2012年上海杨浦区数学一模试卷附答案

2012年上海市杨浦区高考数学一模试卷（文科）一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1. 计算：limn→∞(1−2nn+3)=________．2. 不等式xx−1>2的解集是________ (用区间表示)．3. 若全集U=R，函数y=3x的值域为集合A，则C U A=________．4. （文）已知圆锥的母线长l=5cm，高ℎ=4cm，则该圆锥的体积是________cm3．5. 在(x+1x)4的二项展开式中，x2的系数是________（结果用数字作答）．6. 已知f(x)是R上的偶函数，且满足f(x+4)＝f(x)，当x∈(0, 2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝________．7. 若行列式|x2x−121|=1，则x=________．8. 在100件产品中有90件一等品，10件二等品，从中随机取出4件产品．恰含1件二等品的概率是________．（结果精确到0.01）9. 某学校对学生进行该校大型活动的知晓情况分层抽样调查．若该校的高一学生、高二学生和高三学生分别有800人、1600人、1400人．若在高三学生中的抽样人数是70，则在高二学生中的抽样人数应该是________．10. 某算法的程序框如下图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是________．11. 若直线l:ax+by=1与圆C:x2+y2=1相切，则a2+b2=________．12. 若点P是椭圆x29+y2=1上的动点，定点A的坐标为(2, 0)，则|PA|的取值范围是________．13. 已知x>0，y>0，且2x +1y=1，若x+2y>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是________．14. 设函数f(x)=log2(2x+1)的反函数为y=f−1(x)，若关于x的方程f−1(x)=m+f(x)在[1, 2]上有解，则实数m的取值范围是________．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15. 下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0, +∞)上单调递减的函数为（）A f(x)=10|x|B f(x)=x 3C f(x)=lg 1|x|D f(x)=cosx16. 若等比数列{a n }前n 项和为S n =2n +a ，则复数z =i a+i 在复平面上对应的点位于（ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限17. “a =2”是“函数f(x)=|x −a|在[2, +∞)上是增函数”的（ ）A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充要条件D 即非充分也非必要条件18. 若F 1，F 2分别为双曲线C:x 29−y 227=1的左、右焦点，点A 在双曲线C 上，点M 的坐标为(2, 0)，AM 为∠F 1AF 2的平分线．则|AF 2|的值为（ ）A 3B 6C 9D 27三、解答题（共5小题，满分74分）19. 已知在正四棱锥P −ABCD 中（如图），高为1cm ，其体积为4cm 3，求异面直线PA 与CD 所成角的大小．20. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足(2b −c)cosA −acosC =0，（1）求角A 的大小；（2）若a =√3，S △ABC =3√34，试判断△ABC 的形状，并说明理由． 21. 若函数y =f(x)，如果存在给定的实数对(a, b)，使得f(a +x)⋅f(a −x)=b 恒成立，则称y =f(x)为“Ω函数”．（1）判断下列函数，是否为“Ω函数”，并说明理由；①f(x)=x 3 ②f(x)=2x（2）已知函数f(x)=tanx 是一个“Ω函数”，求出所有的有序实数对(a, b)．22. 已知△ABC 的三个顶点在抛物线Γ：x 2=y 上运动．（1）求Γ的准线方程；（2）已知点P 的坐标为(2, 6)，F 为抛物线Γ的焦点，求|AP|+|AF|的最小值，并求此时A 点的坐标；（3）若点A 在坐标原点，BC 边过定点N(0, 1)，点M 在BC 上，且AM →⋅BC →=0，求点M 的轨迹方程．23. 已知函数f(x)=3x 2x+3，数列{a n }满足a 1=1，a n+1=f(a n )，n ∈N ∗．（1）求a 2，a 3，a 4的值；（2）求证：数列{1a n }是等差数列； （3）设数列{b n }满足b n =a n−1⋅a n (n ≥2)，b 1=3，S n =b 1+b 2+...+b n ，若S n <m−20112对一切n ∈N ∗成立，求最小正整数m 的值．2012年上海市杨浦区高考数学一模试卷（文科）答案1. −12. (1, 2)3. (−∞, 0]4. 12π5. 46. 27. 18. 0.309. 8010. y ={x −2,x >12x ，x ≤111. 112. [√22, 5]13. (−4,2)14. [log 213，log 235] 15. C16. D17. A18. B19. 解：连接AC 、BD 交于O 点，连接PO ，则PO 就是正四棱锥的高设异面直线PA 与CD 所成角的大小θ，底边长为a ，则依题意得，正四棱锥P −ABCD 体积为V =13a 2×1=4 … ∴ a =2√3，可得AC =2√6Rt △PAO 中，OA =√6，PO =1∴ PA =√12+(√6)2=√7 …因为CD // AB ，所以直线PA 与AB 所成的锐角就是PA 与CD 所成角θ． …△PAB 中，PA =PB =√7，AB =2√3，∴ cos∠PAB =7+12−72×√7×2√3=√217，即cosθ=√217， 所以PA 与CD 所成角θ=arccos √217． … 20. 解：（1）∵ (2b −c)cosA −acosC =0，由正弦定理，得(2sinB−sinC)cosA−sinAcosC=0，∴ 2sinBcosA−sin(A+C)=0，sinB(2cosA−1)=0，∵ 0<B<π，∴ sinB≠0，∴ cosA=12，∵ 0<A<π，∴ A=π3．（2）∵ S△ABC=12bcsinA=3√34，即12bcsinπ3=3√34∴ bc=3①由余弦定理可知cosA=b 2+c2−32bc=12∴ b2+c2=6，②由①②得b=c=√3，∴ △ABC为等边三角形．21. 解：（1）①若f(x)=x3是“Ω函数”，则存在实数对(a, b)，使得f(a+x)⋅f(a−x)=b，即(a2−x2)3=b时，对x∈R恒成立…而x2=a2−√b3最多有两个解，矛盾，因此f(x)=x3不是“Ω函数”…②若f(x)=2x是“Ω函数”，则存在常数a，b使得2a+x⋅2a−x=22a，即存在常数对(a, 22a)满足，因此f(x)=2x是“Ω函数”（2）解：函数f(x)=tanx是一个“Ω函数”，设有序实数对(a, b)满足，则tan(a−x)tan(a+x)=b恒成立当a=kπ+π2，k∈Z时，tan(a−x)tan(a+x)=−cot2x，不是常数；…因此a≠kπ+π2，k∈Z，当x≠mπ+π2，m∈Z时，则有(btan2a−1)tan2x+(tan2a−b)=0恒成立，所以btan2a−1=0且tan2a−b=0∴ tan2a=1，b=1∴ a=kπ+π4，k∈Z，b=1…∴ 当x=mπ+π2，m∈Z，a=kπ±π4时，tan(a−x)tan(a+x)=cot2a=1．因此满足f(x)=tanx是一个“Ω函数”的实数对(a, b)=(kπ±π4, 1)，k∈Z…22. 解：（1）由x2=y得抛物线的焦点在y轴上，且2p=1，所以准线为y=−14…（2）解：由x2=y得抛物线的焦点在y轴上，且2p=1，所以，焦点坐标为(0, 14)…由A作准线为y=−14的垂线，垂足为Q，当且仅当三点P，A，Q共线时，|AP|+|AF|取得最小，最小值为6+14=254，…此时A 点的坐标为(2, 4)…（3）设点M 的坐标为(x, y)，BC 边所在的方程过定点N(0, 1)，… ∴ AM →=(x,y)，MN →=(−x,1−y)∵ AM →⋅BC →=0∴ AM →⋅MN →=0，所以，−x ×x +y(1−y)=0，即y 2+x 2−y =0(x ≠0)…23. （1）解：∵ a 1=1，a n+1=f(a n )，n ∈N ∗，∴ a 2=35，a 3=37，a 4=13． …（2）解：由 a n+1=f(a n )=3a n 2a n +3 得 1a n+1−1a n =23，… 所以，{1a n}是首项为1，公差为23的等差数列 … （3）解：由（2）得1a n =1+23(n −1)=2n+13，a n =32n+1． … 当n ≥2时，b n =a n−1a n =92 (12n−1−12n+1)，当n =1时，上式同样成立，… 所以s n =b 1+b 2+b 3+...+b n =92 (1−13+13−15+15−17+...+12n−1−12n+1)=92(1−12n+1)．因为S n <m−20112，所以 92(1−12n+1)<m−20112 对一切n ∈N ∗成立，…又92(1−12n+1)随n 递增，且lim n →∞(1−12n+1)=92，所以，92≤m−20112， 所以，m ≥2020，m 的最小值为2020． …。

