cosπx+1（0＜x＜1）的对称中心，则+的最小值为3+2．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】求出函数的对称中心坐标，推出ab关系式，然后利用基本不等式求解表达式的最值．【解答】解：曲线y=cosπx+1（0＜x＜1）的对称中心（，1）．直线2ax+by﹣1=0（a＞0，b＞0）经过曲线y=cosπx+1（0＜x＜1）的对称中心，可得a+b=1．+=（+）（a+b）=3+≥3+2=3+2，当且仅当b=，a+b=1，即b=2，a=时，表达式取得最小值．故答案为：3+2．14．设双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0）（c＞0），P为双曲线C右支上的一点，线段PF与圆x2+y2+x+=0相切于点Q，且+3=，则双曲线C的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用对应边成比例，可得QC∥PE，再由双曲线的定义，以及直线和圆相切的性质，运用勾股定理和离心率公式，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：圆的标准方程为（x+）2+y2=﹣=，则圆心坐标D（﹣，0），半径R=，则==，∵+3=，∴=3，∴||=3||，∴=，即==，则QD∥PE，则PF=3QD=3×=b，∵直线PF与圆（x+）2+y2=，相切于点Q，∴QC⊥PF，则PE⊥PF，则PF==，由双曲线的定义可得，|PF|﹣|PE|=2a，即﹣b=2a，即=2a+b，平方得4c2﹣b2=4a2+4ab+b2，即4c2﹣4a2﹣2b2=4ab，即4b2﹣2b2=4ab，即2b2=4ab，则b=2a，c2=5a2，∴e==．故答案为：15．函数f （x ）=（a ＞0，b ＞0），因其图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，我们把函数f （x ）的图象与y 轴的交点关于原点的对称点称为函数f （x ）的“囧点”，以函数f （x ）的“囧点”为圆心，与函数f （x ）的图象有公共点的圆，皆称函数f （x ）的“囧圆”，则当a=b=1时，有下列命题：①对任意x ∈（0，+∞），都有f （x ）＞成立； ②存在x 0∈（，），使f （x 0）＜tanx 0成立；③函数f （x ）的“囧点”与函数y=lnx 图象上的点的最短距离是；④函数f （x ）的所有“囧圆”中，其周长的最小值为2π． 其中的正确命题有 ②③④ （写出所有正确命题的序号）． 【考点】函数的图象．【分析】利用特殊值法，研究函数的值域，单调性，和零点问题，以及导数的几何意义，利用数形结合的方法进行判断．【解答】解：当a=1，b=1时，函数f （x ）=，①当x=时，f （）==﹣2， =2，故f （x ）＞不成立，故①不正确；②当x 0=时，f （）=＜0，tan=1，故存在x 0∈（，），使f （x 0）＜tanx 0成立，故②正确；③则函数f （x ）=与y 轴交于（0，﹣1）点，则“囧点”坐标为（0，1），设y=lnx ， 则y′=，设切点为（x 0，lnx 0）， ∴切线的斜率k=，当“囧点”与切点的连线垂直切线时，距离最短，∴•=﹣1，解得x=1，∴切点坐标为（1，0），故函数f（x）的“囧点”与函数y=lnx图象上的点的最短距离是=，故③正确，④令“囧圆”的标准方程为x2+（y﹣1）2=r2，令“囧圆”与f（x）=图象的左右两支相切，则切点坐标为（，）、（﹣，）、此时r=；令“囧圆”与f（x）=图象的下支相切则切点坐标为（0，﹣1）此时r=2，故函数f（x）的所有“囧圆”中，其周长的最小值为2π，故④正确，综上所述：其中的正确命题有②③④，故答案为：②③④三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=sin2x+2sin（x+）cos（x+）+．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A满足f（A）=1+，若a=3，sinB=2sinC，求b的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．【分析】（1）由诱导公式与辅助角公式得到f（x）的解析式，由此得到单调增区间．（2）由f（A）=1+，得A=，由恒等式得到B=，所以得到b．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x+2sin（x+）cos（x+）+．=sin2x+sin（2x+）+．=2sin（2x+）+，由﹣+2kπ≤2x+≤2kπ+，得：﹣+kπ≤x≤kπ+，（k∈Z），∴函数f（x）的单调递增区间是[﹣+kπ，kπ+]，（k∈Z）．（2）∵f（A）=1+，∴A=，∵sinB=2sinC=2sin（﹣B），∴cosB=0，即B=，∴由正弦定理得： =，∴b=．17．如图，在三棱台DEF﹣ABC中，已知底面ABC是以AB为斜边的直角三角形，FC⊥底面ABC，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（1）求证：平面ABED∥平面GHF；（2）若BC=CF=AB=1，求棱锥F﹣ABHG的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面平行的判定．【分析】（1）根据面面平行的判定定理即可证明平面ABED∥平面GHF；（2）利用S梯形ABHG =S△ABC﹣S△GHC，求出S梯形ABHG，利用体积公式，即可求棱锥F﹣ABHG的体积．【解答】（1）证明：∵在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，∴BC=2EF，AC=2DF，∵G，H分别为AC，BC的中点，∴GH∥AB，EF∥BH，EF=BH，∴四边形BJFE是平行四边形，∴BE∥FH，∴GH ∥平面ABED ，FH ∥平面ABED ， ∵GH∩FH=H，∴平面ABED ∥平面GHF ；（2）解：设棱锥F ﹣ABHG 的体积为V ， ∵BC=CF=AB=1， ∴S 梯形ABHG =S △ABC ﹣S △GHC ==，∴V==．18．某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如表：语言表达能力人数逻辑思维能力 一般 良好 优秀一般 2 2 1 良好 4 m 1 优秀 1 3 n由于部分数据丢失，只知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为．（1）求m ，n 的值；（2）从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式． 【分析】（1）根据古典概型的概率列方程解出n ，再根据人数之和为20得出m ； （2）使用组合数公式计算基本事件，利用古典概型的概率计算公式得出概率．【解答】解；（1）∵语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有1+3+n+1+1=6+n ， 抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为． ∴，解得n=2．∴m=4．（2）语言表达能力良好的学生共有2+4+3=9人．其中思维能力优秀的有3人， 则从9人中抽取2人共有=36个基本事件，而至少有一名思维能力优秀的基本事件个数为+•=21．∴至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率P==．19．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且3S n +a n ﹣3=0，n ∈N *．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列{b n }满足b n =log 2（1﹣S n+1），求数列{}的前n 项和T n ．【考点】数列的求和．【分析】（1）通过3S n +a n ﹣3=0与3S n ﹣1+a n ﹣1﹣3=0作出可知a n =a n ﹣1，进而可知数列{a n }是首项为、公比为的等比数列，计算即得结论；（2）通过（1）裂项可知=﹣，进而并项相加即得结论．【解答】解：（1）∵3S n +a n ﹣3=0， ∴当n ≥2时，3S n ﹣1+a n ﹣1﹣3=0， 两式相减得：a n =a n ﹣1， 又∵3S 1+a 1﹣3=0，即a 1=，∴数列{a n }是首项为、公比为的等比数列， 故其通项公式a n =•=；（2）由（1）可知1﹣S n+1=1﹣（3﹣a n+1）=，∴b n =log 2（1﹣S n+1）=﹣n ﹣1， ∴==﹣， ∴T n =﹣+﹣+…+﹣=﹣=．