2021年上海中考一模数学试卷 第17、18、23题汇编

静安区2020学年第一学期期末教学质量调研九年级数学试卷 2021.1（完成时间：100分钟 满分：150分 ）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤； 3. 答题时需使用函数型计算器．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．如果0a ≠，那么下列计算正确的是（A ）0()0a =-； （B ）01a =--（）； （C ）01a -=； （D ）01a =--．2．下列多项式中，是完全平方式的为 （A ）214x x -+； （B ）21124x x++； （C ）21144x x +-； （D ）21144x x -+． 3．将抛物线3)1(22-+=x y 平移后与抛物线22x y =重合，那么平移的方法可以是 （A ）向右平移1个单位，再向上平移3个单位； （B ）向右平移1个单位，再向下平移3个单位； （C ）向左平移1个单位，再向上平移3个单位； （D ）向左平移1个单位，再向下平移3个单位．4．在△ABC 中，点D 、E 分别在边BA 、CA 的延长线上，下列比例式中能判定DE //BC的为 （A ）BC AB DE AD =； （B ）AC AB AD AE =； （C ）AC AB CE BD =； （D ）AC BD AB CE=．5．如果锐角α，那么下列结论中正确的是 （A ）︒=30α； （B ）︒=60α； （C ）︒<<︒4530α； （D ）︒<<︒6045α．6．在Rt △ABC 中，∠C =90°，CD 是高，如果AB =m ，∠A =α, 那么CD 的长为 （A ）sin tan m αα⋅⋅； （B ）sin cos m αα⋅⋅； （C ）cos tan m αα⋅⋅； （D ）cos cot m αα⋅⋅．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．32的相反数是 ▲ ． 8．函数()f x 的定义域为 ▲ ．92x =-的根为 ▲ ．10．二次函数223y x x =-图像的开口方向是 ▲ ． 11．抛物线236y x =-的顶点坐标为 ▲ ．12．如果一次函数(2)1y m x m =-+-的图像经过第一、二、四象限，那么常数m 的取值范围为 ▲ ．13．在二次函数223y x x =-+图像的上升部分所对应的自变量x 的取值范围是 ▲ ． 14．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，∠AED =∠B ，如果AD =2，AE =3，CE =1，那么BD 长为 ▲ . 15．在△ABC 中，点G 是重心，∠BGC =90°，BC =8，那么AG 的长为 ▲ .16. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE //BC ， 如果AB =12，BC =9，AC =6，四边形BCED 的周长为21，那么 DE 的长为 ▲ ．17．如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，BD 与AC 相交于点O ，OB =2OD ，设a AB =，AD b =，那么AO = ▲ ． （用向量a 、b 的式子表示）18. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =13，2tan 3B =（如图），将 △ABC 绕点C 旋转后，点A 落在斜边AB 上的点A ’，点B 落在 点B ’，A ’B ’与边BC 相交于点D ，那么CDA'D 的值为 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：cot30cos45sin 60tan 45︒-︒︒-︒．（第17题图）（第18题图）BACED（第14题图）B AC ED （第16题图）20．（本题满分10分）已知线段x 、y 满足2x y x x y y +=-，求xy的值．21．（本题满分10分, 其中每小题5分）如图，点A 、B 在第一象限的反比例函数图像上，AB 的延长线与y 轴交于点C ，已知点A 、B 的横坐标分别为6、2，AB =25．（1）求∠ACO 的余弦值； （2）求这个反比例函数的解析式． 22．（本题满分10分）如图，一处地铁出入口的无障碍通道是转折的斜坡，沿着坡度相同的斜坡BC 、CD 共走7米可到出入口，出入口点D 距离地面的高DA 为0. 8米，求无障碍通道斜坡的坡度与坡角(角度精确到1' ，其他近似数取四个有效数字).23．（本题满分12分，其中每小题6分）已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，2AD AE AC =⋅．求证：（1）△BCD ∽△CDE ；（2）AB ADBCCD =22．BC AOyx（第21题图）（第22题图） D C DABCD CB A E （第23题图）24．（本题满分12分，其中每小题4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线102y x m m =-+>（）与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ．抛物线24y ax bx =++（a ≠ 0）经过点A ，且与y 轴相交于点C ，∠OCA =∠OAB ．（1）求直线AB 的表达式；（2）如果点D 在线段AB 的延长线上，且AD=AC ．求经过点D 的抛物线24y ax bx =++的表达式；（3）如果抛物线24y ax bx =++的对称轴与线段AB 、AC 分别相交于点E 、F ，且EF =1，求此抛物线的顶点坐标．25．（本题满分14分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）已知∠MAN 是锐角，点B 、C 在边AM 上，点D 在边AN 上，∠EBD =∠MAN ，且 CE //BD ，sin ∠MAN=35，错误!未找到引用源。

2021年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷及参考答案2021年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷一．选择题：（本大题含I、II两组，每组各6题，每题4分，满分24分） I组：供使用一期课改教材的考生完成1．下列运算中，计算结果正确的是3332325336（A）x・x＝2x；（B）x÷x＝x；（C）（x）＝x；（D）x+x＝2x ．2．新建的北京奥运会体育场――“鸟巢”能容纳91 000位观众，将91 000用科学记数法表示为（A）91?103；（B）910?102；（C）9.1?103；（D）9.1?104． 3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（A）；（B）；（C）；（D）．4．若抛物线y?(x?1)2?2与x轴的正半轴相交于点A，则点A的坐标为（A）（?1?2，0）；（B）（2，0）；（C）（-1，-2）；（D）（?1?2，0）． 5．若一元二次方程4x2?3x?1的两个根分别为x1、x2，则下列结论正确的是 13，x1?x2??；（B）x1?x2??3，x1?x2??1；4413（C）x1?x2?，x1?x2?；（D）x1?x2?3，x1?x2?1．446．下列结论中，正确的是（A）圆的切线必垂直于半径；（B）垂直于切线的直线必经过圆心；（C）垂直于切线的直线必经过切点；（D）经过圆心与切点的直线必垂直于切线．（A）x1?x2??II组：供使用二期课改教材的考生完成1．下列运算中，计算结果正确的是3332325336（A）x・x＝2x；（B）x÷x＝x；（C）（x）＝x；（D）x+x＝2x ．2．新建的北京奥运会体育场――“鸟巢”能容纳91 000位观众，将91 000用科学记数法表示为（A）91?103；（B）910?102；（C）9.1?103；（D）9.1?104． 3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（A）；（B）；（C）；（D）．4．一个布袋中有4个红球与8个白球，除颜色外完全相同，那么从布袋中随机摸一个球是白球的概率是1112（A）；（B）；（C）；（D）．122335．若AB是非零向量，则下列等式正确的是（A）AB=BA；（B）AB=BA；（C）AB+BA=0；（D）AB+BA=0． 6．下列事件中，属必然事件的是（A）男生的身高一定超过女生的身高；（B）方程4x2?4?0在实数范围内无解；（C）明天数学考试，小明一定得满分；（D）两个无理数相加一定是无理数．二．填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） [请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．不等式2-3x>0的解集是． 8．分解因式xy �Cx -y+1= ． 9．化简：12?3? ．10．方程2x?1?3的根是．x的定义域是． x?1k12．若反比例函数y?(k?0)的函数图像过点P（2，m）、Q（1，n），则m与n的大小关系是：m n x（选择填“＞” 、“＝”、“＜”）．13．关于x的方程mx2?mx?1?0有两个相等的实数根，那么m= ． 14．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2，3），点B的坐标为y （-1，6）．若点C与点A关于x轴对称，则点B与点C之间的2 距离为． P 15．如图1，将直线OP向下平移3个单位，所得直线的函数解析O 1 x 式为．11．函数y?16．在�SABC中，过重心G且平行BC的直线交AB于点D，那么AD:DB= ．17．如图2，圆O1与圆O2相交于A、B两点，它们的半径都为2，圆O1经过点O2，则四边形O1AO2B的面积为．18．如图3，矩形纸片ABCD，BC=2，∠ABD=30°．将该纸片沿对角线BD翻折，点A落在点E处，EB交DC于点F，则点F到直线 DB的距离为．三．解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）先化简，再求值：a2?2ab?b2a2?b2图1A O1B 图2 E DF C O2A 11?(?)，其中a?2?1,b?2?1． ab图3B20．（本题满分10分）x?1x5A D 解方程??．xx?1221．（本题满分10分，第（1）题满分6分，第（2）题满分4分）5如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD=CD，cosB=，BC=26．B 13图4求（1）cos∠DAC的值；（2）线段AD的长．22．（本题满分10分，第（1）题满分3分，第（2）题满分5分，第（3）题满分2分）近五十年来，我国土地荒漠化扩展的面积及沙尘暴发生的次数情况如表1、表2所示．表1：土地荒漠化扩展的面积情况年代 50、60年代的20年 70、80年代的20年 90年代的10年平均每年土地荒漠化1560 2100 2460 2扩展的面积（km）表2：沙尘暴发生的次数情况 50年代的1060年代的1070年代的1080年代的1090年代的10年代年年年年年 C每十年沙尘14 23 5 8 13 暴发生次数（1）求出五十年来平均每年土地荒漠化扩展的面积；次数（2）在图5中画出不同年代沙尘暴发生的次数的折线图；25 （3）观察表2或（2）所得的折线图，你认为沙尘暴发生次数呈（选择“增加”、“稳定”或“减少”）趋势． 20 1510550年代 60年代 70年代 80年代 90年代年代23．（本题满分12分，每小题满分各6分） A图5 如图6，在�SABC中，点D在边AC上，DB=BC，点E是CD的中点，D 1点F是AB的中点．（1）求证：EF=AB；2F（2）过点A作AG∥EF，交BE的延长线于点G，求证：�SABE≌�SAGE．EB C图624．（本题满分12分，每小题满分各4分）y 如图7，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，以点A（0，-3）为圆心， 5为半径作圆A，交x轴于B、C两点，交y轴于点D、E两点． D （1）求点B、C、D的坐标；B C （2）如果一个二次函数图像经过B、C、D三点， O x .求这个二次函数解析式；A （3）P为x轴正半轴上的一点，过点P作与圆A相离并且与 x轴垂直的直线，交上述二次函数图像于点F，1当�SCPF中一个内角的正切之为时，求点P的坐标．2图725．（本题满分14分，第（1）题满分3分，第（2）题满分7分，第（3）题满分4分）正方形ABCD的边长为2，E是射线CD上的动点（不与点D重合），直线AE交直线BC 于点G，∠BAE2的平分线交射线BC于点O．（1）如图8，当CE=时，求线段BG的长；3CE（2）当点O在线段BC上时，设?x，BO=y，求y关于x的函数解析式；ED（3）当CE=2ED时，求线段BO的长．A D A DE BO 图8CG B备用图C2021年上海市初中毕业生统一学业考试数学模拟卷答案要点与评分标准说明：1．解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分；2．第一、二大题若无特别说明，每题评分只有满分或零分；3．第三大题中各题右端所注分数，表示考生正确做对这一步应得分数；4．评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定后继部分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半； 5．评分时，给分或扣分均以1分为基本单位一．选择题：（本大题含I、II两组，每组各6题，满分24分）I组 1、B； 2、D； 3、C; 4、D; 5、A; 6、D． II组 1、B； 2、D； 3、C; 4、C; 5、A; 6、B．二．填空题：（本大题共12题，满分48分）2; 8、(x?1)(y?1)； 9、2?3； 10、x?5； 311、x?0 且x?1；12、?； 13、4； 14、32；7、x?15、y?2x?3； 16、2:1(或2)； 17、23； 18、三．解答题：（本大题共7题，满分78分）23. 3(a?b)2a?b19．解：原式＝－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－(3分) ?(a?b)(a?b)aba?bab? ? －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ (2分) a?ba?bab ?，－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－(2分)a?b12 当a?2?1,b?2?1时，原式＝?.－－－－－－－－－－－－－－(3分)422x?120．解: [方法一]设y?，－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－(2分)x则原方程化为y?∴y1?15?，整理得2y2?5y?2?0，－－－－－－－－－－ (2分)y21， y2?2；－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－(2分) 21x?11? ，得 x?2，－－－－－－－－－－－－－－－－ (1分) 当y?时，2x2x?1?2 得 x??1，－－－－－－－－－－－－－－－－－ (1分) 当y?2时， x 经检验 x1?2，x2??1是原方程的根；－－－－－－－－－－－－－－－－(2分)[方法二]去分母得 2(x?1)2?2x2?5x(x?1)，－－－－－－－－－－－－－－（3分）整理得 x2?x?2?0，－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－（2分）解得 x1?2，x2??1，－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－（3分）经检验 x1?2，x2??1是原方程的根．－－－－－－－－－－－－－－－－－－（2分）21．解：（1）在Rt△ABC中，?BAC?90，cosB=AB5?．－－－－－－－－－ (1分) BC13∵BC=26，∴AB=10．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ (1分) ∴AC=BC2?AB2?262?102?24．－－－－－－－－－－－－－－－－ (2分) ∵AD//BC，∴∠DAC=∠ACB．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ (1分) ∴cos∠DAC= cos∠ACB=AC12?；－－－－－－－－－－－－－－－－－－ (1分) BC13(2)过点D作DE⊥AC，垂足为E．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－(1分)1AC?12．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－(1分) 2AE12?，－－－－－－－－－－－－－－－－－ (1分) 在Rt△ADE中，cos∠DAE=AD13∵AD=DC， AE=EC=∴AD=13．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－(1分)22．解：（1）平均每年土地荒漠化扩展的面积为次数 25 1560?20?2100?20?2460?10 （2分）20?20?10?1956（km），－－－－－－－－－(1220 分) 答：所求平均每年土地荒漠化扩展的面积为1956 km2；（2）右图；－－－－－－－－－－－－－ (5分) （3）增加．－－－－－－－－－－－－－－(2分)23．证明：(1) 连结BE，－－－－－－－－－－ (1分)∵DB=BC，点E是CD的中点，∴BE⊥CD．(2分)∵点F是Rt△ABE中斜边上的中点，∴EF=15 10 5 50年代 60年代 70年代 80年代 90年代年代1AB； 2－－－－－－－－－－－－ (3分)(2) [方法一]在△ABG中，AF?BF，AG//EF，∴BE?EG．－－－－－－（3分）在△ABE和△AGE中，AE?AE,∠AEB=∠AEG=90°，∴△ABE≌△AGE；－－(3分) [方法二]由(1)得，EF=AF，∴∠AEF=∠FAE．－－－－－－－－－－－－－(1分) ∵EF//AG，∴∠AEF=∠EAG．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－(1分)∴∠EAF=∠EAG．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ (1分)∵AE=AE，∠AEB=∠AEG=90°，∴△ABE≌△AGE．－－－－－－－－－－－ (3分)24．解：（1）∵点A的坐标为(0 ,?3)，线段AD?5，∴点D的坐标(0 ,2)．－－－－(1分)感谢您的阅读，祝您生活愉快。

1 / 14O一、选择题（每小题4分，共24分） 1、下列代数式中，属于分式的是（ ） A ．2x B ．2xC ．2xD ．2x2、一次函数23y x =-+的图像不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3、据统计，2016年上海市参加中考的人数约为7.7万人，则7.7万用科学记数法表示为（ ） A ．37.710⨯ B ．47.710⨯ C ．50.7710⨯ D ．57.710⨯4、下列说法正确的是（ ）A ．一组数据的平均数和中位数一定相等B ．一组数据的平均数和众数一定相等C ．一组数据的标准差和方差一定不相等D ．一组数据的众数一定等于改组数据中的某个数据5、如果某人沿坡度为1 : 3的斜坡向上行走a 米，那么他上升的高度为（ ） A ．1010a B ．10a C ．3a D ．3a6、一根水平放置的圆柱形输水管横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水 深0.2米，此水管的直径是（ ） A ．0.4米 B ．0.5米 C ．0.8米D ．1米二、填空题（每小题4分，共48分） 7、计算()()12x x -+的结果是______． 8、函数134y x x =-+-的定义域为______． 9、不等式组24050x x +>⎧⎨-<⎩的解集是______．模拟卷二ABCDEFO10、若一次函数2y x b =+（b 为常数）的图像经过点（1,5），则b 的值为______． 11、如果关于x 的方程2610x x m -+-=有两个相等的实数根，那么m 的值为______． 12、已知Rt ABC ∆中，∠ACB = 90°，AC = 4，BC = 3，那么∠B 的正弦值等于 ． 13、李明早上骑自行车上学，中途因道路施工推车步行了一段路，到学校共用时15分钟．如果他骑自行车的平均速度是每分钟250米，推车步行的平均速度是每分钟80米，他家离学校的路程是2900米，设他推车步行的时间为x 分钟，那么可列出的方程是 ．14、如图，在ABC ∆中，AB = AC ，AD ⊥BC ，垂足为点D ．设AB a =，BC b =，那么AD =__________（结果用a 、b 的式子表示）．15、在一个不透明的袋子中，有2个黑球、3个白球，它们除颜色外其他均相同．充分摇匀后，摸出一个球是黑球的概率为______．16、已知在ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，DE // AC ，12AD DB =，DE = 4，那么边 AC 的长为______．17、定义两种新运算“△”和“※”，a △ b =2a ab -，a ※ b =23a b -，则（2△1）△（2※2）的值为______．18、如图，已知AD 是等腰ABC ∆底边BC 上的高，:1:3AD DC =，将ADC ∆绕着点D 旋转，得DEF ∆，点A 、C 分别与点E 、F 对应，且EF 与直线AB 重合，设AC 与DF 相交于点O ，那么:=AOF DOC S S ∆∆__________．三、解答题19、（本题满分10分）先化简，再求值：2211211a a a a a +⎛⎫÷+ ⎪++-⎝⎭，其中2sin451a =︒-．ABDC3/ 14AB CEFD20、（本题满分10分）解方程组：2220 23x xy yx y⎧--=⎨+=⎩．21、（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）已知：如图，在ABC∆中，D是边BC的中点，E、F分别是BD、AC的中点，且AB = AD，AC = 10，4sin5C=．求：（1）线段EF的长（2）∠B的余弦值．22、（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）某地区为了进一步缓解交通拥堵问题，决定修建一条长为6千米的公路．如果平均每天的修建费y（万元）与修建天数x（天）之间在50120x≤≤时，具有一次函数的关系，如下表所示．x5080100120y40343026（1）求y关于x的函数解析式；（2）如果现计划每天比原计划多修建20米，那么可提前15天完成修建任务，求现计划平均每天的修建费．ABCDFE 23、（本题满分12分，每小题满分各6分）已知：如图，点D 、E 、F 分别在ABC ∆的边AB 、AC 、BC 上，DF ∥AC ，BD = 2AD ， AE = 2EC ．（1）求证：EF ∥AB ；（2）联结DE ，当∠ADE =∠C 时，求证：AC AB 2=．24、（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分8分）已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax x =+经过点A （4,0），顶点为B ． （1）求顶点B 的坐标；（2）将这条抛物线向左平移后与y 轴相交于点C ，此时点 A 移动到点D 的位置，且DBA CBO ∠=∠，求平移后抛物 线的表达式．xy5 / 14ABC DH OP25、（本题满分14分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分6分）已知：点A 、B 都在半径为9的圆O 上，P 是射线OA 上一点，以PB 为半径的圆P 与圆O 相交的另一个交点为C ，直线OB 与圆P 相交的另一个交点为D ，32cos =∠AOB ． （1）求：公共弦BC 的长度；（2）如图，当点D 在线段OB 的延长线上时，设AP = x ，BD = y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果直线PD 与射线CB 相交于点E ，且BDE ∆与BPE ∆相似，求线段AP 的长．中考模拟卷xyBAO ABCABCDE一、选择题（每小题4分，共24分）1、下列各数中，不能被6整除的数是（ ） A ．18B ．12C ．9D ．6【答案】C2、下列二次根式中，与2a 一定是同类二次根式的是（ ） A ．aB ．32aC ．4aD ．28a【答案】B3、数据97，101，103，98，104，103的众数、中位数分别是（ ） A ．104、103B ．103、101C ．103、102D ．103、103【答案】A4、如图，已知一次函数y = kx + b 的图像经过点A （5,0）与B （0,4-），那么关于x 的不等式kx + b < 0的解集是（ ） A ．x < 5 B ．x > 5 C ．x <4-D ．x >4-【答案】A5、如图，ABC ∆中，AB = 5，BC = 3，AC = 4，以点C 为圆心的圆与AB 相切，则C 的半径为（ ） A ．2.3 B ．2.4 C ．2.5D ．2.6【答案】D6、如图，四边形ABCD 为平行四边形，延长AD 到E ，使DE = AD ，联结EB 、EC 、DB ．添加一个条件，不能使四边形DBCE 成为矩形的是（ ） A ．AB = BEB ．BE DC ⊥ C ．90ADB ∠=︒D ．CE DE ⊥【答案】B模拟卷一7 / 14次数/次人数/人 48 12 16 15 20 25 30 35二、填空题（每小题4分，共48分）7、如果分式7x x -的值为0，那么x 的值等于 .【答案】78、分解因式：2212x xy y --= . 【答案】()()43x y x y -+9、方程211x x -=-的解是__________. 【答案】1x =10、如果将抛物线21y x x =++向下平移，使它经过点（0,2-），那么所得的新抛物线的解析式是______ . 【答案】22y x x =+- 11、如果反比例函数ky x=的图像经过点A （2 , y 1）与B （3 , y 2），那么12y y 的值等于______.【答案】3212、如图，已知点O 是正六边形ABCDEF 的中心，记OD m =，OF n =，那么OB =______（用向量m 、n 表示）． 【答案】m n --13、在一个袋子中装有除颜色外其他完全相同的2个红球和2个白球，如果从中随机摸出两个球，那么摸到的两个球颜色不同的概率是 .【答案】1214、在ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 和AC 上，且DE // BC ，如果AD = 5，DB = 10，那么:ADE ABC S S ∆∆的值为______． 【答案】1915、为了了解九年级学生的体能情况，体育老师随机抽查了其中的40名学生，测试了1分钟仰卧起坐的次数，并绘制成如图的频数分布直方图，则仰卧起坐的次数在20~25之间的频率是______．FABCDEOABCDOxy ABC【答案】0.316、如果1O 与内含2O ，124O O =，1O 的半径是3，那么2O 的半径的取值范围是______． 【答案】7r >17、如图，平面直角坐标系中正方形ABCD ，已知A （1,0），B （0,3），则sin COA ∠=______．【答案】4518、已知ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = 9，cos A =23，把ABC ∆绕着点C 旋转，使得点A 落在点'A ，点B 落在点'B ．若点'A 在边AB 上，则点B 、'B 的距离为______． 【答案】5【解析】先根据题意画出图形：易得：'AC A C =，'BC B C =，''ACA BCB ∠=∠，∴'ACA ∆∽'BCB ∆，∴''AC AA BC BB =； 由90C ∠=︒，AB = 9，cos A =23，可得AC = 6，35BC =过C 点作CD AB ⊥，易得'8AA =，∴'45BB =．三、解答题19、（本题满分10分）计算：1213332332-⎛⎫-+⎪+⎝⎭（）【答案】3【解析】1213332332-⎛⎫--++⎪+⎝⎭（）13234233=++-=9 / 1420、（本题满分10分）解不等式组：159104122362x x x x x -≤-⎧⎪-+⎨->-⎪⎩【答案】14x ≤<【解析】由第一个不等式得：55x ≥，解得：1x ≥；由第一个不等式得：()()212312x x x --+>-，整理得：28x <，解得4x <； ∴不等式的解集为：14x ≤<．21、（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5000印数x （册） 5000 8000 10000 15000 … 成本y （元）28500360004100053500…（1）经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入y （元）是印数x （册）的一次函数，求这个一次函数的解析式（不要求写出的x 取值范围）； （2）如果出版社投入成本48000元，那么能印该读物多少册？ 【答案】（1）5160002y x =+；（2）12800．【解析】（1）设所求一次函数的解析式为y kx b =+（0k ≠），有题意可知：500028500800036000k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得5216000k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩； ∴所求函数的关系式为5160002y x =+； （2）∵548000160002x =+，∴12800x =． 答：能印该读物12800册．ABCDP N MQHBA CDEF22、（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）如图，MN 表示一段笔直的高架道路，线段AB 表示高架道路旁的一排居民楼．已 知点A 到MN 的距离为15米，BA 的延长线与MN 相交于点D ，且30BDN ∠=︒，假设 汽车在高架道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．（1）过点A 作MN 的垂线，垂足为H ．如果汽车沿着从M 到N 的方向在MN 上行驶，当汽车到达点P 处时，噪音开始影响这一排居民楼，那么此时汽车与点H 的距离为多少米？ （2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板．当汽车行驶到点Q 时，它与这一排居民楼的距离QC 为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（结果精确到13 1.7） 【答案】（1）36；（2）89． 【解析】（1）39AP =，根据勾股定理可得：2222391536PH AP AH m =--=；（2）30BDN ∠=︒，得278DQ QC m ==，cot 30153DH AH m =⋅︒=， 由此可得隔音板长度：361537811415389PQ PH DH DQ m =-+=-=-．23、（本题满分12分，每小题满分各6分）如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AE CE =，以点E 为圆心EA 长为半径作弧交AB 于点D ，联结DE ，过点D 作DF DE ⊥交BC 于点F ，联结CD ． 