杨浦区2011学年度高三学科测试数学试卷（理科）考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号． 2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．计算：=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→321n n lim n ． 2．不等式021>+-x x的解集是 ．3．若全集U R =，函数13-=xy 的值域为集合A ，则=A C U . 4．若圆锥的母线长=l )(5cm ，高)(4cm h =，则这个圆锥的体积等于()3cm . 5．在72()x x -的二项展开式中，2x 的系数是 （结果用数字作答）. 6．若()x f y =是R 上的奇函数，且满足()()x f x f =+4，当()2,0∈x 时，()22x x f =则()=2011f .7．若行列式112124=-x x ，则=x ．8．在100件产品中有90件一等品，10件二等品，从中随机取出4件产品．则至少含1件二等品的概率是 .（结果精确到0.01）9．某学校对学生进行该校大型活动的知晓情况分层抽样调查．若该校的高一学生、高二学生和高三学生分别有800人、1600人、1400人．若在高三学生中的抽样人数是70，则在高二学生中的抽样人数应该是 ． 10.根据如图所示的某算法程序框图，则输出量y 与输入量x 之间满足的关系式是 ．11.若直线1:=+by ax l 与圆1:22=+y x C 有两个不同的交点， 则点()b a P ,与圆C 的位置关系是 ．12.已知0,0>>y x 且112=+y x ,若m m y x 222+>+恒成立,则实数m 的取值范 围是 ．13.设函数()2()log 21x f x =+的反函数为=y 1()-f x ，若关于x 的方程1()()f x m f x -=+在[1,2]上有解，则实数m 的取值范围是 ． 14.若椭圆()112222>>=+b a b y a x 内有圆122=+y x ，该圆的切线与椭圆交于B A ,两点，且满足0=⋅OB OA （其中O 为坐标原点），则22169b a +的最小值是 ．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．下列函数中，既是偶函数，又是在区间()∞+,0上单调递减的函数为 ( )．()A . ()x x f 10=. ()B ()3x x f =.()C ()xx f 1lg=()D ()x x f cos =.16．若等比数列{}n a 前n 项和为aS nn +-=2，则复数i a iz +=在复平面上对应的点位于( )．()A 第一象限 . ()B 第二象限 . ()C 第三象限 . ()D 第四象限 .17．若函数()⎩⎨⎧<+≥=.11log 2x c x x x x f ， 则“1-=c ”是“()x f y =在R 上单调增函数”的 ( )．()A 充分非必要条件. ()B 必要非充分条件. ()C 充要条件.()D 既非充分也非必要条件.18．若21,F F 分别为双曲线22:1927x y C -=的左、右焦点，点A 在双曲线C 上，点M 的坐标为(2，0)，AM 为21AF F ∠的平分线．则2AF 的值为 ( )．()A 3 . ()B 6. ()C 9. ()D 27.三．解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 . 19．（本题满分12分）已知在正四棱锥P －ABCD 中（如图），高为1 )(cm ，其体积为4)(3cm ， 求异面直线PA 与CD 所成角的大小.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分， 第2小题满分7分 ．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ， 已知()a c b m ,2-=，()C A n cos ,cos -= , 且n m ⊥. 1.求角A 的大小；2. 若3=a ，ABC ∆面积为433，试判断ABC ∆的形状，并说明理由.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．若函数()x f y =，如果存在给定的实数对()b a ,，使得()()b x a f x a f =-⋅+ 恒成立，则称()x f y =为“Ω函数” .1. 判断下列函数，是否为“Ω函数”，并说明理由；①()3x x f = ② ()xx f 2=2. 已知函数()x x f tan =是一个“Ω函数”，求出所有的有序实数对()b a ,.ABCPD22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.已知函数()323+=x xx f ，数列{}n a 满足11=a ，()*+∈=N n a f a n n ,1,1. 求2a ，3a ，4a 的值；2. 求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a1是等差数列；3. 设数列{}n b 满足()21≥⋅=-n a a b n n n ，n n b b b S b +⋅⋅⋅++==211,3，若22012-<m S n 对一切*∈N n 成立，求最小正整数m 的值.23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.已知ABC ∆的三个顶点在抛物线Γ:y x =2上运动， 1. 求Γ的焦点坐标；2. 若点A 在坐标原点， 且2π=∠BAC ，点M 在BC 上，且 0=⋅BC AM ，求点M 的轨迹方程；3. 试研究: 是否存在一条边所在直线的斜率为2的正三角形ABC ，若存在，求出这个正三角形ABC 的边长，若不存在，说明理由.杨浦区2011学年度高三学科测试参考答案及评分标准一．填空题（本大题满分56分） 2011.12.31 1. 1-；2. 理()1,2-，文()1,0； 3. 理(]1,-∞-，文(]0,∞-；4. π12；5. 理14-，文4；6.2-；7.理0，文1；8.理0.35，文0.30； 9. 80；10.()⎩⎨⎧≤>-=1,21,2x x x x f x； 11.理 P 在圆外，文1；12. 理()2,4-，文⎥⎦⎤⎢⎣⎡5,22；13. 理⎥⎦⎤⎢⎣⎡53log ,31log 22 ，文()2,4-； 14. 理49，文⎥⎦⎤⎢⎣⎡53log ,31log 22二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题 15. C ； 16. A ； 17. A ； 18.B ；三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题19. 【解】 设异面直线PA 与CD 所成角的大小θ， 底边长为a ,则依题意得 41312=⋅⋅a ……4分故32=a ， 62=∴AC()76122==+=∴PA ……7分CD ∥AB ，故直线PA 与AB 所成角的大小θ为所求 ……9分 721cos =∴θ721arccos=θ ． ……12分（其他解法,可根据上述【解】的评分标准给分）20.理: （1）【解1】.由n m ⊥ 得 0=⋅n m ，故()0cos cos 2=--C a A c b , ……2分 由正弦定理得()0cos sin cos sin sin 2=--C A A C B ……4分()0sin cos sin 2=+-∴C A A B ……5分3,21cos ,0sin ,0ππ=∴=≠<<A A B A ……7分【解2】. 由()0cos cos 2=--C a A c b ，余弦定理得()0222222222=-+--+-ab c b a a bc a c b c b 整理得bc a c b =-+222，212cos 222=-+=∴bc a c b A3,21cos ,0ππ=∴=<<A A A ．（其他解法,可根据【解1】的评分标准给分）（2）433sin 21==∆A bc S ABC 即34333sin 21=∴=bc bc π ……10分又A bc c b a cos 2222-+=, 622=+∴c b ……12分故()302==∴=-c b c b 所以，ABC ∆为等边三角形． ……14分文:【解1】. 由 ()0cos cos 2=--C a A c b ,由正弦定理得()0cos sin cos sin sin 2=--C A A C B ……4分()0sin cos sin 2=+-∴C A A B ……5分3,21cos ,0sin ,0ππ=∴=≠<<A A B A ． ……7分【解2】. 由()0cos cos 2=--C a A c b ，余弦定理得()0222222222=-+--+-ab c b a a bc a c b c b 整理得bc a c b =-+222，212cos 222=-+=∴bc a c b A3,21cos ,0ππ=∴=<<A A A ．（其他解法,可根据【解1】的评分标准给分）21. （1）【解】①（理）若()3x x f =是“Ω函数”，则存在实数对()b a ,，使得()()b x a f x a f =-⋅+，即()b x a=-322时，对R x ∈恒成立 ……2分而322b a x -=最多有两个解，矛盾， 因此()3x x f =不是“Ω函数” (3)（文）若()x x f =是“Ω函数”，则存在实数对()b a ,，使得()()b x a f x a f =-⋅+，即()b x a=-22时，对R x ∈恒成立 ……2分而b a x -=22最多有两个解，矛盾，因此()x x f =不是“Ω函数” ……3分② 答案不唯一：如取1,0==b a ，恒有12200=-+x x对一切x 都成立， ……5分即存在实数对()1,0，使之成立，所以，()xx f 2=是“Ω函数”．……6分一般地：若()x x f 2=是“Ω函数”，则存在实数对()b a ,，使得b a x a x a ==⋅-+2222 即存在常数对()aa 22,满足()()b x a f x a f =-⋅+，故()xx f 2=是“Ω函数”．（2）解 函数()x x f tan =是一个“Ω函数”设有序实数对()b a ,满足，则()()b x a x a =+⋅-tan tan 恒成立当Zk k a ∈+=,2ππ时，()()x x a x a 2cot tan tan -=+⋅-，不是常数； ……8分 因此Zk k a ∈+≠,2ππ，当Zm m x ∈+≠,2ππ时，则有b x a xa x a x a x a x a =--=-+⨯+-2222tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan ， ……10分即()0)(tan tan 1tan222=-+-b a x a b 恒成立，所以Zk b k a b a b a a b ∈⎪⎩⎪⎨⎧=±=⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-⋅1411tan 0tan 01tan 222ππ ……13分当4,,2ππππ±=∈+=k a Z m m x 时，()()()1cot tan tan =-=+⋅-a x a x a满足()x x f tan =是一个“Ω函数”的实数对()Z k k b a ∈⎪⎭⎫⎝⎛±=,1,4,ππ……14分22. 