3.2.1 定积分的概念与性质

a f ( x )dx a f (t )dt a f (u)du
如果存在, 它就是一个确定的数值!
(2) 当函数 f ( x ) 在区间[a , b] 上的定积分存在时，
b
b
b
称 f ( x ) 在区间[a , b] 上可积.
( 3) 规定 : 当a b时, a f ( x )dx b f ( x )dx, 当a b时, a f ( x )dx a f ( x )dx 0.
0 i 1
b
n n
b
b
b
b
n
0 i 1
a f ( x )dx g( x )dx. a
(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)
b
性质2
a kf ( x )dx k a f ( x )dx
b
n
b
b
k ( 为常数).
Proof. a kf ( x )dx lim kf ( i )xi
矩形面积和与曲边三角形面积的关系．
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曲边梯形如图所示，
(1)在区间[a, b]内插入若干个分点， a x0 x1 x2 xn1 xn b,
把区间[a, b] 分成 n 个小区间[ xi 1 , xi ]， 长度为 xi xi xi 1 ;
y
( 2)在每个小区间[ xi 1 , xi ] o a 上任取一点 i，
(1)在[a , b]中任意插入 若干个分点
a x 0 x1 x 2 x n 1 x n b
n 个小区间，各小区间的长度依次为 把区间[a , b] 分成
x i x i x i 1 ，( i 1,2,) ，
(2)在各小区间上任取 一点 i （ i x i ），
c b
f ( x )dx .
补充：不论 a , b, c 的相对位置如何, 上式总成立.
a f ( x )dx a f ( x )dx b f ( x )dx
则
c
a f ( x )dx a f ( x )dx b f ( x )dx
a f ( x )dx c f ( x )dx.
三、定积分的几何意义
f ( x ) 0, f ( x ) 0,
b
lim f ( i ) xi A a f ( x )dx 0
i 1 n n
b
n
曲边梯形的面积
lim f ( i )xi lim f ( i ) xi A a f ( x )dx 0 0
思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值．
（1）分割 T1 t0 t1 t 2 t n1 t n T2
t i t i t i 1
部分路程值
（2）求和
xi 0,

f ( i )xi 0, i 1
n
n
max{x1 , x2 ,, xn }

lim f ( i ) xi 0. a f ( x )dx 0
i 1
b
性质5的推论1：
（1）如果在区间[a , b]上 f ( x ) g( x ) ，
四、定积分的性质
性质1 Proof.
a [ f ( x ) g( x )]dx a f ( x )dx a g( x )dx .
[ f ( i ) g ( i )]xi a [ f ( x ) g( x )]dx lim 0 i 1 lim f ( i )xi lim g( i )xi
b a
b
a
(4)当 0时, n ; 但n 时不一定有 0.
(5) 曲边梯形的面积 A a f ( x )dx, 路程 S T v ( t )dt .
1
b
T2
(6) 定义中区间的分法和 i 的取法是任意的.
若对区间的不同的分法 与 i的不同的取法所得到的 积分和的极限不同或不 存在, 则f ( x )在区间上不可积 .
si v( i )t i
某时刻的速度
s v ( i )t i
i 1
n
（3）取极限 max{t1 , t 2 ,, t n } 路程的精确值 s lim v ( i )t i
0 i 1
n
注意: 上述两例的共同点有: (1) 所求量与一个函数及区间有关.
i (b a ) b a f [a ] a f ( x )dx lim n i 1 n n n i 1 1 f ( ) 0 f ( x )dx lim n i 1 n n
b n
b x Example 1. 利用定义计算定积分 a e dx.
Solution. ba (1)将[a , b]分成n等分, 各小区间长度为 x i , n i (b a ) 分点为xi a , ( i 1,2,, n); n i (b a ) ( 2)取 i为区间的右端点 ,即 i x i a ,则 n i ( ba ) n a n n ba i n f ( i )xi e xi e n i 1 i 1 i 1
i 1 i 1
曲边梯形的面积的负值
a A1
A2
A3
b
A4
a f ( x )dx A1 A2
b
A3 A4
几何意义：
它是介于 x 轴、函数 f ( x ) 的图形及两条 直线 x a, x b 之间的各部分面积的代 数和． 在 x 轴上方的面积取正号； 在 x 轴下方的面 积取负号．
如Dirichlet函数的讨论. 若定积分存在, 则可用特殊的区间分法和点的取法 来计算定积分. (7)定积分的存在性有以下两个定理(不加证明)
定理1: 若f ( x )在[a , b]上可积, 则f ( x )在[a , b]上有界.
定理2: 若f ( x )在[a , b]上满足下列条件之一 ,
Chapter 5(1-2)
定积分的概 念与性质
教学要求：
(1) 理解定积分的概念; (2) 掌握定积分的性质; (3) 理解定积分的中值定理.
一.定积分问题的提出 二.定积分的定义 三.定积分的几何实例1 （求曲边梯形的面积）
曲边梯形由连续曲线 y f ( x ) ( f ( x ) 0) 、




Example 3. 利用定积分的定义计算y x 1, x 1,
Solution.
x 2, y 0所围成的图形的面积 . y
2
依题意S 1 ( x 1)dx
i 1 lim [(1 ) 1] n i 1 n n 5 . 2
n
o
1
2 x
c b
b
c
c
（定积分对于积分区间具有可加性）
性质4
a 1 dx a
b a
b
b
dx b a .
性质5 如果在区间[a, b] 上 f ( x ) 0 ，
则 f ( x )dx 0 . (a b)
Proof. f ( x ) 0, f ( i ) 0, ( i 1,2,, n)
曲边梯形面积为 A lim f ( i )xi
0 i 1
n
全过程为：分割、近似求和、取极限.
实例2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动 ,已知速度v v ( t )是时间 间隔[T1 , T2 ]上t的一个连续函数 , 且v ( t ) 0, 求物 体在这段时间内所经过 的路程.
ba a n e e n i 1
i ( ba ) n
ba a e e n
ba n
(1 e ba )
ba n
1 e
ba a e lim f ( i )xi lim e 0 i 1 n n
n
ba n
(e ba 1)
1
Solution. lim(
1 1 1 ) 2 2 2 2 2 2 n 4n 1 4n 2 4n n n n 1 1 1 lim lim n i 1 4n 2 i 2 n i 1 i 2 n 4( ) n 1 1 0 dx . 2 4 x 6
f ( i )xi Ai
x1
x i 1 i xi
xn1 b
x
以 [ xi 1 , xi ]为底， f (i ) 为高的小矩形面积为
曲边梯形面积的近似值为
A Ai f ( i )xi
i 1 i 1
n
n
( 3)当分割无限加细 , 即小区间的最大长度
max{x1 , x2 , xn }趋近于零 ( 0) 时，
则f ( x )在[a , b]上可积 :
(1) f ( x )在[a , b]上连续; ( 2) f ( x )在[a , b]上只有有限个第一类间 断点; ( 3) f ( x )在[a , b]上单调.
(8)定积分是一个构造性的定义,可利用定义求一些简单 函数的定积分;同时可利用定义求n项和的极限.
则 a f ( x )dx
b
a g( x )dx .
b
(a b)
Proof.
f ( x ) g( x ),
g( x ) f ( x ) 0,

a [ g( x ) f ( x )]dx 0, b b a g( x )dx a f ( x )dx 0,
ba n
e
1
b a a (e ba 1) lim e n ba n n eb ea