求证：（1）CD AB ⊥；（2）CF FB =． 【答案】见解析【解析】（1）∵,AE ED CE AE ED ===, ∴ ,A EDA EDC ECD ∠=∠∠=∠∵ 180A ECD ADC ∠+∠+∠=︒，即180A ECD EDC EDA ∠+∠+∠+∠=︒ ∴ 2()180A ECD ∠+∠=︒ ∴ 90A ECD ∠+∠=︒∴180()1809090ADC A ECD ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒∴CD AB ⊥（2）联结EF ．∵ED EC =，EF EF =，∴Rt EDF ∆≌ Rt ECF ∆ ∴12DEF CEF DEC ∠=∠=∠，∵12A ADE DEC ∠=∠=∠∴CEF A ∠=∠∴EF ∥AB ，∵EA EC = ∴CF FB =11 / 14A BCDEOxyA BCDEOxyA BCDEOxyP NM图（a ） 图（b ） 图（c ） 24、（本题满分12分，每小题满分各4分）如图（a ），抛物线()263y a x =+-与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，点D 为抛物线的顶点，直线DE x ⊥轴，垂足为E ，23AE DE =． （1）求这个抛物线的解析式；（2）P 为直线DE 上的一点，且PAC ∆是以PC 为斜边的直角三角形，见图（b ），求tan PCA ∠的值；（3）如图（c ）所示，M 为抛物线上的一动点，过点M 作直线MN DM ⊥，交直线DE 于点N ，当M 点在抛物线的第二象限的部分上运动时，是否存在使点E 三等分线段DN 的情况？若存在，请求出符合条件的所有的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）21493y x x =++；（2）1tan 3PCA ∠=；（3）()6323M -+或()6323--．【解析】（1）已知抛物线的顶点()63D --，，则36DE OE ==，， 2393AE DE AE ==∴=，，即()30A -，．将A 点代入抛物线解析式中，得：()23630a -+-=，即13a =，所以抛物线解析式为：()2211634933y x x x =+-=++． （2）设()6P a -，，()()()306009A E C --，，，，，，根据勾股定理得：2222AE PE AC PC ++=，即()22298169a a ++=+-，解得：1a =，()61P ∴-，，10310AP AC ∴=101tan 3310AP PCA AC ∴∠===．（3）设点()()00M a b a b <>，，，分两种情况讨论：（i ）当2NE DE =时，6NE =，即()612N -，，已知()63D -，，则有直线MN 的斜率：166b k a -=+，直线MD 的斜率：236b k a +=+．由于MN DN ⊥，则()()()122636b b k k a -+⋅=+1=-，整理得：22123180a b a b ++-+=①由抛物线的解析式得：21493a a b ++=，整理得：2123270a a b +-+=②由-①②得：29b =，即3b =（负值舍去）， 将3b =代入①得：66a a =-+=--故点()63M -+或()63--；（ii ）当2NE DE =时，32NE =，即362N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，已知()63D --，，则有直线MN 的斜率：1326b k a -=+，直线DM 的斜率：236b k a +=+．由题意得：()()12233216b b k k a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⋅==-+，整理得：2236312022a b b a ++++=， 而2123270a a b +-+=；将两式相减，得：22990b b ++=，解得：12322b b =-=-，（均不符合题意，舍去）． 综上可知，存在符合条件的M点，且坐标为：()63M -+或()63--．13 / 1425、（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）如图，在ABC ∆中，AB = AC ，AD ⊥BC 于点D ，BC = 10 cm ，AD = 8 cm ．点P 从点B 出发，在线段BC 上以每秒3 cm 的速度向点C 匀速运动，与此同时，垂直于AD 的直线m 从底边BC 出发，以每秒2 cm 的速度沿DA 方向匀速平移，分别交AB 、AC 、 AD 于E 、F 、H ，当点P 到达点C 时，点P 与直线m 同时停止运动，设运动时间为t 秒（t > 0）． （1）当t = 2时，连接DE 、DF ，求证：四边形AEDF 为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的PEF ∆的面积存在最大值，当PEF ∆的面积最大时，求线段BP 的长；（3）是否存在某一时刻t ，使PEF ∆为直角三角形？若存在，请求出此时刻t 的值；若 不存在，请说明理由．【答案】（1）略；（2）6；（3）280183t =或4017t =．【解析】（1）证明：当2t =时，24DH t AH ===．AB AC AD BC =⊥，，BD CD ∴=．//EF BC ，EH FH ∴=，∴四边形AEDF 是平行四边形，∵AD EF ⊥，∴四边形AEDF 是菱形．（2）//EF BC ，EF AE AHBC AB AD∴==． 由题意，可得：2DH t =，则有82AH t =-，即得：82108EF t -=．5102EF t ∴=-+1003t ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭． ()22115551021021022222PEF S EF DH t t t t t ∆⎛⎫∴=⋅=-+⋅=-+=--+ ⎪⎝⎭．由此可知2t =时，PEF ∆的面积有最大值，此时36BP t ==； （3）①90EPF ∠=︒，分别通过E 、F 向BC 作高，易得两个三角形相似，即有5324521034t tt t t t -=--，解得：280183t =； ②90EFP ∠=︒，过点F 向BC 作高，则有281035t t =-，解得：4017t =； ③90PEF ∠=︒，过点E 向BC 作高， 则有2835t t =，此时不存在；综上所述，280183t =或4017t =时，PEF ∆是直角三角形．A BCDEFmH。

专题定义新图形及其他题型【知识梳理】根据题目中给的知识点，结合所学函数及图形知识解答【历年真题】1．（2021秋•浦东新区期末）如图，a ∥b ∥c ，直线a 与直线b c与直线b 之间的距离为，等边△ABC 的三个顶点分别在直线a 、直线b 、直线c 上，则等边三角形的边长是．2．（2021秋•宝山区期末）如果一条抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征三角形”．已知y ＝x 2+bx （b ＞0）的“特征三角形”是等腰直角三角形，那么b 的值为．3．（2021秋•青浦区期末）如图，一次函数y ＝ax +b （a ＜0，b ＞0）的图象与x 轴，y 轴分别相交于点A ，点B ，将它绕点O 逆时针旋转90°后，与x 轴相交于点C ，我们将图象过点A ，B ，C 的二次函数叫做与这个一次函数关联的二次函数．如果一次函数y ＝﹣kx +k （k ＞0）的关联二次函数是y ＝mx 2+2mx +c （m ≠0），那么这个一次函数的解析式为．4.（2021秋•青浦区期末）若抛物线y 1=ax 2+b 1x+c 1的顶点为A ，抛物线y 2=ax 2+b 1x+c 1的顶点为B ，且满足顶点A 在抛物线y 2上，顶点B 在抛物线y 1上，则称抛物线y 1与抛物线y 2互为“关联抛物线”已知顶点为M 的抛物线y=(x-2)2+3与顶点为N 的抛物线互为“关联抛物线”，直线MN 与x 轴正半轴交于点D ，如果3tan MDO=4∠，那么顶点为N 的抛物线的表达式为5．（2020秋•长宁区期末）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD中，AB＝AC AD＝CD＝32，点E、点F分别是边AD，边BC上的中点．如果AC是凸四边形ABCD的相似对角线，那么EF的长等于．6．（2020秋•青浦区期末）如果四边形边上的点，它与对边两个端点的连线将这个四边形分成的三个三角形都相似，我们就把这个点叫做该四边形的“强相似点”．如图①，在四边形ABCD中，点Q在边AD上，如果△QAB、△QBC和△QDC都相似，那么点Q就是四边形ABCD的“强相似点”；如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝2，BC＝8，∠B＝60°，如果点Q是边AD上的“强相似点”，那么AQ＝．7．（2020秋•浦东新区期末）如图，△ABC中，AB＝10，BC＝12，AC＝8，点D是边BC上一点，且BD：CD＝2：1，联结AD，过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为．8．（2020秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝12，点D在边AC上，点E在边BC上，sin∠ADE＝45，ED＝5，如果△ECD的面积是6，那么BC的长是．9．（2020秋•金山区期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，以点C为直角顶点的Rt△DCE的顶点D在BA的延长线上，DE交CA的延长线于点G，若tan∠CED＝12，CE＝GE，那么BD的长等于．10．(2020秋•黄浦区期末)已知一个矩形的两邻边长之比为1:2.5，一条平行于边的直线将该矩形分为两个小矩形，如果所得两小矩形相似，那么这两个小矩形的相似比为．11．（2019秋•黄浦区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，∠DAE＝∠B＝30°，且AD3=AE2，那么DEBC的值是．12．（2019秋•宝山区期末）如图，点A在直线34y x上，如果把抛物线y=x²沿OA方向平移5个单位,那么平移后的抛物线的表达式为__．专题定义新图形及其他题型【历年真题】1．（2021秋•浦东新区期末）如图，a ∥b ∥c ，直线a 与直线b c与直线b 之间的距离为，等边△ABC 的三个顶点分别在直线a 、直线b 、直线c 上，则等边三角形的边长是【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【专题】图形的相似；模型思想．【分析】过点A 作AD ⊥直线b 于D ，将△ABD 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACE ，作EG ⊥直线c 于G 交直线a 于F ．想办法求出AE ，EC 即可解决问题．【解答】解：如图，过点A 作AD ⊥直线b 于D ，将△ABD 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACE ，作EG ⊥直线c 于G 交直线a 于F ．则有∠AEC ＝∠ADB ＝∠AFE ＝∠EGC ＝90°，AE ＝AD ，∠EAF ＝∠CEG ＝30°，∴EF ＝12AE ＝2，∴EG ＝2，CG ＝3EG ＝52，CE ＝2CG ＝5，∴AC =．∴等边△ABC 的边长为．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理的运用，直角三角形的性质的运用，相似三角形的性质的运用，解答时构造相似三角形是关键．2．（2021秋•宝山区期末）如果一条抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征三角形”．已知y ＝x 2+bx （b ＞0）的“特征三角形”是等腰直角三角形，那么b 的值为2．【考点】抛物线与x 轴的交点；等腰直角三角形；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．【分析】根据抛物线的“特征三角形”是等腰直角三角形建立方程求解即可．【解答】解：设抛物线y ＝x 2+bx 与x 轴的交点坐标为A ，B ，顶点为D ，∴A （0，0），B （﹣b ，0），D （﹣2b ，﹣24b ），∵抛物线y ＝x 2+bx 对应的“特征三角形”是等腰直角三角形，∴AB 2＝AD 2+BD 2＝2AD 2，∴b 2＝2（24b +416b ），解得：b ＝±2，∵b ＞0，∴b ＝2，故答案为：2．【点评】本题考查抛物线与x 轴的交点和抛物线的“特征三角形”的特点，关键是利用“特征三角形”是等腰直角三角形建立等量关系．3．（2021秋•青浦区期末）如图，一次函数y ＝ax +b （a ＜0，b ＞0）的图象与x 轴，y 轴分别相交于点A ，点B ，将它绕点O 逆时针旋转90°后，与x 轴相交于点C ，我们将图象过点A ，B ，C 的二次函数叫做与这个一次函数关联的二次函数．如果一次函数y ＝﹣kx +k （k ＞0）的关联二次函数是y ＝mx 2+2mx +c （m ≠0），那么这个一次函数的解析式为y ＝﹣3x +3．【考点】抛物线与x 轴的交点；坐标与图形变化﹣旋转；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式．【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；平移、旋转与对称；推理能力．【分析】先由直线y ＝﹣kx +k 求得点A 和点B 的坐标，然后求得点C 的坐标，最后将点A 、B 、C 的坐标分别代入函数y ＝mx 2+2mx +c 中求得m 、k 、c 的值，即可得到一次函数的解析式．【解答】解：对y ＝﹣kx +k ，当x ＝0时，y ＝k ，当y ＝0时，x ＝1，∴A （1，0），B （0，k ），∴C （﹣k ，0），将A 、B 、C 的坐标代入y ＝mx 2+2mx +c 得，22020m m c c k mk mk c ⎧++=⎪=⎨⎪++=⎩，解得：000m k c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或133m k c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩或1311m k c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩，∵m ≠0，k ＞0，∴m ＝﹣1，k ＝3，c ＝3，∴一次函数的解析式为y ＝﹣3x +3，故答案为：y ＝﹣3x +3．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的解析式、旋转的特征，解题的关键是会求点B 经过逆时针旋转90°后的点的坐标．4.（2021秋•青浦区期末）若抛物线y 1=ax 2+b 1x+c 1的顶点为A ，抛物线y 2=ax 2+b 2x+c 2的顶点为B ，且满足顶点A 在抛物线y 2上，顶点B 在抛物线y 1上，则称抛物线y 1与抛物线y 2互为“关联抛物线”已知顶点为M 的抛物线y=(x-2)2+3与顶点为N 的抛物线互为“关联抛物线”，直线MN 与x 轴正半轴交于点D ，如果3tan MDO=4∠，那么顶点为N 的抛物线的表达式为2557(416y x =--+．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】二次函数图象及其性质；；推理能力．【分析】设顶点为N 的抛物线顶点坐标N 为（a ，b ），由题意可知34M M N y x x =-，即可求得D 点坐标为（6，0），则有直线MD 解析式为3(6)4y x =--，因为N 点过直线MD ，N 点也过抛物线y=(x-2)2+3，故有()23(6)423b a b a ⎧=--⎪⎨⎪=-+⎩，解得545716a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故N 点坐标为（54，5716），可设顶点为N 的抛物线的表达式为2557(416y a x =-+，又因为M 点过2557()416y a x =-+，即可解得a=-1，故顶点为N 的抛物线的表达式为2557()416y x =--+．【解答】设顶点为N 的抛物线顶点坐标N 为（a ，b ）已知抛物线y=(x-2)2+3的顶点坐标M 为（2，3）∵3tan 4MDO ∠=∴34M M N y x x =-即3324D x =-解得24D x =±∵直线MN 与x 轴正半轴交于点D ∴D 点坐标为（6，0）则直线MD 解析式为3(6)4y x =--N 点在直线MD 3(6)4y x =--上，N 点也在抛物线y=(x-2)2+3故有()23(6)423b a b a ⎧=--⎪⎨⎪=-+⎩化简得2394247b a b a a ⎧=-+⎪⎨⎪=-+⎩联立得2394742a a a --=-+化简得2135042a a -+=解得a=54或a=2（舍）将a=54代入3942b a =-有359157257442161616b =-⨯+=-+=解得545716a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故N 点坐标为（54，5716）则顶点为N 的抛物线的表达式为2557()416y a x =-+将（2，3）代入2557(416y a x =-+有25573(2)416a =-+化简得95731616a =+解得a=-1故顶点为N 的抛物线的表达式为2557(416y x =--+故答案为：2557(416y x =--+．【点评】本题考察了二次函数的图象及其性质，三角函数的应用．理解题意所述“关联抛物线”的特点，即若抛物线y 1=ax 2+b 1x+c 1的顶点为A ，抛物线y 2=ax 2+b 2x+c 2的顶点为B ，且满足顶点A 在抛物线y 2上，顶点B 在抛物线y 1上是解题的关键．5．（2020秋•长宁区期末）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD 中，AB ＝ACAD＝CD ＝32，点E 、点F 分别是边AD ，边BC 上的中点．如果AC 是凸四边形ABCD 的相似对角线，那么EF 的长等于414．【考点】相似图形；三角形中位线定理．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】利用相似三角形的性质求出BC 长，再利用等腰三角形的性质和勾股定理计算出EF 的长即可．【解答】解：如图所示：∵AB＝AC，AD＝CD，△ABC∽△DAC，∴AC2＝BC•AD，∵AC AD＝32，∴CB＝2，∵△ABC∽△DAC，∴∠ACB＝∠CAD，∴CB∥AD，∵AB＝AC，F为BC中点，∴AF⊥CB，BF＝CF＝1，∴∠AFC＝90°，∵CB∥AD，∴∠FAE＝∠AFC＝90°，∵AC Rt△AFC中AF＝=，∵AD＝32，E为AD中点，∴AE＝34，∴EF414 =．故答案为：41 4．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，以及等腰三角形的性质和勾股定理，关键是掌握相似三角形对应边成比例、对应角相等．6．（2020秋•青浦区期末）如果四边形边上的点，它与对边两个端点的连线将这个四边形分成的三个三角形都相似，我们就把这个点叫做该四边形的“强相似点”．如图①，在四边形ABCD中，点Q在边AD上，如果△QAB、△QBC和△QDC都相似，那么点Q就是四边形ABCD的“强相似点”；如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝2，BC＝8，∠B＝60°，如果点Q是边AD上的“强相似点”，那么AQ＝或．【考点】相似图形．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】如图，当∠1＝∠2＝∠3时，△BAQ∽△QDC∽△CQB，设AQ＝x．利用相似三角形的性质，构建方程求解即可．【解答】解：如图，当∠1＝∠2＝∠3时，△BAQ∽△QDC∽△CQB，设AQ＝x．过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，则四边形AEFD是矩形，∴AD＝EF，∵AB＝CD＝2，AD∥BC，∴四边形ABCD是等腰梯形，∴∠ABE＝∠DCF＝60°，BE＝AB•cos60°＝1，CF＝CD•cos60°＝1，∴EF＝BC﹣BE﹣CF＝6，∴AD＝EF＝6，DQ＝6﹣x，∵△BAQ∽△QDC，∴AB AQ=QD CD，∴x（6﹣x）＝4，解得x＝3±5，∴AQ＝3±5故答案为：5或3-5【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰梯形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．7．（2020秋•浦东新区期末）如图，△ABC中，AB＝10，BC＝12，AC＝8，点D是边BC上一点，且BD：CD＝2：1，联结AD，过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为2．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】先求出BD＝8，CD＝4，再求出MH＝4，DH＝2，设BE＝x，得出CE＝12﹣x，CF＝3+x，EH＝10﹣x，再判断出△EHM∽△ECF，得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．【解答】解：如图，∵点D是BC上一点，BC＝12，∴BD：CD＝2：1，∴BD＝8，CD＝4，过点M作MH∥AC交CD于H，∴△DHM∽△DCA，∴MH DH=ACDMCD AD=，∴点M是AD的中点，∴AD＝2DM，∵AC＝8，∴MH DH1=842=，∴MH＝4，DH＝2，过点M 作MG ∥AB 交BD 于G ，同理得，BG ＝DG ＝4，∵AB ＝10，BC ＝12，AC ＝8，∴△ABC 的周长为10+12+8＝30，∵过AD 中点M 的直线将△ABC 分成周长相等的两部分，∴CE +CF ＝15，设BE ＝x ，则CE ＝12﹣x ，∴CF ＝15﹣（12﹣x ）＝3+x ，EH ＝CE ﹣CH ＝CE ﹣（CD ﹣DH ）＝12﹣x ﹣2＝10﹣x ，∵MH ∥AC ，∴△EHM ∽△ECF ，∴MH EH =CF CE ，∴410-=3+12x x x，∴x ＝2或x ＝9，当x ＝9时，CF ＝12＞AC ，点F 不在边AC 上，此种情况不符合题意，即BE ＝x ＝2，故答案为：2．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，构造出相似三角形是解本题的关键．8．（2020秋•徐汇区期末）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝120°，AB ＝12，点D 在边AC 上，点E 在边BC 上，sin ∠ADE ＝45，ED ＝5，如果△ECD 的面积是6，那么BC 的长是﹣6．【考点】解直角三角形；三角形的面积．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】如图，过点E 作EF ⊥BC 于F ，过点A 作AH ⊥CB 交CB 的延长线于H ．解直角三角形求出BH ，CH 即可解决问题．【解答】解：如图，过点E 作EF ⊥BC 于F ，过点A 作AH ⊥CB 交CB 的延长线于H ．∵∠ABC ＝120°，∴∠ABH ＝180°﹣∠ABC ＝60°，∵AB ＝12，∠H ＝90°，∴BH ＝AB •cos60°＝6，AH ＝AB •sin60°＝，∵EF ⊥DF ，DE ＝5，∴sin ∠ADE ＝EF DE ＝45，∴EF ＝4，∴DF 3==，∵S △CDE ＝6，∴12•CD •EF ＝6，∴CD ＝3，∴CF ＝CD +DF ＝6，∵tan C ＝EF AH CF CH =，∴4636CH=，∴CH ＝，∴BC ＝CH ﹣BH ＝6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．9．（2020秋•金山区期末）已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AC ＝2，以点C 为直角顶点的Rt △DCE 的顶点D 在BA 的延长线上，DE 交CA 的延长线于点G ，若tan ∠CED＝12，CE ＝GE ，那么BD 的长等于2+【考点】解直角三角形；勾股定理．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】如图，过点A 作AH ⊥CE 于H ．想办法证明AK ＝AC ，推出HK ＝CH ，推出AK ＝AD ＝2，即可解决问题．【解答】解：如图，过点A 作AH ⊥CE 于H .∵tan ∠CED ＝12＝tan ∠BAC ，∴∠E ＝∠BAC ，∵CE ＝EG ，∴∠CGE ＝∠ECG ，∵∠BAC +∠GAK ＝180°，∴∠E +∠GAK ＝180°，∴∠AGE +∠AKE ＝180°，∵∠AKE +∠AKC ＝180°，∴∠AKC ＝∠CGE ，∴∠AKC ＝∠ACK ，∴AC ＝AK ＝2，∵AH ⊥CK ，∴KH ＝CH ，∵∠AHE ＝∠DCK ＝90°，∴AH ∥CD ，∴KA ＝AD ，∴DK ＝2AK ＝4，AD ＝AK ＝2，∵∠ACB ＝90°，BC ＝1，AC ＝2，∴AB =∴BD ＝AB +AD ＝，故答案为：【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题．10．(2020秋·黄浦区期末)已知一个矩形的两邻边长之比为1:2.5.一条平行于边的直线将该矩形分为两个小矩形，如果所得两小矩形相似，那么这两个小矩形的相似比为2:1或1:2或1:1．【考点】相似多边形的性质;矩形的性质，四手拉手模型【专题】图形的相似;推理能力.【分析】如图，设AB=a，AD=2.5a，AE=x，则DE=2.5a-x，利用相似多边形的性质，构建方程求解，另外两个矩形全等也符合题意．【解答】解:如图，设AB=a，AD=2.5a，,AE=x，则DE=2.5a-x.∵矩形ABFE∽矩形EDCF∴AE EF=EF DE∴=2.5x aa a x整理得，x2-2.5xa+a2=0，解得x=2a或0.5a，∴矩形ABFE与矩形EDCF相似，相似比为2：1或1：2.当E，F分别是AD，BC的中点时，两个矩形全等，也符合题意，相似比为：1：1故答案为：2：1或1：2或1：1.【点评】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程求解，属干电考常考题型11．（2019秋•黄浦区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，∠DAE＝∠B＝30°，且AD3=AE2，那么DEBC的值是13318﹣1．【考点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．【分析】证明△ADE∽△BAE，得出AE2＝DE×BE，同理△ADE∽△CDA，得出AD2＝DE×CD，得出2294AD CD AE BE ==，设CD ＝9x ，则BE ＝4x ，求出AB ＝AD AE×BE ＝6x ，作AM ⊥BC 于M ，由等腰三角形的性质得出BM ＝CM ＝12BC ，由直角三角形的性质得出AM ＝12AB ＝3x ，BM AM ＝x ，得出BC ＝2BM ＝，求出DE ＝BE +CD ﹣BC ＝13x ﹣x ，即可得出答案．【解答】解：∵AB ＝AC ，∴∠C ＝∠B ＝30°，∵∠DAE ＝∠B ＝30°，∴∠DAE ＝∠B ＝∠C ，∵∠AED ＝∠BEA ，∴△ADE ∽△BAE ，∴AD AE DE ==AB BE AE，∴AE 2＝DE ×BE ，同理：△ADE ∽△CDA ，∴AD DE =CD AD ，∴AD 2＝DE ×CD ，∴22239()24AD CD AE BE ===，设CD ＝9x ，则BE ＝4x ，∵AD AE AB BE =，∴AB ＝AD AE ×BE ＝32×4x ＝6x ，作AM ⊥BC 于M ，如图所示：∵AB ＝AC ，∴BM ＝CM ＝12BC ，∵∠B ＝30°，∴AM ＝12AB ＝3x ，BM AM ＝，∴BC ＝2BM ＝，∴DE ＝BE +CD ﹣BC ＝13x ﹣x ，∴13318DE EC ==﹣1；故答案为：13318﹣1．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；证明三角形相似是解题的关键．12．（2019秋•宝山区期末）如图，点A 在直线34y x =上，如果把抛物线y=x ²沿OA 方向平移5个单位,那么平移后的抛物线的表达式为_y=(x-4)2+3_．【考点】二次函数图象与几何变换；一次函数图象上点的坐标特征，四二次函数的平移【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力.【分析】过点A作AB丄x轴于B，求出OB、AB，然后写出点A的坐标，再利用顶点式解析式写出即可.【解答】解：如图，过点A作AB丄x轴于B，∵点A在直线34y x上，OA=5，∴OB=4，AB=3，∵点A的坐标为(4，3)，∴平移后的抛物线解析式是y=(x-4)2+3故答案为y=(x-4)2+3.【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便.。