理:（1）【解】由11=a ，()3231+==+n n n n a a a f a 得31,73,53432===a a a ……3分（2）【解】由3231+=+n n n a a a 得 32111=-+n n a a ……8分所以，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a1是首项为1，公差为32的等差数列 ……9分（3）【解】由（2）得()123,31213211+=+=-+=n a n n a n n (10)当2≥n 时 ，⎪⎭⎫⎝⎛+--==-121121291n n a a b n n n ，当1=n 时，上式同样成立， ……12分所以⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+⋅⋅⋅+-+-=+⋅⋅⋅++=12112912112151313112921n n n b b b S n n 因为22012-<m S n ，所以22012121129-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-m n 对一切*∈N n 成立， ……14分又⎪⎭⎫ ⎝⎛+-121129n 随n 递增，且291211lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→n n ，所以2201229-≤m ，所以2021≥m ，2021min =∴m ……16分文:(1) 【解】. 由y x =2得12=p 所以 准线为41-=y ……3分(2) 【解】. 由y x =2得12=p 所以,焦点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0 ……4分 由A 作准线41-=y 的垂线,垂足为Q ,当且仅当三点Q A P ,,共线时,AFAP +的最小值，为425416=+, ……7分此时A 点的坐标为()4,2 ……9分 (3)【解1】设点M 的坐标为()y x ,,BC 边所在的方程为1+=kx y (k 显然存在的), ① ……10分又AM 的斜率为x y ,则有1-=⋅k x y ,既y x k -=代入① ……14分 故M 点轨迹为)0(022≠=-+x y x y (注:没写0≠x 扣1分) ……16分【解2】设点M 的坐标为()y x ,,由BC 边所在的方程过定点)1,0(N , ……10分)1,(,),(y x MN y x AM --== ……12分 0=⋅BC AM 0=⋅∴MN AM ,所以, 0)1(=-+⋅-y y x x , 既)0(022≠=-+x y x y ……16分 (注:没写0≠x 扣1分)23. 理:(1) 【解】. 由y x =2得12=p 所以,焦点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0 ……3分(2) 【解1】设点M 的坐标为()y x ,,BC 边所在的方程为b kx y +=(k 显然存在的),与抛物线y x =2交于()()2211,,,y x C y x B则⎩⎨⎧=+=2x y b kx y 得02=--b kx x ,,21k x x =+b x x -=21 ……5分又点C B ,在抛物线Γ上,故有222211,x y x y ==, 2222121b x x y y ==∴022121=+-=+=⋅∴b b y y x x AC AB 1=b 或0=b (舍)1+=∴kx y -------① ……7分 又AM 的斜率为x y ,则有1-=⋅k x y ,既y x k -=代入① 故M 点轨迹为)0(022≠=-+x y x y (注:没写0≠x 扣1分) ……9分 另解:由上式①过定点)1,0(P ,)1,(,),(y x MP y x AM --== 0=⋅∴MP AM ,所以, 0)1(=-+⋅-y y x x , 既)0(022≠=-+x y x y 【解2】设点M 的坐标为()y x ,,AB 方程为kx y =,由2π=∠BAC 得AC 方程为x k y 1-=,则⎩⎨⎧==2x y kx y 得()2,k k B , 同理可得⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,1k k C∴BC 方程为))(11(222k x k k k k k y -+-=-恒过定点)1,0(P ,)1,(,),(y x MP y x AM --== 0=⋅∴MP AM ,所以, 0)1(=-+⋅-y y x x , 既)0(022≠=-+x y x y (注:没写0≠x 扣1分)（其他解法,可根据【解1】的评分标准给分）(3) 【解1】若存在AB 边所在直线的斜率为2的正三角形ABC ,设),(,),(22q q B p p A , (其中不妨设q p <), 则222=--p q p q ,2=+∴q p ------① ……11分令a AB =,则()()22222a pq p q =-+-,即()()()2222a pq p q p q =-++-将①代入得,()223a p q =-, ()q p a p q <=-∴ 3 -----------------② ……13分线段AB 的中点为M ,由①, ②得M 的横坐标为222=+q p , M 的纵坐标为()()12214222222a p q p q q p +=-++=+ ……15分 又设()2,1=d 由d MC ⊥得)23(,2,223123a a a a MC =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+±=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=∴21212,22222,221221,2222a a a a a a MC OM OC点C 在抛物线y x =2上,则()()2212166121a a a ±=+ ,即01852=±a a , 又因为0>a ,518=∴a ……18分【解2】 设),(,),(22q q B p p A ,),(2r r C ABC ∆的三边所在直线CA BC AB ,,的斜率分别是p r p r p r r q r q r q q p q p q p +=--+=--+=--222222,, ------① ……12分若AB 边所在直线的斜率为2,AB 边所在直线和x 轴的正方向所成角为()0900,<<x α,则2tan =α,所以()()⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=+0060tan 60tan ααp r r q ……14分 即536,613260tan tan 160tan tan 613260tan tan 160tan tan 0000=-∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=++-=+-=+p q p r r q αααα-----②又2tan ==+αq p --------------③ ……16分 所以, ()()()()[]2222221p q p q p q p q AB ++-=-+-=将②, ③代入上式得边长518=AB ……18分 （其他解法,可根据【解1】的评分标准给分）文:（1）【解】由11=a ，()3231+==+n n n n a a a f a 得31,73,53432===a a a ……3分（2）【解】由3231+=+n n n a a a 得 32111=-+n n a a ……8分所以，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是首项为1，公差为32的等差数列 ……9分 （3）【解】由（2）得()123,31213211+=+=-+=n a n n a n n……11分 当2≥n 时 ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+--==-121121291n n a a b n n n ，当1=n 时，上式同样成立， ……13分 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+⋅⋅⋅+-+-=+⋅⋅⋅++=12112912112151313112921n n n b b b S n n 因为22012-<m S n ，所以22012121129-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-m n 对一切*∈N n 成立， ……16分 又⎪⎭⎫ ⎝⎛+-121129n 随n 递增，且291211lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→n n ，所以2201129-≤m ，所以2020≥m ， 2020min =∴m ……18分。