20．设抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，过点F 且垂直于x 轴的直线l 交抛物线C 于M ，N 两点，已知|MN|=4．（1）求抛物线C 的方程； （2）过点F 任意作相互垂直的两条直线l 1，l 2，分别交抛物线C 于不同的两点A ，B 和不同的两点D ，E ，设线段AB ，DE 的中点分别为P ，Q ，求证：直线PQ 过定点R ，并求出定点R 的坐标．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）把x=代入抛物线方程得出M ，N 的坐标，根据|MN|=4列方程解出p ； （2）设直线l 1的斜率为k ，联立方程组消元，根据根与系数的关系得出P ，Q 的坐标，求出PQ 的方程，根据方程特点判断是否过定点．【解答】解：（1）抛物线的焦点为F （，0），∴直线l 的方程为x=． 把x=代入y 2=2px 得y=±p ． ∴|MN|=2p=4，即p=2．∴抛物线的方程为：y 2=4x ．（2）设直线l 1的斜率为k ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则直线l 1的方程为y=k （x ﹣1）， 联立方程组，得k 2x 2﹣（2k 2+4）x+k 2=0，则△=（2k 2+4）2﹣4k 4=16k 2+16＞0． ∴x 1+x 2==2+，y 1+y 2=k （x 1+x 2﹣2）=．∴AB 的中点P （1+，）．同理求出Q （1+2k 2，﹣2k ）． 当即k=1或﹣1时，直线PQ 方程为x=3．当k ≠±1时，直线PQ 的斜率k PQ =，∴直线PQ 的方程为y+2k=（x ﹣1﹣2k 2），即（k 2﹣1）y+（x ﹣3）k=0．∴直线PQ 经过点（3，0）． 综上，直线PQ 过定点R （3，0）．21．已知函数f （x ）=（x 2+ax ﹣2a ﹣3）e x ，其中a ∈R ，e=…为自然对数的底数． （1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）当x ∈[0，1]时，若函数f （x ）的图象恒在直线y=e 的上方，求实数a 的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求出导函数f′（x ）=0的解，根据f （x ）的两极值点的大小关系及二次函数的性质得出f （x ）的单调性；（2）根据（1）的结论对f （x ）在[0，1]上的单调性进行讨论，求出f min （x ），令f min（x ）＞e 解出a 的范围．【解答】解：（1）f′（x ）=e x （x 2+ax ﹣2a ﹣3）+e x （2x+a ）=e x [x 2+（a ﹣2）x ﹣a ﹣3]=e x（x ﹣1）（x+a+3）．令f′（x ）=0得x 1=1，x 2=﹣a ﹣3，①当﹣a ﹣3=1即a=﹣4时，f′（x ）=e x （x ﹣1）2≥0， ∴f （x ）在R 上单调递增；②当﹣a ﹣3＜1即a ＞﹣4时，f′（x ）＞0的解为x ＜﹣a ﹣3或a ＞1， f′（x ）＜0的解为﹣a ﹣3＜x ＜1， ∴f （x ）在（﹣∞，﹣a ﹣3）上单调递增，在（﹣a ﹣3，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；③当﹣a ﹣3＞1即a ＜﹣4，f′（x ）＞0的解为x ＜1或a ＞﹣a ﹣3， f′（x ）＜0的解为1＜x ＜﹣a ﹣3，∴f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，﹣a﹣3）上单调递减，在（﹣a﹣3，+∞）上单调递增；综上，当a=﹣4时，f（x）在R上单调递增；当a＞﹣4时，f（x）在（﹣∞，﹣a﹣3）上单调递增，在（﹣a﹣3，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；当a＜﹣4时，f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，﹣a﹣3）上单调递减，在（﹣a﹣3，+∞）上单调递增．（2）①当a≤﹣4时，由（I）可知f（x）在[0，1]上单调递增，∴f（x）=f（0）=min﹣2a﹣3，∵函数f（x）的图象恒在直线y=e的上方，∴﹣2a﹣3＞e，解得：a＜﹣3+e2，∴a≤﹣4．②当0＜﹣a﹣3＜1即﹣4＜a＜﹣3时，f（x）在（0，﹣a﹣3）上单调递增，在（﹣a ﹣3，1）上单调递减，∵函数f（x）的图象恒在直线y=e的上方，∴，解得：﹣4＜a＜﹣3．（x）=f（1）=（﹣a﹣2）③当﹣a﹣3≤0即a≥﹣3时，f（x）在[0，1]上单调递减，fmine，∵函数f（x）的图象恒在直线y=e的上方，∴（﹣a﹣2）e＞e，解得：a＜﹣3，舍去．综上，a的取值范围是（﹣∞，﹣3）．2016年9月19日。
四川省德阳市高中2011级第三次诊断性考试语文试题说明：1．本试卷分第I卷和第Ⅱ卷，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效。
考试结束后，将答题卡交回。
2．本试卷满分150分，150分钟完卷。
第Ⅰ卷（选择题共30分）一、（12分，每小题3分）1．下列每组加点字读音都不同的一项是（）A．褊．小／蝙．蝠石栈．／颤．抖粗犷／．．心旷．神怡挑．大梁／挑．拨离间B．猿猱．／杂糅．戏谑．／纸屑．畸．形／掎．角之势高压锅．／压．缩空气C．复辟．／辟．邪狡黠．／诘．问鸡肋．／悬崖勒．马将．进酒／将．军气魄D．自刭．／痉．挛嫡．传／贬谪．倔．强／倔．头倔脑流窜．犯／上蹿．下跳2．下列词语中，没有错别字的一项是（）A．荆杞明摆着胼手胝足阴谋鬼计B．馔玉下工夫按部就班苦思冥想C．孝悌窝囊废知书达礼鞭辟入里D．搏取，东南坼黔驴技穷光怪陆离3．下列各句加点词语使用恰当的一项是（）A．进入高三以来，他月考屡次失利，不禁心急如焚。
面对即将到来的阶段考试，他挤出时间在教室里拼命复习，给自己开小灶．．．。
B．东京电力公司曝出丑闻，涉嫌长期隐瞒核电厂安全问题，伪造检查记录。
丑闻一经传出，如水投石．．．．，很快引起社会各界的强烈反响。
C．“文革”已成了“浩劫”的代名词，而那些助纣为虐的人却很少忏悔，真诚忏悔的声音不是没有，只是很稀疏，犹如空谷足音．．．．。
D．山东诸城超然台中秋夜的月亮分外皎洁，面对天空中那一轮珠圆玉润．．．．的明月，苏轼不禁把酒问青天，思念起了远在他乡的弟弟。
4．下列各句中，没有语病的一项是（）A．第六届全球人居环境论坛近日在纽约联合国总部举行，汶川县水磨镇灾后重建项目获得了“全球灾后重建规划设计最佳范例”称号。
B．奥巴马在白宫南草坪举行隆重的欢迎仪式，欢迎胡锦涛对美国进行国事访问，从而拉开了旨在提升中美关系的一系列邦交活动。
C．2011年元旦因发生车祸重伤的孙中山的孙女孙穗芬经过近1个月左右的治疗后，仍不幸于1月29日下午过世，享年72岁。
德阳市高中2015届 “三诊”考试数学试卷（文史类）说明： 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷1-2页，第Ⅱ卷3-4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回． 2.本试卷满分150分，120分钟完卷．第Ⅰ卷 （选择题 共50分）参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 球的表面积公式：24S R π=（其中R 表示球的半径）球的体积公式：343V R π=（其中R 表示球的半径） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1.若复数z 满足(34)|43|i z i -=+，则z 的虚部为A ．4-B ．45-C ．4D ．45【答案】D【解析】由题意知|43|534343455i z i i i +===+--．【考点】复数的模及复数运算．2.若全集{}1,2,3,4,5U =，{}4,5U P =ð，则集合P 可以是A ．{}*|||4x N x ∈<B ．{}*|6x N x ∈<C ．{}2|16x N x ∈≤D ．{}3*|16x N x ∈≤【答案】A【解析】由{}1,2,3,4,5U =，{}4,5U P =ð，可知{}1,2,3P =． 【考点】集合的补集运算．3.两条不重合的直线a 、b 和平面α，则“a α⊥，b α⊥”是“//a b ”的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】垂直于同一个平面的两条直线相互平行，故满足充分性；但//a b ，不一定满足都与α垂直． 