专题2021年分类汇编-18题专题一图形的翻折【知识梳理】【历年真题】1．（2020秋•崇明区期末）在△ABC中，AB＝，∠B＝45°，∠C＝60°．点D为线段AB的中点，点E在边AC上，连接DE，沿直线DE将△ADE折叠得到△A′DE．连接AA′，当A′E⊥AC时，则线段AA′的长为．2．（2020秋•长宁区期末17）如图，矩形ABCD沿对角线BD翻折后，点C落在点E处．联结CE交边AD于点F．如果DF＝1，BC＝4，那么AE的长等于．3．（2020秋•虹口区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．D是BC的中点，点E在边AB上，将△BDE沿直线DE翻折，使得点B落在同一平面内的点B'处，线段B'D交边AB于点F，联结AB'．当△AB'F是直角三角形时，BE的长为．5．（2020秋•松江区期末）如图，已知矩形纸片ABCD，点E在边AB上，且BE＝1，将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在对角线AC上的点F处，联结DF，如果点D、F、E在同一直线上，则线段AE的长为．6．（2020秋•普陀区期末）如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，将△ABE沿着直线AE翻折得到△AFE，点B的对应点F恰好落在线段DE上，线段AF的延长线交边CD于点G，如果BE：EC＝3：2，那么AF：FG的值等于．专题二图形的旋转【知识梳理】【历年真题】1．（2020秋•嘉定区期末）已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，sin A＝55（如图），把△ABC绕着点C按顺时针方向旋转α°（0＜α＜360），将点A、B的对应点分别记为点A′，B′，如果△AA′C为直角三角形，那么点A与点B'的距离为．2．（2020秋•闵行区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，tan B＝．将△ABC绕着点A顺时针旋转后，点B恰好落在射线CA上的点D处，点C落在点E处，射线DE与边AB相交于点F，那么BF＝．3．（2020秋•静安区期末）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，tan B ＝23（如图），将△ABC 绕点C 旋转后，点A 落在斜边AB 上的点A '，点B 落在点B '，A 'B '与边BC 相交于点D ，那么'CD A D 的值为．4．（2020秋•杨浦区期末）如图，已知在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，将△ABC 绕点A 旋转，点B 、C 分别落在点B 1、C 1处，如果BB 1∥AC ，联结C 1B 1交边AB 于点D ，那么1BD B D 的值为．5．（2020秋•宝山区期末）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点E 、F 分别是边CA 、CB 的中点，已知点P 在线段EF 上，联结AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转90°得到线段DP ，如果点P 、D 、C 在同一直线上，那么tan ∠CAP ＝．6．（2020秋•奉贤区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，CD 是△ABC 的角平分线，将Rt △ABC 绕点A 旋转，如果点C 落在射线CD 上，点B 落在点E 处，联结DE ，那么∠AED 的正切值为．专题三定义新图形【知识梳理】根据题目中给的知识点，结合所学函数及图形知识解答【历年真题】1．（2020秋•长宁区期末）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD中，AB＝AC3AD＝CD＝32，点E、点F分别是边AD，边BC上的中点．如果AC是凸四边形ABCD的相似对角线，那么EF的长等于．2．（2020秋•青浦区期末）如果四边形边上的点，它与对边两个端点的连线将这个四边形分成的三个三角形都相似，我们就把这个点叫做该四边形的“强相似点”．如图①，在四边形ABCD中，点Q在边AD上，如果△QAB、△QBC和△QDC都相似，那么点Q就是四边形ABCD的“强相似点”；如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝2，BC＝8，∠B＝60°，如果点Q是边AD上的“强相似点”，那么AQ＝．3．（2020秋•浦东新区期末）如图，△ABC中，AB＝10，BC＝12，AC＝8，点D是边BC上一点，且BD：CD＝2：1，联结AD，过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为．4．（2020秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝12，点D在边AC上，点E在边BC上，sin∠ADE＝45，ED＝5，如果△ECD的面积是6，那么BC的长是．5．（2020秋•金山区期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，以点C为直角顶点的Rt△DCE的顶点D在BA的延长线上，DE交CA的延长线于点G，若tan∠CED＝12，CE＝GE，那么BD的长等于．6．(2020秋•黄浦区期末)已知一个矩形的两邻边长之比为1:2.5，一条平行于边的直线将该矩形分为两个小矩形，如果所得两小矩形相似，那么这两个小矩形的相似比为．专题2021年分类汇编-18题专题一图形的翻折【历年真题】1．（2020秋•崇明区期末）在△ABC中，AB＝，∠B＝45°，∠C＝60°．点D为线段AB的中点，点E在边AC上，连接DE，沿直线DE将△ADE折叠得到△A′DE．连接AA′，当A′E⊥AC时，则线段AA′的长为2．【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【分析】画出相应的图形，结合图形通过作高构造直角三角形，求出AM＝BM＝4，进而求出AC，再利用相似三角形的性质和判定求出AE，根据对称在Rt△AEF中求出AF即可．【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC，垂足为M，在Rt△ABM中，∠B＝45°，AB＝，∴AM＝BM＝AB•sin∠B＝4，在Rt△ACM中，AM＝4，∠C＝60°，∴AC＝AM4=sin C sin60∠，又∵A′E⊥AC，∴∠A′EC＝90°，由折叠得∠AED＝∠A′ED＝12（180°﹣90°）＝45°，AA′⊥DE，∵∠AED＝45°＝∠B，∠DAE＝∠CAB，∴△DAE∽△CAB，∴AE AD=AB DC，∵点D为线段AB的中点，∴AD＝BD＝12AB＝，833AE＝，在Rt△AEF中，AF＝EF＝AE•sin∠AED＝×2，∴AA′＝2AF＝，故答案为：．【点评】本题考查轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，掌握轴对称、相似三角形的性质以及解直角三角形是解决问题的关键．2．（2020秋•长宁区期末17）如图，矩形ABCD 沿对角线BD 翻折后，点C 落在点E 处．联结CE 交边AD 于点F ．如果DF ＝1，BC ＝4，那么AE 的长等于655．【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【分析】首先根据题意得到EG ＝CG ，CE ⊥BD ，证明△CDF ∽△BCD 和△CDG ∽△BDC ，可计算CD 和CG 的长，再证明△EFD ∽△AED ，可得AE 的长．【解答】解：由折叠得：CE ⊥BD ，CG ＝EG ，∴∠DGF ＝90°，∴∠DFG +∠FDG ＝90°，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADC ＝∠BCD ＝90°，∴∠ADG +∠CDG ＝90°，∴∠CDG ＝∠DFG ，∵∠CDF ＝∠BCD ＝90°，∴△CDF ∽△BCD ，∴CD DF =BC CD，∵AB ＝4，DF ＝1，∴CD 1=4CD，∴CD ＝2，由勾股定理得：CF ＝221+2=5，BD 222+45，同理得：△CDG∽△BDC，∴CD CG=BD BCCG4，∴CG ＝455，∴CE＝2CG ＝85 5，∴EF＝CE﹣CF ＝855＝355，∵DF1=ED2，ED21==AD42，且∠EDF＝∠AED，∴△EFD∽△AED，∴EF DF=AE DE ，即15=AE2，∴AE【点评】本题主要考查了几何变换中的翻折变换、相似三角形的性质和判定、矩形的性质、勾股定理；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，利用相似三角形列比例式是本题的关键．3．（2020秋•虹口区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．D是BC的中点，点E在边AB上，将△BDE沿直线DE翻折，使得点B落在同一平面内的点B'处，线段B'D交边AB于点F，联结AB'．当△AB'F是直角三角形时，BE的长为2或40 17．【考点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【分析】分两种情况画出图形，①方法一：如图1，当∠AFB′＝90°时，由相似三角形的性质及直角三角形的性质可求出答案；方法二：过点E作EH⊥BC于点H，设EH＝3a，BE＝5a，则BH＝4a，由BF的长列出方程，解方程求出a即可；②方法一如图2，当∠AB′F＝90°时，由相似三角形的性质及直角三角形的性质可求出答案．方法二：过点E作EG⊥BD于点G，设EG＝3a，BG＝4a，BE＝5a，得出9442a a+=，求出a的值则可得出答案．【解答】解：①方法一：如图1，当∠AFB′＝90°时．在Rt △ABC 中，∵AC ＝6，BC ＝8，∴AB 22226810AC BC +=+=，∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD ＝12BC ＝4，∵∠AFB '＝∠BFD ＝90°，∠ACB ＝90°，∴∠DFB ＝∠ACB ，又∵∠DBF ＝∠ABC ，∴△BDF ∽△BAC ，∴BF BD BC AB =，即4810BF =，解得：BF ＝165，设BE ＝B 'E ＝x ，则EF ＝165﹣x ，∵∠B ＝∠FB 'E ，∴sin ∠B ＝sin ∠FB 'E ，∴'AC EF AB B E =，∴166510x x-=，解得x ＝2．∴BE ＝2．方法二：过点E 作EH ⊥BC 于点H ，设EH ＝3a ，BE ＝5a ，则BH ＝4a ，∵将△BDE 沿直线DE 翻折，∴EF ＝3a ，∴BF ＝8a ＝BD •cos ∠B ＝4×45，∴a ＝25，∴BE ＝5a ＝2；②如图2中，当∠AB ′F ＝90°时，连接AD ，作EH ⊥AB ′交AB ′的延长线于H．∵AD ＝AD ，CD ＝DB ′，∴Rt △ADC ≌Rt △ADB ′（HL ），∴AC ＝AB ′＝6，∵将△BDE 沿直线DE 翻折，∴∠B ＝∠DB 'E ，∵AB '⊥DB '，EH ⊥AH ，∴DB '∥EH ，∴∠DB 'E ＝∠B 'EH ，∴∠B ＝∠B 'EH ，∴sin ∠B ＝sin ∠B 'EH ，设BE ＝x ，则B 'H ＝35x ，EH ＝45x ，在Rt △AEH 中，AH 2+EH 2＝AE 2，∴22234(6)()(10)55x x x ++=-，解得x ＝4017，∴BE ＝4017．则BE 的长为2或4017．方法二：过点E 作EG ⊥BD 于点G ，设EG ＝3a ，BG ＝4a ，BE ＝5a ，∴DG ＝EG ×32＝92a ，∵DG +GB ＝DB ，∴9442a a +=，∴a ＝817，∴BE ＝4017．故答案为：2或4017．【点评】本题考查了翻折变换、勾股定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题．5．（2020秋•松江区期末）如图，已知矩形纸片ABCD ，点E 在边AB 上，且BE ＝1，将△CBE 沿直线CE 翻折，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，联结DF ，如果点D 、F 、E 在同一直线上，则线段AE 的长为152+．【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【分析】根据矩形的性质得到AD ＝BC ，∠ADC ＝∠B ＝∠DAE ＝90°，根据折叠的性质得到CF ＝BC ，∠CFE ＝∠B ＝90°，EF ＝BE ＝1，DC ＝DE ，证明△AEF ∽△DEA ，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AB ＝CD ，∠ADC ＝∠B ＝∠DAE ＝90°，∵把△BCE 沿直线CE 对折，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，∴CF ＝BC ，∠CFE ＝∠B ＝90°，EF ＝BE ＝1，∠CEB ＝∠CEF ，∵矩形ABCD 中，DC ∥AB ，∴∠DCE ＝∠CEB ，∴∠CEF ＝∠DCE ，∴DC ＝DE ，设AE＝x，则AB＝CD＝DE＝x+1，∵∠AFE＝∠CFD＝90°，∴∠AFE＝∠DAE＝90°，∵∠AEF＝∠DEA，∴△AEF∽△DEA，∴AF DEEF AE=，∴11x xx+=，解得x＝152+或x＝152（舍去），∴AE＝12．故答案为：15 2．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．6．（2020秋•普陀区期末）如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，将△ABE沿着直线AE翻折得到△AFE，点B的对应点F恰好落在线段DE上，线段AF的延长线交边CD于点G，如果BE：EC＝3：2，那么AF：FG的值等于214．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】多边形与平行四边形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．【分析】延长BC，AG交于点H，设BE＝3x，EC＝2x，由平行四边形的性质可得AD＝BC＝5x，AD∥BC，由折叠的性质可得∠AEB＝∠AEF，BE＝EF＝3x，通过证明△ADF∽△HEF，△ADG∽△HCG，可求AF＝425y，FG＝AG﹣AF＝85y，即可求解．【解答】解：如图，延长BC，AG交于点H，∵BE：EC＝3：2，∴设BE＝3x，EC＝2x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝5x，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵将△ABE沿着直线AE翻折得到△AFE，∴∠AEB＝∠AEF，BE＝EF＝3x，∴∠DAE＝∠AED，∴AD＝DE＝5x，∴DF＝2x，∵AD∥BC，∴△ADF∽△HEF，∴AD DF AFEH EF FH==，∴523x AFEH FH==，∴EH＝152x，AF＝23FH，∴CH＝EH﹣EC ＝x，∵AD∥BC，∴△ADG∽△HCG，∴AD AGCH GH=，∴51011112x AGGHx==，∴设AG＝10y，GH＝11y，∴AH＝21y，∴AF＝215y×2＝425y，∴FG＝AG﹣AF＝85y，∴AF：FG＝21：4＝21 4，故答案为21 4．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，折叠的性质，平行四边形的性质，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键．专题二图形的旋转【历年真题】1．（2020秋•嘉定区期末）已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，sin A＝5（如图），把△ABC绕着点C按顺时针方向旋转α°（0＜α＜360），将点A、B的对应点分别记为点A′，B′，如果△AA′C为直角三角形，那么点A与点B'的距离为【考点】旋转的性质；解直角三角形．【专题】分类讨论；平移、旋转与对称；几何直观．【分析】根据△AA′C为直角三角形，分两种情况：①当点B'在线段AC上时，△AA′C为直角三角形；②当点B'在线段AC的延长线上时，△AA′C为直角三角形，依据线段的和差关系进行计算即可得到点A与点B'的距离．【解答】解：分两种情况：①当点B '在线段AC 上时，△AA ′C 为直角三角形，∵∠ACB ＝90°，AB ＝10，sin A ＝5，∴BC ＝AB ×55＝10×55＝∴B 'C ＝AC =，∴AB '＝AC ﹣B 'C ＝②当点B '在线段AC 的延长线上时，△AA ′C 为直角三角形，同理可得，B 'C ＝AC ＝，∴AB '＝AC +B 'C ＝综上所述，点A 与点B '的距离为故答案为：【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数的应用，运用分类思想是本题的关键．2．（2020秋•闵行区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝3，tan B ＝．将△ABC 绕着点A 顺时针旋转后，点B 恰好落在射线CA 上的点D 处，点C 落在点E 处，射线DE 与边AB 相交于点F ，那么BF ＝3【考点】旋转的性质；解直角三角形．【专题】平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【分析】过点F 作FG ⊥AC 于点G ，由旋转的性质得出∠B ＝∠D ，得出tan ∠B ＝tan ∠D ＝12FG GD =，由平行线的性质得出∠B ＝∠AFG ，设AG ＝x ，则FG ＝2x ，则2132x x =+，求出AG ＝1，则可得出答案．【解答】解：如图，过点F 作FG ⊥AC 于点G ，∵将△ABC 绕着点A 顺时针旋转后，点B 恰好落在射线CA 上的点D 处，∴∠B ＝∠D ，∴tan ∠B ＝tan ∠D ＝12FG GD =，∵∠ACB ＝∠FGA ＝90°，∴BC ∥FG ，∴∠B ＝∠AFG ，∴tan ∠B ＝tan ∠AFG ＝12AG FG =，设AG ＝x ，则FG ＝2x ，∴2132x x =+，解得x ＝1，∴AG ＝1，FG ＝2，∴AF 225FG AG +=∴BF ＝AB ﹣AF ＝35．故答案为：35【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．3．（2020秋•静安区期末）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，tan B ＝23（如图），将△ABC 绕点C 旋转后，点A 落在斜边AB 上的点A '，点B 落在点B '，A 'B '与边BC 相交于点D ，那么'CD A D【考点】旋转的性质；解直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．【分析】过C 作CE ⊥AB 于E ，根据勾股定理和正切的定义得到AC ＝，BC ＝，根据三角形面积得到CE ＝6，再根据旋转的性质和相似三角形的判定与性质即可求解．【解答】解：过C 作CE ⊥AB 于E ，∵tan B ＝23，∴23AC BC =，设AC ＝2x ，则BC ＝3x ，在Rt △ABC 中，AB ＝13，解得x ＝AC ＝，BC ＝，S △ABC ＝12AC •BC ＝12AB •CE ，即12××312×13×CE ，解得CE ＝6，∵tan B ＝CE EB ＝23，∴EB ＝9，∵将△ABC 绕点C 旋转后，点A 落在斜边AB 上的点A '，点B 落在点B '，∴∠B ＝∠B ′，AC ＝AC ′，∵CE ⊥AB ，∴AE ′＝AE ＝AB ﹣BE ＝13﹣9＝4，∴A ′B ＝AB ﹣A ′E ＝9﹣4＝5，∵∠A ′DB ＝∠CDB ′，∴△A ′DB ∽△B ′DC ，∴'CD A D ＝''CB A B ＝'CB A B ．．【点评】本题考查了勾股定理，解直角三角形，旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．4．（2020秋•杨浦区期末）如图，已知在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，将△ABC 绕点A 旋转，点B 、C 分别落在点B 1、C 1处，如果BB 1∥AC ，联结C 1B 1交边AB 于点D ，那么1BD B D 的值为622．【考点】旋转的性质；平行线的性质．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【分析】由旋转的性质和等腰三角形的性质可求∠B 1AB ＝30°，由直角三角形的性质可求DB 1＝2DE ，DB ＝3﹣DE ，即可求解．【解答】解：如图，过点D 作DE ⊥AB 1于E，∵∠B ＝45°，∠C ＝60°，∴∠CAB ＝75°，∵BB 1∥AC ，∴∠CAB ＝∠ABB 1＝75°，∵将△ABC 绕点A 旋转，∴AB ＝AB 1，∠AB 1C 1＝∠ABC ＝45°，∴∠AB 1B ＝∠ABB 1＝75°，∴∠B 1AB ＝30°，又∵DE ⊥AB 1，∠AB 1C 1＝45°，∴AD ＝2DE ，AE＝DE ，DE ＝B 1E ，∴AB 1DE +DE ＝AB ，DB 1DE ，∴DB ＝AB ﹣ADDE ﹣DE ，∴1BD B D622=，故答案为：2．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．5．（2020秋•宝山区期末）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点E 、F 分别是边CA 、CB 的中点，已知点P 在线段EF 上，联结AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转90°得到线段DP ，如果点P 、D 、C 在同一直线上，那么tan ∠CAP﹣1．【考点】旋转的性质；解直角三角形；等腰直角三角形；三角形中位线定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】分两种情形：①当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．证明AD ＝DC 即可解决问题．②当点P 在线段CD 上时，同法可证：DA ＝DC 解决问题．【解答】解：如图1，当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H．∵CE ＝EA ，CF ＝FB ，∴EF ∥AB ，∴∠EFC ＝∠ABC ＝45°，∵∠PAO ＝45°，∴∠PAO ＝∠OFH ，∵∠POA ＝∠FOH ，∴∠H ＝∠APO ，∵∠APC ＝90°，EA ＝EC ，∴PE ＝EA ＝EC ，∴∠EPA ＝∠EAP ＝∠BAH ，∴∠H ＝∠BAH ，∴BH ＝BA ，∵∠ADP ＝∠BDC ＝45°，∴∠ADB ＝90°，∴BD ⊥AH ，∴∠DBA ＝∠DBC ＝22.5°，∵∠ADB ＝∠ACB ＝90°，∴A ，D ，C ，B 四点共圆，∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°，∴∠DAC＝∠DCA＝22.5°，∴DA＝DC，设AD＝a，则DC＝AD＝a，AP=PD＝2a，∴PC＝a+2a，∴tan∠CAP＝22122a aCPAP+==；如图2中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA＝DC，设AD＝a，则CD＝AD＝a，PD ＝2 2 a，∴PC＝a ﹣22 a，∴tan∠CAP＝22122a aCPAP+==，∵点P在线段EF上，∴情形1，不满足条件，情形2满足条件，﹣1．【点评】本题考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．6．（2020秋•奉贤区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是△ABC的角平分线，将Rt△ABC绕点A旋转，如果点C落在射线CD上，点B落在点E处，联结DE，那么∠AED的正切值为3 7．【考点】旋转的性质；解直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】设点C落在射线CD上的点C'处，由勾股定理可求AB＝5，由旋转的性质可得∠ACD＝∠AC'C＝45°＝∠DCB，∠EAB＝∠CAC'，由平行线分线段成比例可求AD的长，即可求解．【解答】解：如图，设点C落在射线CD上的点C'处，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB=5，∵CD是△ABC的角平分线，∴∠ACD＝∠DCB＝45°，∵将Rt△ABC绕点A旋转，∴∠ACD＝∠AC'C＝45°＝∠DCB，∠EAB＝∠CAC'，∴∠CAC'＝90°＝∠EAB，∴AC'∥BC，∴'34AD ACDB BC==，∴AD＝157，∴tan∠AED＝37 ADAE=，故答案为：3 7．【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数，平行线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．专题三定义新图形【历年真题】1．（2020秋•长宁区期末）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD中，AB＝AC AD＝CD＝32，点E、点F分别是边AD，边BC上的中点．如果AC是凸四边形ABCD的相似对角线，那么EF的长等于414．【考点】相似图形；三角形中位线定理．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】利用相似三角形的性质求出BC长，再利用等腰三角形的性质和勾股定理计算出EF的长即可．【解答】解：如图所示：∵AB＝AC，AD＝CD，△ABC∽△DAC，∴AC2＝BC•AD，∵AC AD＝32，∴CB＝2，∵△ABC∽△DAC，∴∠ACB＝∠CAD，∴CB∥AD，∵AB＝AC，F为BC中点，∴AF⊥CB，BF＝CF＝1，∴∠AFC＝90°，∵CB∥AD，∴∠FAE＝∠AFC＝90°，∵AC Rt△AFC中AF＝=，∵AD＝32，E为AD中点，∴AE＝34，∴EF414 =．故答案为：41 4．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，以及等腰三角形的性质和勾股定理，关键是掌握相似三角形对应边成比例、对应角相等．2．（2020秋•青浦区期末）如果四边形边上的点，它与对边两个端点的连线将这个四边形分成的三个三角形都相似，我们就把这个点叫做该四边形的“强相似点”．如图①，在四边形ABCD中，点Q在边AD上，如果△QAB、△QBC和△QDC都相似，那么点Q就是四边形ABCD的“强相似点”；如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝2，BC＝8，∠B＝60°，如果点Q是边AD上的“强相似点”，那么AQ＝或．【考点】相似图形．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】如图，当∠1＝∠2＝∠3时，△BAQ∽△QDC∽△CQB，设AQ＝x．利用相似三角形的性质，构建方程求解即可．【解答】解：如图，当∠1＝∠2＝∠3时，△BAQ∽△QDC∽△CQB，设AQ＝x．过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，则四边形AEFD是矩形，∴AD＝EF，∵AB＝CD＝2，AD∥BC，∴四边形ABCD是等腰梯形，∴∠ABE＝∠DCF＝60°，BE＝AB•cos60°＝1，CF＝CD•cos60°＝1，∴EF＝BC﹣BE﹣CF＝6，∴AD＝EF＝6，DQ＝6﹣x，∵△BAQ∽△QDC，∴AB AQ=QD CD，∴x（6﹣x）＝4，解得x＝3±5，∴AQ＝3±5故答案为：5或3-5【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰梯形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．3．（2020秋•浦东新区期末）如图，△ABC中，AB＝10，BC＝12，AC＝8，点D是边BC上一点，且BD：CD＝2：1，联结AD，过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为2．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】先求出BD ＝8，CD ＝4，再求出MH ＝4，DH ＝2，设BE ＝x ，得出CE ＝12﹣x ，CF ＝3+x ，EH ＝10﹣x ，再判断出△EHM ∽△ECF ，得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．【解答】解：如图，∵点D 是BC 上一点，BC ＝12，∴BD ：CD ＝2：1，∴BD ＝8，CD ＝4，过点M 作MH ∥AC 交CD 于H ，∴△DHM ∽△DCA ，∴MH DH =AC DM CD AD=，∴点M 是AD 的中点，∴AD ＝2DM ，∵AC ＝8，∴MH DH 1=842=，∴MH ＝4，DH ＝2，过点M 作MG ∥AB 交BD 于G ，同理得，BG ＝DG ＝4，∵AB ＝10，BC ＝12，AC ＝8，∴△ABC 的周长为10+12+8＝30，∵过AD 中点M 的直线将△ABC 分成周长相等的两部分，∴CE +CF ＝15，设BE ＝x ，则CE ＝12﹣x ，∴CF ＝15﹣（12﹣x ）＝3+x ，EH ＝CE ﹣CH ＝CE ﹣（CD ﹣DH ）＝12﹣x ﹣2＝10﹣x ，∵MH ∥AC ，∴△EHM ∽△ECF ，∴MH EH =CF CE ，∴410-=3+12x x x-，∴x ＝2或x ＝9，当x ＝9时，CF ＝12＞AC ，点F 不在边AC 上，此种情况不符合题意，即BE ＝x ＝2，故答案为：2．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，构造出相似三角形是解本题的关键．4．（2020秋•徐汇区期末）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝120°，AB ＝12，点D 在边AC 上，点E 在边BC 上，sin ∠ADE ＝45，ED ＝5，如果△ECD 的面积是6，那么BC 的长是﹣6．【考点】解直角三角形；三角形的面积．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】如图，过点E 作EF ⊥BC 于F ，过点A 作AH ⊥CB 交CB 的延长线于H ．解直角三角形求出BH ，CH 即可解决问题．【解答】解：如图，过点E 作EF ⊥BC 于F ，过点A 作AH ⊥CB 交CB 的延长线于H ．∵∠ABC ＝120°，∴∠ABH ＝180°﹣∠ABC ＝60°，∵AB ＝12，∠H ＝90°，∴BH ＝AB •cos60°＝6，AH ＝AB •sin60°＝，∵EF ⊥DF ，DE ＝5，∴sin ∠ADE ＝EF DE ＝45，∴EF ＝4，∴DF 3==，∵S △CDE ＝6，∴12•CD •EF ＝6，∴CD ＝3，∴CF ＝CD +DF ＝6，∵tan C ＝EF AH CF CH =，∴4636CH=，∴CH ＝，∴BC ＝CH ﹣BH ＝6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．5．（2020秋•金山区期末）已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AC ＝2，以点C 为直角顶点的Rt △DCE 的顶点D 在BA 的延长线上，DE 交CA 的延长线于点G ，若tan ∠CED＝12，CE ＝GE ，那么BD 的长等于2+【考点】解直角三角形；勾股定理．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】如图，过点A 作AH ⊥CE 于H ．想办法证明AK ＝AC ，推出HK ＝CH ，推出AK ＝AD ＝2，即可解决问题．【解答】解：如图，过点A 作AH ⊥CE 于H .∵tan ∠CED ＝12＝tan ∠BAC ，∴∠E ＝∠BAC ，∵CE ＝EG ，∴∠CGE ＝∠ECG ，∵∠BAC+∠GAK＝180°，∴∠E+∠GAK＝180°，∴∠AGE+∠AKE＝180°，∵∠AKE+∠AKC＝180°，∴∠AKC＝∠CGE，∴∠AKC＝∠ACK，∴AC＝AK＝2，∵AH⊥CK，∴KH＝CH，∵∠AHE＝∠DCK＝90°，∴AH∥CD，∴KA＝AD，∴DK＝2AK＝4，AD＝AK＝2，∵∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，∴AB=∴BD＝AB+AD＝，故答案为：【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题．6．(2020秋·黄浦区期末)已知一个矩形的两邻边长之比为1:2.5.一条平行于边的直线将该矩形分为两个小矩形，如果所得两小矩形相似，那么这两个小矩形的相似比为2:1或1:2或1:1．【考点】相似多边形的性质;矩形的性质，四手拉手模型【专题】图形的相似;推理能力.【分析】如图，设AB=a，AD=2.5a，AE=x，则DE=2.5a-x，利用相似多边形的性质，构建方程求解，另外两个矩形全等也符合题意．【解答】解:如图，设AB=a，AD=2.5a，,AE=x，则DE=2.5a-x.∵矩形ABFE∽矩形EDCF∴AE EF=EF DE∴=2.5x aa a x-整理得，x2-2.5xa+a2=0，解得x=2a或0.5a，∴矩形ABFE与矩形EDCF相似，相似比为2：1或1：2.当E，F分别是AD，BC的中点时，两个矩形全等，也符合题意，相似比为：1：1故答案为：2：1或1：2或1：1.【点评】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程求解，属干电考常考题型。