2012年上海一模矩阵和行列式，算法初步汇编一、填空题1(上海市杨浦区2011学年度高三学科测试数学试卷（文科)·10)．根据如图所示的某算法程序框图，则输出量y 与输入量x 之间满足的关系式是．答案：()⎩⎨⎧≤>-=1,21,2x x x x f x ；2．(2011学年第一学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷（理科）·5)根据右图所示的程序框图，输出结果i = 答案：83．(上海市杨浦区2011学年度高三学科测试数学试卷（文科)·7)若行列式11212=-x x ，则=x ． 答案：文1；4．(2011学年第一学期上海市长宁区高三教学质量检测·2)行列式131312101---中3-的代数余子式的值为_________.答案：-55．(2011学年普陀区·7)如图，该框图所对应的程序运行后输出的结果的值为．答案：6．(2011学年第一学期上海市长宁区高三教学质量检测·8)某程序框图如图所示，该程序运行后输出的n 值是8，则从集合{}3,2,1,0中所有满足条件的S 0值为._______答案：07．(青浦区2011学年第一学期高三年级期末质量抽查考试·8)已知命题“03211111=aa”是命题“a A ∈”的必要非充分条件, 请写出一个满足条件的非空集合=A ．答案：{}1=A 或{}4=A 8．(上海市崇明高三数学·6)如果由矩阵1112m x m y m -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭表示的关于,x y 的二元一次方程组无解，则实数m = ． 答案：19．(上海市浦东高三数学试题及答案（文科）2012.01·5)某个线性方程组的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110201，此方程组的解记为),(b a ，则行列式0123212a b 的值是_2-. 10．(闵行区2011学年第一学期高三年级质量调研考试数学试卷（文科）·17)已知关于x y 、的二元一次线性方程组的增广矩阵为111222a b c a b c ⎛⎫⎪⎝⎭，记121212(,),(,),(,)a a a b b b c c c ===，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是图2[答]（）A ．0a b c ++= ．B ．a b c、、两两平行．C ．a b //．D ．a b c 、、方向都相同．答案：B ；11．(所属试卷名称·6)已知二元一次方程组111222,a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩，若记12a a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，12b b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，12c c c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则该方程组存在唯一解的条件为 (用a 、b 、c 表示）． 答案：a 与b不平行12．(闵行区2011学年第一学期高三年级质量调研考试数学试卷（文科）·10)执行右图所示的程序框图，若输入2x =，则输出y 的值为． 答案：23；13．(黄埔区2011学年度高三一模数学试卷（含答案）文理卷·10)一个算法的程序框图如图2所示，则该程序运行后输出的结果是．答案：5；14(上海市杨浦区2011学年度高三学科测试数学试卷（文科)·10)．根据如图所示的某算法程序框图，则输出量y 与输入量x 之间满足的关系式是．答案：()⎩⎨⎧≤>-=1,21,2x x x x f x； 15．(2011学年嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷（文）·10)如图所示的算法框图，则输出的值是_________．答案：；16．(上海市奉贤区2012届高三期末调研试卷数学试题文理科·11)下图是某算法程序框图，则程序运行后输出的结果=s __________答案：1017．(上海市崇明高三数学·9)若()(0,1)x f x a a a =>≠ ，定义由右框图表示的运算（函数1()f x -是函数()f x 的反函数），若输入2x =-时，输出14y =，则输入18x =时，输出y = ．答案：3-S90。

上海市杨浦区2012年1月中考模拟数学试卷2012.11．已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则下列等式成立的是 （ ） （Ａ）a b a b +=+；（Ｂ）a b a b +=-； （Ｃ）11b b +=+；（Ｄ）11a a +=+．2．根据下表中关于二次函数c bx ax y ++=2的自变量x 与函数y 的对应值，可判断二次函数的图像与x 轴x … －1 0 1 2 …y … －1 47-－2 47- … （A ）只有一个交点； （B ）有两个交点，且它们分别在y 轴两侧；（C ）有两个交点，且它们均在y 轴同侧； （D ）无交点．3．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，BC =6， DE ∥BC ，且AD =2CD ，则以D 为圆心DC 为半径的⊙D和以E 为圆心EB 为半径的⊙E 的位置关系是（A ）外离； （B ）外切；（C ）相交； （D ）不能确定． 4．若最简二次根式22x -与21x +是同类二次根式，则x = .5.11()A x y ，、22()B x y ，是一次函数2(0)y kx k =+>图象上不同的两点，若1212()()t x x y y =--，则t 0（填“＜”或“＞”或“≤”或“≥”）.6．正十二边形的中心角等于 度.7．如图，在ABCD 中，已知AB =9㎝，AD =6㎝，BE 平分∠ABC 交DC 边于点E ，则DE 等于 ㎝.8．如图，在矩形ABCD 中，AD =4，DC =3，将△ADC 绕点A 按逆时针方向旋转到△AEF （点A 、B 、E 在同一直线上），则C 点运动的路线的长度为 .9．如图，EF 是△ABC 的中位线，将△AEF 沿中线AD 的方向平移到△A 1E 1F 1，使线段E 1F 1落在BC 边上，若△AEF 的面积为7cm 2，则图中阴影部分的面积是 cm 2.A BC E D(第3题图)O a b 1A B C D E (第7题图) A B C E F D A 1 E 1 F 1 (第9题图) A D C B E F (第8题图)10．先化简，再求值：223222x x x x x x x x-----+ ，其中3x = 11．在一次课外实践活动中，同学们要知道校园内A B ，两处的距离，但无法直接测得。

ri 精锐］对i中国领先的中小学教育品牌杨浦区初三数学基础测试卷2012.3（完卷时间100分钟 满分150分）一 •选择题：（本大题每小题4分，满分24分）1 •实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则下列关系式正确的是（）3.函数y3中自变量x 的取值范围是（x —15•已知L O 1, L O 2的半径分别是2和1，若两圆相交，则圆心距0Q 2可以是（C . 6;6.命题： ① 对顶角相等；② 两直线平行，内错角相等； ③ 全等三角形的对应边相等. 其中逆命题为真命题的有（）.填空题：（本大题每小题4分，满分48分）37.因式分解： x ~'4X - ___________& 计算： .2 1 2 -、2 二 ____________k9. __________________________________________________________________________已知反比例函数 y=—的图像经过点（3，- 4），则这个函数的解析式为 ___________________________________xA . a -b ： 0 ；B .a =b ；C . ab 0 ；2.下列运算正确的是（)24 6A . a a a ；B.2 4 6a a a ；C . (a 2)4 =a 6；10 2 5a ■- a a4.若AB 是非零向量，则下列等式正确的的是（)T T■ T TA . AB=BA ；B . AB='BA ；C .丿AB +BA=0 ；+1BA=0 .D . 8.A . 0 个；B . 1 个;C . 2 个；D . 3 个.1 4x11 •将分式方程— 4 1去分母后，化为整式方程是x+2 x -412. —个不透明的袋子中有2个红球.3个黄球和4个篮球，这些球除颜色外完全相同，从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率为____________ .13•某家用电器经过两次降价，每台零售价由350元下降到299元。

2012年上海市杨浦区高考数学一模试卷（理科）一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1．（4分）计算：=．2．（4分）不等式的解集是．3．（4分）若全集U=R，函数y=3x﹣1的值域为集合A，则C U A=．4．（4分）若圆锥的母线长l=5（cm），高h=4（cm），则这个圆锥的体积等于．5．（4分）在的展开式中，x2的系数为（用数字作答）．6．（4分）已知f（x）是R上的偶函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（7）=．7．（4分）若行列式=1，则x=．8．（4分）在100件产品中有90件一等品，10件二等品，从中随机取出4件产品．恰含1件二等品的概率是．（结果精确到0.01）9．（4分）某学校对学生进行该校大型活动的知晓情况分层抽样调查．若该校的高一学生、高二学生和高三学生分别有800人、1600人、1400人．若在高三学生中的抽样人数是70，则在高二学生中的抽样人数应该是．10．（4分）某算法的程序框如下图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是．11．（4分）若直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同的交点，则点P（a，b）与圆C的位置关系是．12．（4分）已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m 的取值范围是．13．（4分）设函数f（x）=的反函数为y=f﹣1（x），若关于x的方程f﹣1（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，则实数m的取值范围是．14．（4分）若椭圆（a＞b＞1）内有圆x2+y2=1，该圆的切线与椭圆交于A，B两点，且满足（其中O为坐标原点），则9a2+16b2的最小值是．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．（5分）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数为（）A．f（x）=10|x|B．f（x）=x3C．f（x）=lg D．f（x）=cosx 16．