【考点】空间中的线面关系．4.为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而同一学段男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的方法是 A ．简单随机抽样 B ．按性别分层抽样 C ．按学段分层抽样 D ．系统抽样 【答案】C【解析】因为各学段视力情况差异较大，故采用按学段分层抽样． 【考点】分层抽样．5.顶点在原点，经过圆2220x y x +-+=的圆心且准线和x 轴垂直的抛物线方程为A ．22y x =-B ．22y x =C．2y =D．2y =【答案】B【解析】因为抛物线的准线与x 轴垂直，故可设抛物线方程为2(0)y mx m =≠，因为圆心(1,在抛物线上，所以2m =，故抛物线方程为22y x =． 【考点】抛物线的方程．6.设函数()sin cos f x x x x =+的图象上的点00(,)x y 处的切线的斜率为k ，若0()k g x =，则函数0()k g x =的图象大致为【答案】A【解析】由()sin cos f x x x x =+，得'()cos f x x x =，故000()cos g x x x =，该函数为奇函数，故排除B 、C ，又在00x >且00x →时，0()0g x >，排除D ． 【考点】函数图象与函数的性质．7.执行如图所示的程序框图，输出的k 值是 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】B【解析】5,0n k ==；16,1n k ==；8,2n k ==；4,3n k ==；2,4n k ==；1,5n k ==输出．【考点】程序框图．8.设x ，y 满足约束条件20,320,0,0,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩若目标函数z ax by =+（0a >，0b >）的最大值为6，则312log ()a b +的最小值为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】分析可知，当目标函数线经过点(2,4)A 时取得最大值，故246a b +=，即2133a b +=．所以12122522()()33333a b b a a b a b a b +=++=++522333≥+⨯=．当且仅当1a b ==时等号成立．所以332log ()log 31a b 1+≥=，即312log ()a b+的最小值为1．【考点】线性规划及均值不等式．9.在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对应的三角形的边长，若4230aBC bCA cAB ++=，则cos B ＝A ．2936-B ．2936C ．1124D ．1124-【答案】D【解析】由4230aBC bCA cAB ++=，得(34)(42)0c a AB a b AC -+-=．因为AB 、AC 不共线，所以340,420,c a a b -=⎧⎨-=⎩整理得2,4,3b a c a =⎧⎪⎨=⎪⎩所以222164119cos 42423a a aB a a +-==-⋅． 【考点】向量的线性运算及余弦定理．10.已知函数33,(0)()log (),(0)x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，函数[]2()()()g x f x f x t =++，t R ∈，则下列判断不正确的是A ．若14t =，则()g x 有一个零点 B ．若124t -<<，则()g x 有两个零点 C ．若2t <-，则()g x 有四个零点 D ．若2t =-，则()g x 有三个零点 【答案】C【解析】作出函数()f x 的图象，如图所示．令()0g x =，得[]2()()0f x f x t ++=，140t ∆=->，解得14t <，所以2t <-时，该方程有两个根，不妨设为1()f x 、2()f x ，且12()()f x f x <，由12()()2f x f x t ⋅=<-，得1()0f x <，由函数()f x 的图象可知，1()()f x f x =有一个根，2()()f x f x =最多有两根，故关于x 的方程[]2()()0f x f x t ++=最多有3个根，即()g x 最多有三个零点，故C 错误． 【考点】函数的图象与函数的零点．第Ⅱ卷 （非选择题 100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填在答题卡对应题号后横线上．11.点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随即取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为 ． 【答案】23【解析】到圆上点A 距离小于1的点B 所在弧长为2，故其概率为23．【考点】几何概型．12.表面积为324π的球，其内接长方体的高为14，且底面是正方形，则此长方体的表面积为 ． 【答案】576【解析】由题意设球的半径为r ，则24324r ππ=，解得9r =．设长方体底面正方形的边长为a ，则18=，解得8a =，故长方体的表面积为2(88814814)576S =⨯+⨯+⨯=．【考点】长方体与球的组合体问题．13.设角α、β是锐角，若(1tan )(1tan )2αβ++=，则αβ+= ． 【答案】4π【解析】由(1tan )(1tan )2αβ++=，展开得1t an t a n t a n αβαβ+++⋅=，整理得t a n t a n 1t a n αβαβ+=-，故t a n t a n t a n ()11t a n t a n αβαβαβ++==-．因为α、β是锐角，所以0αβπ<+<，故4παβ+=．【考点】两角和的正切公式．14.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的焦点分别是1F 、2F ，焦距为2c ，双曲线上存在一点P ，使直线1PF 与圆222x y a +=相切于1PF 的中点M ，则双曲线的离心率是 ．【解析】如图，在直角三角形1OMF 中，1OF c =，OM a =，故1MF b =，故22PF a =，12PF b =．由122PF PF a -=，可得222b a a -=，故2b a =，故e ==． 【考点】双曲线的离心率． 15.函数21()(0)1f x a ax =>-的图象很象网络流行的“囧”字的内部，我们不妨把它称为“囧函数”，现有以下命题，其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） ①()f x 的图象不关于原点对称； ②()f x 的最小值为1-；③对于定义域内任意两正数m 、n ，若m n <，则()()f m f n >； ④()f x 的导函数'()f x 有零点；⑤对于(上的任意实数m ，n ，恒有()()()22f m f n m n f ++≥ 【答案】①④【解析】函数21()(0)1f x a ax =>-的定义域为|x x ⎧⎪≠⎨⎪⎩，关于原点对称，但()()0f x f x -+≠，故该函数不是奇函数，即()f x 的图象不关于原点对称，故①对；因为211ax -≥-，且210ax -≠，所以2101ax >-或2111ax ≤--，故无最小值，故②错；222'()(1)axf x ax -=-，因为0x >，所以'()0f x <，故函数()f x 在(0,a 和()a +∞为减函数，且当(0,)x a ∈时，()0f x <，当()x a∈+∞时()0f x >，故③错误；由222'()(1)axf x ax -=-0=，解得0x =，即()f x 的导函数'()f x 有零点，故④正确；设2()1(0)g x ax a =->，则该函数为凹函数，故()()0()22g m g n m n g ++>≥，从而()()()22f m f n m nf ++≤，故⑤错误．【考点】函数的性质．三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分12分） 某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：（140岁的观众应该抽取几名？ （2）在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40的概率． 