青浦区2020学年第一学期九年级期终学业质量调研测试数学试卷 Q2021.1（完成时间：100分钟 满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每小题4分，满分24分）[每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂] 1．已知线段AB =2，P 是线段AB 的黄金分割点，AP>PB ，那么线段AP 的长度等于（）（A）12； （B1； （C； （D）3．2．如图，已知BD 与CE 相交于点A ，DE ∥BC ，如果AD =2，AB =3，AC =6，那么AE 等于（ ） （A ）125； （B ）185； （C ）4；（D ）9．3．在Rt △ABC 中，∠C =90º，那么cos A 等于（ ） （A ）BC AB；（B ）AC AB；（C ）BC AC；（D ）AC BC．4．抛物线 的顶点坐标是（ ）（A ）（2，-3）；（B ）（-2，-3）；（C ）（2，3）；（D ）（-2，3）．5．已知+=a b c ，2−=a b c ，且0≠c ，下列说法中，不正确的是（）（A ）||3||=a b ； （B ） a ∥b ； （C ）30+=a b ； （D ） a 与b 方向相同．6．如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，DE ∥BC ，DF ∥AC ，联结BE ，BE 与DF 相交于点G ，则下列结论一定正确的是（ ） （A ）AD DEDB BC=； （B ）AE BFAC BC=；（C ）BD BFAD DE=；（D ）DG BFGF FC=． EDCBA GF E DCBA （第2题图）（第6题图）()223y x =−−−二、填空题：（本大题共12题，每小题4分，满分48分） [请将结果直接填入答题纸的相应位置] 7． 如果 ，那么 ▲ ．8． 计算：43(2)−−a a b = ▲ ．9． 如果两个相似三角形的周长比为2∶3，那么它们的对应角平分线的比为 ▲．10．将抛物线2y x =−向上平移2个单位，所得抛物线的表达式是 ▲ ．11．抛物线223y x =−在y 轴左侧的部分是 ▲ ．（填“上升”或“下降”）12．二次函数2+2y x x m =+图像上的最低点的横坐标为 ▲ ． 13．在△ABC 中，∠C =90º，如果cot ∠A=2，BC =3，那么AC = ▲．14．小明在楼上点A 处看到楼下点B 处的小丽的俯角是32°，那么点B 处的小丽看点A 处的小明的仰角是 ▲ 度．15．直角三角形的重心到斜边中点的距离为2，那么该直角三角形的斜边长为▲．16．如图，A 、B 、C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长相同，那么∠BAC 的正弦值为 ▲ ．17．如图，在△ABC 中，点D 是边BC 的中点，直线DF 交边AC于点F ，交AB 的延长线于点E ，如果CF ∶CA=a ∶b ，那么 BE ∶AE 的值为 ▲ ．（用含a 、b 的式子表示）18．如果四边形边上的点，它与对边两个端点的连线将这个四边形分成的三个三角形都相似，我们就把这个点叫做该四边形的“强相似点”．如图①，在四边形ABCD 中，点Q 在边AD 上，如果△QAB 、△QBC 和△QDC 都相似，那么点Q 就是四边形ABCD 的“强相似点”；如图②，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=2，BC=8，∠B=60°，如果点Q 是边AD 上的“强相似点”，那么AQ = ▲ ．CBA ABCDEF（第16题图）34=ab−=+b ab aABC DQ（第17题图）A BCD（第18题图①）（第18题图②）三、解答题（本大题共7题，满分78分） [请将解题过程填入答题纸的相应位置] 19．（本题满分10分）计算：()1cot 3012sin 60+cos 60+tan 30︒︒︒︒−−． 20．（本题满分10分, 第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且AD =2，DB =4，AE =3，EC =6，DE =3.2． （1）求BC 的长；（2）联结DC ，如果DE a =，BA b =，试用a 、b 表示向量CD ．21．（本题满分10分, 第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，在平行四边形ABCD 中，BC=8，点E 、F 是对角线BD 上的两点，且BE=EF=FD ， AE 的延长线交BC 于点G ，GF 的延长线交AD 于点H ． （1）求HD 的长；（2）设△BGE 的面积为a ，求四边形AEFH 的面积．（用含a 的代数式表示）22．（本题满分10分）某条道路上通行车辆限速为40千米/时，在离道路50米的点P 处建一个监测点，道路的AB 段为监测区（如图）．在△ABP 中，已知∠P AC= 26.5°，∠PBC = 68.2°．一辆车通过AB 段的时间为9秒，请判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50，sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.50）23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）已知：如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，AC 、BD 相交于点E ，AE CE DE BE ⋅=⋅． （1）求证：△ABE ∽△ACB ；（2）如果2DA DE DB =⋅，求证：AB EC BC AE ⋅=⋅．ABCDEFG H AB CDEEDCBA（第20题图）（第21题图）（第23题图）（第22题图）24．（本题满分12分， 其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24=+−y ax bx 与x 轴交于点A （-4，0）和点B （2，0），与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的表达式及点C 的坐标；（2）如果点D 的坐标为（-8，0），联结AC 、DC ，求∠ACD 的正切值；（3）在（2）的条件下，点P 为抛物线上一点，当∠OCD=∠CAP 时，求点P 的坐标．25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）在△ABC 中，∠C= 90°，AC =2，BC=，点D 为边AC 的中点（如图），点P 、Q 分别是射线BC 、BA 上的动点，且BQ=2BP ，联结PQ 、QD 、DP ．（1）求证：PQ ⊥AB ；（2）如果点P 在线段BC 上，当△PQD 是直角三角形时，求BP 的长；（3）将△PQD 沿直线QP 翻折，点D 的对应点为点'D ，如果点'D 位于△ABC 内，请直接写出BP 的取值范围．（第24题图）（备用图）DP ABCDQ一、选择题：1．B ；2．C ； 3．B ； 4．A ；5．D ；6．C ．二、填空题：7．17；8．6+a b ； 9．2:3； 10．22=−+y x ； 11．下降；12．1−；13．6； 14．32； 15．12； 16．2； 17．−ab a； 18．3 三、解答题：19．解：原式112+22⎛⎫−⨯ ⎪⎝⎭． ································································ （4分）1． ···················································································· （4分）． ···············································································································（2分）20．解：（1）∵AD =2，DB =4，AE =3，EC =6，∴12=AD DB ，12=AE EC ．∴=AD AEDB EC． ··················································· （2分） ∴DE//BC ． ········································································································ （1分） ∴=AD DEAB BC． ······························································································· （1分） 又∵AB =6，DE =3.2， ∴2 3.26=BC．∴BC =9.6． ················································································ （1分） （2）∵DE//BC ，∴=AD DE AB BC ．∴13=DE BC ． ∴3=BC DE ． ······························································································· （1分）青浦区2021 学年第一学期期终学业质量调研九年级数学试卷 参考答案及评分说明∵=DE a ，∴3=BC a ． ∴3=−CB a ． ··············································· （1分） ∵23=BD BA ，∴23=BD BA ． ······································································ （1分） ∵=BA b ；∴23=BD b ． ············································································ （1分） ∵=+CD CB BD ，∴233=−+CD a b ． ···················································（1分） 21．解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD//BC ，AD =BC ．························································································· （1分）∴=AD DE BG BE ，=DH DFBG FB． ······································································ （2分） ∵BE=EF=FD ，AD=BC =8， ∴821=BG ， ∴BG =4． ·················································································· （1分） ∴142=DH ，∴DH =2． ·················································································· （1分） （2）∵AD ∥BC ，∴△BEG ∽△DEA ，△HFD ∽△GFB ．∴2⎛⎫= ⎪⎝⎭BEG DEAS BE SED ，2⎛⎫= ⎪⎝⎭HFD GFBS DF S FB ． ················································· （2分） ∵=BEGSa ，BE =EF ，∴2=BGFSa ．∴14=DEAa S，124=HFD S a ． ∴=4DEA Sa ，12=HFDS a ． ······································································ （2分） ∵=四边形−DEA HFD AEFH S SS，∴17=422四边形−=AEFHS a a a ． ··············· （1分）22．解：该车不超速．过点P 作PH ⊥AC ，垂足为点H ． ·········································································· （1分） 由题意，得PH =50米．在Rt △AHP 中，∵tan ∠=PH PAC AH ，∴50100tan 26.5=≈︒AH ． ················ （3分） 在Rt △BHP 中，∵tan ∠=PH PBH BH ，∴5020tan 68.2=≈︒BH ． ·················· （3分） ∵AB =AH -BH ，∴AB =100 -20=80（米）． ···························································· （1分） ∵这辆车通过AB 段的时间为9秒，∴这辆车通过AB 段的速度为809米/秒． （1分） ∵809米/秒=32千米/时 < 40千米/时，∴该车不超速． ···································· （1分） 23．证明：（1）∵AE CE DE BE ⋅=⋅，∴=AE DEBE EC． ···························································································· （1分） 又∵∠AED =∠BEC ，∴△AED ∽△BEC ． ······················································ （1分） ∴∠ADE =∠BCE ． ··························································································· （1分）∵AB =AD ，∴∠ABE =∠ADE ． ······································································· （1分） ∴∠ABE =∠BCE ． ··························································································· （1分） 又∵∠BAE =∠CAB ，∴△ABE ∽△ACB ． ···················································· （1分） （2）∵2DA DE DB =⋅，∴=DE DADA DB． ···························································· （1分） 又∵∠EDA =∠ADB ，∴△EDA ∽△ADB ． ··················································· （1分） ∴∠DAE =∠DBA ． ·························································································· （1分） ∵∠ABE =∠BCE ，∴∠DAE =∠BCE ． ∴AD ∥BC ． ····································································································· （1分） ∴=AD AEBC EC． ······························································································ （1分） ∴⋅=⋅AD EC BC AE ．∵AB =AD ， ∴⋅=⋅AB EC BC AE ． ························································· （1分）24．解：（1）将A （-4，0）、B （2，0）代入2+4=−y ax bx ，得164404240.，−−=⎧⎨+−=⎩a b a b 解得：121.，⎧=⎪⎨⎪=⎩a b ····················································· （2分）所以，2142=+−y x x ． ············································································ （1分） 当x =0时，4=−y ．∴点C 的坐标为（0，-4） ········································· （1分） （2）过点A 作AH ⊥DC ，垂足为点H ．∵D （-8，0）、C （0，-4），∴=·································（1分） ∵1122=⋅=⋅ADCSCD AH DA OC ， ·································································· （1分）∴44=⨯AH．∴=AH ． ······························································· （1分） ∵=，∴5=． ························· （1分） ∴tan ∠ACD=13==AH HC ． ····························································· （1分） （2）由题意可知，点P 在第一象限．过点P 作PQ ⊥x 轴，垂足为点Q ．∵A （-4，0）、C （0，-4），∴OA =OC ．∴∠OAC =∠OCA ．∵∠OCD =∠OCA +∠ACD ，∠CAP =∠CAO +∠BAP ，∠OCD =∠CAP ，∴∠ACD =∠BAP ．∴tan ∠BAP =tan ∠ACD=13． ·········································· （1分）设PQ =a ，则AQ =3a ，OQ =3a -4．∴P （3a -4，a ）． ··························································································· （1分）将P （3a -4，a ）代入2142=+−y x x ，得()21343442−+−−=a a a ．解得120=9a ，2=0a （舍）．∴P （83，209）． ········································ （1分）25．解：（1）∵∠C= 90°，AC =2，BC =∴AB 4=． ················································································· （1分）∴2=BC AB ．∵BQ =2BP ，∴=BQ BP ∴=BQ BC BP AB． ······························································································· （1分） 又∵∠B =∠B ，∴△BQP ∽△BCA ． ······························································ （1分） ∴∠BQP =∠BCA ．∵∠C= 90°，∴∠BQP =90°． 即PQ ⊥AB ． ····································································································· （1分） （2）（i ）当∠PQD =90°时，∵∠PQD < ∠PQA =90°， ∴此种情况不存在． ························································································ （1分） （ii ）当∠QPD =90°时，∵∠PQB =∠QPD =90°，∴AB ∥PD ，∴=CP CDBP DA． ∵CD =DA ， ∴BP =CP ．∵BC =，∴BP ． ················································································· （2分） （iii ）当∠QDP =90°时，过点Q 作QH ⊥AC ，垂足为点H ．设BP =2x ，则BQ x ，PC =2−x ，QA =4．∴AH =22−x ，QH =32−x ，HD =12−x ．∵∠QDC =∠CDP +90°，∠QDC =∠DQH +90°， ∴∠CDP =∠DQH ．∴tan ∠CDP =tan ∠DQH ． ∴=CP HDDC QH．。

2021年上海市中考真题模拟卷数学学科（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．当2a <- ）A ．2a +；B ．2a -；C ．2a -；D ．2a --． 2．如果a b <，那么下列不等式中一定正确的是（ ）A ．2a b b -<-； B ．2a ab <； C ．2ab b <； D ．22a b <． 3、已知函数(1)2y k x k =-+-(k 为常数)，如果y 随着x 的增大而减小，那么k 的取值范围是（ ）A ．1k >；B ．1k <；C ．2k >；D ．2k <．4. 一组数据3、3、2、5、8、8的中位数是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 8 5. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）A. 正五边形B. 等腰梯形C. 平行四边形D. 圆 6. 下列四个命题，其中真命题有（ ） （1）有理数乘以无理数一定是无理数（2）顺次联结等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形 （3）在同圆中，相等的弦所对的弧也相等（4）如果正九边形的半径为a ，那么边心距为sin 20a ⋅︒A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7、已知6是2和x 的比例中项，则x =___________8、分解因式91024+-x x =__________9、抛物线222-+=x x y 的顶点坐标是___________10．方程2+x =-x 的根是 .11. 在△ABC 中，点D 、E 分别为AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ， 2AD=BD ，a BC =，用向量a 表示 向量DE 为yx3-112．如图为二次函数c bx ax y ++=2的图像，它与x 轴交于（-1,0）、（3,0）两点.在下列说法中： ①0<ac ；②抛物线在直线x =2的左侧是下降的；③0>ab .其中正确的说法有13．在△ABC 中，D 是BC 的中点，设向量b AB c AC 2,2==，用向量c b 、表示向量AD = ．14．如图，AB 是铁塔，CD 是测角仪，已知测角仪底部C 与铁塔底部B 的距离为m 米，为了测量铁塔的高度，用测角仪测得塔顶A 的仰角为 α，已知测角仪的高CD 为h 米，则铁塔的高度AB = 米（结果用含h m 、、α的代数式表示）．15．已知抛物线22(3)1y x =--+，当123x x >>时，1y 2y ．（填“>”或“<”）16．一个边长为3厘米的正方形，若它的边长增加x 厘米，面积随之增加y 平方厘米，则y 关于x 的函数解析式是 ．（不写定义域）17．如图，已知等腰△ABC ，AD 是底边BC 上的高，AD ：DC =1：3，将△ADC 绕着点D 旋转，得△DEF ， 点A 、C 分别与点E 、F 对应，且EF 与直线AB 重合，设AC 与DF 相交于点O ，则:AOF DOC S S ∆∆= ．18．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5， AC=3，在边AB 上取一点D ，作DE ⊥AB 交BC 于点E ．现将△BDE 沿DE 折叠，使点B 落在线段DA 上（不与点A 重合），对应点记为B 1；BD 的中点F 的对应点记为F 1．若△EFB ∽△A F 1E ，则B 1D = ．17题图D C B A A B F 1 第18题图CD E F B 1三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.（本题满分10分）计算：．20.（本题满分10分）解方程组：222221690x xy y x y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩21.（本题满分10分，其中每小题各5分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，D 是AB 的中点，BE ⊥CD ，垂足为点E .已知AC =15，cos A =35. （1）求线段CD 的长； （2）求sin ∠DBE 的值.22.(本题满分10分，每小题满分各5分)如图，由正比例函数x y -=沿y 轴的正方向平移4个单位而成的一次函数b x y +-= 的图像与反比例函数xky =（0≠k ）在第一象限的图像交于A （1，n ）和B 两点． （1）求一次函数b x y +-=和反比例函数的解析式；（2）求△ABO 的面积．第21题图第22题图23.（本题满分12分，其中每小题各6分）如图，已知ABC ∆是等边三角形，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，且CD CE =，联结DE 并延长至点F ，使EF AE =，联结AF ，CF ，联结BE 并延长交CF 于点G ． （1）求证：BC DF =；（2）若2BD DC =，求证：2GF EG =．24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A （﹣2，0），C （4，0）两点，和y 轴相交于点B ，连接AB 、BC ．（1）求抛物线的解析式（关系式）．（2）在第一象限外，是否存在点E ，使得以BC 为直角边的△BCE 和Rt△AOB 相似？若存在，请简要说明如何找到符合条件的点E ，然后直接写出点E 的坐标，并判断是否有满足条件的点E 在抛物线上；若不存在，请说明理由． （3）在直线BC 上方的抛物线上，找一点D ，使S △BCD ：S △ABC =1：4，并求出此时点D 的坐标．ABCEG F第23题25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）如图，△ABC的边AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，已知AC=6 cm，BC=8 cm，点P、Q分别在边AB、BC上，且点P不与点A、B重合，BQ=k·AP（k >0），连接PC、PQ．（1）求⊙O的半径长；（2）当k=2时，设AP=x，△CPQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△CPQ∽△ABC，且∠ACB=∠CPQ，求k的值.第25题图2021年上海市中考真题模拟卷答案数学学科（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．当2a <- ）A ．2a +；B ．2a -；C ．2a -；D ．2a --． 【答案】D2．如果a b <，那么下列不等式中一定正确的是（ ）A ．2a b b -<-；B ．2a ab <；C ．2ab b <；D ．22a b <． 【答案】A3、已知函数(1)2y k x k =-+-(k 为常数)，如果y 随着x 的增大而减小，那么k 的取值范围是（ ）A ．1k >；B ．1k <；C ．2k >；D ．2k <． 【答案】B4. 一组数据3、3、2、5、8、8的中位数是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 8 【答案】B5. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）A. 正五边形B. 等腰梯形C. 平行四边形D. 圆第12题图【答案】D6. 下列四个命题，其中真命题有（ ） （1）有理数乘以无理数一定是无理数（2）顺次联结等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形 （3）在同圆中，相等的弦所对的弧也相等（4）如果正九边形的半径为a ，那么边心距为sin 20a ⋅︒A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 【答案】A二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7、已知6是2和x 的比例中项，则x =___________ 【答案】189、分解因式91024+-x x =__________ 【答案】（x+1)（x -1)（x+3)（x -3)9、抛物线222-+=x x y 的顶点坐标是___________ 【答案】（-1、-3）11．方程2+x =-x 的根是 . 【答案】x=-111. 在△ABC 中，点D 、E 分别为AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ， 2AD=BD ，a BC =，用向量a 表示 向量DE 为【答案】31 12．如图为二次函数c bx ax y ++=2的图像，它与x 轴交于（-1,0）、（3,0）两点.在下列说法中： ①0<ac ；②抛物线在直线x =2的左侧是下降的；③0>ab .其中正确的说法有【答案】①14．在△ABC 中，D 是BC 的中点，设向量b AB c AC 2,2==，用向量c b 、表示向量AD = ． 【答案】c b +14．如图，AB 是铁塔，CD 是测角仪，已知测角仪底部C 与铁塔底部B 的距离为m 米，为了测量铁塔的高度，用测角仪测得塔顶A 的仰角为 α，已知测角仪的高CD 为h 米，则铁塔的高度AB = 米（结果用含h m 、、α的代数式表示）． 【答案】m ∙tan α+h15．已知抛物线22(3)1y x =--+，当123x x >>时，1y 2y ．（填“>”或“<”） 【答案】＜16．一个边长为3厘米的正方形，若它的边长增加x 厘米，面积随之增加y 平方厘米，则y 关于x 的函数解析式是 ．（不写定义域） 【答案】x x y 62+=17．如图，已知等腰△ABC ，AD 是底边BC 上的高，AD ：DC =1：3，将△ADC 绕着点D 旋转，得△DEF ， 点A 、C 分别与点E 、F 对应，且EF 与直线AB 重合，设AC 与DF 相交于点O ，则:AOF DOC S S ∆∆= ． 【答案】453218．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5， AC=3，在边AB 上取一点D ，作DE ⊥AB 交BC 于点E ．现将△BDE 沿DE 折叠，使点B 落在线段DA 上（不与点A 重合），对应点记为B 1；BD 的中点F 的对应点记为F 1．若△EFB ∽△A F 1E ，则B 1D = ．