（5分）若等比数列{a n}前n项和为，则复数z=在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限17．（5分）已知函数f（x）=，则“c=﹣1”是“函数f（x）在R 上递增”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件18．（5分）若F1，F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A在双曲线C上，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线．则|AF2|的值为（）A．3B．6C．9D．27三、解答题（共5小题，满分74分）19．（12分）已知在正四棱锥P﹣ABCD中（如图），高为1cm，其体积为4cm3，求异面直线PA与CD所成角的大小．20．（14分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2b﹣c）cosA﹣acosC=0，（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，，试判断△ABC的形状，并说明理由．21．（14分）若函数y=f（x），如果存在给定的实数对（a，b），使得f（a+x）•f （a﹣x）=b恒成立，则称y=f（x）为“Ω函数”．（1）判断下列函数，是否为“Ω函数”，并说明理由；①f（x）=x3②f（x）=2x（2）已知函数f（x）=tanx是一个“Ω函数”，求出所有的有序实数对（a，b）．22．（16分）已知函数f（x）=，数列{a n}满足a1=1，a n+1=f（a n），n∈N*．（1）求a2，a3，a4的值；（2）求证：数列{是等差数列．（3）设数列{b n}满足b n=a n﹣1•a n（n≥2），b1=3，S n=b1+b2+…+b n，若对一切n∈N*成立，求最小正整数m的值．23．（18分）已知△ABC的三个顶点在抛物线：x2=y上运动．（1）求的焦点坐标；（2）若点A在坐标原点，且∠BAC=，点M在BC上，且，求点M的轨迹方程；（3）试研究：是否存在一条边所在直线的斜率为的正三角形ABC，若存在，求出这个正三角形ABC的边长，若不存在，说明理由．2012年上海市杨浦区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1．（4分）计算：=﹣1．【考点】6F：极限及其运算．【专题】11：计算题．【分析】由极限的性质，把等价转化为（1﹣），由此能够求出结果．【解答】解：=（1﹣）=1﹣2=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查极限的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．2．（4分）不等式的解集是（﹣2，1）．【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】11：计算题．【分析】不等式即，即（x﹣1）（x+2）＜0，解此一元二次不等式求得解集．【解答】解：不等式即，即（x﹣1）（x+2）＜0，解得﹣2＜x ＜1，故不等式的解集是（﹣2，1），故答案为（﹣2，1）．【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．3．（4分）若全集U=R，函数y=3x﹣1的值域为集合A，则C U A=（﹣∞，﹣1]．【考点】1F：补集及其运算；48：指数函数的定义、解析式、定义域和值域．【分析】由指数函数的值域知A={y|y＞﹣1}，再由全集U=R，能求出C U A．【解答】解：∵函数y=3x﹣1的值域为集合A，∴A={y|y＞﹣1}，∵全集U=R，∴C U A={y|y≤﹣1}=（﹣∞，﹣1]．故答案为：（﹣∞，﹣1]．【点评】本题考查指数函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意补集的性质和应用．4．（4分）若圆锥的母线长l=5（cm），高h=4（cm），则这个圆锥的体积等于12πcm3．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】11：计算题．【分析】利用勾股定理可得圆锥的底面半径，那么圆锥的体积=×π×底面半径2×高，把相应数值代入即可求解．【解答】解：∵圆锥的高是4cm，母线长是5cm，∴圆锥的底面半径为3cm，∴圆锥的体积=×π×32×4=12πcm3．故答案为：12πcm3．【点评】本题考查圆锥侧面积的求法．注意圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形．5．（4分）在的展开式中，x2的系数为﹣14（用数字作答）．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2，求出r，代入通项求出展开式中x2的系数．【解答】解：展开式的通项令得r=1故x2的系数为（﹣2）×C71=﹣14故答案为﹣14【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．6．（4分）已知f（x）是R上的偶函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（7）=2．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；3Q：函数的周期性．【专题】11：计算题．【分析】先由f（x+4）=f（x），知函数f（x）为周期为4的函数，故f（7）=f （﹣1），再由f（x）是R上的偶函数，知f（﹣1）=f（1），最后代入已知解析式求值即可【解答】解：∵f（x+4）=f（x），∴f（7）=f（﹣1+4+4）=f（﹣1）∵f（x）是R上的偶函数∴f（﹣1）=f（1）∴f（7）=f（1）∵x∈（0，2）时，f（x）=2x2，∴f（7）=f（1）=2×12=2故答案为2【点评】本题考查了函数的周期性定义及其应用，函数的奇偶性应用，转化化归的思想方法7．（4分）若行列式=1，则x=0．【考点】O1：二阶矩阵．【专题】11：计算题．【分析】利用行列式的展开法则，由=1，得到4x﹣2•2x+2=1，再由指数方程能够求出x．【解答】解：∵=1，∴4x﹣2•2x+2=1，整理，得（2x）2﹣2•2x+1=0，解得2x=1，∴x=0．故答案为：0．【点评】本题考查二阶行列式的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．8．（4分）在100件产品中有90件一等品，10件二等品，从中随机取出4件产品．恰含1件二等品的概率是0.30．（结果精确到0.01）【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题．【分析】先求出从这批产品中抽取4个，则事件总数，然后求出其中恰好有一个二等品的事件的个数，最后根据古典概型的公式求出恰好有一个二等品的概率．【解答】解：从这批产品中抽取4个，则事件总数为C1004个，其中恰好有一个二等品的事件有C101•C903个，根据古典概型的公式可知恰好有一个二等品的概率为：=×=≈0.30．故答案为：0.30．【点评】本题考查的是随机事件概率的求法的运用，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．9．（4分）某学校对学生进行该校大型活动的知晓情况分层抽样调查．若该校的高一学生、高二学生和高三学生分别有800人、1600人、1400人．若在高三学生中的抽样人数是70，则在高二学生中的抽样人数应该是80．【考点】B3：分层抽样方法．【专题】11：计算题．【分析】设在高二学生中的抽样人数应该是x，根据总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，可得=，由此解得x 的值．【解答】解：设在高二学生中的抽样人数应该是x，则由分层抽样的定义和方法可得，=，解得x=80，故答案为80．【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．10．（4分）某算法的程序框如下图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是．【考点】EF：程序框图．【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是根据输入x值的不同，根据不同的式子计算函数值．即求分段函数的函数值．【解答】解：根据流程图所示的顺序，程序的作用是分段函数的函数值．其中输出量y与输入量x满足的关系式是故答案为：【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．11．（4分）若直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同的交点，则点P（a，b）与圆C的位置关系是P在圆外．【考点】J8：直线与圆相交的性质．【专题】11：计算题．【分析】由直线l与圆C有两个交点，得到直线l与圆C相交，可得出圆心到直线的距离小于圆的半径，故利用点到直线的距离公式列出关系式，整理并利用两点间的距离公式判断得到P到圆心的距离大于半径，可得出P在圆外．【解答】解：∵直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同的交点，∴直线l与圆C相交，即圆心C到直线l的距离d＜r，∴＜1，即＞1，又P（a，b）到圆心C（0，0）的距离为，∴点P与圆C的位置关系为：P在圆外．故答案为：P在圆外【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，以及点与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，以及两点间的距离公式，直线与圆的位置关系由d 与r大小判断，当d＜r时，直线与圆相交；当d＞r时，直线与圆相离；当d=r 时，直线与圆相切（其中d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）；点与圆的位置关系也由d与r的大小判断，当d＜r时，点在圆内；当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上（其中d为此点到圆心的距离，r为圆的半径）．