【答案】（1）3；（2）35【解析】 试题分析：（1）分层抽样又叫比例抽样，先求出抽样比，然后求出大于40岁的观众应抽取人数；（2）抽取的5人中大于40岁的有3人，在20至40岁的有2人，分别求出任取2名的所有情况和恰有1名年龄在20至40之间的情况，作比即可．试题解析：（1）从题中所给条件可以看出收看新闻节目的共45人，随机抽取5人，则抽样比为51459=，故大于40岁的观众应抽取12739⨯=（人）． （2）抽取的5名观众中大于40岁的有3人，在20至40岁的有2人，记大于40岁人为1a ，2a ，3a ，20至40岁的人为1b ，2b ，则从5人中抽取2人的基本事件有12(,)a a ，13(,)a a ，23(,)a a ，12(,)b b ，11(,)a b ，12(,)a b ，21(,)a b ，22(,)a b ，31(,)a b ，32(,)a b 共10个，其中恰有1人为20岁至40岁的有6个．故所求概率为63105=． 17.（本小题满分12分）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x ωωω=-+（0ω>）的最小正周期为π． （1）求函数()f x 图象的对称轴和单调递减区间；（2）若函数()()()4g x f x f x π=--，求函数()g x 在区间3,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值．【答案】（1）3()28k x k Z ππ=+∈；37,()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）2- 【解析】试题分析：（1）先将函数解析式化简为“一角一函数”，然后根据最小正周期为π，即可求出函数()f x 解析式，进而求出函数()f x 的对称轴与单调递减区间；（2）根据()()()4g x f x f x π=--，即可求出())4g x x π=-，通过x 的区间3,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即可求出24x π-的范围为504π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，进而求出()g x 在此区间上的最小值和最大值．试题解析：()2cos (sin cos )1f x x x x ωωω=-+sin 2cos 2x x ωω=-)4x πω=-．由于函数()f x 的最小正周期为22T ππω==，故1ω=．故函数())4f x x π=-．（1）令24x k πππ-=+（k Z ∈），得：3()28k x k Z ππ=+∈，令3222()242k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，得37()88k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 即函数()f x 的单调递减区间是37,()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦．（2）()()()4g x f x f x π=--)2()444x x πππ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦)4x π=-．由于3,84x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则50244x ππ≤-≤，故当242x ππ-=，即38x π=时函数()g x 取得最大值当5244x ππ-=，即34x π=时函数()g x 取得最小值2-．18.（本小题满分12分） 一个多面体的直观图即三视图如图所示（其中M 、N 分别是AF 、BC 的中点）．（1）求证：//MN 平面CDEF ；（2）求多面体A CDEF -的体积．【答案】（1）（略）；（2）83【解析】 试题分析：（1）连接BE ，可知MN 为△BCE 的中位线，故//MN CE ，从而即可证明//MN 平面CDEF ；（2）取DE 的中点H ，连接AH ，即可证明AH ⊥平面CDEF ，从而可知AH 即为多面体A CDEF -的高．试题解析：由三视图可知：2AB BC BF ===，DE CF ==2CBF π=．（1）证明：连接BE 、EC ，则MN 为△BEC 中位线，∴//MN EC ． ∵EC ⊂平面CDEF ，MN ⊄平面CDEF ， ∴//MN 平面CDEF ．（2）解：取DE 的中点H ． ∵AD AE =，∴AH ⊥DE ．在直三棱柱ADE BCF -中，平面ADE ⊥平面CDEF ，平面ADE 平面CDEF DE =． ∴AH ⊥平面CDEF ．∴多面体A CDEF -是以AH 为高，以矩形CDEF 为底面的棱锥．在△ADE 中，AH =CDEF S DE EF =⋅=矩形∴棱锥A CDEF -的体积为118333CDEF V S AH =⋅⋅=⨯矩形． 19.（本小题满分12分）已知函数()y f x =的图象经过坐标原点，且2()f x x x b =-+，数列{}n a 的前n 项和()n S f n =（*n N ∈）．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设14732n n P a a a a -=++++…，10121428n n Q a a a a +=++++…，其中*n N ∈，试比较n P 与n Q 的大小，并证明你的结论；（3）若数列{}n b 满足33log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）22n a n =-（*n N ∈）；（2）当20n ≥时，n n P Q >；当19n =时，n n P Q =；当19n <时，n n P Q <；（3）222331(81)3186464n n n n n n T ⋅--+=-= 【解析】试题分析：（1）易得2n S n n =-，然后根据已知前n 项和求通项的方法即可求出数列{}n a 的通项公式；（2）求出n P 、n Q ，然后作差讨论即可；（3）通过33log log n n a n b +=，求出{}n b 的的通项公式，然后利用乘公比错位相减法即可求出n T ．试题解析：（1）∵()y f x =的图象过原点，∴2()f x x x =-．∴2n S n n =-． 当2n ≥时，221(1)(1)22n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-．又∵110a S ==适合22n a n =-，∴数列{}n a 的通项公式22n a n =-（*n N ∈）． （2）1a ，4a ，7a ，…，32n a -组成以0为首项，6为公差的等差数列， ∴2(1)6332n n n P n n -=⨯=-． 10a ，12a ，14a ，…，28n a +组成以18为首项，4为公差的等差数列，∴2(1)1842162n n n Q n n n -=+⨯=+． 故2223321619(19)n nP Q n n n n n n n n -=---=-=-． ∴对于正整数n ，当20n ≥时，n n P Q >；当19n =时，n n P Q =；当19n <时，n n P Q <．（3）由33log log n n a n b +=，得2233n n n b n a n -=⋅=⋅（*n N ∈）． ∴123n n T b b b b =++++…024********n n -=+⋅+⋅++⋅…，242229 323(1)33n n n T n n -=+⋅++-⋅+⋅…， 两式相减得：2242283(1333)nn n T n -=⋅-++++ (2231)38n nn -=⋅-， ∴222331(81)3186464n n n n n n T ⋅--+=-=． 20.（本小题满分13分）椭圆的一个顶点为M ，焦点在x 轴上，若右焦点到直线10x y -+=（1）求椭圆C 的方程；（2）设n 是过原点的直线，不垂直于x 轴的直线l 与n 垂直相交于P 点、于椭圆相交于A 、B 两点，||1OP =．是否存在上述直线使1AP PB ⋅=成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）直线l 不存在 【解析】试题分析：（1）因为焦点在x 轴上，且M 为椭圆的一个顶点，故23b =；根据右焦点到直线10x y -+=可求出c ，进而求出椭圆C 的方程；（2）根据||1OP =，可得221m k =+，再根据1AP PB ⋅=，即可得0OA OB ⋅=，从而转化为12120x x y y +=，然后联立方程求出两根关系代入上式即可得出矛盾，故直线l 不存在．