第15题图17题图DCBA ABF 1 第18题图CD EFB 1【答案】58三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.（本题满分10分）计算：．【模块/考点】实数的运算/零指数幂/负整数指数幂． 【解析】原式32=20.（本题满分10分）解方程组：222221690x xy y x y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩【模块/考点】代数与方程/二元二次方程组 【解析】解：2222216(4)(4)09(3)(3)0,x xy y x y x y x y x y x y ⎧-+-=-+--=⎪⎨-=+-=⎪⎩ 则原方程可化为：4444,,,30303030x y x y x y x y x y x y x y x y -=--=--=-=⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨+=-=+=-=⎩⎩⎩⎩解这些方程组得： 3636;;;1212x x x x y y y y =-=-==⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎩⎩21.（本题满分10分，其中每小题各5分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，D 是AB 的中点，BE ⊥CD ，垂足为点E .已知AC =15，cos A =35. （1）求线段CD 的长； （2）求sin ∠DBE 的值.第21题图【模块/考点】图形与几何/直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、锐角三角形比 【解析】⑴ 12522CD AB ==⑵ ∵DCB DBC ∠=∠ ∴16CE =，则72DE =而252DB = 所以sin ∠DBE =DE DB =72225⨯=72522.(本题满分10分，每小题满分各5分)如图，由正比例函数x y -=沿y 轴的正方向平移4个单位而成的一次函数b x y +-= 的图像与反比例函数xky =（0≠k ）在第一象限的图像交于A （1，n ）和B 两点． （1）求一次函数b x y +-=和反比例函数的解析式；（2）求△ABO 的面积．【模块/考点】函数与分析/一次函数和反比例函数解析式的求法 【解析】解：（1）题意易得一次函数b x y +-=的解析式为：4+-=x y ， ∵点),1(n A 在直线4+-=x y 上，∴3=n ，∴点)3,1(A 将)3,1(A 代入反比例函数xky =， 得3=k ，反比例函数的解析式为：xy 3=.由题意易得方程组解得： )3,1(A 、)1,3(B∴设一次函数4+-=x y 和y 轴的交点为N ，与x 轴交于点M ，. 易知：M （4,0），点N （0，4）， NA ：AB ：BM=1：2：1 ∴S 4442142=⋅⋅⋅==∆∆NOMABO S23.（本题满分12分，其中每小题各6分）如图，已知ABC ∆是等边三角形，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，且CD CE =，联结DE 并延长至点F ，使EF AE =，联结AF ，CF ，联结BE 并延长交CF 于点G ． （1）求证：BC DF =；（2）若2BD DC =，求证：2GF EG =．【模块/考点】几何与证明/平行线的性质/全等三角形的判定和性质 【解析】证明：（1）∵△ABC 是等边三角形∴AB AC BC ==，60ABC ACB ∠=∠=︒ CD CE =∴△CDE 是等边三角形∴60CDE ABC ∠=∠=︒，CD DE =ABDCEG F第23题第22题图∴DF AB ∥EF AE =，CD DE =∴AE EF CE DE= ∴AF BC ∥∴四边形ABDF 是平行四边形∴AB DF =又∵AB BC =∴BC DF =（2）∵△CDE 是等边三角形∴60CDE DCE ∠=∠=︒，CE CD DE ==又∵BC DF =∴BCE FDC △≌△∴CBE DFC ∠=∠又∵BED FEG ∠=∠∴BDE FGE △∽△∴BD DE FG EG= 又∵CD DE = ，2BD CD =∴2BD GF CD EG== ∴2GF EG =24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A （﹣2，0），C （4，0）两点，和y 轴相交于点B ，连接AB 、BC ．（1）求抛物线的解析式（关系式）．（2）在第一象限外，是否存在点E ，使得以BC 为直角边的△BCE 和Rt△AOB 相似？若存在，请简要说明如何找到符合条件的点E ，然后直接写出点E 的坐标，并判断是否有满足条件的点E 在抛物线上；若不存在，请说明理由．（3）在直线BC 上方的抛物线上，找一点D ，使S △BCD ：S △ABC =1：4，并求出此时点D 的坐标．【答案】解：（1）△抛物线经过A （﹣2，0），C（4，0）两点，△，解得．△抛物线的解析式为．（2）要寻找在第一象限外点E，使得以BC为直角边的△BCE和Rt△AOB相似，那么可以通过做BC的垂线，垂足分别为B、C，再根据相似三角形边长成比例求出另一直角边的长度，最后求出点E的坐标．若点B为直角顶点，则点E的坐标为（﹣8，﹣4）或（﹣2，2），此时点E不在抛物线上；若点C为直角顶点，则点E的坐标为（﹣4，﹣8）或（2，﹣2），此时点（﹣4，﹣8）在抛物线上．（3）△S△ABC=，S△BCD：S△ABC=1：4，△S△BCD=S△ABC=．如图所示，设在直线BC上方的抛物线上，找一点D的坐标为（x，），作DE△x轴于点E，则S△BCD=S梯形BOED+S△DCE﹣S△BOC=．即x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3．△点D的坐标为（1，）或（3，）．25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）如图，△ABC 的边AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，已知AC =6 cm ，BC =8 cm ，点P 、Q 分别在边AB 、BC 上，且点P 不与点A 、B 重合，BQ =k ·AP （k >0），连接PC 、PQ ．（1）求⊙O 的半径长；（2）当k =2时，设AP =x ，△CPQ 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△CPQ ∽△ABC ，且∠ACB =∠CPQ ，求k 的值.【模块/考点/题型】图形与几何/圆、相似三角形【解析】（1）联结OC ．∵AB 是⊙O 的直径，∴OA =OB =OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∠OCB ＝∠OBC ，又∵∠OAC +∠OCA +∠OCB +∠OBC =180°，∴∠OCA +∠OCB =90°．即∠ACB =90°．∵AC =6，BC =8， ∴2210AB AC BC =+=．∴⊙O 的半径为5．（2）过点P 作PD ⊥BC ，垂足为点D ．∵AP =x ，∴BQ =2x ，CQ =8-2x ，PB =10-x ．在Rt △PDB 中，∵sin PD B PB ∠=，∴61010PD x =-． ∴365PD x =-． ∴()113826225y CQ PD x x ⎛⎫=⋅=-- ⎪⎝⎭()2342240455x x x =-+<< （3）（i ） 当∠PQC =∠B 时，因为∠PQC >∠B ，不合题意，舍去．（ii ）当∠PQC =∠A 时，∠PCQ =∠B ，此时点P 和点O 重合，∴AP = PC =5．∵cos cos PCQ B ∠=∠，∴5810CQ =． ∴254CQ =． 第25题图∴257844 BQ=-=．∴7174520BQkAP==⨯=．。

2021年上海市虹口区中考一模数学试卷一、选择题（共6小题；共18分）1. 在△ABC中，∠C=90∘，如果BC=3，AC=4，那么tanA的值是( )A. 34B. 43C. 35D. 452. 如果向量a⃗和b⃗⃗是单位向量，那么下列等式中，成立的是( )A. a⃗=b⃗⃗B. ∣a⃗∣=∣b⃗⃗∣C. a⃗+b⃗⃗=2D. a⃗−b⃗⃗=03. 下列函数中，属于二次函数的是( )A. y=1x2−2B. y=√x2−2C. y=x2−2D. y=(x−2)2−x24. 将抛物线y=x2−3向右平移2个单位后得到的新抛物线表达式是( )A. y=x2−1B. y=x2−5C. y=(x+2)2−3D. y=(x−2)2−35. 如图，传送带和地面所成斜坡的坡度i=1:2.4，如果它把某物体从地面送到离地面10米高的地方，那么该物体所经过的路程是( )A. 10米B. 24米C. 25米D. 26米6. 如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，D是边AB上一点，过D作DF⊥AB交边BC于点E，交AC的延长线于点F，联结AE．如果tan∠EAC=13，S△CEF=1，那么S△ABC的值是( )A. 3B. 6C. 9D. 12二、填空题（共12小题；共48分）7. 如果a:b=3:2，那么aa+b=．(2a⃗−4b⃗⃗)=．8. 计算：3a⃗−129. 如果抛物线y=x2−a经过点(2,0)，那么a的值是．10. 如果抛物线y=(k+1)x2有最高点，那么k的取值范围是．11. 如果抛物线l经过点A(−2,0)和B(5,0)，那么该抛物线的对称轴是直线．12. 沿着x轴正方向看，抛物线y=x2−2在y轴左侧的部分是的（填“上升”或“下降”）．13. 点P是线段AB上的一点，如果AP2=BP⋅AB，那么AP的值是．AB14. 已知△ABC∽△AʹBʹCʹ，顶点A，B，C分别与顶点Aʹ，Bʹ，Cʹ对应，AD，AʹDʹ分别是BC，BʹCʹ边上的中线，如果BC=3，AD=2.4，BʹCʹ=2，那么AʹDʹ的长是．15. 如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过E作EF∥CD交BD于点F，如果AB=3，CD=6，那么EF的长是．16. 如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90∘，∠BDC=90∘，AD=4，BC=9，那么BD=．17. 如图，图中提供了一种求cot15∘的方法．作Rt△ABC，使∠C=90∘，∠ABC=30∘，再延长CB到点D，使BD=BA，连接AD，即可得∠D=15∘．如果设AC=t，则可得CD=(2+√3)t，=2+√3．运用以上方法，可求得cot22.5∘的值是．那么cot15∘=cotD=CDAC18. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=6，BC=8．D是BC的中点，点E在边AB上，将△BDE沿直线DE翻折，使得点B落在同一平面内的点Bʹ处，线段BʹD交边AB于点F，连接ABʹ．当△ABʹF是直角三角形时，BE的长为．三、解答题（共7小题；共84分）19. 计算：tan 245∘cot30∘−2cos45∘−2sin60∘．20. 已知二次函数的解析式为 y =12x 2−2x ．（1）用配方法把该二次函数的解析式化为 y =a (x +m )2+k 的形式；（2）选取适当的数据填入下表，并在图中所示的平面直角坐标系 xOy 内描点，画出该函数的图象．x ⋯⋯y ⋯⋯21. 如图，在 △ABC 中，点 G 是 △ABC 的重心，联结 AG ，联结 BG 并延长交边 AC 于点 D ，过点G 作 GE ∥BC 交边 AC 于点 E ．（1）如果 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗，用 a ⃗，b ⃗⃗ 表示向量 BG⃗⃗⃗⃗⃗⃗； （2）当 AG ⊥BD ，BG =6，∠GAD =45∘ 时，求 AE 的长．22. 图 1 是一款家用落地式取暖器．如图 2 是其放置在地面上时的侧面示意图，其中矩形 ABCD 是取暖器的主体，等腰梯形 BEFC 是底座，BE =CF ，烘干架连杆 GH 可绕边 CD 上一点 H 旋转，以调节角度．已知 CD =50 cm ，BC =8 cm ，EF =20 cm ，DH =12 cm ，GH =15 cm ，∠CFE =30∘．当 ∠GHD =53∘ 时，求点 G 到地面的距离．（精确到 0.1 cm ）（参考数据：sin53∘≈0.80，cos53∘≈0.60，tan53∘≈1.33，√3≈1.73）23. 如图，在△ABC中，点D，G在边AC上，点E在边BC上，DB=DC，EG∥AB，AE，BD交于点F，BF=AG．（1）求证：△BFE∽△CGE；（2）当∠AEG=∠C时，求证：AB2=AG⋅AC．24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)，抛物线y=ax2+bx+c经过A，B两点．（1）当该抛物线经过点C时，求该抛物线的表达式．（2）在（1）题的条件下，点P为该抛物线上一点，且位于第三象限，当∠PBC=∠ACB时，求点P的坐标．（3）如果抛物线y=ax2+bx+c的顶点D位于△BOC内，求a的取值范围．25. 如图，在△ABC中，∠ABC=90∘，AB=3，BC=4，过点A作射线AM∥BC，点D，E是射线AM上的两点（点D不与点A重合，点E在点D右侧），连接BD，BE分别交边AC于点F，G，∠DBE=∠C．（1）当AD=1时，求FB的长；（2）设AD=x，FG=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）连接DG并延长交边BC于点H，如果△DBH是等腰三角形，请直接写出AD的长．答案第一部分1. A2. B3. C4. D5. D6. C第二部分7. 358. 2a ⃗+2b ⃗⃗9. 410. k <−111. x =3212. 下降13. √5−1214. 1.615. 216. 617. √2+118. 2 或 4017第三部分19. 原式=√3−√22×√32=√3+√2−√3=√2.20. （1） y =12x 2−2x=12(x 2−4x )=12(x 2−4x +4−4)=12(x −2)2−2.（2） x ⋯01234⋯y ⋯0−32−2−320⋯21. （1） ∵ 点 G 是 △ABC 的重心，∴BD 是 AC 边上的中线，即 AD =12AC ， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12b ⃗⃗，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12b ⃗⃗−a ⃗ .∵ 点 G 是 △ABC 的重心，∴BG =2GD ，即 BG =23BD . ∴BG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23(12b ⃗⃗−a ⃗)=13b ⃗⃗−23a ⃗． （2） 由上可知 ∵BG =2GD =6，∴GD =3．在 Rt △AGD 中，sin∠GAD =GD AD =√22， ∴AD =3√2．∵BD 是 AC 边上的中线，∴DC =AD =3√2．∵GE ∥BC ，∴DG DB =DE DC =13， ∴DE =√2．∴AE =AD +DE =3√2+√2=4√2．22. 分别延长 AB ，DC 交 EF 于点 M ，N ，则有 BM ⊥EF ，CN ⊥EF ． 过点 G 作 GP ⊥CD 于点 P ，则点 G 到地面的距离等于 PN 的长．根据题意，可知 BC =MN =8 cm ，EM =NF =(20−8)÷2=6 cm ， 在 Rt △CNF 中，tan∠CFE =CN NF =√33， ∴CN =2√3 cm ，在 Rt △GPH 中，cos∠GHD =PH GH ≈0.60，∴PH =9.0 cm ，∴PN =PH +HC +CN =9+(50−12)+2√3=50.46≈50.5 cm ． 答：点 G 到地面的距离约为 50.5 cm ．23. （1） ∵DB =DC ，∴∠DBC =∠C ．∵EG ∥AB ，∴AG GC =BE EC ．∵BF =AG ，∴BF GC =BE EC ．∴△BFE ∽△CGE ．（2） ∵△BFE ∽△CGE ，∴∠BEF =∠CEG ．又 ∵EG ∥AB ，∴∠ABE =∠CEG ．∴∠ABE =∠BEF ．∴AB =AE ．∵∠EAG =∠CAE ，∠AEG =∠C ，∴△AEG ∽△ACE ．∴AE AC =AG AE ．∴AE 2=AG ⋅AC ．∴AB 2=AG ⋅AC ．24. （1） ∵y =ax 2+bx +c 过 A (−1,0)，B (3,0)，C (0,3)，∴{0=a −b +c,0=9a +3b +c,3=c.解得：{a =−1,b =2,c =3.∴y =−x 2+2x +3．（2） ∵∠PBC =∠ACB ，∠OBC =∠OCB =45∘，∴∠PBO =∠ACO ，∴tan∠PBO =tan∠ACO =13．设点 P 的坐标为 (x,−x 2+2x +3)，过点 P 作 PQ ⊥x 轴，垂足为点 Q ． ∵ 点 P 在第三象限，∴tan∠PBO =PQ BQ =−(−x 2+2x+3)3−x=13， 解得 x =3（舍）或 x =−43．∴ 点 P 的坐标为 (−43,−139)． （3） ∵y =ax 2+bx +c 过 A (−1,0)，B (3,0)，∴{0=a −b +c,0=9a +3b +c.解得：{b =−2a,c =−3a.∴y =ax 2−2ax −3a ．∴ 抛物线 y =a (x −1)2−4a 的顶点 D 坐标是 (1,−4a )．∴ 即抛物线的顶点 D (1,−4a ) 在对称轴直线 x =1 上．设直线 x =1 交边 CB ，OB 于点 M ，N ，可得 M (1,2)，N (1,0)．又 ∵ 顶点 D 位于 △BOC 内，即顶点 D 在线段 MN 上（除点 M ，N 外）， ∴0<−4a <2，即 −12<a <0．∴a 的取值范围是 −12<a <0．25. （1） ∵AD ∥BC ，∴AD BC=DF FB ． ∵AD BC =14， ∴FB =45BD ．∵AD ∥BC ，∠ABC =90∘，∴∠BAD =90∘．∵AD =1，AB =3，∴BD =√12+32=√10．∴FB =45√10． （2） ∵∠ABC =90∘，AB =3，BC =4， ∴AC =5．∵∠BAD =90∘，AB =3，AD =x ， ∴BD =√x 2+9．∵AD ∥BC ，∴FA FC =FD FB =AD BC =x 4．∴ 可得 FC =20x+4，FB =4√x 2+9x+4．∵∠DBE =∠C ，∠BFG =∠CFB ， ∴△FBG ∽△FCB ．∴FB 2=FG ⋅FC ．∴(4√x 2+9x+4)2=y ⋅20x+4．即 y =4x 2+365x+20(0<x <4)．（3） AD 的长为 78 或 32 或 94．。

2021 年上海市普陀区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]1.下列函数中，y关于x的二次函数是（） A．y=ax2+bx+c B．y=x（x﹣1）C．D．y=（x﹣1）2﹣x2【分析】根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论．【解答】解：A、当 a=0 时，y=bx+c 不是二次函数；B、y=x（x﹣1）=x2﹣x 是二次函数；C、y=不是二次函数；D、y=（x﹣1）2﹣x2=﹣2x+1 为一次函数．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键．2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，下列结论中，正确的是（）A．AB=2sinA B．AB=2cosA C．BC=2tanA D．BC=2cotA【分析】直接利用锐角三角函数关系分别计算得出答案．【解答】解：∵∠C=90°，AC=2，∴cosA==，故AB=，故选项 A，B 错误；A ． tanA= = ，则 BC=2tanA ，故选项 C 正确；则选项 D错误．故选：C ．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确将记忆锐角三角函数关系是解题关键． 3. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 的反向延长线上，下面比例式中，不能判断ED ∥BC 的是（）B ．C ．D ．【分析】根据平行线分线段成比例定理，对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A ．当时，能判断ED ∥BC ； B. 当时，能判断ED ∥BC ； C. 当时，不能判断ED ∥BC ； D. 当时，能判断ED ∥BC ；故选：C ．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．4.已知，下列说法中，不正确的是（）A．B．与方向相同C．D．【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．【解答】解：A、错误．应该是﹣5=；B、正确．因为，所以与的方向相同；C、正确．因为，所以∥；D、正确．因为，所以||=5||；故选：A．【点评】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．5.如图，在平行四边形ABCD中，F是边AD上的一点，射线CF和BA的延长线交于点E，如果，那么的值是（）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的性质进行解答即可．【解答】解：∵在平行四边形 ABCD 中，∴AE∥CD，∴△EAF∽△CDF，∵，∴，∴，∵AF∥BC，∴△EAF∽△EBC，∴=，故选：D．【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，综合运用了平行四边形的性质和相似三角形的性质是解题关键．6.如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM ⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：①；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO，正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】如图连接 OB、OD，只要证明 Rt△OMB≌Rt△OND，Rt△OPM≌Rt△OPN 即可解决问题．【解答】解：如图连接 OB、OD；∵AB=CD，∴=，故①正确∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴AM=MB，CN=ND，∴BM=DN，∵OB=OD，∴Rt△OMB≌Rt△OND，∴OM=ON，故②正确，∵OP=OP，∴Rt△OPM≌Rt△OPN，∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，∵AM=CN，∴PA=PC，故③正确，故选：D．【点评】本题考查垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．二．填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）7．如果 =，那么= ．【分析】利用比例的性质由=得到=，则可设a=2t，b=3t，然后把a=2t，b=3t代入中进行分式的运算即可．【解答】解：∵=，∴=，设 a=2t，b=3t，∴==．故答案为．【点评】本题考查了比例的性质：常用的性质有：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．8．已知线段a=4厘米，b=9厘米，线段c是线段a和线段b的比例中项，线段c的长度等于6厘米．【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．所以c2=4×9，解得c=±6（线段是正数，负值舍去），∴c=6cm，故答案为：6．【点评】本题考查比例线段、比例中项等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．9．化简：=﹣4+7 ．【分析】根据屏幕绚丽的加法法则计算即可【解答】解：：=﹣4+6=﹣4+7，故答案为；【点评】本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则，注意平面向量的加减适合加法交换律以及结合律，适合去括号法则．10.在直角坐标系平面内，抛物线y=3x2+2x在对称轴的左侧部分是下降的（填“上升”或“下降”）【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向，再结合二次函数的增减性则可求得答案．【解答】解：∵在 y=3x2+2x 中，a=3＞0，∴抛物线开口向上，∴在对称轴左侧部分 y 随 x 的增大而减小，即图象是下降的，故答案为：下降．【点评】本题主要考查二次函数的性质，利用二次函数的解析式求得抛物线的开口方向是解题的关键．11.二次函数y=（x﹣1）2﹣3的图象与y轴的交点坐标是（0，﹣2）．【分析】求自变量为0时的函数值即可得到二次函数的图象与y轴的交点坐标．【解答】解：把x=0代入y=（x﹣1）2﹣3得y=1﹣3=﹣2，所以该二次函数的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2），故答案为（0，﹣2）．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，在y轴上的点的横坐标为0．12.将抛物线y=2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是y=2（x+3）2+1 ．【分析】由于抛物线平移前后二次项系数不变，然后根据顶点式写出新抛物线解析式．【解答】解：抛物线 y=2x2 平移，使顶点移到点 P（﹣3，1）的位置，所得新抛物线的表达式为 y=2（x+3）2+1．故答案为：y=2（x+3）2+1．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．13.在直角坐标平面内有一点A（3，4），点A与原点O的连线与x轴的正半轴夹角为α，那么角α的余弦值是．【分析】利用锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解．【解答】解：∵在直角坐标平面内有一点A（3，4），∴OA==5，∴cosα= ．故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识，此题比较简单，易于掌握．14.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边BC、AB上，且∠ADE=∠B，如果DE：AD=2：5，BD=3，那么AC= ，．【分析】根据∠ADE=∠B，∠EAD=∠DAB，得出△AED∽△ABD，利用相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵∠ADE=∠B，∵∠EAD=∠DAB，∴△AED∽△ABD，∴，即，∴AB=，∵AB=AC，∴AC=，故答案为：，【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．15.如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽AD=6米，坝高是20 米，背水坡 AB的坡角为30°，迎水坡CD的坡度为1：2，那么坝底 BC 的长度等于（46+20）米（结果保留根号）【分析】过梯形上底的两个顶点向下底引垂线AE、DF，得到两个直角三角形和一个矩形，分别解 Rt△ABE、Rt△DCF求得线段BE、CF的长，然后与EF 相加即可求得 BC 的长．【解答】解：如图，作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，则四边形ADFE 是矩形．由题意得，EF=AD=6 米，AE=DF=20 米，∠B=30°，斜坡 CD 的坡度为 1： 2，在 Rt△ABE 中，∵∠B=30°，∴BE=AE=20米．在Rt△CFD中，∵=，∴CF=2DF=40 米，∴BC=BE+EF+FC=20+6+40=46+20（米）．所以坝底BC的长度等于（46+20）米．故答案为（46+20）．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．16.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=，CD⊥AB，垂足为点D，以点D为圆心作⊙D，使得点A在⊙D外，且点B在⊙D内．设⊙D的半径为r，那么r的取值范围是．【分析】先根据勾股定理求出AB的长，进而得出CD的长，由点与圆的位置关系即可得出结论．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=3，BC=，∴AB==4．∵CD⊥AB，∴CD=．∵AD•BD=CD2，设AD=x，BD=4﹣x．解得x=∴点 A 在圆外，点 B 在圆内，r的范围是，故答案为：．【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．17.如图，点D在△ABC的边BC上，已知点E、点F分别为△ABD和△ADC 的重心，如果BC=12，那么两个三角形重心之间的距离EF的长等于4 ．【分析】连接AE并延长交BD于 G，连接AF并延长交CD于 H，根据三角形的重心的概念、相似三角形的性质解答．【解答】解：如图，连接 AE 并延长交 BD 于 G，连接 AF 并延长交 CD 于 H，∵点 E、F 分别是△ABD 和△ACD 的重心，∴DG=BD，DH=CD，AE=2GE，AF=2HF，∵BC=12，∴GH=DG+DH= （BD+CD）= BC= ×12=6，∵AE=2GE，AF=2HF，∠EAF=∠GAH，∴△EAF∽△GAH，∴==，∴EF=4，故答案为：4．【点评】本题考查了三角形重心的概念和性质，三角形的重心是三角形中线的交点，三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍．18.如图，△ABC中，AB=5，AC=6，将△ABC翻折，使得点A落到边BC 上的点A′处，折痕分别交边AB、AC于点E，点F，如果A′F∥AB，那么BE= ．【分析】设BE=x，则AE=5﹣x=AF=A'F，CF=6﹣（5﹣x）=1+x，依据△A'CF ∽△BCA，可得=，即=，进而得到BE=．【解答】解：如图，由折叠可得，∠AFE=∠A'FE，∵A'F∥AB，∴∠AEF=∠A'FE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，由折叠可得，AF=A'F，设 BE=x，则 AE=5﹣x=AF=A'F，CF=6﹣（5﹣x）=1+x，∵A'F∥AB，∴△A'CF∽△BCA，∴=，即=，解得x=，∴BE=，故答案为：．【点评】本题主要考查了折叠问题以及相似三角形的判定与性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）19．（10分）计算：45°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而代入化简得出答案．【解答】解：原式=﹣×= ﹣= ．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 20．（10分）已知一个二次函数的图象经过A（0，﹣3），B（1，0），C（m，2m+3），D（﹣1，﹣2）四点，求这个函数解析式以及点C的坐标．【分析】设一般式y=ax2+bx+c，把A、B、D点的坐标代入得，然后解法组即可得到抛物线的解析式，再把 C（m，2m+3）代入解析式得到关于 m 的方程，解关于 m 的方程可确定 C 点坐标．