12．（4分）已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m 的取值范围是﹣4＜m＜2．【考点】3R：函数恒成立问题．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先把x+2y转化为（x+2y）展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据x+2y＞m2+2m求得m2+2m＜8，进而求得m的范围．【解答】解：∵，∴x+2y=（x+2y）=4++≥4+2=8∵x+2y＞m2+2m恒成立，∴m2+2m＜8，求得﹣4＜m＜2故答案为：﹣4＜m＜2．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．13．（4分）设函数f（x）=的反函数为y=f﹣1（x），若关于x的方程f﹣1（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，则实数m的取值范围是．【考点】3R：函数恒成立问题；4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】由f（x）=可求得y=f﹣1（x），又关于x的方程f﹣1（x）=m+f （x）在[1，2]上有解，可得m=，从而可得答案．【解答】解：∵y=f（x）=，∴2x+1=2y，∴x=，∴y=f﹣1（x）=；∵关于x的方程f﹣1（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，∴m=f﹣1（x）﹣f（x）=在[1，2]上有解，而y=为增函数，∴≤m≤，即≤m≤．故答案为：[，]．【点评】本题考查反函数，通过反函数考查函数恒成立问题，考查转化思想与运算能力，属于中档题．14．（4分）若椭圆（a＞b＞1）内有圆x2+y2=1，该圆的切线与椭圆交于A，B两点，且满足（其中O为坐标原点），则9a2+16b2的最小值是49．【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系；KJ：圆与圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题．【分析】设切线方程为y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合，可得a2（m2﹣b2k2﹣b2）+m2b2=0，利用y=kx+m是单位圆的切线，可得m2=k2+1，从而可得a2+b2=a2b2，可得a2＞2，b2==1+，由此可求9a2+16b2的最小值．【解答】解：设切线方程为y=kx+m，代入椭圆方程得关于x的一元二次方程（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=∵∴x1x2+y1y2=x1x2+k2x1x2+km（x1+x2）+m2=0∴（k2+1）a2（m2﹣b2）﹣2k2m2a2+m2（a2k2+b2）=0∴a2（m2﹣b2k2﹣b2）+m2b2=0（*）因为y=kx+m是单位圆的切线，所以，即m2=k2+1代入（*）式子，得到a2（1﹣b2）m2+m2b2=0，所以a2+b2=a2b2由于a＞b，所以a2b2=a2+b2＞2b2，∴a2＞2∵b2==1+代入得9a2+16b2=9a2++16=9（a2﹣1）++25≥49当且仅当a2﹣1=时取到最小值故答案为：49【点评】本题考查圆锥曲线的综合，考查圆的切线，考查韦达定理的运用，考查基本不等式求最值，利用韦达定理是关键．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．（5分）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数为（）A．f（x）=10|x|B．f（x）=x3C．f（x）=lg D．f（x）=cosx 【考点】3E：函数单调性的性质与判断；3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】11：计算题．【分析】利用函数奇偶性的定义可排除B，利用函数的性质可排除D，利用复合函数的单调性即可得到答案．【解答】解：对于B，f（﹣x）=（﹣x）3=﹣x3=﹣f（x），为奇函数，与题意不符；对于D，偶函数f（x）=cosx在（0，+∞）上不是单调函数，故与题意不符；对于A，当x∈（0，+∞），f（x）=10x，在（0，+∞）上单调递增，与题意不符；而C，f（﹣x）=f（x），是偶函数，且当x∈（0，+∞）时，y=为减函数，y=lgx 为增函数，由复合函数的性质可知，偶函数f（x）=lg在区间（0，+∞）上单调递减，故选：C．【点评】本题考查函数奇偶性的判断，考查复合函数的单调性，掌握基本初等函数的性质是关键，属于中档题．16．（5分）若等比数列{a n}前n项和为，则复数z=在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】89：等比数列的前n项和；A4：复数的代数表示法及其几何意义；A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】由等比数列{a n}前n项和为，得到a=﹣1．故z==，再由复数的代数形式的运算法则，求出z，从而得到z=在复平面上对应的点位于第几象限．【解答】解：∵等比数列{a n}前n项和为，∴a1=2+a，a2=（4+a）﹣（2+a）=2，a3=（8+a）﹣（4+a）=4，∴22=（2+a）×4，解得a=﹣1．∴z=====，∴复数z=在复平面上对应的点（）位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查复数的代数形式的运算法则和几何意义，解题时要认真审题，注意等比数列的性质和应用．17．（5分）已知函数f（x）=，则“c=﹣1”是“函数f（x）在R上递增”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；3E：函数单调性的性质与判断；4O：对数函数的单调性与特殊点．【专题】11：计算题．【分析】先看当c=﹣1时，根据对数函数的性质和一次函数的性质可推断出函数f（x）在R上递增，判定出充分性；同时当“函数f（x）在R上递增”时，c 不一定等于﹣1，可判断出不必要性．最后综合可得答案．【解答】解：当c=﹣1时，当由于函数y=log2x和函数y=x+c均是单调增，∴函数f（x）在R上递增，故“c=﹣1”是“函数f（x）在R上递增”的充分条件，当“函数f（x）在R上递增”时，c不一定等于﹣1，故可知“c=﹣1”是“函数f（x）在R上递增”的不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查了函数单调性的判断，对数函数的单调性以及必要条件、充分条件、充要条件的判断．综合性较强．18．（5分）若F1，F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A在双曲线C上，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线．则|AF2|的值为（）A．3B．6C．9D．27【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题．【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值，利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径|AF2|．【解答】解：双曲线C：的左、右焦点坐标分别为F1（﹣6，0），F2（6，0）．不妨设A在双曲线的右支上∵AM为∠F1AF2的平分线∴==2又∵|AF1|﹣|AF2|=2a=6解得|AF2|=6故选：B．【点评】本题着重考查了双曲线的简单性质、三角形内角平分线定理和余弦定理等知识点，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分74分）19．（12分）已知在正四棱锥P﹣ABCD中（如图），高为1cm，其体积为4cm3，求异面直线PA与CD所成角的大小．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题．【分析】连接AC、BD交于O点，连接PO．根据锥体体积公式，结合题中数据可算出正四棱锥的底面边长，从而用勾股定理算出PA长，然后在△PAB中，利用余弦定理计算出∠PAB的余弦值，因为CD∥AB，所以这个余弦值就是PA与CD所成角θ的余弦值，从而得到异面直线PA与CD所成角的大小．【解答】解：连接AC、BD交于O点，连接PO，则PO就是正四棱锥的高设异面直线PA与CD所成角的大小θ，底边长为a，则依题意得，正四棱锥P﹣ABCD体积为V=a2×1=4 …（4分）∴a=2，可得AC=2Rt△PAO中，OA=，PO=1∴PA==…（7分）因为CD∥AB，所以直线PA与AB所成的锐角就是PA与CD所成角θ．…（9分）△PAB中，PA=PB=，AB=2，∴cos∠PAB==，即cosθ=，所以PA与CD所成角θ=arccos．…（12分）【点评】本题给出一个正四面体，叫我们求异面直线所成角，着重考查了正棱锥的性质、余弦定理和异面直线所成角的求法等知识，属于基础题．20．（14分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2b﹣c）cosA﹣acosC=0，（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，，试判断△ABC的形状，并说明理由．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】11：计算题．【分析】（1）先利用正弦定理把（2b﹣c）cosA﹣acosC=0中的边转化成角的正弦，进而化简整理得sinB（2cosA﹣1）=0，求得cosA，进而求得A．（2）根据三角形面积公式求得bc，进而利用余弦定理求得b2+c2进而求得b和c，结果为a=b=c，进而判断出∴△ABC为等边三角形．