试题解析：（1）设右焦点为(,0)c= ∴1c =，又23b =，∴2224a b c =+=，故椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）设A 、B 两点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，假设使1AP PB ⋅=成立的直线l 存在． 设l 的方程为y kx m =+，由l 与n 垂直相交于P 点且||1OP =1=，即221m k =+．∵1AP PB ⋅=，||1OP =，∴()()OA OB OP PA OP PB ⋅=+⋅+2OP OP PB PA OP PA PB =+⋅+⋅+⋅10010=++-=． 即12120x x y y +=．将y kx m =+代入椭圆方程，得222(34)8(412)0k x kmx m +++-=．由此可得：122834km x x k -+=+ ④ 212241234m x x k -=+ ⑤12120x x y y =+1212()()x x kx m kx m =+++221212(1)()k x x km x x m =++++，将④⑤代入上式并化简得222222(1)(412)8(34)0k m k m m k +--++= ⑥将221m k =+代入⑥并化简得25(1)0k -+=，矛盾．∴直线l 不存在．21.（本小题满分14分）已知函数()(1)ln 15af x x a x a x=++-+，322()23(2)664F x x a x x a a =-+++--，其中0a <且1a ≠-．（1）当2a =-时，求函数()f x 的单调递增区间；（2）若1x =时，函数()F x 有极值，求函数()F x 图象的对称中心坐标；（3）当1a <-时，设函数2()66(1),1,()(),1xF x x a x e x g x e f x x ⎧⎡⎤-+-⋅≤⎪⎣⎦=⎨⋅>⎪⎩（e 是自然对数的底数），是否存在实数a ，使()g x 在[],a a -上为减函数，若存在，求a 的范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）(0,1)和(2,)+∞；（2）(0,4)-；（3）存在a ，且[]3,2a ∈-- 【解析】试题分析：（1）当2a =-时，对()f x 求导，利用'()0f x >即可求出()f x 的单调递增区间；（2）由1x =时，函数()F x 有极值，即可求出2a =-，即可求出()F x ，然后根据函数图象平移即可求出对称中心坐标；（3）因为()g x 在[],a a -上为减函数，所以在[],1a 和(]1,a -上为减函数，且在[],1a 上的最小值不小于(]1,a -上的最大值．试题解析：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞．当2a =-，2222332'()1x x f x x x x-+=+-=． 设'()0f x >，即2320x x -+>，所以1x <或2x >， 故函数()f x 的单调增区间是(0,1)和(2,)+∞．（2）当1x =时，函数()F x 有极值，所以2'()66(2)6F x x a x =-+++，且'(1)0F =，即2a =-． 所以3()264F x x x =-+-．3()264F x x x =-+-的图象可由31()26F x x x =-+的图象向下平移4个单位长度得到，而31()26F x x x=-+的图象关于(0,0)对称， 所以3()264F x x x =-+-的图象的对称中心坐标为(0,4)-． （3）假设存在a 使()g x 在[],a a -上为减函数．设21()()66(1)x h x F x x a x e ⎡⎤=-+-⋅⎣⎦322(23664)xx ax ax a a e =-++--⋅， 2()()(1)ln 15a h x e f x e x a x a x ⎡⎤=⋅=⋅++-+⎢⎥⎣⎦，3221'()23(2)124xh x x a x ax a e ⎡⎤=-+-+-⋅⎣⎦．设322()23(2)124m x x a x ax a =-+-+-．当()g x 在[],a a -上为减函数，则1()h x 在[],1a 上为减函数，2()h x 在[]1,a -上为减函数，且12(1)(1)h h ≥．由（1）知当1a <-时，()f x 的单调递减区间是(1,)a -，由12(1)(1)h h ≥得241330a a ++≤，解得134a -≤≤-， ∴31a -≤<-．当1()h x 在[],1a 上为减函数时，对于[],1x a ∀∈，1'()0h x ≤，即()0m x ≤恒成立． 因为'()6(2)()m x x x a =-+-，①当2a <-时，()m x 在[],2a -上是增函数，在(],a -∞，[)2,-+∞是减函数， 所以()m x 在[],1a 上最大值为2(2)4128m a a -=---，故2(2)41280m a a -=---≤，即2a ≤-或1a ≥-（舍），故2a <-；②当2a >-时，()m x 在[]2,a -上是增函数，在(],2-∞-，[),a +∞上是减函数， 所以()m x 在[],1a 上最大值为2()(2)m a a a =+，故2()(2)0m a a a =+≤，则2a ≤-与题设矛盾，故舍去；③当2a =-时，()m x 在[]2,1-上是减函数，所以()m x 在[],1a 上最大值为2(2)41280m a a -=---=，综上所述，存在符合条件的a ，[]3,2a ∈--．。
数学（文）试题第Ⅰ卷(选择题 共50分）一、选择题（每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知集合{}{}220,1,0,1A x xx B =--≤=-，则A B =()A ．{}0,1B ．{}1,1-C ．{}1,0-D ．{}1,0,1- 2．i 为虚数单位，512iz i=+,则z =( )A ．5B ．5C ．1D ．23．已知p ：“直线l 的倾斜角4πα="；q ：“直线l 的斜率1k =”,则p 是q 的( ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．某算法的程序框图如图所示，如果输出的结果为26，则判断框内的条件应为（ )A ．5k ≤B ．4k >C ．3k >D ．4k ≤5．下列说法中，不正确的是( ） A ．已知,,a b m R ∈，命题：“若22am bm <，则a b <”为真命题B ．命题:“2000,0xR x x ∃∈->”的否定是：“2,0x R x x ∀∈-≤” C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题D ．“3x >"是“2x >”的充分不必要条件6．已知函数()()2sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭图象过点()0,3，则()f x 图象的一个对称中心是（ ）A ．,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭7．《庄子·天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”反映这个命题本质的式子是( ） A ．21111122222n n+++⋅⋅⋅+=- B ．211112222n+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅<C ．211111222n +++⋅⋅⋅+=D ．211111222n +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=8．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为（ ）A ．32π B ．3π+ C ．532π+D ．332π+9．已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PFπ∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）A 43B 23C ．3D ．210．函数()()()321121132f x xb x b b x =-+++在()0,2内有极小值,则( ）A ．01b <<B ．02b <<C ．11b -<<D ．