【解答】解：设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，把A（0，﹣3），B（1，0），D（﹣1，﹣2）代入得，解得，∴抛物线的解析式为 y=2x2+x﹣3，把C（m，2m+3）代入得2m2+m﹣3=2m+3，解得m1=﹣，m2=2，∴C点坐标为（﹣，0）或（2，7）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．21．（10分）如图，已知⊙O经过△ABC的顶点A、B，交边BC于点D，点A恰为的中点，且BD=8，AC=9，sinC=，求⊙O的半径．【分析】如图，连接OA．交BC于H．首先证明OA⊥BC，在Rt△ACH中，求出AH，设⊙O的半径为r，在Rt△BOH中，根据BH2+OH2=OB2，构建方程即可解决问题；【解答】解：如图，连接 OA．交 BC 于 H．∵点A为的中点，∴OA⊥BD，BH=DH=4，∴∠AHC=∠BHO=90°，∵sinC==，AC=9，∴AH=3，设⊙O 的半径为 r，在 Rt△BOH 中，∵BH2+OH2=OB2，∴42+（r﹣3）2=r2，∴r=，∴⊙O的半径为．【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．22．（10分）下面是一位同学的一道作图题：已知线段a、b、c（如图），求作线段x，使a：b=c：x他的作法如下：（1）、以点O为端点画射线OM，ON．（2）、在OM上依次截取OA=a，AB=b．（3）、在ON上截取OC=c．（4）、联结AC，过点B作BD∥AC，交ON于点D．所以：线段CD就是所求的线段x．①试将结论补完整②这位同学作图的依据是平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例③如果OA=4，AB=5，，试用向量表示向量．【分析】①根据作图依据平行线分线段成比例定理求解可得；②根据“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例”可得；③先证△OAC∽△OBD得= ，即BD= AC，从而知= =﹣=﹣．【解答】解：①根据作图知，线段 CD 就是所求的线段 x，故答案为：CD；②这位同学作图的依据是：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例；故答案为：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例；③∵OA=4、AB=5，且 BD∥AC，∴△OAC∽△OBD，∴=，即=，∴BD=AC，∴= =﹣=﹣．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理及向量的计算．23．（12分）已知：如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，AD=DC，DC2=DE•DB，求证：（1）△BCE∽△ADE；（2）AB•BC=BD•BE．【分析】（1）由∠DAC=∠DCA，对顶角∠AED=∠BEC，可证△BCE∽△ADE．（2）根据相似三角形判定得出△ADE∽△BDA，进而得出△BCE∽△BDA，利用相似三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵AD=DC，∴∠DAC=∠DCA，∵DC2=DE•DB，∴=，∵∠CDE=∠BDC，∴△CDE∽△BDC，∴∠DCE=∠DBC，∴∠DAE=∠EBC，∵∠AED=∠BEC，∴△BCE∽△ADE，（2）∵DC2=DE•DB，AD=DC∴AD2=DE•DB，同法可得△ADE∽△BDA，∴∠DAE=∠ABD=∠EBC，∵△BCE∽△ADE，∴∠ADE=∠BCE，∴△BCE∽△BDA，∴= ，∴AB•BC=BD•BE．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+2ax+c（其中a、c为常数，且a＜0）与x轴交于点A，它的坐标是（﹣3，0），与y轴交于点B，此抛物线顶点C到x轴的距离为4（1）求抛物线的表达式；（2）求∠CAB的正切值；（3）如果点P是抛物线上的一点，且∠ABP=∠CAO，试直接写出点P的坐标．【分析】（1）先求得抛物线的对称轴方程，然后再求得点 C 的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+4，将点（﹣3，0）代入求得a的值即可；（2）先求得A、B、C的坐标，然后依据两点间的距离公式可得到BC、AB、AC的长，然后依据勾股定理的逆定理可证明∠ABC=90°，最后，依据锐角三角函数的定义求解即可；（3）记抛物线与x轴的另一个交点为D．先求得D（1，0），然后再证明∠DBO= ∠CAB，从而可证明∠CAO=ABD，故此当点P与点D重合时，∠ABP=∠CAO；当点P在AB的上时．过点P作PE∥AO，过点B作BF∥AO，则PE∥BF．先证明∠EPB=∠CAB，则tan∠EPB=，设BE=t，则PE=3t，P（﹣3t，3+t），将P（﹣3t，3+t）代入抛物线的解析式可求得t的值，从而可得到点P 的坐标．【解答】解：（1）抛物线的对称轴为x=﹣=﹣1．∵a＜0，∴抛物线开口向下．又∵抛物线与 x 轴有交点，∴C 在 x 轴的上方，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）．设抛物线的解析式为 y=a（x+1）2+4，将点（﹣3，0）代入得：4a+4=0，解得：a=﹣1，∴抛物线的解析式为 y=﹣x2﹣2x+3．（2）将x=0代入抛物线的解析式得：y=3，∴B（0，3）．∵C（﹣1，4）、B（0，3）、A（﹣3，0），∴BC=，AB=3，AC=2，∴BC2+AB2=AC2，∴∠ABC=90°．∴tan∠CAB= =．（3）如图1所示：记抛物线与x轴的另一个交点为D．∵点 D 与点 A 关于 x=﹣1 对称，∴D（1，0）．∴tan∠DBO=．又∵由（2）可知：tan∠CAB=．∴∠DBO=∠CAB．又∵OB=OA=3，∴∠BAO=∠ABO．∴∠CAO=∠ABD．∴当点 P 与点 D 重合时，∠ABP=∠CAO，∴P（1，0）．如图2所示：当点P在AB的上时．过点P作PE∥AO，过点B作BF∥AO，则PE∥BF．∵BF∥AO，∴∠BAO=∠FBA．又∵∠CAO=∠ABP，∴∠PBF=∠ CAB．又∵PE∥BF，∴∠EPB=∠PBF，∴∠EPB=∠CAB．∴tan∠EPB=．设BE=t，则PE=3t，P（﹣3t，3+t）．将P（﹣3t，3+t）代入抛物线的解析式得：y=﹣x2﹣2x+3得：﹣9t2+6t+3=3+t，解得t=0（舍去）或t=．∴P（﹣，）．综上所述，点P的坐标为P（1，0）或P（﹣，）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质、锐角三角函数的定义，用含 t 的式子表示点 P 的坐标是解题的关键．25．（14分）如图1，∠BAC的余切值为2，AB=2，点D是线段AB上的一动点（点D不与点A、B重合），以点D为顶点的正方形DEFG的另两个顶点E、F都在射线AC上，且点F在点E的右侧，联结BG，并延长BG，交射线EC于点P．（1）点D在运动时，下列的线段和角中，④⑤是始终保持不变的量（填序号）；①AF；②FP；③BP；④∠BDG；⑤∠GAC；⑥∠BPA；（2）设正方形的边长为x，线段AP的长为y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△PFG与△AFG相似，但面积不相等，求此时正方形的边长．【分析】（1）作BM⊥AC于M，交DG于N，如图，利用三角函数的定义得到=2，设BM=t，则AM=2t，利用勾股定理得（2t）2+t2=（2）2，解得t=2，即BM=2，AM=4，设正方形的边长为x，则AE=2x，AF=3x，由于tan∠GAF==，则可判断∠GAF为定值；再利用DG∥AP得到∠BDG=∠BAC，则可判断∠BDG为定值；在Rt△BMP中，利用勾股定理和三角函数可判断PB在变化，∠BPM在变化，PF在变化；（2）易得四边形DEMN为矩形，则NM=DE=x，证明△BDG∽△BAP，利用相似比可得到y与x的关系式；（3）由于∠AFG=∠PFG=90°，△PFG与△AFG相似，且面积不相等，利用相似比得到PF=x，讨论：当点P在点F点右侧时，则AP=x，所以=x，当点P在点F点左侧时，则AP= x，所以=x，然后分别解方程即可得到正方形的边长．【解答】解：（1）作BM⊥AC于M，交DG于N，如图，在Rt△ABM中，∵cot∠BAC==2，设 BM=t，则 AM=2t，∵AM2+BM2=AB2，∴（2t）2+t2=（2）2，解得t=2，∴BM=2，AM=4，设正方形的边长为 x，在Rt△ADE中，∵cot∠DAE==2，∴AE=2x，∴AF=3x，在Rt△GAF中，tan∠GAF===，∴∠GAF 为定值；∵DG∥AP，∴∠BDG=∠BAC，∴∠BDG 为定值；在Rt△BMP中，PB=，而PM在变化，∴PB 在变化，∠BPM 在变化，∴PF 在变化，所以∠BDG 和∠GAC 是始终保持不变的量；故答案为④⑤；（2）易得四边形DEMN为矩形，则NM=DE=x，∵DG∥AP，∴△BDG∽△BAP，∴=，即=，∴y= （1≤x＜2）（3）∵∠AFG=∠PFG=90°，△PFG与△AFG相似，且面积不相等，∴=，即=，∴PF=x，当点P在点F点右侧时，AP=x，∴=x，解得x=，当点P在点F点左侧时，AP=AF﹣PF=3x﹣x=x，∴=x，解得x=，综上所述，正方形的边长为或．【点评】本题考查了相似形综合题：熟练掌握锐角三角函数的定义、正方形的性质和相似三角形的判定与性质．。

专题2021年分类汇编-23题专题一A字型X型【知识梳理】【历年真题】1．（2020秋•嘉定区期末）如图，已知矩形DEFG的边DE在△ABC的边BC上，顶点G，F分别在边AB、AC上，△ABC的高AH交GF于点l．（1）求证：BD•EH＝DH•CE；（2）设DE＝n•EF（n为正实数），求证：11nBC AH EF+=．2．（2020秋•金山区期末）已知：如图，四边形ABCD是菱形，点M、N分别在边BC、CD 上，联结AM、AN交对角线BD于E、F两点，且∠MAN＝∠ABD．（1）求证：AB2＝BF•DE；（2）若BE DNDE DC=，求证：EF∥MN．3．（2020秋•黄浦区期末）某班级的“数学学习小组心得分享课”上，小智跟同学们分享了关于梯形的两个正确的研究结论：①如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，过对角线交点的直线与两底分别交于点M、N，则AM CNDM BN=；②如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，过两腰延长线交点P的直线与两底分别交于点K、L，则AK BLDK CL=．接着小明也跟同学们分享了关于梯形的一个推断：过梯形对角线交点且平行于底边的直线被梯形两腰所截，截得的线段被梯形对角线的交点平分．（1）经讨论，大家都认为小明所给出的推断是正确的．请你结合图示（见答题卷）写出已知、求证，并给出你的证明；（2）小组还出了一个作图题考同学们：只用直尺将图3中两条平行的线段AB、CD同时平分．请保留作图过程痕迹，并说明你作图方法的正确性（可以直接运用小智和小明得到的正确结论）．（注意：请务必在试卷的图示中完成作图草稿，在答题卷上直接用2B铅笔或水笔完成作图，不要涂改．）专题二相似三角形之等量代换【知识梳理】【历年真题】1．（2020秋•闵行区期末）如图，点E为△ABC边BC上一点，过点C作CD⊥BA，交BA 的延长线于点D，交EA的延长线于点F，且AF•CD＝BC•AD．（1）求证：AE⊥BC；（2）如果BE＝CE，求证：BC2＝2BD•AC．2．（2020秋•徐汇区期末）如图，在△ACB中，点D、E分别在边BC、AC上，AD＝AB，BE＝CE，AD与BE交于点F，且AF•DF＝BF•EF．求证：（1）∠ADC＝∠BEC；（2）AF•CD＝EF•AC．3．（2020秋•青浦区期末）已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC、BD相交于点E，AE⋅CE＝DE⋅BE（1）求证：△ABE∽△ACB；（2）如果DA2＝DE•DB，求证：AB•EC＝BC•AE．4．（2020秋•虹口区期末）如图，在△ABC中，点D、G在边AC上，点E在边BC上，DB ＝DC，EG∥AB，AE、BD交于点F，BF＝AG．（1）求证：△BFE∼△CGE；（2）当∠AEG＝∠C时，求证：AB2＝AG•AC．5．（2020秋•奉贤区期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠DCB，联结AC，点E在边BC上，且∠CDE＝∠CAD，DE与AC交于点F，CE•CB＝AB•CD．（1）求证：AD∥BC；（2）当AD＝DE时，求证：AF2＝CF•CA．6．（2020秋•杨浦区期末）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD、AC相交于点E，过点A作AF∥DC，交对角线BD于点F．（1）求证：DF DE=BD BE；（2）如果∠ADB＝∠ACD，求证：线段CD是线段DF、BE的比例中项．专题三相似三角形之面积比【知识梳理】【历年真题】1．（2020秋•崇明区期末）已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且∠AED ＝∠ABC，联结BE、CD相交于点F．（1）求证：∠ABE＝∠ACD；（2）如果ED＝EC，求证：22DF EF BD BE．2．（2020秋•长宁区期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CH⊥AB，垂足为点H．点D在边BC上，联结AD，交CH于点E，且CE＝CD．（1）求证：△ACE∽△ABD；（2）求证：△ACD的面积是△ACE的面积与△ABD的面积的比例中项．3．（2020秋•静安区期末）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE ∥BC，AD2＝AE•AC．求证：（1）△BCD∽△CDE；（2）22CD AD BC AB．专题四相似三角形综合题【知识梳理】【历年真题】1．（2020秋•浦东新区期末）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别为边AB、BC上的点，且CD＝CA，DE⊥AB．（1）求证：CA2＝CE•CB；（2）联结AE，取AE的中点M，联结CM并延长与AB交于点H，求证：CH⊥AB．2．（2020秋•普陀区期末）已知：如图，AD∥BC，∠ABD＝∠C，AE⊥BD，DF⊥BC，点E、F分别为垂足．（1）求证：AE BD DF BC；（2）联结EF，如果∠ADB＝∠BDF，求证：DF•DC＝EF•BC．3．（2020秋•松江区期末）如图，已知在▱ABCD中，E是边AD上一点，联结BE、CE，延长BA、CE相交于点F，CE2＝DE•BC．（1）求证：∠EBC＝∠DCE；（2）求证：BE•EF＝BF•AE．专题2021年分类汇编-23题专题一A 字型X 型【历年真题】1．（2020秋•嘉定区期末）如图，已知矩形DEFG 的边DE 在△ABC 的边BC 上，顶点G ，F 分别在边AB 、AC 上，△ABC 的高AH 交GF 于点l ．（1）求证：BD •EH ＝DH •CE ；（2）设DE ＝n •EF （n 为正实数），求证：11n BC AH EF+=．【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．【专题】证明题；图形的相似；推理能力．【分析】（1）根据已知条件证明△BDG ∽△ABH ，△FEC ∽△ACH ，对应边成比例整理即可得结；（2）根据已知条件证明△AGF ∽△ABC ，对应边成比例即可证明结论．【解答】（1）证明：∵四边形DEFG 是矩形，∴GD ⊥BC ，FE ⊥BC ，DG ＝EF ，∵AH ⊥BC ，∴GD ∥AH ∥FE ，∴BD BG =DH GA CE FC =HE FA∵GF ∥BC ∴BG FC =GA FA ∴BD CE =DH EH∴BD •EH ＝DH •CE ；（2）证明：∵DF ∥BC ，∴△AGF ∽△ABC ，∴GF AF =BC AC ，∵FC EF =AC AH ，∴GF EF 1BC AH AF FC AC AC+=+=，∵GF ＝DE ＝n •EF ，∴1n EF EF BC AH += ，∴11n BC AH EF+=．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．2．（2020秋•金山区期末）已知：如图，四边形ABCD 是菱形，点M 、N 分别在边BC 、CD上，联结AM、AN交对角线BD于E、F两点，且∠MAN＝∠ABD．（1）求证：AB2＝BF•DE；（2）若BE DNDE DC=，求证：EF∥MN．【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；矩形菱形正方形；图形的相似；推理能力．【分析】（1）由菱形的性质得AB＝AD，则∠ABD＝∠ADB，易证∠AED＝∠BAF，则△AED∽△FAB，得AD DE BF AB=，即AD•AB＝BF•DE，即可得出结论；（2）由菱形的性质得AD＝BC，AD∥BC，则△BME∽△DAE，得BE BMDE AD=，进而证出BM DNBC DC=，则MN∥BD即可．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠AED＝∠ABD+∠BAE，∠BAF＝∠MAN+∠BAE，∠MAN＝∠ABD，∴∠AED＝∠BAF，∴△AED∽△FAB，∴AD DEBF AB=，即AD•AB＝BF•DE，∴AB2＝BF•DE；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴△BME∽△DAE，∴BE BM DE AD=，∵BE DNDE DC=，∴BM DNAD DC=，∴BM DNBC DC=，∴MN∥BD，∴EF∥MN．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的性质，证明三角形相似是解题的关键．3．（2020秋•黄浦区期末）某班级的“数学学习小组心得分享课”上，小智跟同学们分享了关于梯形的两个正确的研究结论：③如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，过对角线交点的直线与两底分别交于点M、N，则AM CNDM BN=；④如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，过两腰延长线交点P的直线与两底分别交于点K、L，则AK BLDK CL=．接着小明也跟同学们分享了关于梯形的一个推断：过梯形对角线交点且平行于底边的直线被梯形两腰所截，截得的线段被梯形对角线的交点平分．（1）经讨论，大家都认为小明所给出的推断是正确的．请你结合图示（见答题卷）写出已知、求证，并给出你的证明；（2）小组还出了一个作图题考同学们：只用直尺将图3中两条平行的线段AB、CD同时平分．请保留作图过程痕迹，并说明你作图方法的正确性（可以直接运用小智和小明得到的正确结论）．（注意：请务必在试卷的图示中完成作图草稿，在答题卷上直接用2B铅笔或水笔完成作图，不要涂改．）【考点】相似三角形的判定与性质；梯形．【专题】图形的相似；几何直观；推理能力．【分析】（1）写出已知，求证，证明即可．（2）连接CA，DB，延长CA交DB延长线于点F，连接AD，BC交于点F，作直线EF交AB于点M，交CD于点N，点M，N即为所求作．【解答】解：（1）已知：如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，AC与BD交于点O，EF经过点O，且EF∥BC，求证：OE＝OF．证明：∵EF∥BC，∴△AEO∽△ABC，△DOF∽△DBC，∴OE AO=BC AC，OF DO=BC DB，∵AD∥BC，∴AO DO=AC DB，∴EO OF=BC BC，∴EO＝OF．（2）如图3中，点M，N即为所求作．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，梯形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．专题二相似三角形之等量代换【历年真题】1．（2020秋•闵行区期末）如图，点E为△ABC边BC上一点，过点C作CD⊥BA，交BA 的延长线于点D，交EA的延长线于点F，且AF•CD＝BC•AD．（1）求证：AE⊥BC；（2）如果BE＝CE，求证：BC2＝2BD•AC．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）通过证明△ADF∽△CDB，可得∠F＝∠B，由余角的性质可求解；（2）通过证明△ABE∽△CBD，可得AB BEBC BD=，可得结论．【解答】证明：（1）∵AF•CD＝BC•AD，∴AF BCAD CD=，设AF BCAD CD=＝k，∴AF＝kAD，BC＝kCD，∴DF＝AD，BD CD，∴DF AD BD CD=，又∵∠ADF＝∠BDC，∴△ADF∽△CDB，∴∠F＝∠B，∵∠B+∠BCD＝90°，∴∠F+∠BCD＝90°，∴AE⊥BC；方法2：∵AF•CD＝BC•AD，∴AF BC AD CD=，又∵∠ADF＝∠BDC＝90°，∴△FAD∽△BCD，∴∠B＝∠F，∵∠B+∠BCD＝90°，∴∠F+∠BCD＝90°，∴AE⊥BC；（2）∵BE＝CE，AE⊥BC，∴AB＝AC，∵∠ABE＝∠DBC，∠BDC＝∠AEB＝90°，∴△ABE∽△CBD，∴AB BE BC BD=，∴BC•12BC＝AB•BD，∴BC2＝2BD•AC．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键．2．（2020秋•徐汇区期末）如图，在△ACB中，点D、E分别在边BC、AC上，AD＝AB，BE＝CE，AD与BE交于点F，且AF•DF＝BF•EF．求证：（1）∠ADC＝∠BEC；（2）AF•CD＝EF•AC．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）利用AF•DF＝BF•EF和∠AFE＝∠BFD可判断△AFE∽△BFD，所以∠AEF＝∠BDF，然后根据等角的补角相等得到结论；（2）由△AFE∽△BFD得到∠EAF＝∠FBD，∠AEF＝∠BDF，再证明∠EAF＝∠C，∠ABC＝∠AEF，于是可证明△AEF∽△CBA，利用相似比得到AF EFAC AB=，然后证明AD＝AB＝CD，从而得到结论．【解答】证明：（1）∵AF•DF＝BF•EF，∴AF EF BF DF=，而∠AFE＝∠BFD，∴△AFE∽△BFD，∴∠AEF＝∠BDF，∵∠AEF+∠BEC＝180°，∠BDF+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝∠BEC；（2）∵△AFE∽△BFD，∴∠EAF＝∠FBD，∠AEF＝∠BDF，∵EB＝EC，AB＝AD，∴∠EBC＝∠C，∠ADB＝∠ABD，∴∠EAF＝∠C，∠ABC＝∠AEF，∴△AEF∽△CBA，∴AF EFAC AB，∴EF•AC＝AB•AF∵∠DAC＝∠C，∴AD＝CD，∴AB＝AD＝CD，∴EF•AC＝CD•AF，即AF•CD＝EF•AC．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；可利用相似三角形的性质得到对应角相等，通过相似比进行几何计算．3．（2020秋•青浦区期末）已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC、BD相交于点E，AE⋅CE＝DE⋅BE（1）求证：△ABE∽△ACB；（2）如果DA2＝DE•DB，求证：AB•EC＝BC•AE．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题；图形的相似；推理能力．【分析】（1）根据AE⋅CE＝DE⋅BE，∠AED＝∠BEC，可得△ADE∽△BCE，得∠DAE＝∠CBE，∠ADE＝∠BCE，根据AB＝AD，进而可以证明结论；（2）根据DA2＝DE•DB，∠ADB＝∠ADE，可得△ADB∽△ADE，对应边成比例，结合（1）△ADE∽△CBE对应边成比例，进而可得结论．【解答】证明：（1）∵AE⋅CE＝DE⋅BE，∠AED＝∠BEC，∴△ADE∽△BCE，∴∠DAE＝∠CBE，∠ADE＝∠BCE，∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABE，∴∠ABE＝∠ACB，∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB；（2）∵DA2＝DE•DB，∠ADB＝∠ADE，∴△ADB∽△EDA，∴AB AD AE DE=，∵△ABE∽△ACB，∴AD DE BC EC=，∴AD BCDE EC=，∴AB BCAE EC=，∴AB•EC＝BC•AE．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．4．（2020秋•虹口区期末）如图，在△ABC中，点D、G在边AC上，点E在边BC上，DB＝DC，EG∥AB，AE、BD交于点F，BF＝AG．（1）求证：△BFE∼△CGE；（2）当∠AEG＝∠C时，求证：AB2＝AG•AC．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）由平行线分线段成比例可得CE CGBE AG=，进而可得CE CGBE BF=，由等腰三角形的性质可得∠DBC＝∠DCB，由相似三角形的判定可得结论；（2）通过证明△ABE∽△CBA，可得AB BEAC AB=，可得结论．【解答】证明：（1）∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠DCB，∵EG∥AB，∴CE CG BE AG=，∵BF＝AG，∴CE CG BE BF=，∴△BFE∼△CGE；（2）∵△BFE∼△CGE，∴∠BEF＝∠GEC，∠BFE＝∠EGC，∵∠AEG＝∠C，∠GEB＝∠AEG+∠AEB＝∠C+∠EGC，∴∠AEB＝∠EGC，∴∠BEF＝∠GEC＝∠BFE＝∠EGC，∴BE＝BF，EC＝GC，∴BE＝AG，∵GE∥AB，∴∠AEG＝∠BAE，∴∠BAE＝∠C，又∵∠ABE＝∠ABC，∴△ABE∽△CBA，∴AB BE AC AB=，∴AB 2＝AC •BE ＝AC •AG ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明△ABE ∽△CBA 是本题的关键．5．（2020秋•奉贤区期末）如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠DCB ，联结AC ，点E 在边BC 上，且∠CDE ＝∠CAD ，DE 与AC 交于点F ，CE •CB ＝AB •CD ．（1）求证：AD ∥BC ；（2）当AD ＝DE 时，求证：AF 2＝CF •CA．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的全等；图形的相似；推理能力．【分析】（1）通过证明△ABC ∽△ECD ，可得∠CDE ＝∠ACB ＝∠CAD ，可得结论；（2）由“ASA ”可证△ADF ≌△DEC ，可得AF ＝CD ，通过证明△ADC ∽△DFC ，可得CD CF AC CD=，可得结论．【解答】证明：（1）∵CE •CB ＝AB •CD ，∴AB BC EC DC=，又∵∠B ＝∠DCB ，∴△ABC ∽△ECD ，∴∠CDE ＝∠ACB ，∵∠CDE ＝∠CAD ，∴∠DAC ＝∠ACB ，∴AD ∥BC ；（2）∵AD ∥BC ，∴∠ADF ＝∠DEC ，在△ADF 和△DEC 中，DAC=CDE AD=DE ADF=DEC ⎧⎪⎨⎪⎩∠∠∠∠，∴△ADF ≌△DEC （ASA ），∴AF ＝CD ，∵∠CDE ＝∠DAC ，∠DCA ＝∠DCF ，∴△ADC ∽△DFC ，∴CD CF AC CD=，∴CD 2＝CF •CA ，∴AF 2＝CF •CA ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，证明AF ＝CD 是本题的关键．6．（2020秋•杨浦区期末）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD、AC相交于点E，过点A作AF∥DC，交对角线BD于点F．（1）求证：DF DE=BD BE；（2）如果∠ADB＝∠ACD，求证：线段CD是线段DF、BE的比例中项．【考点】相似三角形的判定与性质；梯形．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）根据平行线的性质和等量代换证明∠DAF＝∠BCD，则可证明△DAF∽△BCD，利用相似比得到AD DF=BC BD，再证明△ADE∽△CBE，则AD DE=BC BE，然后利用等量代换得到结论；（2）证明△DCE∽△DBC，则根据相似比得DC2＝DE•DB，再利用（1）中的结论得到DF DE=BD BE，利用等量代换得到DC2＝DF•BE，从而得到结论．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠ADF，∠ADC+∠BCD＝180°，∵AF∥CD，∴∠ADC+∠DAF＝180°，∴∠DAF＝∠BCD，∴△DAF∽△BCD，∴AD DF=BC BD，∵AD∥BC，∴△ADE∽△CBE，∴AD DE=BC BE，∴DF DE=BD BE；（2）∵∠ADB＝∠ACD，∠ADB＝∠CBD，∴∠ECD＝∠CBD，而∠CDE＝∠BDC，∴△DCE∽△DBC，∴DC DE=BD DC，∴DC2＝DE•DB，∵DF DE=BD BE，∴DE•DB＝DF•BE，∴DC2＝DF•BE，即线段CD是线段DF、BE的比例中项．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；可利用相似三角形的性质得到对应角相等，通过相似比进行几何计算．也考查了梯形的性质．专题三相似三角形之面积比【历年真题】1．（2020秋•崇明区期末）已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且∠AED ＝∠ABC，联结BE、CD相交于点F．（1）求证：∠ABE＝∠ACD；（2）如果ED＝EC，求证：22DF EF BD BE=．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题；图形的相似；推理能力．【分析】（1）根据已知条件证明△ADE∽△ACB，可得AE ABAD AC=，根据∠A＝∠A，证明△ADC∽△AEB，即可得结论；（2）根据已知条件证明△EDF∽△EBD，可得DF EF DEBD DE BE==，进而可得结论．【解答】（1）证明：∵∠AED＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴AE AB AD AC=，∵∠A＝∠A，∴△ADC∽△AEB，∴∠ABE＝∠ACD；（2）证明：∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD，∴∠EDC＝∠EBD，∵∠DEF＝∠DEB，∴△EDF∽△EBD，∴DF EF DEBD DE BE==，2()DF EF DEBD DE BE= ，∴22DF EF BD BE=．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题的关键．2．（2020秋•长宁区期末）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CH ⊥AB ，垂足为点H ．点D 在边BC 上，联结AD ，交CH 于点E ，且CE ＝CD ．（1）求证：△ACE ∽△ABD ；（2）求证：△ACD 的面积是△ACE 的面积与△ABD的面积的比例中项．