【解答】解：（Ⅰ）∵（2b﹣c）cosA﹣acosC=0，由正弦定理，得（2sinB﹣sinC）cosA﹣sinAcosC=0，∴2sinBcosA﹣sin（A+C）=0，sinB（2cosA﹣1）=0，∵0＜B＜π，∴sinB≠0，∴，∵0＜A＜π，∴．（Ⅱ）∵，即∴bc=3①由余弦定理可知cosA==∴b2+c2=6，②由①②得，∴△ABC为等边三角形．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．考查了学生分析问题和灵活运用所学知识的能力．21．（14分）若函数y=f（x），如果存在给定的实数对（a，b），使得f（a+x）•f （a﹣x）=b恒成立，则称y=f（x）为“Ω函数”．（1）判断下列函数，是否为“Ω函数”，并说明理由；①f（x）=x3②f（x）=2x（2）已知函数f（x）=tanx是一个“Ω函数”，求出所有的有序实数对（a，b）．【考点】3R：函数恒成立问题．【专题】15：综合题．【分析】（1）根据新定义，列出方程恒成立，通过判断方程的解的个数判断出f （x）=x3不是“Ω函数”，f（x）=2x是“Ω函数”；（2）据题中的定义，列出方程恒成立，通过两角和差的正切公式展开整理，令含未知数的系数为0，即可求出a，b．【解答】解：（1）①若f（x）=x3是“Ω函数”，则存在实数对（a，b），使得f （a+x）•f（a﹣x）=b，即（a2﹣x2）3=b时，对x∈R恒成立…（2分）而x2=a2﹣最多有两个解，矛盾，因此f（x）=x3不是“Ω函数”…（3分）②若f（x）=2x是“Ω函数”，则存在常数a，b使得2a+x•2a﹣x=22a，即存在常数对（a，22a）满足，因此f（x）=2x是“Ω函数”（6分）（2）解：函数f（x）=tanx是一个“Ω函数”，设有序实数对（a，b）满足，则tan（a﹣x）tan（a+x）=b恒成立当a=kπ+，k∈Z时，tan（a﹣x）tan（a+x）=﹣cot2x，不是常数；…（8分）因此a≠kπ+，k∈Z，当x≠mπ+，m∈Z时，则有（btan2a﹣1）tan2x+（tan2a﹣b）=0恒成立，所以btan2a﹣1=0且tan2a﹣b=0∴tan2a=1，b=1∴a=kπ+，k∈Z，b=1 …（13分）∴当x=mπ+，m∈Z，a=kπ±时，tan（a﹣x）tan（a+x）=cot2a=1．因此满足f（x）=tanx是一个“Ω函数”的实数对（a，b）=（kπ±，1），k ∈Z…（14分）【点评】本题考查理解题中的新定义、判断函数是否具有特殊函数的条件、利用新定义得到恒等式、通过仿写的方法得到函数的递推关系，属于中档题．22．（16分）已知函数f（x）=，数列{a n}满足a1=1，a n+1=f（a n），n∈N*．（1）求a2，a3，a4的值；（2）求证：数列{是等差数列．（3）设数列{b n}满足b n=a n﹣1•a n（n≥2），b1=3，S n=b1+b2+…+b n，若对一切n∈N*成立，求最小正整数m的值．【考点】83：等差数列的性质；8K：数列与不等式的综合．【专题】15：综合题．【分析】（1）由a1=1，，分别令n=1，2，3，能够求出a2，a3，a4．（2）由，得=，由此能够证明{}是等差数列．（3）由=，得到，故b n=a n﹣1a n=（﹣），利用裂项求和法得到S n=，由此能够求出对一切n∈N*成立时最小正整数m的值．【解答】（1）解：由a1=1，，得a2==，a3==，a4==．…（3分）（2）证明：由，得=，…（8分）所以，{}是首项为1，公差为的等差数列，…（9分）（3）解：由（2）得=1+=，∴，…﹣（10分）当n≥2时，b n=a n﹣1a n=（﹣），当n=1时，上式同样成立，…（12分）所以S n=b1+b2+b3+…+b n==，因为，所以对一切n∈N*成立，…（14分）又随n递增，且（1﹣）=，所以，所以m≥2021，∴m min=2021．…（16分）【点评】本题考查等差数列的证明，考查最小正整数的求法．解题时要认真审题，熟练掌握数列知识和不等式知识，注意合理地进行等价转化．23．（18分）已知△ABC的三个顶点在抛物线：x2=y上运动．（1）求的焦点坐标；（2）若点A在坐标原点，且∠BAC=，点M在BC上，且，求点M的轨迹方程；（3）试研究：是否存在一条边所在直线的斜率为的正三角形ABC，若存在，求出这个正三角形ABC的边长，若不存在，说明理由．【考点】K8：抛物线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合；KK：圆锥曲线的轨迹问题．【专题】15：综合题．【分析】（1）由抛物线的方程，可得抛物线的焦点在y轴上，开口向上，故可得焦点坐标；（2）设点M的坐标为（x，y），设出AB、AC方程与抛物线方程联立，确定B、C的坐标，从而可得BC的方程，利用，即可求得点M的轨迹方程；（3）设A、B、C的坐标，求得△ABC的三边所在直线的斜率，若AB边所在直线的斜率为，AB边所在直线和x轴的正方向所成角为α（0°＜α＜90°），则tanα=，得出坐标之间的关系，即可求得|AB|．【解答】解：（1）由x2=y可得焦点在y轴的正半轴上，且2p=1，所以，焦点坐标为（0，）…（3分）（2）设点M的坐标为（x，y），AB方程为y=kx，由∠BAC=得AC方程为y=﹣，则得B（k，k2），同理可得C（﹣，）∴BC方程为y﹣k2=恒过定点P（0，1），…（10分）∴∵∴，所以，﹣x×x+y（1﹣y）=0，即y2+x2﹣y=0（y≠0）（3）设A（p，p2），B（q，q2），C（r，r2），△ABC的三边所在直线AB，BC，CA的斜率分别是p+q，q+r，r+p﹣﹣﹣﹣﹣﹣①…（12分）若AB边所在直线的斜率为，AB边所在直线和x轴的正方向所成角为α（0°＜α＜90°），则tanα=，所以…（14分）∴q﹣p=tan（α﹣60°）﹣tan（α+60°）=﹣﹣﹣﹣﹣②又p+q=tanα=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③…（16分）所以，|AB|==…（18分）【点评】本题考查抛物线的性质，考查轨迹方程的求解，考查向量知识的运用，考查直线的斜率的计算，综合性强．。

杨浦区2012学年度第二学期高三年级学业质量调研(二)数学试卷（文科） 2013.04.（满分150分，答题时间120分钟）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集R U =，集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U . 2．若复数z 满足)2(z i z -=（i 是虚数单位），则=z . 3．已知直线012=++y x 的倾斜角大小是θ，则=θ2tan . 4．若关于y x 、的二元一次方程组⎩⎨⎧=-+-=+-04)12(03y x m y mx 有唯一一组解，则实数m 的取值范围是 .5．已知函数)(x f y =和函数)1(log 2+=x y 的图像关于直线0=-y x 对称，则函数)(x f y =的解析式为 .6．已知双曲线的方程为1322=-y x ，则此双曲线的焦点到渐近线的距离为 . 7．函数xx x x x f cos sin sin cos )(=的最小正周期=T .8．若⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥621y x y x ，则目标函数y x z +=2的最小值为 .9．执行如图所示的程序框图，若输入p 的值是7，则输出S 的值是 .10．已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这 个圆锥的母线长为 cm ．11．某中学在高一年级开设了4门选修课，每名学生必须参加这4门选修课中的一门，对于该年级的甲乙2名学生，这2名学生选择的选修课相同的概率是 (结果用最简分数 表示)．12．各项为正数的无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1lim 1=+∞→n nn S S ， 则其公比q 的取值范围是 .13．已知函数x x x f =)(.当[]1,+∈a a x 时，不等式)(4)2(x f a x f >+恒成立，则实数a 的 取值范围是 .14．函数)(x f y =的定义域为[)(]1,00,1 -，其图像上任一点),(y x P 满足122=+y x ．①函数)(x f y =一定是偶函数；②函数)(x f y =可能既不是偶函数，也不是奇函数； ③函数)(x f y =可以是奇函数；④函数)(x f y =如果是偶函数，则值域是[)1,0或(]0,1-； ⑤函数)(x f y =值域是()1,1-，则)(x f y =一定是奇函数． 其中正确命题的序号是 （填上所有正确的序号）．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．已知),2(ππα∈，53sin =α，则)4tan(πα-的值等于………………………（ ） （A ）71. （B ）71- . （C ）7 . （D ）7-.16．一个空间几何体的正视图、侧视图为两个边长是1的正方形， 俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的表面积 等于 ………………………………………………（ ） （A ） 22+. （B ）23+. （C ）24+. （D ）6.17． 若直线2=+by ax 通过点)sin ,(cos ααM ，则 ………………………………（ ） （A ） 422≤+b a . （B ）422≥+b a . （C ）41122≤+b a . （D ）41122≥+b a .18．某同学为了研究函数)10()1(11)(22≤≤-+++=x x x x f 的 性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ， 点P 是边BC 上的一个动点，设x CP =，则PF AP x f +=)(．那么，可推知方程222)(=x f 解的个数是……………………………………（ ） （A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）4.三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 ．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是85.0米，底面的边长是5.1米． （1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积；（2）制造这个水塔的侧面需要多少平方米钢板？ (精确到01.0米2)PD0.851.5ESO20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 的大小等于3π，半径为2，在半径OA 上有一动点C ，过点C 作平行于OB 的直线交弧AB 于点P ． （1）若C 是OA 的中点，求PC ；（2）设θ=∠COP ，求△POC 周长的最大值及此时θ的值．21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆141222=+Γy x ：. （1）直线AB 过椭圆Γ的中心交椭圆于B A 、两点，C 是它的右顶点，当直线AB 的斜率为1时，求△ABC 面积；（2）设直线2+=kx y l ：与椭圆Γ交于Q P 、两点，且线段PQ 的垂直平分线过椭圆Γ与y 轴负半轴的交点D ，求实数k 的值．22．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知函数a x x f +=2)(．（1）若函数))((x f f y =的图像过原点，求)(x f 的解析式； （2）若12)()(++=bx x f x F 是偶函数，在定义域上ax x F ≥)(恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当1=a 时，令)())(()(x f x f f x λϕ-=，问是否存在实数λ，使)(x ϕ在()1,-∞-上是减函数，在()0,1-上是增函数？如果存在，求出λ的值；如果不存在，请说明理由．23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且21=a ，3)1(1++=+n n S na n n ．从}{n a 中抽出部分项 ,,,,21n k k k a a a ,)(21 <<<<n k k k 组成的数列}{n k a 是等比数列，设该等比数列的公比为q ，其中*1,1N n k ∈=． （1）求2a 的值；（2）当q 取最小时，求}{n k 的通项公式； （3）求n k k k +++ 21的值．。

杨浦区初三数学基础测试卷 2012.3(完卷时间 100分钟 满分 150分)一、选择题（本大题每小题4分，满分24分）1．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则下列关系式正确的是 （ ▲ ） （Ａ）0<-b a ； （Ｂ）b a = ；（Ｃ）0>ab ； （Ｄ）0>+b a ． 2．下列运算正确的是 （ ▲ ）（Ａ）246a a a +=； （Ｂ）246a a a ⋅=； （Ｃ）246()a a =； （Ｄ）1025a a a ÷=．3．函数13-+=x x y 中自变量x 的取值范围是 （ ▲ ） （Ａ）x ≥－3； （Ｂ）x ≥－3且x ≠1； （Ｃ）x ≠1； （Ｄ）x ≠－3且x ≠1．4．若AB是非零向量，则下列等式正确的是 （ ▲ ）（A ）AB BA = ； （B ）AB BA = ； （C ）0AB BA += ； （D ）0AB BA += ．5．已知⊙O 1、⊙O 2的半径分别是2和1，若两圆相交，则圆心距O 1O 2可以是 （ ▲ ） （A ）2； （B ）4； （C ）6； （D ）8． 6．命题：①对顶角相等；②两直线平行，内错角相等；③全等三角形的对应边相等。

其中逆命题为真命题的有 （ ▲ ） （A ）0个； （B ）1个； （C ）2个； （D ）3个． 二、填空题（本大题每小题4分，满分48分）7．分解因式 34x x -= ▲ .8．计算1)(2= ▲ .9．已知反比例函数ky x=的图象经过点（3，－4），则这个函数的解析式为 ▲ . 10．若关于x 的方程2220x ax a --=有两个相等的实数根，则a 的值是 ▲ .11．将分式方程144212=-++x xx 去分母后，化为整式方程是 ▲ . 12．一个不透明的袋子中有2个红球、3个黄球和4个蓝球，这些球除颜色外完全相同，从袋子中随机摸出一个球，它是红色球的概率为 ▲ .13．某家用电器经过两次降价，每台零售价由350元下降到299元。

初三数学基础考试卷—1— 杨浦区初三数学基础测试卷答案 2012.3一、 选择题（每题4分，共24分） 1、 D ；2、B ；3、B ；4、B ；5、A ；6、C 二、 填空题（每题4分，共48分）7、(2)(2)x x x +-；8；9、12y x =-；10、0,或-16；11、2520x x --=；12、29； 13、2350(1)299x -=；14、x ≤1；15、6；16、156；17、12；18、8三、解答题19、解：原式=221121x x x x x --⋅-+-----------------------------------------------------1分，1分 =21(1)(1)(1)x x x x x --+⋅------------------------------------------------------------4分 =1x x +------------------------------------------------------------------------------2分 当x=2时，原式=32-------------------------------------------------------------------------------2分20、解：由352x x -<解得5x <-------------------------------------------------------------3分由1212x x -≤+解得1x ≥---------------------------------------------------------3分∴不等式组的解为15x -≤<------------------------------------------------------2分图略------------------------------------------------------------------------------------------------2分 21、解：∵CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，∴设BE=a ，则---------------------1分∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∴CE=DE ，-----------------------------2分 ∵OC=OB=3， ∴OE=3－a----------------------------------------------------------1分 ∴在Rt △OEC 中，222OC CE OE =+,-------------------------------------------------2分∴2233)a a =+，∴2a =，----------------------------------------------------2分2232CD CE ===--------------------------------------------------------------2分 22、（1）2；50；-----------------------------------------------------------------------------2分，2分 （2）20-------------------------------------------------------------------------------------------------2分 （3）略-------------------------------------------------------------------------------------------------2分 （4）180-----------------------------------------------------------------------------------------------2分初三数学基础考试卷—2—23、证明：（1）AF BC ∥，AFE DCE ∴=∠∠ -----------------------1分E 是AD 的中点，AE DE ∴=． ------------------------------------------1分又∵∠AEF=∠DEC ，∴△AEF ≌△DEC --------------------------------------2分AF DC ∴=，-----------------------------------------------------------------------1分AF BD = B D C D∴= ---------------------------------------------1分 （2）四边形AFBD 是矩形 ----------------------------------------------------2分AB AC =，D 是BC 的中点AD BC ∴⊥ ，90ADB ∴=∠--------1分 AF BD =，AF BC ∥∴四边形AFBD 是平行四边形 -------------2分又90ADB =∠ ∴四边形AFBD 是矩形．------------------------------------1分 24、解：（1）由题意得A （-2,0），B （0,1） ∵△AOB 旋转至△COD ，∴C （0,2），D （1,0）----------------------------------------2分 ∵2y ax bx c =++过点A 、D 、C ，∴04202a b c a b c c=-+⎧⎪=++⎨⎪=⎩，∴112a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，即抛物线是22y x x =--+-----------------2分（2）设对称轴与x 轴交点为Q 。