12b -<<第Ⅱ卷(非选择题，共100分)二、填空题（共5小题，每题5分,共25分）11．已知向量()(),4,4,1m m ==+a b ,若⊥a b ，则实数m =______．12．已知(),P x y 为区域002x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩内的任意一点，则2z x y =-的取值范围是______．13．某班级有50名学生,现用系统抽样的方法从这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号为15号,并按编号顺序平均分成10组(15号，610号，…，4650号）,若在第三组抽到的编号是13,则在第七组抽到的编号是______． 14．若3ln 23,log 3x y π==，则,x y 的大小关系是______．15．若三角形三边长都是整数且至少有一个内角为3π，则称该三角形为“完美三角形”．有关“完美三角形"有以下命题： (1）存在直角三角形是“完美三角形" (2)不存在面积是整数的“完美三角形”(3）周长为12的“完美三角形”中面积最大为（4)若两个“完美三角形”有两边对应相等,且它们面积相等，则这两个“完美三角形”全等．以上真命题有______．（写出所有真命题的序号）． 三、解答题（共6小题，共75分）16．（12分)设等差数列{}na 的前n 项和为nS ,且52135,21SS a a =+=．（1）求数列{}na 的通项公式;（2）设数列11nn n ba a +=，求{}n b 的前n 项和n T ． 17．（12分）2016年1月份，某家电公司为了调查用户对该公司售后服务的满意度，随机调查了10名使用该公司产品的用户，用户通过“10分制”对公司售后服务进行评价．分数不低于9.5分的用户为满意用户，分数低于9分的用户为不满意用户,其它分数的用户为基本满意用户．已知这10名用户的评分分别为:7.6,8.3,8.7,8.9,9.1,9.2,9.3,9.4,9.9,10．（1）从这10名用户的不满意用户和基本满意用户中各抽取一人,求这两名用户评分之和大于18的概率;(2）从这10名用户的满意用户和基本满意用户中任意抽取两人,求这两名用户至少有一人为满意用户的概率．18．（12分）在ABC ∆中，设内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,3sin cos 362C C ππ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （1)求角C ;（2)若23c =，且sin 2sin A B =,求ABC ∆的面积．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为直角梯形，ADBC ，PD ⊥底面ABCD ,90,2ADC AD BC ∠=︒=,Q 为AD 的中点，M为棱PC 的中点．（1）证明：PA 平面BMQ ;（2）已知2PD DC AD ===，求点C 到平面BMQ 的距离．20．（13分）已知函数()()ln f x x ax a R =-∈．（1）若2a =-，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程; (2)求()f x 的单调区间． 21．(14分）已知椭圆()2222:10x y T a b a b +=>>的离心率为22，过左焦点F 的直线与椭圆交于,A B 两点，若线段AB 的中点为21,33M ⎛⎫-⎪⎝⎭． （1)求椭圆的方程;（2)过右焦点的直线l 与圆222x y +=相交于 C 、D ,与椭圆T 相交于E 、G ，且CD =求EG ．四川省凉山州2016届高三第三次诊断性测试数学(文）试题参考答案及评分意见一、选择题1．C 2．A 3．C 4．C 5．C 6．B 7．D 8．D 9．A 10．C 二、填空题11．2- 12．[]0,6 13．33 14．x y > 15．(2）（3）（4) 三、解答题 16．解：（1）由已知有11,1a d ==，…………………………………………………………………………4分 则n a n =…………………………………………………………………………………………………………6分记:从这10名不满意用户和基本满意用户各抽取一名为事件A ∴()131444P A +==⨯……………………………………………………………………………………………6分(2）记：从这10名满意用户和基本满意用户任意抽取两名至少有一名为满意用户为事件B∴()2112242635C C C P B C +==……………………………………………………………………………………12分 （列举略） 18．解：（1)∵sin cos 36C C ππ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴1cos 2C =，………………………………………3分∵在ABC∆中，0C π<<，∴3C π=． (5)分 （2）∵sin 2sin A B=,∴2a b =，…………………………………………………………………………6分 又2222cos c a b ab C =+-，∴(22222142232b b b b =+-⨯⨯=,……………………………………………………………………8分∴2,4b a ==．…………………………………………………………………………………………………11分∴1sin 2ABC S ab C ∆==………………………12分19．(1)证明:连结AC 交BQ 于N ，连结MN ，因为90ADC ∠=︒，Q 为AD 的中点,所以N为AC的中点，………………………………………………………………………………………………………………2分M为PC 的中点,即PM MC =，∴MN 为PAC ∆的中位线， ∴MN PA ，又MN ⊂平面BMQ ，PA ⊄平面BMQ ，所以PA平面BMQ ……………………………………………………………………………………………5分（2）由(1）可知,PA 平面BMQ ,所以点P 到平面BMQ 的距离等于点A 到平面BMQ 的距离， ∴P BMQA BMQ M ABQ VV V ---==，取CD 的中点K ，连结MK ，可得MK PD ，∴112MK PD ==，又PA ⊥底面ABCD ,∴MK ⊥底面ABCD , 又11,22BC AD PD CD ====，可求得1,2,3,1AQ BQ MQ NQ ====，…………………………………………………………………10分 ∴111323P BMQA BMQ M ABQ V V V AQ BQ MK ---===⋅⋅⋅⋅=，BQM S ∆=则点P到平面BMQ的距离3P BMQBMQV d S -∆==． (12)分20．解:(1）由已知()()12,0f x x x'=+>，()13f '=，所以斜率3k =，又切点为()1,2,所以切线方程为()231y x -=-， 即310x y --=;………………………………………………………………………………………………5分 (2)()()11,0ax f x a x xx-'=-=>①当0a ≤时，由于0x >故()10,0ax f x '->> 所以()f x 的单调递增区间为()0,+∞,………………………………………………………………………9分②当0a >时，()0f x '=，得1x a=在区间10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上,()0f x '>在区间1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x '<所以()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭;………………………………………13分21．解：（1）由题意得,焦点为椭圆的左焦点，即(),0F c - 设弦与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ,代入椭圆方程得2211221x y a b+=…………①2222221x y a b +=…………② ①式-②式，得2221222212y y b a x x --=-…………③∵点M 平分弦AB ,弦经过焦点，∴121221211213,,223233x x y y y y x x c++-=-==--+,代入③式得,2221334233b a c ⨯-=⎛⎫-⨯-+ ⎪⎝⎭，即221263b a c =⎛⎫- ⎪⎝⎭,又∵2222c a b c a=-=,∴22212c b a ==,∴112263c =⎛⎫- ⎪⎝⎭，即1,c a ==，∴椭圆方程为2212x y +=…………………………………………………………………6分（2）∵右焦点()1,0F ,故设():1l y k x =- ∴圆心到直线l的距离2d ==∴k =，∴):1l y x =-带入椭圆方程2212x y +=得：271240xx -+= 设交点()()1122,,,E x y G x y ∴1212124,77x x x x +=⋅= ∴7EG ==……………………………………………………………14分。