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠ACH ＝∠CBH ，根据等腰三角形的性质得到∠CED ＝∠CDE ，进而得到∠AEC ＝∠ADB ，根据相似三角形的判定定理证明结论；（2）过点B 作BG ∥AC 交AD 的延长线于点G ，根据相似三角形的性质得到AD BD AE CD=，根据相似三角形的面积公式计算，证明结论．【解答】证明：（1）∵AC ⊥BC ，CH ⊥AB ，∴∠ACB ＝∠AHC ＝90°，∴∠ACH ＝∠CBH ，∵CE ＝CD ，∴∠CED ＝∠CDE ，∴∠AEC ＝∠ADB ，∴△ACE ∽△ABD ；（2）过点B 作BG ∥AC 交AD 的延长线于点G ，∴∠CAD ＝∠G ，∵△ACE ∽△ABD ，∴AD BD AE CD =，∠CAD ＝∠BAD ，∴∠BAD ＝∠G ，∴AB ＝BG ，∵BG ∥AC ，∴△ADC ∽△GDB ，∴BG BD AC CD =，∴AD BD AE CD=，∴ACD ABD ACE ACDS S S S ∆∆∆∆=，∴△ACD 的面积是△ACE 的面积与△ABD 的面积的比例中项．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．3．（2020秋•静安区期末）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD2＝AE•AC．求证：（1）△BCD∽△CDE；（2）22CD AD BC AB=．【考点】相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）由题意可证△ADE∽△ACD，可得∠ADE＝∠ACD，由平行线的性质可得∠EDC＝∠DCB，∠B＝∠ADE＝∠ACD，可得结论；（2）由相似三角形的性质可得CD DEBC CD=，可得22CD CD DE DEBC BC CD BC=⋅=，由平行线分线段成比例可得结论．【解答】证明：（1）∵AD2＝AE•AC，∴AD AC AE AD=，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACD，∴∠ADE＝∠ACD，∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠DCB，∠B＝∠ADE，∴∠B＝∠ACD，∴△BCD∽△CDE；（2）∵△BCD∽△CDE，∴CD DE BC CD=，∴22CD CD DE DE BC BC CD BC=⋅=，∵DE∥BC，∴DE ADBC AB=，∴22CD ADBC AB=．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键．专题四相似三角形综合题【历年真题】1．（2020秋•浦东新区期末）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别为边AB、BC上的点，且CD＝CA，DE⊥AB．（1）求证：CA2＝CE•CB；（2）联结AE，取AE的中点M，联结CM并延长与AB交于点H，求证：CH⊥AB．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．【分析】（1）通过证明△DCE∽△BCD，可得DC CEBC CD=，可得结论；（2）由直角三角形的性质可得AM＝ME＝CM，进而可得∠MCE＝∠MEC，通过证明点A，点C，点E，点D四点共圆，可得∠AEC＝∠ADC，由余角的性质可得结论．【解答】证明：（1）∵DE⊥AB，∴∠EDB＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°＝∠B+∠DEB，∴∠A＝∠DEB，∵CA＝CD，∴∠A＝∠CDA，∴∠CDA＝∠DEB，∴∠CDB＝∠CED，又∵∠DCE＝∠DCB，∴△DCE∽△BCD，∴DC CE BC CD=，∴CD2＝CE•CB，∴CA2＝CE•CB；（2）如图，∵∠ACE是直角三角形，点M是AE中点，∴AM＝ME＝CM，∴∠MCE＝∠MEC，∵∠ACB＝∠ADE＝90°，∴点A，点C，点E，点D四点共圆，∴∠AEC＝∠ADC，∴∠AEC＝∠MCE＝∠ADC＝∠CAD，又∵∠MCE+∠ACH＝90°，∴∠CAD+∠ACH＝90°，∴CH⊥AB．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键．2．（2020秋•普陀区期末）已知：如图，AD ∥BC ，∠ABD ＝∠C ，AE ⊥BD ，DF ⊥BC ，点E 、F 分别为垂足．（1）求证：AE BD DF BC=；（2）联结EF ，如果∠ADB ＝∠BDF ，求证：DF •DC ＝EF •BC ．【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）证明△ABD ∽△DCB ，由相似三角形的性质得出AB BD DC BC =，证明△ABD ∽△DCB ，由相似三角形的性质得出AE BD DF BC=，则可得出结论；（2）证明△ADB ∽△EDF ，由相似三角形的性质得出∠ABD ＝∠EFD ，证明△EDF ∽△DBC ，得出DF EF BC DC =，则可得出结论．【解答】（1）证明：∵AE ⊥BD ，DF ⊥BC ，∴∠AEB ＝∠DFC ＝90°，∵∠ABD ＝∠C ，∴△ABE ∽△DCF ，∴AE AB DF DC=，∵AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠DBC ，∴△ABD ∽△DCB ，∴AB BD DC BC =，∴AE BD DF BC =；（2）证明：∵∠ADB ＝∠DBF ，∠ADB ＝∠BDF ，∠BFD ＝90°，∴∠DBF ＝∠BDF ，∴∠DBF ＝ADE ＝45°，∴△AED 和△BFD 都是等腰直角三角形，∴AD BD DE DF==又∵∠ADE ＝∠BDF ，∴△ADB ∽△EDF ，∴∠ABD ＝∠EFD ，∵∠ABD ＝∠C ，∴∠EFD ＝∠C ，∵∠EDF ＝∠DBC ，∴△EDF ∽△DBC ，∴DF EF BC DC=，∴DF •DC ＝EF •BC ．【点评】本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．3．（2020秋•松江区期末）如图，已知在▱ABCD中，E是边AD上一点，联结BE、CE，延长BA、CE相交于点F，CE2＝DE•BC．（1）求证：∠EBC＝∠DCE；（2）求证：BE•EF＝BF•AE．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】多边形与平行四边形；平移、旋转与对称；推理能力．【分析】（1）通过证明△DEC∽△ECB，可得结论；（2）通过证明△ABE∽△EBF，可得△ABE∽△EBF，可得结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DEC＝∠BCE，∵CE2＝DE•BC，∴DE CE=CE BC，∴△DEC∽△ECB，∴∠EBC＝∠DCE；（2）∵AD∥BC，AB∥CD，∴∠AEB＝∠EBC，∠F＝∠ECD，∴∠AEB＝∠F，又∵∠ABE＝∠EBF，∴△ABE∽△EBF，∴BE EF=BF AE，∴BE•EF＝BE•AE．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练运用相似三角形的判定定理是本题的关键．。

【打印版】2021年上海市黄浦区中考一模数学试卷及解析2021年上海市黄浦区中考一模数学试卷一、选择题（共6小题；共18分）1. 已知△ABC与△DEF相似，又∠A=40°，∠B=60°，那么∠D不可能是( )A. 40°B. 60°C. 80°D. 100°2. 抛物线y=?x2+4x?3不经过( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 对于锐角α，下列等式中成立的是( )A. sinα=cosα?tanαB. cosα=tanα?cotαC. tanα=cotα?sinαD. cotα=sinα?cosα4. 已知向量a?与非零向量e?方向相同，且其模为∣e?∣的2倍；向量b??与e?方向相反，且其模为∣e?∣的3倍，则下列等式中成立的是( )A. a?=23b?? B. a?=?23b?? C. a?=32b?? D. a?=?32b??5. 小明准备画一个二次函数的图象，他首先列表（如下），但在填写函数值时，不小心把其中一个蘸上了墨水（表中），那么这个被蘸上了墨水的函数值是( )A. ?1B. 3C. 4D. 06. 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，对角线的交点为点O．如果梯形ABCD的两底边长不变，而腰长发生变化，那么下列量中不变的是( )A. 点O到边AB的距离B. 点O到边BC的距离C. 点O到边CD的距离D. 点O到边DA的距离二、填空题（共12小题；共48分）7. 已知三角形的三边长为a，b，c，满足a2=b3=c4，如果其周长为36，那么该三角形的最大边长为．8. 已知线段MN的长为4，点P是线段MN的黄金分割点，则其较长线段MP的长是．9. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和6，则该三角形的重心到其直角顶点的距离是．10. 已知一个锐角的正切值比余切值大，且两者之和是313，则这个锐角的正切值为．11. 在△ABC中，AB=5，BC=8，∠B=60°，则△ABC的面积是．12. 已知点P位于第二象限内，OP=5，且OP与x轴负半轴夹角的正切值为2，则点P的坐标是．13. 如果视线与水平线之间的夹角为36°，那么该视线与铅垂线之间的夹角为度．14. 已知二次函数图象经过点(3,4)和(7,4)，那么该二次函数图象的对称轴是直线．15. 如图，一个管道的截面图，其内径（即内圆半径）为10分米，管壁厚为x分米，假设该管道的截面（阴影）面积为y平方分米，那么y关于x的函数解析式是．（不必写定义域）16. 如图，点D，E，F分别位于△ABC的三边上，且DE∥BC，EF∥AB，如果△ADE的面积为2，△CEF的面积为8，那么四边形BFED的面积是．17. 如果抛物线y=x2+(b+3)x+2c的顶点为(b,c)，那么该抛物线的顶点坐标是．18. 已知一个矩形的两邻边长之比为1:2.5，一条平行于边的直线将该矩形分为两个小矩形，如果所得两小矩形相似，那么这两个小矩形的相似比为．三、解答题（共7小题；共84分）19. 计算：3∣tan30°?1∣+2cot30°?1?sin260°cos245°．20. 将二次函数 y =x 2+2x +3 的图象向右平移 3 个单位，求所得图象的函数解析式；请结合以上两个函数图象，指出当自变量x 在什么取值范围内时，上述两个函数中恰好其中一个的函数图象是上升的，而另一个的函数图象是下降的．21. 如图，一个3×3 的网格，其中点 A ，B ，C ，D ，M ，N ，P ，Q 均为网格点．（1）在点 M ，N ，P ，Q 中，哪个点和点 A ，B 所构成的三角形与△ABC 相似?请说明理由；（2）设AB =a ?，BC =b ??，写出向量 AD 关于 a ?，b的分解式．22. 如图，是小明家房屋的纵截面图，其中线段 AB 为屋内地面，线段 AE ，BC 为房屋两侧的墙，线段 CD ，DE 为屋顶的斜坡．已知 AB =6 米，AE =BC =3.2 米，斜坡 CD ，DE 的坡比均为 1:2．（1）求屋顶点 D 到地面 AB 的距离；（2）已知在墙 AE 距离地面 1.1 米处装有窗 ST ，如果阳光与地面的夹角∠MNP =β=53°，为了防止阳光通过窗ST 照射到屋内，所以小明请门窗公司在墙AE 端点 E 处安装一个旋转式遮阳棚（如图中线段 EF ），公司设计的遮阳棚可作90° 旋转，即 0°<∠FET =α≤90°，长度为 1.4 米，即 EF =1.4 米．试问：公司设计的遮阳棚是否能达到小明的要求?说说你的理由（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√5≈2.24，√10≈3.16，sin53°=0.8，cos53°=0.6，tan53°=43．）23. 某班级的“数学学习小组心得分享课”上，小智跟同学们分享了关于梯形的两个正确的研究结论：①如图 1，在梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，过对角线交点 O 的直线与两底分别交于点 M ，N ，则 AMDM=CNBN ；②如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，过两腰延长线交点P的直线与两底分别交于点K，L，则AKDK =BLCL．接着小明也跟同学们分享了关于梯形的一个推断：过梯形对角线交点且平行于底边的直线被梯形两腰所截，截得的线段被梯形对角线的交点平分．（1）经讨论，大家都认为小明所给出的推断是正确的．请你结合图示（见答题卷）写出已知、求证，并给出你的证明；（2）小组还出了一个作图题考同学们：只用直尺将图3中两条平行的线段AB，CD同时平分．请保留作图过程痕迹，并说明你作图方法的正确性（可以直接运用小智和小明得到的正确结论）．（注意：请务必在试卷的图示中完成作图草稿，在答题卷上直接用2B铅笔或水笔完成作图，不要涂改．）24. 如图，平面直角坐标系内直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，点C是线段OB的中点．（1）求直线AC的表达式；（2）若抛物线y=ax2+bx+c经过点C，且其顶点位于线段OA上（不含端点O，A）．的取值范围；①用含b的代数式表示a，并写出1b②设该抛物线与直线y=x+4在第一象限内的交点为点D，试问：△DBC与△DAC能否相似?如果能，请求此时抛物线的表达式；如果不能，请说明理由．25. 如图，四边形ABCD中，AB=AD=4，CB=CD=3，∠ABC=∠ADC=90°，点M，N是边∠BCD，CM，CN与对角线BD分别交于点P，Q．AB，AD上的动点，且∠MCN=12（1）求sin∠MCN的值；（2）当DN=DC时，求∠CNM的度数；（3）试问：在点M，N的运动过程中，线段比PQ的值是否发生变化?如不变，请求出这个值；MN如变化，请至少给出两个可能的值，并说明点N相应的位置．答案第一部分 1. D 2. B 3. A 4. B 5. D 6. D第二部分7. 16 8. 2√5?2 9. √5 10. 3 11. 10√3 12. (?√5,2√5) 13. 54 14. x =515. y =πx 2+20πx 16. 817. (?1,1) 18. 1，2，12 第三部分19. 原式=3∣∣∣√33?1∣∣∣+√3?1(√32)2(√22)2=3?√3+√3+1?32=52.20. 由 y =x 2+2x +3，配方得 y =(x +1)2+2，平移后解析式为y =(x ?2)2+2，即 y =x 2?4x +6，取值范围是?1≤x ≤2． 21. （1）点 N ．在△ABC 中，AB =√2，BC =1，CA =√5，在△ABN 中，BN =2，AB =√2，AN =√10，因为 AB:BC:CA =BN:AB:AN ，所以△ABC 与△ABN 相似．（2） 2a ??3b． 22. （1）联接 CE ，过点 D 作 AB 的垂线，垂足为 G ，交 CE 于点 H ．易知CE ∥AB ，则 GH =BC =3.2．又 EH =12CE =3，在△DEH 中，DH:EH =1:2，所以 DH =1.5，则 DG =3.2+1.5=4.7（米）．答：屋顶点 D 到地面 AB 的距离为 4.7 米．（2）能够．当α=β=53° 时，过点 F 作FK ⊥EF ，交 AE 于点 K ．在△EFK 中，EK =EFcosα=73≈2.3．又 ES =3.2?1.1=2.1，则 EK >ES ，所以当遮阳棚的旋转角调整为53° 时，可以遮挡住阳光通过窗 ST 照射到屋内．23. （1）已知：如图，在梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，对角线 AC与 BD 交于点 O ，过点 O 作底边 BC 的平行线，交腰 AB ，CD 于点E ，F ．求证：OE =OF ．证明：∵AD ∥BC ，∴AOOC =ADBC ．∵OE ∥BC ，∴OE BC =AO AC=ADAD+BC，即 OE =AD?BC AD+BC．同理 OF =AD?BCAD+BC ，∴OE =OF ．（2）图略（联结 AD ，BC 交点 T 与 CA ，DB 交点 S 的直线，联结 ST 分别交 AB ，CD 点 X ，Y ）．过 AD ，BC 的交点 T 作 AB 的平行线，分别交 AC ，BD 于点 U ，V ．由小明的推断可知 TU =TV ．由小智的结论②可知 AXBX =UTVT ，即 AX =BX ．同理：CY =DY ，即直线 ST 同时平分线段AB ，CD ． 24. （1）由 y =x +4，得 A (?4,0)，B (0,4)．又点 C 是线段 OB 的中点，得 C (0,2)．设直线 AC 表达式为 y =kx +b ，则{2=b,0=?4k +b, 解得 {k =12,b =2. 即直线 AC 的表达式为 y =12x +2．（2）①由题意知：{2=c,4ac ?b 2=0,解得 a =18b 2．1b 取值范围是 0<1b <1．②设 D (d,d +4)，当△DBC 与△DAC 相似时，∠BDC =∠ADC ，又∠CBD >∠DAC ，所以∠DAC =∠DCB ．于是DB DC=DC DA=BC AC=2√5，即 DB DA =15?DB =√2，即√d 2+d 2=√2，解得d =±1（舍负），得 D (1,5)．由①得抛物线为 y =b 28x 2+bx +2，则 5=b 28+b +2?b =?4±2√10（舍负），所以抛物线表达式为y =(7?2√10)x 2+(2√10?4)x +2．25. （1）连接AC ，由AB =AD ，CB =CD ，AC =AC ，得△ABC ≌△ADC ，即∠ACB =∠ACD =12∠BCD =∠MCN ．于是在△ABC 中，∠ABC =90°，AC =√AB 2+BC 2=5，则sin∠ACB =ABAC =45，即sin∠MCN =45．（2）在△CDN 中，∠CDN =90°，DN =DC ，可得∠DNC =∠DCN =45°．作∠BCS =∠NCD 交边 AB 的延长线于点 S ．又 CB =CD ，∠CBS =∠CDN =90°，得△CBS ≌△CDN ．得 CS =CN ，∠CSB =∠CND ．于是∠MCS =∠MCB +∠BCS =∠MCB +∠DCN =12∠BCD =∠MCN ，又 CM =CM ，所以△MCS ≌△MCN，得∠CNM =∠MSC =∠CND =45°．（3）不变．易知∠ADB =∠ACD =∠MCN ，由（2）知∠CNM =∠CND ，得∠CMN =∠DQN =CQP ，又∠MCN =∠PCQ ，得△CNM ∽△CPQ ，则△CSM ∽△CPQ ．设AC 与 BD 的交点为 H ，易知CH ⊥PQ ，又CB ⊥MS ，所以PQ MN =CH CB．在△BCH 中，∠BHC =90°，sin∠HCB =45，易知cos∠HCB =35，即 PQMN =CHCB =35．。

2021年上海市中考数学第一次模拟试卷一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）1．（4分）下列各式与2是同类二次根式的是()A．18B．3C．5D．62．（4分）用换元法解方程2231712x xx x-+=-，设21xyx=-，那么换元后，方程可化为整式方程正确的是()A．1732yy+=B．22720y y-+=C．23710y y-+=D．26720y y-+=3．（4分）体育老师对八年级（2）班学生“你最喜欢的体育项目是什么？（只写一项）”的问题进行了调查，把所得数据绘制成如图所示的折线统计图．由图可知，最喜欢篮球的学生的频率是()A．16%B．24%C．30%D．40%4．（4分）已知反比例函数的图象经过点(1,3)，则这个反比例函数的表达式为()A．3yx=-B．3yx=C．13yx=D．13yx=-5．（4分）下列命题中正确的是()A．无限小数是无理数B．无限小数不是有理数C．数轴的点与有理数一一对应D．数轴上的点与实数一一对应6．（4分）如图，将线段AB平移到线段CD的位置，则a b+的值为()A ．4B ．0C ．3D ．5-二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分） 7．（4分）计算：232ab a b = ． 8．（4分）如果1()1f x x =-，那么(2)f = ． 9．（4分）如果函数(0)y kx k =≠的图象经过第二、四象限，那么y 的值随x 的值增大而 ．（填“增大”或“减小” )10．（4分）若关于x 的一元二次方程2240ax ax m ++-=有两个相等的实数根，则3a m +-的值为 ．11．（4分）在一个不透明的袋子中只装有n 个白球和4个红球，这些球除颜色外其他均相同．如果从袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是13，那么n 的值为 ．12．（4分）将抛物线22(3)4y x =++先向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ．13．（4分）为了了解某区七年级学生的视力情况，随机抽取了该区500名七年级学生进行调查．整理样本数据，得到下表：视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上 人数102988093127根据抽样调查结果，估计该区12000名七年级学生视力低于4.8的约有 ．14．（4分）如图，利用镜子M 的反射（入射角等于反射角），来测量旗杆CD 的长度，在镜子上作一个标记，观测者AB 看着镜子来回移动，直到看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记相重合，若观测者AB 的身高为1.6m ，量得:2:11BM DM =，则旗杆的高度为 m ．15．（4分）已知平行四边形ABCD ，E 是边AB 的中点．设AB a =，BC b =，那么DE = ．（结果用a 、b 表示）． 16．（4分）A ，B 两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A ，B 两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A 地的距离S （千米）都是骑车时间t （时)的一次函数．如图，直线1l 、2l 分别表示甲、乙骑车S 与t 之间关系的图象．结合图象提供的信息，经过 小时两人相遇．17．（4分）平行四边形ABCD 中，4AB =，3BC =，60B ∠=︒，AE 为BC 边上的高，将ABE ∆沿AE 所在直线翻折后得AFE ∆，那么AFE ∆与四边形AECD 重叠部分的面积是 ． 18．（4分）如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，E 是边BC 的中点，点P 在边AD 上，设DP x =，若以点D 为圆心，DP 为半径的D 与线段AE 只有一个公共点，则所有满足条件的x 的取值范围是 ．三．解答题（共7小题，满分78分） 19．（10分）计算： （1）2101(2)()(32)2--+---（2）2232()()a a a ---20．（10分）解一元一次不等式组5532123x x x x +-⎧⎨->⎩，并写出它的整数解21．（10分）如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90A ∠=︒，CD CB =，过点C 作DCB ∠的平分线CE 交AB 于点E ，连接DE ，过点D 作//DF AB ，且交CE 于F 点，连接BF ． （1）求证：四边形DEBF 是菱形；（2）若5AB =，13BC =，求tan AED ∠的值．22．（10分）某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元． （1）若销售单价为每件60元，求每天的销售利润；（2）要使每天销售这种工艺品盈利1350元，那么每件工艺品售价应为多少元？23．（12分）如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，M 为AD 的中点，连接BM ，交AC 于E ，在CB 上取一点F ，使得CF AE =，连接AF ，交BM 于G ，连接CG ．（1）求BGF ∠的度数； （2）求AGBG的值； （3）求证：BG CG ⊥．24．（12分）如图，直线23y x c =-+与x 轴交于点(3,0)A ，与y 轴交于点B ，抛物线243y x bx c =-++经过点A ，B ．（1）求点B 的坐标和抛物线的解析式；（2）(,0)M m 为线段OA 上一个动点，过点M 垂直于x 轴的直线与直线AB 和抛物线分别交于点P、N．①试用含m的代数式表示线段PN的长；②求线段PN的最大值．25．（14分）如图，O是ABC=，延长AC到点D，使得CD CB=，∆的外接圆，AB BC连接BD交O于点E，过点E做BC的平行线交CD于点F．（1）求证：AE DE=．（2）求证：EF为O的切线；（3）若5BE=，求弦AC的长．AB=，32021年上海市中考数学第一次模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）1．（4( )A B CD【分析】根据二次根式的性质把不是最简二次根式的进行化简，根据同类二次根式的概念判断即可．【解答】解：ABC 不是同类二次根式；D 不是同类二次根式；故选：A ．【点评】本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．2．（4分）用换元法解方程2231712x x x x -+=-，设21x y x =-，那么换元后，方程可化为整式方程正确的是( ) A ．1732y y += B ．22720y y -+= C ．23710y y -+= D ．26720y y -+=【分析】先根据已知进行换元，再进行变形，即可得出答案．【解答】解：2231712x x x x -+=-，设21x y x =-， 则原方程化为172y y +=，即22720y y -+=， 故选：B ．【点评】本题考查了用换元法进行分式方程，能够正确换元是解此题的关键．3．（4分）体育老师对八年级（2）班学生“你最喜欢的体育项目是什么？（只写一项）”的问题进行了调查，把所得数据绘制成如图所示的折线统计图．由图可知，最喜欢篮球的学生的频率是( )A ．16%B ．24%C ．30%D ．40%【分析】从图中可知总人数为50人，其中最喜欢篮球的有20人，根据频率的计算公式进行计算即可．【解答】解：读图可知： 共有(4126208)50++++=人， 其中最喜欢篮球的有20人，故频率最喜欢篮球的频率20500.4=÷=． 故选：D ．【点评】本题考查读频数分布折线图和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，同时考查频率、频数的关系．4．（4分）已知反比例函数的图象经过点(1,3)，则这个反比例函数的表达式为( ) A ．3y x=-B ．3y x=C ．13y x=D ．13y x=-【分析】只需把已知点的坐标代入，即可求得函数解析式． 【解答】解：设该反比例函数的解析式为：(0)ky k x=≠．把(1,3)代入，得 31k =， 解得3k =．则该函数解析式为：3y x=．故选：B．【点评】此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．5．（4分）下列命题中正确的是()A．无限小数是无理数B．无限小数不是有理数C．数轴的点与有理数一一对应D．数轴上的点与实数一一对应【分析】根据无理数的定义即可判定A；根据有理数的定义即可判定B；根据数轴与实数的对应关系即可判定C和D．【解答】解：A、无限不循环小数是无理数，故选项错误；B、无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，故选项错误；C、根据数轴的性质：数轴上的点与实数一一对应，故选项错误；D、数轴上的点与实数一一对应，故选项正确．故选：D．【点评】本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，解题的关键利用有理数、无理数的定义及实数与数轴的关系．6．（4分）如图，将线段AB平移到线段CD的位置，则a b+的值为()A．4B．0C．3D．5-【分析】利用坐标平移的变化规律解决问题即可．【解答】解：由题意，线段AB向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到线段CD，∴=-=，242b=-+=，a532∴+=，a b4故选：A．【点评】本题考查平移的性质，解题的关键是熟练掌握坐标平移的变化规律，属于中考常考题型．二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分） 7．（4分）计算：232ab a b = 326a b ．【分析】原式利用单项式乘单项式法则计算即可求出值． 【解答】解：原式326a b =， 故答案为：326a b【点评】此题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．（4分）如果1()1f x x =-，那么f =1 ．【分析】根据函数的定义，将x 代入1()1f x x =-进行计算即可． 【解答】解：1()1f x x =-，1f ∴==+；1．【点评】此题考查了函数值．（1）当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值； （2）函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．9．（4分）如果函数(0)y kx k =≠的图象经过第二、四象限，那么y 的值随x 的值增大而 减小 ．（填“增大”或“减小” )【分析】根据正比例函数的性质进行解答即可．【解答】解：函数(0)y kx k =≠的图象经过第二、四象限，那么y 的值随x 的值增大而减小， 故答案为：减小．【点评】此题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数的性质：正比例函数(0)y kx k =≠的图象是一条经过原点的直线，当0k >时，该直线经过第一、三象限，且y 的值随x 的值增大而增大；当0k <时，该直线经过第二、四象限，且y 的值随x 的值增大而减小．10．（4分）若关于x 的一元二次方程2240ax ax m ++-=有两个相等的实数根，则3a m +-的值为 1 ．【分析】利用一元二次方程根的判别式△240b ac =-=即可求解．【解答】解：关于x 的一元二次方程2240ax ax m ++-=有两个相等的实数根，∴△244(4)0b ac a a m =-=-+=，0a ≠， 40a m ∴-+=， 4a m ∴+=，3431a m ∴+-=-=．故答案为：1．【点评】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式(△24)b ac =-可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式 有如下关系：①当△0>时，方程有两个不相等的实数根；②当△0= 时，方程有两个相等的实数根；③当△0< 时，方程无实数根，上述结论反过来也成立．11．（4分）在一个不透明的袋子中只装有n 个白球和4个红球，这些球除颜色外其他均相同．如果从袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是13，那么n 的值为 8 ．【分析】根据概率公式列方程计算． 【解答】解：根据题意得4143n =+， 解得8n =，经检验：48n =是分式方程的解， 故答案为：8．【点评】本题考查了概率公式：随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．12．（4分）将抛物线22(3)4y x =++先向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为 22(2)1y x =+- ．