四川省凉山州2016届高三第三次诊断性测试数学（文）试题第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合{}{}220,1,0,1A x x x B =--≤=-，则AB =( )A ．{}0,1B ．{}1,1-C ．{}1,0-D ．{}1,0,1-【答案】D 【解析】 试题分析：{}{}22012,A x x x x x =--≤=-≤≤A B ={}1,0,1-考点：集合的运算 2.i 为虚数单位，512iz i=+，则z =( ) A ．5B ．5C ．1D ．2【答案】A 【解析】试题分析：由题意()()()()5125252251212125i i i i z i z i i i i ⋅-+====+∴=-=++⋅- 考点：复数的模，复数的运算 3.已知p ：“直线l 的倾斜角4πα=”；q ：“直线l 的斜率1k =”，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C考点：充要条件4.某算法的程序框图如右图所示，如果输出的结果为26，则判断框内的条件应为( ) A ．5k ≤B ．4k >C ．3k >D ．4k ≤【答案】C 【解析】考点：程序框图5.下列说法中，不正确的是( )A ．已知,,a b m R ∈，命题：“若22am bm <，则a b <”为真命题B ．命题：“2000,0x R x x ∃∈->”的否定是：“2,0x R x x ∀∈-≤” C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题 D ．“3x >”是“2x >”的充分不必要条件 【答案】C 【解析】试题分析：A ．正确；B ．正确；D ，正确；C 不正确，若命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 由一个为真命题即可 考点：命题的真假判定6.已知函数()()2sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭图象过点()0,3，则()f x 图象的一个对称中心是( ) A ．,03π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．,06π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．,06π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B考点：正弦函数的图像7.《庄子·天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”反映这个命题本质的式子是( )A ．21111122222n n +++⋅⋅⋅+=-B ．211112222n +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅< C ．21111222n ++⋅⋅⋅+=D ．21111222n ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅<【答案】D 【解析】试题分析：据已知可得每次截取的长度构造一个以12为首项，以12为公比的等比数列， 21111112222n n ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=-<.故反映这个命题本质的式子是21111222n ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅<. 故选D考点：数列递推式8.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为( ) A ．32πB ．3π+C ．532π+ D ．332π+【答案】D考点：几何体的表面积，三视图9.已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A ．433B ．233C ．3D ．2【答案】A 【解析】试题分析：设椭圆的长半轴为a ，双曲线的实半轴为()11,a a a ＞，半焦距为c ，由椭圆和双曲线的定义可知，设112212|2|PF r PF r FF c===，，，，椭圆和双曲线的离心率分别为12e e ， 12,3F PF π∠=∴由余弦定理可得2221212432c r r r r cosπ=+-（）（），①在椭圆中，①化简为即2212443c a rr =-，即122213114r r c e -＝，② 在双曲线中，①化简为即221244c a rr +=，即12222114r r c e +＝-，③ 联立②③得，2212114e e +=， 由柯西不等式得22212121111131133e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≥⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即（2124311e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤⨯4， 即1211164333e e +≤=，当且仅当12333e e ＝，＝时取等号，故选A 考点：椭圆，双曲线的简单性质，余弦定理 10.函数()()()321121132f x x b x b b x =-+++在()0,2内有极小值，则( ) A ．01b <<B ．02b <<C ．11b -<<D ．12b -<<【答案】C考点：导数的综合应用【名师点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查计算能力，属中档题. 解题时求出函数的导数，得到极值点，判断函数的单调性，求出极小值点，得到关系式，求解即可．第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（共5小题，每题5分，共25分）11.已知向量()(),4,4,1m m ==+a b ，若⊥a b ，则实数m =______． 【答案】2m =-【解析】试题分析：因为向量()(),4,4,1m m ==+a b ，⊥a b ，所以0⋅a b =，即440mm ++=（），解得2m =-；考点：向量垂直的充要条件12.已知(),P x y 为区域002x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩内的任意一点，则2z x y =-的取值范围是______．【答案】]6[0z ∈，， 【解析】试题分析：画出可行域如图所示：由题意可求得22A -（，），由2z x y =-得：2y x z =-，显然直线过00（，）时，z 最小，最小值是0，直线过22A -（，）时，z 最大，最大值是6，故]6[0z ∈，． 考点：简单的线性规划13.某班级有50名学生，现用系统抽样的方法从这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号为15号，并按编号顺序平均分成10组（15号，610号，…，4650号），若在第三组抽到的编号是13，则在第七组抽到的编号是______． 【答案】73 【解析】试题分析：因为是从50名学生中抽出10名学生，组距是10， ∵第三组抽取的是13号，∴第七组抽取的为1341073+⨯=． 考点：系统抽样 14.若3ln 23,log 3x y π==，则,x y 的大小关系是______【答案】x y > 【解析】试题分析：3ln 23ln 0,31,2x >∴=>又30log 31,x y ππ>∴<<∴>考点：指数函数、对数函数的性质15.若三角形三边长都是整数且至少有一个内角为3π，则称该三角形为“完美三角形”．有关“完美三角形”有以下命题：（1）存在直角三角形是“完美三角形” （2）不存在面积是整数的“完美三角形”（3）周长为12的“完美三角形”中面积最大为43；（4）若两个“完美三角形”有两边对应相等，且它们面积相等，则这两个“完美三角形”全等．以上真命题有______．（写出所有真命题的序号）． 【答案】（3）（4）．（3）设3C π=，则2221223a b c c a b abcosπ++==+-，，可得22212a b a b ab --=+-（）， 化为2 16)480(ab ab -+≥，解得04ab ≤＜，即016ab ≤＜，当且仅当4a b ==时取等号，可得周长为12的“完美三角”中面积最大为13164322⨯⨯=，是真命题； （4）设13C C π== ，①若夹角3π的两条边分别相等，满足条件，则此两个三角形全等；②若夹角3π其中一条边相等，由于面积相等，夹角3π另一条边必然相等，可得：此两个三角形全等．因此是真命题．以上真命题有（3）（4）．故答案为：（3）（4）． 考点：命题真假判断，合情推理【名师点睛】本题考查了解三角形、余弦定理、三角形面积计算公式、基本不等式的性质、新定义、简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 三、解答题（共6小题，共75分）16.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且52135,21S S a a =+=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列11n n n b a a +=，求{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）21n a n =-；（2）21n nT n =+试题解析： (1）设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则根据题意可得()()111114414422a d a a d a d a d ⎧⨯-+=++⎪⎨⎪+=+⎩，解之可得11,2a d ==， 则21n a n =- （2）()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，则21n nT n =+ 考点：等差数列的通项公式，裂项求和法17.2016年1月份，某家电公司为了调查用户对该公司售后服务的满意度，随机调查了10名使用该公司产品的用户，用户通过“10分制”对公司售后服务进行评价．分数不低于9.5分的用户为满意用户，分数低于9分的用户为不满意用户，其它分数的用户为基本满意用户．已知这10名用户的评分分别为：7.6,8.3,8.7,8.9,9.1,9.2,9.3,9.4,9.9,10．（1）从这10名用户的不满意用户和基本满意用户中各抽取一人，求这两名用户评分之和大于18的概率；（2）从这10名用户的满意用户和基本满意用户中任意抽取两人，求这两名用户至少有一人为满意用户的概率． 【答案】（1）()14P A =；（2）()35P B = 【解析】试题分析：（1）从不满意有户和基本满意用户中各抽取一人，利用列举法能求出两名用户评价分之和大于18的概率．（2）从满意用户和基本满意用户中任意抽取两人，利用列举法能求出这两名用户至少有一人为满意用户的概率．试题解析：（1）不满意用户有4名，基本满意有4名，满意有2名 记：从这10名不满意用户和基本满意用户各抽取一名为事件A ∴()131444P A +==⨯ （2）记：从这10名满意用户和基本满意用户任意抽取两名至少有一名为满意用户为事件B∴()2112242635C C C P B C +== （列举略）考点：列举法，古典概型18.在ABC ∆中，设内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，3sin cos 362C C ππ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （1）求角C ；（2）若23c =，且sin 2sin A B =，求ABC ∆的面积． 【答案】（1）3C π=；（2）23ABC S ∆=【解析】试题分析：（1）利用两角差的正弦函数，余弦函数公式化简已知可得1cos 2C =，结合范围0C π<<，即可解得C 的值．（Ⅱ）由正弦函数化简sin 2sin A B =，可得2a b =，利用余弦定理解得b b ，可求a 的值，利用三角形面积公式即可得解．考点：余弦定理，正弦定理19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，ADBC ，PD ⊥底面ABCD ，90,2ADC AD BC ∠=︒=，Q 为AD 的中点，M 为棱PC 的中点．（1）证明：PA平面BMQ ；（2）已知2PD DC AD ===，求点C 到平面BMQ 的距离．【答案】（1）见解析；（2）点P 到平面BMQ 的距离22d = 【解析】试题分析：（1）连结AC 交BQ 于N ，连结MN ，只要证明MN PA ，利用线面平行的判定定理可证；（2）由（1）可知，，PA 平面BMQ ，所以点P 到平面BMQ 的距离等于点A 到平面BMQ的距离.试题解析：连结AC 交BQ 于N ，连结MN ，因为90ADC ∠=︒，Q 为AD 的中点，所以N 为AC 的中点，M 为PC 的中点，即PM MC =， ∴MN 为PAC ∆的中位线， ∴MNPA ，又MN ⊂平面BMQ ，PA ⊄平面BMQ ， 所以PA平面BMQ（2）由（1）可知，PA平面BMQ ，所以点P 到平面BMQ 的距离等于点A 到平面BMQ 的距离， ∴P BMQ A BMQ M ABQ V V V ---==， 取CD 的中点K ，连结MK ，可得MK PD ，∴112MK PD ==， 又PA ⊥底面ABCD ，∴MK ⊥底面ABCD ， 又11,22BC AD PD CD ====， 可求得1,2,3,1AQ BQ MQ NQ ====， ∴111323P BMQ A BMQ M ABQ V V V AQ BQ MK ---===⋅⋅⋅⋅=， 2BQM S ∆=，则点P 到平面BMQ 的距离322P BMQ BMQV d S -∆==． 考点：直线与平面平行的判断，点到面的距离，等体积法 20.已知函数()()ln f x x ax a R =-∈．（1）若2a =-，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）求()f x 的单调区间．【答案】（1）310x y --=；（2）()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：（1）求出()f x 的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线的方程；（2）求出()f x 的导数，讨论当0a ≤时，当0a >时，由导数大于0，可得增区间，导数小于0，可得减区间，注意0x >的条件．考点：利用导数研究函数的性质21.已知椭圆()2222:10x y T a b a b +=>>的离心率为22，过左焦点F 的直线与椭圆交于,A B两点，若线段AB 的中点为21,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭． （1）求椭圆的方程；（2）过右焦点的直线l 与圆222x y +=相交于 C 、D ，与椭圆T 相交于E 、G ，且5CD =，求EG ．【答案】（1）椭圆方程为2212x y +=;（2）827EG = 【解析】试题分析：（1）设()()1122,,,A x y B x y ，利用点差法求得221263b a c =⎛⎫- ⎪⎝⎭，再结合椭圆的离心率及隐含条件求得,a b 的值，则椭圆方程可求；（2）利用点到直线的距离公式、韦达定理及焦点弦长公式，计算即得结论． 试题解析：（1）由题意得，焦点为椭圆的左焦点，即(),0F c - 设弦与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程得2211221x y a b+=…………①2222221x y a b +=…………② ①式-②式，得2221222212y y b a x x --=-…………③ ∵点M 平分弦AB ，弦经过焦点，∴121221211213,,223233x x y y y y x x c++-=-==--+，代入③式得，2221334233b a c ⨯-=⎛⎫-⨯-+ ⎪⎝⎭，即221263b a c =⎛⎫- ⎪⎝⎭，又∵2222,2c a b c a =-=，∴22212c b a ==，∴112263c =⎛⎫- ⎪⎝⎭， 即1,2c a ==，∴椭圆方程为2212x y +=考点：椭圆的简单性质【名师点睛】本题考查椭圆的简单性质，圆与椭圆的位置关系，直线与圆锥曲线的位置关系，注意解题方法的积累，属于中档题．。