【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．【解答】解：将抛物线22(3)4y x =++先向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度可得：22(31)45y x =+-+-，即22(2)1y x =+-， 故答案为22(2)1y x =+-．【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．13．（4分）为了了解某区七年级学生的视力情况，随机抽取了该区500名七年级学生进行调查．整理样本数据，得到下表：视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上人数102988093127根据抽样调查结果，估计该区12000名七年级学生视力低于4.8的约有4800名．【分析】用总人数乘样本中视力低于4.8的人数占被调查人数的比例即可得．【解答】解：估计该区12000名七年级学生视力低于4.8的约有10298 120004800500+⨯=（名)，故答案为：4800名．【点评】本题主要考查用样本估计总体，从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．14．（4分）如图，利用镜子M的反射（入射角等于反射角），来测量旗杆CD的长度，在镜子上作一个标记，观测者AB看着镜子来回移动，直到看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记相重合，若观测者AB的身高为1.6m，量得:2:11BM DM=，则旗杆的高度为8.8 m．【分析】根据题意抽象出相似三角形，然后利用相似三角形的对应边的比相等列式计算即可．【解答】解：根据题意得：ABM CDM∆∆∽，::AB CD BM DM∴=，1.6AB m=，:2:11BM DM=，1.6:2:11CD∴=，解得：8.8CD m=，故答案为：8.8．【点评】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是根据实际问题抽象出相似三角形，难度不大．15．（4分）已知平行四边形ABCD ，E 是边AB 的中点．设AB a =，BC b =，那么DE = 12b a -+ ．（结果用a 、b 表示）． 【分析】由三角形法则可知：DE DA AE =+，只要求出DA ，AE 即可解决问题．【解答】解：如图，四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴=，//AD BC∴AD BC b ==，E 是AB 的中点，1122AE AB a ∴==， DE DA AE =+，∴12DE b a =-+， 故答案为：12b a -+． 【点评】本题考查平面向量，三角形法则，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．（4分）A ，B 两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A ，B 两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A 地的距离S （千米）都是骑车时间t （时)的一次函数．如图，直线1l 、2l 分别表示甲、乙骑车S 与t 之间关系的图象．结合图象提供的信息，经过 207小时两人相遇．【分析】利用待定系数法求出直线1l 、2l 的解析式，利用两函数相等进而求出相遇的时间．【解答】解：设1l 的关系式为：1s kt =，则302k =⨯，解得：15k =，故115s t =；设2s at b =+，将(0,100)，(2,60)，则100260b a b =⎧⎨+=⎩， 解得：20100a b =-⎧⎨=⎩， 故2l 的关系式为220100s t =-+；1520100t t =-+，207t =． 即他们经过207小时两人相遇． 故答案为：207 【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求一次函数的解析式，并注意利用数形结合的思想解决问题．17．（4分）平行四边形ABCD 中，4AB =，3BC =，60B ∠=︒，AE 为BC 边上的高，将ABE∆沿AE 所在直线翻折后得AFE ∆，那么AFE ∆与四边形AECD 重叠部分的面积是． 【分析】根据题意可画出草图解题，由折叠特点可知AFE ABE ∆≅∆，则60F B ∠=∠=︒，设CD 与AF 相交于点P ，根据平行四边形的性质推出CFP ∆为等边三角形，AFE ∆与四边形AECD 重叠部分的面积是AEF ∆与CFP ∆的面积之差．【解答】解：根据沿直线折叠特点，AFE ABE ∆≅∆，60F B ∴∠=∠=︒，在ABE ∆中，60B ∠=︒，4AB =，则AE =，2BE =，122AFE ABE S S ∆∆==⨯⨯ ()1CF EF EC BE BC BE =-=--=，在平行四边形ABCD 中，//CD AB ，60PCF B F ∴∠=∠=︒=∠，CFP ∴∆为等边三角形，底边()1CF EF EC BE BC BE =-=--=，高为32， 34CFP S ∆∴=， 3732344AFE CFP S S S ∆∆∴=-=-=重叠．【点评】已知折叠问题就是已知图形的全等，考查学生对全等三角形性质的应用及三角形面积的求法．18．（4分）如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，E 是边BC 的中点，点P 在边AD 上，设DP x =，若以点D 为圆心，DP 为半径的D 与线段AE 只有一个公共点，则所有满足条件的x 的取值范围是 245x =或56x < ．【分析】首先计算圆D 与线段相切时，x 的值，在画出圆D 过E 时，半径r 的值，确定x 的值，半径比这时大时符合题意，根据图形确定x 的取值范围．【解答】解：如图，当D 与AE 相切时，设切点为G ，连接DG ， PD DG x ==，DAG AEB ∠=∠，90AGD B ∠=∠=︒，AGD EBA ∴∆∆∽，∴AD DG AE AB =， ∴654x =， 245x =，当D 过点E 时，如图，D 与线段有两个公共点，连接DE ，此时5PD DE ==，∴当以D 为圆心，DP 为半径的D 与线段AE 只有一个公共点时，x 满足的条件：245x =或56x <；故答案为：245x =或56x <．【点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质．特别注意和线段有一个公共点，不一定必须相切，也可以相交，但其中一个交点在线段外．三．解答题（共7小题，满分78分）19．（10分）计算：（1）2101(2)()(32)2--+--- （2）2232()()a a a ---【分析】（1）先计算乘方、负整数指数幂、零指数幂，再计算加减可得；（2）先计算幂的乘方，再合并同类项即可得．【解答】解：（1）原式4(2)11=+--=；（2）原式2626a a a a =--=-．【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂、幂的乘方、同底数幂的乘法和零指数幂的法则．20．（10分）解一元一次不等式组5532123x x x x +-⎧⎨->⎩，并写出它的整数解 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，即可求出整数解．【解答】解：5532 123x xx x+-⎧⎨->⎩①②解不等式①，得72 x-；解不等式②，得15x<，∴不等式组的解集为7125x-<，则不等式组的整数解是3-，2-，1-，0．【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．（10分）如图，四边形ABCD中，//AD BC，90A∠=︒，CD CB=，过点C作DCB∠的平分线CE交AB于点E，连接DE，过点D作//DF AB，且交CE于F点，连接BF．（1）求证：四边形DEBF是菱形；（2）若5AB=，13BC=，求tan AED∠的值．【分析】（1）证明CDE CBE∆≅∆，根据全等三角形的性质得到ED EB=，DEC BEC∠=∠，根据平行线的性质、等腰三角形的判定定理得到DE DF=，根据菱形的判定定理证明；（2）根据矩形的性质得到90BGD∠=︒，5DG AB==，AD BG=，根据勾股定理求出GC，求出AD，根据勾股定理列方程求出AE，根据正切的定义计算，得到答案．【解答】（1）证明：CE平分DCB∠，DCE BCE∴∠=∠，在CDE∆和CBE∆中，CD CBDCE BCECE CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()CDE CBE SAS∴∆≅∆，ED EB∴=，DEC BEC∠=∠，//DF AB ，DFE BEC ∴∠=∠，DFE DEC ∴∠=∠，DE DF ∴=，DF BE ∴=，又//DF AB ，DE DF =，∴四边形DEBF 为菱形；（2）解：//AD BC ，//AB DF ，∴四边形ABGD 为平行四边形，90A ∠=︒，∴四边形ABGD 为矩形，90BGD ∴∠=︒，5DG AB ==，AD BG =，在Rt DGC ∆中，2212GC CD DG =-=，13121AD BG BC GC ∴==-=-=，设AE x =，则5DE BE x ==-，在Rt ADE ∆中，222DE AE AD =+，即222(5)1x x -=+，解得，125x =， 5tan 12AD AED AE ∴∠==．【点评】本题考查的是菱形的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握菱形的判定定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．22．（10分）某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元．（1）若销售单价为每件60元，求每天的销售利润；（2）要使每天销售这种工艺品盈利1350元，那么每件工艺品售价应为多少元？【分析】（1）根据每天的销售利润=每件的利润⨯每天的销售量，即可求出结论；（2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[1002(50)]x--件，根据每天的销售利润=每件的利润⨯每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解答】解：（1）(6040)[100(6050)2]1600-⨯--⨯=（元)．答：每天的销售利润为1600元．（2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[1002(50)]x--件，依题意，得：(40)[1002(50)]1350x x---=，整理，得：214046750x x-+=，解得：155x=，285x=（不合题意，舍去）．答：每件工艺品售价应为55元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23．（12分）如图，在菱形ABCD中，60ABC∠=︒，M为AD的中点，连接BM，交AC于E，在CB上取一点F，使得CF AE=，连接AF，交BM于G，连接CG．（1）求BGF∠的度数；（2）求AGBG的值；（3）求证：BG CG⊥．【分析】（1）证明()BAE ACF SAS∆≅∆，推出ABE CAF∠=∠可得结论．（2）证明BAG BMA∆∆∽，推出BG AGAB AM=，推出12AG AMBG AB=即可解决问题．（3）想办法证明CBG MBC∆∆∽可得结论．【解答】解：（1）四边形ABCD是菱形，AB BC CD AD∴===，60ABC ADC∠=∠=︒，ABC∴∆，ADC∆都是等边三角形，AB AC∴=，60BAE ACF∠=∠=︒，AE CF =，()BAE ACF SAS ∴∆≅∆，ABE CAF ∴∠=∠，60BGF ABE BAG CAF BAG BAC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒．（2）60BAG ABG ABG CBM ∠+∠=∠+∠=︒，BAG CBM ∴∠=∠，//AD CB ，AMB CBM ∴∠=∠，BAG BMA ∴∠=∠，ABG ABM ∠=∠，BAG BMA ∴∆∆∽， ∴BG AGAB AM =， ∴AG AMBG AB =，1122AM MD AD AB ===， ∴12AGBG =．（3）设AM DM x ==，连接CM ，ACD ∆是等边三角形，CM AD ∴⊥，CM ∴=，//AD CB ，CM BC ∴⊥，90BCM ∴∠=︒，2AD BC x ==，BM ∴=，BAG BMA ∆∆∽，∴AB BM BG AB =， ∴27x x BG =， 47BG x ∴=， ∴27BG BC CB BM ==， CBG CBM ∠=∠，CBG MBC ∴∆∆∽，90BGC BCM ∴∠=∠=︒，BG CG ∴⊥．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．24．（12分）如图，直线23y x c =-+与x 轴交于点(3,0)A ，与y 轴交于点B ，抛物线243y x bx c =-++经过点A ，B ． （1）求点B 的坐标和抛物线的解析式；（2）(,0)M m 为线段OA 上一个动点，过点M 垂直于x 轴的直线与直线AB 和抛物线分别交于点P 、N ．①试用含m 的代数式表示线段PN 的长；②求线段PN 的最大值．【分析】（1）把A 点坐标代入直线解析式可求得c ，则可求得B 点坐标，由A 、B 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）①(,0)M m ，则2(,2)3P m m -+，2410(,2)33N m m m -++，即可求出PN 的长； ②根据二次函数的性质可得线段PN 的最大值．【解答】解：（1）23y x c =-+与x 轴交于点(3,0)A ，与y 轴交于点B ， 02c ∴=-+，解得2c =，(0,2)B ∴，抛物线243y x bx c =-++经过点A ，B ， ∴12302b c c -++=⎧⎨=⎩，解得1032b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线解析式为2410233y x x =-++； （2）①(,0)M m ，则2(,2)3P m m -+，2410(,2)33N m m m -++， 2241024(2)(2)4(03)3333PN m m m m m m ∴=-++--+=-+； ②224434()3332PN m m m =-+=--+， 32m ∴=时，线段PN 有最大值为3． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，考查了待定系数法、函数图象的交点、二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．25．（14分）如图，O 是ABC ∆的外接圆，AB BC =，延长AC 到点D ，使得CD CB =，连接BD 交O 于点E ，过点E 做BC 的平行线交CD 于点F ．（1）求证：AE DE =．（2）求证：EF为O的切线；（3）若5BE=，求弦AC的长．AB=，3【分析】（1）欲证明AE DE∠=∠即可．=，只要证明EAD D（2）欲证明EF是O的切线，只要证明OE EF⊥即可．（3）利用相似三角形的性质求出AD即可解决问题．【解答】（1）证明：CD CB=，∴∠=∠，DBC D又DBC CAE∠=∠，∴∠=∠，D CAE∴=．AE DE（2）证明：22∠=∠+∠=∠=∠ACB DBC D DBC CAE又AB BC=，∴∠=∠BAC ACBBAC CAE∴∠=∠，2∴∠=∠CAE BAE∴点E为弧BEC的中点，连接OE，则OE BC⊥，又//EF BC，OE EF∴⊥，∴为圆O的切线．EF（3）解：在ABE∆中，∆和DBABAE D ABE DBA∠=∠∠=∠，∽，ABE DBA∴∆∆∴AB DB DA EB AB AE==，2AB BE DB∴=，∴253BD=，2516333DE BD BE=-=-=，由（1）得，163 AE DE==，AB DA EB AE=，∴809DA=，5 CD CB AB===，∴359 AC DA CD=-=．【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．。

2021 年上海市普陀区中考数学一模试卷一、选择题（每题 4 分）1．（4 分）“相似的图形”是（）A．形状相同的图形B．大小不相同的图形C．能够重合的图形D．大小相同的图形2．（4 分）下列函数中，y 关于x 的二次函数是（）2A．y=2x+1 B．y=2x（x+1）C．y=x2 D．y=（x﹣2）2﹣x23．（4 分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC 分别交l1、l2、l3与点A、B、C，直线DF 分别交l1、l2、l3与点D、E、F，AC 与DF 相交于点H，如果AH=2，BH=1，BC=5，D⸲那么⸲F的值等于（）1 12 3A．B．C．D．5 3 5 54．（4 分）抛物线y=﹣x2+bx+c 上部分点的横坐标x，纵坐标y 的对应值如下表所示：从上表可知，下列说法中，错误的是（）A．抛物线于x 轴的一个交点坐标为（﹣2，0）B．抛物线与y 轴的交点坐标为（0，6）C．抛物线的对称轴是直线x=0D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的5．（4 分）如图，在四边形ABCD 中，如果∠ADC=∠BAC，那么下列条件中不能判定△ADC 和△BAC 相似的是（）x …﹣2 ﹣1 0 1 2 …y …0 4 6 6 4 …A．∠DAC=∠ABC B．AC 是∠BCD 的平分线AD DtC．AC2=BC•CD D．AB=At6．（4 分）下列说法中，错误的是（）A．长度为1 的向量叫做单位向量‹‹‹‹B．如果k≠0，且a≠0，那么k a的方向与a的方向相同‹‹‹‹C．如果k=0 或a=0，那么k a=0‹a5 ‹‹1 ‹‹‹‹D．如果=2 c，b=2 c，其中c是非零向量，那么a∥b二、填空题（每题 2 分）xﾐ፵=．7．（2 分）如果x：y=4：3，那么፵‹‹‹8．（2 分）计算：3a﹣4（a+b）=．9．（2 分）如果抛物线y=（m﹣1）x2的开口向上，那么m 的取值范围是．10．（2 分）抛物线y=4x2﹣3x 与y 轴的交点坐标是．11．（2 分）若点A（3，n）在二次函数y=x2+2x﹣3 的图象上，则n 的值为．12．（2 分）已知线段AB 的长为10 厘米，点P 是线段AB 的黄金分割点，那么较长的线段AP 的长等于厘米．13．（2 分）利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5 厘米的一个等边三角形放大成边长为20 厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是．14．（2 分）已知点P 在半径为5 的⊙O 外，如果设OP=x，那么x 的取值范围是．15．（2 分）如果港口A 的南偏东52°方向有一座小岛B，那么从小岛B 观察港口A 的方向是．， 表示向量t ⸲，Q ⸲（请直接写出结论）16．（2 分）在半径为 4 厘米的圆面中，挖去一个半径为 x 厘米的圆面，剩下部分的面积为 y 平方厘米，写出 y 关于 x 的函数解析式： （结果保留π，不要求写出定义域）17．（2 分）如果等腰三角形的腰与底边的比是 5：6，那么底角的余弦值等于．18．（2 分）如图，DE ∥BC ，且过△ABC 的重心，分别与 AB 、AC 交于点 D 、E ，Dt 点 P 是线段 DE 上一点，CP 的延长线交 AB 于点 Q ，如果 D ⸲ 1= ，那么 S △DPQ ：S △CPE 4的值是 ．三、解答题19．（6 分）计算：cos 245°+c ݋s 30°﹣ 3•tan30°． 2s O G R 0°+120．（8 分）如图，已知 AD 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，AD ⊥BC ，垂足为点E ，AE=BC=16，求⊙O 的直径．‹‹ ‹21．（10 分）如图，已知向量0A ，0B ，0t ．‹‹ ‹‹‹（1）求做：向量0t 分别在0A ，0B 方向上的分向量0D ，0⸲：（不要求写作法， ‹‹但要在图中明确标出向量0D 和0⸲）．‹ ‹ ‹ ‹（2）如果点 A 是线段 OD 的中点，联结 AE 、交线段 OP 于点 Q ，设0A =a ，0t =p ， ‹a ‹p ‹‹那么试用22．（10 分）一段斜坡路面的截面图如图所示，BC⊥AC，其中坡面AB 的坡比i1=1：2，现计划削坡放缓，新坡面的坡角为原坡面坡脚的一半，求新坡面AD 的坡比i2（结果保留根号）23．（12 分）已知：如图，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠CDA，AB=DC= a b，CE=a，AC=b，求证：（1）△DEC∽△ADC；（2）AE•AB=BC•DE．24．（12 分）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，点A（4，0）是抛物线y=ax2+2x ﹣c 上的一点，将此抛物线向下平移6 个单位后经过点B（0，2），平移后所得的新抛物线的顶点记为C，新抛物线的对称轴与线段AB 的交点记为P．（1）求平移后所得到的新抛物线的表达式，并写出点 C 的坐标；（2）求∠CAB 的正切值；（3）如果点Q 是新抛物线对称轴上的一点，且△BCQ 与△ACP 相似，求点Q 的坐标．25．（14 分）如图，在直角三角形 ABC 中，∠ACB=90°，AB=10，sinB= 3，点 O 是5AB 的中点，∠DOE=∠A ，当∠DOE 以点 O 为旋转中心旋转时，OD 交 AC 的延长线于点 D ，交边 CB 于点 M ，OE 交线段 BM 于点 N ． （1）当 CM=2 时，求线段 CD 的长；（2）设 CM=x ，BN=y ，试求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出定义域； （3）如果△OMN 是以 OM 为腰的等腰三角形，请直接写出线段 CM 的长．2017 年上海市普陀区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题 4 分）1．（4 分）“相似的图形”是（）A．形状相同的图形B．大小不相同的图形C．能够重合的图形D．大小相同的图形【分析】根据相似形的定义直接进行判断即可．【解答】解：相似图形是形状相同的图形，大小可以相同，也可以不同，故选：A．2．（4 分）下列函数中，y 关于x 的二次函数是（）2A．y=2x+1 B．y=2x（x+1）C．y=x2 D．y=（x﹣2）2﹣x2【分析】根据二次函数的定义，可得答案．【解答】解：A、y=2x+1 是一次函数，故 A 错误；B、y=2x（x+1）是二次函数，故B 正确；2C、y=x2不是二次函数，故 C 错误；D、y=（x﹣2）2﹣x2 是一次函数，故 D 错误；故选：B．3．（4 分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC 分别交l1、l2、l3与点A、B、C，直线DF 分别交l1、l2、l3与点D、E、F，AC 与DF 相交于点H，如果AH=2，BH=1，BC=5，D⸲那么⸲F的值等于（）1 12 3A．B．C．D．5 3 5 55 5【分析】根据平行线分线段成比例，可以解答本题． 【解答】解：∵直线 l 1∥l 2∥l 3， D ⸲ = AB ∴⸲F Bt ， ∵AH=2，BH=1，BC=5， ∴AB=AH +BH=3， AB =3 ∴Bt ， D ⸲ =3 ∴⸲F， 故选：D ．4．（4 分）抛物线 y=﹣x 2+bx +c 上部分点的横坐标 x ，纵坐标 y 的对应值如下表所示：从上表可知，下列说法中，错误的是（）A ．抛物线于 x 轴的一个交点坐标为（﹣2，0）B ．抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，6）C ．抛物线的对称轴是直线 x=0D ．抛物线在对称轴左侧部分是上升的【分析】由表可知抛物线过点（﹣2，0）、（0，6）可判断 A 、B ；当 x=0 或 x=1 时，y=6 可求得其对称轴，可判断 C ；由表中所给函数值可判断 D ． 【解答】解： 当 x=﹣2 时，y=0， ∴抛物线过（﹣2，0），∴抛物线与 x 轴的一个交点坐标为（﹣2，0），故 A 正确；当 x=0 时，y=6，∴抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，6），故 B 正确； 当 x=0 和 x=1 时，y=6，1∴对称轴为x= ，故 C 错误；21当x＜时，y 随x 的增大而增大，2∴抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故 D 正确；故选：C．5．（4 分）如图，在四边形ABCD 中，如果∠ADC=∠BAC，那么下列条件中不能判定△ADC 和△BAC 相似的是（）A．∠DAC=∠ABC B．AC 是∠BCD 的平分线AD DtC．AC2=BC•CD D．AB=At【分析】已知∠ADC=∠BAC，则A、B 选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C 选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似；D选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定．【解答】解：在△ADC 和△BAC 中，∠ADC=∠BAC，如果△ADC∽△BAC，需满足的条件有：①∠DAC=∠ABC 或AC 是∠BCD 的平分线；AD Dt；②AB= At故选：C．6．（4 分）下列说法中，错误的是（）A．长度为1 的向量叫做单位向量‹‹‹‹B．如果k≠0，且a≠0，那么k a的方向与a的方向相同‹‹‹‹C．如果k=0 或a=0，那么k a=0‹a5 ‹‹1 ‹‹‹‹D．如果=2 c，b=2 c，其中c是非零向量，那么a∥b3 【分析】由平面向量的性质来判断选项的正误．【解答】解：A 、长度为 1 的向量叫做单位向量，故本选项错误；‹ ‹ ‹ ‹B 、当 k ＞0 且a ≠0时，那么 k a 的方向与a 的方向相同，故本选项正确； ‹ ‹‹ ‹C 、如果 k=0 或a =0，那么 k a =0，故本选项错误；‹a5 ‹ ‹ 1 ‹ ‹‹‹D 、如果 =2 c ，b =2c ，其中c 是非零向量，那么向量 a 与向量 b 共线，即a ∥b ， 故本选项错误； 故选：B ．二、填空题（每题 2 分）x ﾐ፵ 17．（2 分）如果 x ：y=4：3，那么 = ． 3【分析】根据比例的性质用 x 表示 y ，代入计算即可． 【解答】解：∵x ：y=4：3，4 ∴x= y ，3 x ﾐ፵ 4፵ﾐ፵ 1 ∴3፵ = ፵= ， 1故答案为： ．3‹‹ ‹‹‹8．（2 分）计算：3a ﹣4（a +b ）= ﹣a ﹣4b ． 【分析】根据向量加法的运算律进行计算即可．‹‹ ‹‹‹‹‹‹【解答】解：3a ﹣4（a +b ）=3a ﹣4a ﹣4b =﹣a ﹣4b ． ‹‹故答案是：﹣a ﹣4b ．9．（2 分）如果抛物线 y=（m ﹣1）x 2 的开口向上，那么 m 的取值范围是 m ＞1 ． 【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数 m ﹣1＞0． 【解答】解：因为抛物线 y=（m ﹣1）x 2 的开口向上， 所以 m ﹣1＞0，即 m ＞1，故 m 的取值范围是 m ＞1．፵10．（2 分）抛物线y=4x2﹣3x 与y 轴的交点坐标是（0，0）．【分析】令x=0 可求得y=0，可求得答案．【解答】解：在y=4x2﹣3x 中，令x=0 可得y=0，∴抛物线与y 轴的交点坐标为（0，0），故答案为：（0，0）．11．（2 分）若点A（3，n）在二次函数y=x2+2x﹣3 的图象上，则n 的值为12 ．【分析】将A（3，n）代入二次函数的关系式y=x2+2x﹣3，然后解关于n 的方程即可．【解答】解：∵A（3，n）在二次函数y=x2+2x﹣3 的图象上，∴A（3，n）满足二次函数y=x2+2x﹣3，∴n=9+6﹣3=12，即n=12，故答案是：12．12．（2 分）已知线段AB 的长为10 厘米，点P 是线段AB 的黄金分割点，那么较长的线段AP 的长等于 5 5﹣5 厘米．5ﾐ1【分析】根据黄金比值是2 计算即可．【解答】解：∵点P 是线段AB 的黄金分割点，AP＞BP，5ﾐ1∴AP=2 AB=（5 5﹣5）厘米，故答案为：5 5﹣5．13．（2 分）利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5 厘米的一个等边三角形放大成边长为20 厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是1：4 ．【分析】根据等边三角形周长的比是三角形边长的比解答即可．【解答】解：因为原图中边长为5cm 的一个等边三角形放大成边长为20cm 的等边三角形，所以放大前后的两个三角形的周长比为5：20=1：4，故答案为：1：4．14．（2 分）已知点P 在半径为5 的⊙O 外，如果设OP=x，那么x 的取值范围是x＞5 ．【分析】根据点在圆外的判断方法得到x 的取值范围．【解答】解：∵点P 在半径为 5 的⊙O 外，∴OP＞5，即x＞5．故答案为x＞5．15．（2 分）如果港口A 的南偏东52°方向有一座小岛B，那么从小岛B 观察港口A 的方向是北偏西52°．【分析】根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，即可求解．【解答】解：如图，∵∠1=∠2=52°，∴从小岛B 观察港口A 的方向是北偏西52°．故答案为：北偏西52°．16．（2 分）在半径为4 厘米的圆面中，挖去一个半径为x 厘米的圆面，剩下部分的面积为y 平方厘米，写出y 关于x 的函数解析式：y=﹣πx2+16π（结果保留π，不要求写出定义域）【分析】根据圆的面积公式，可得答案．【解答】解：由题意得在半径为4 厘米的圆面中，挖去一个半径为x 厘米的圆面，剩下部分的面积为y 平方厘米，y=﹣πx2+16π，故答案为：y=﹣πx2+16π．= = = = 317．（2 分）如果等腰三角形的腰与底边的比是5：6，那么底角的余弦值等于 5 ．【分析】如图，△ABC 中，AB=AC，AC：BC=5：6，作AE⊥BC 于E，则BE=EC，⸲t 1Bt3在Rt△AEC 中，根据cos∠C= 2 ，即可解决问题．At At 5【解答】解：如图，△ABC 中，AB=AC，AC：BC=5：6，作AE⊥BC 于E，则BE=EC，，⸲t 1Bt3在Rt△AEC 中，cos∠C= 2At At 53故答案为．518．（2 分）如图，DE∥BC，且过△ABC 的重心，分别与AB、AC 交于点D、E，Dt 点P 是线段DE 上一点，CP 的延长线交AB 于点Q，如果D⸲1= ，那么S△DPQ：S△CPE 4的值是1：15 ．D⸲【分析】连接QE，由DE∥BC、DE 过△ABC 的重心即可得出Bt2= ，设DE=4m，3Dt 则BC=6m，结合D⸲1= 即可得出DP=m，PE=3m，由△DPQ 与△QPE 有相同的高即4S ODtQ Dt 1可得出S O Q t⸲=t⸲=3，再根据DE∥BC，利用平行线的性质即可得出∠QDP=∠QBC，结合公共角∠DQP=∠BQC 即可得出△QDP∽△QBC，依据相似三角形的性质即可Qt Dt 得出Qt=Bt1=R，进而得出Qt 1tt=5，结合三角形的面积即可得出S O Q t⸲S O t t⸲Qt=tt1=5，将，R 5 S ODtQ S OQt ⸲S OQt ⸲与S Ott ⸲相乘即可得出结论． 【解答】解：连接 QE ，如图所示．∵DE ∥BC ，DE 过△ABC 的重心，D ⸲ 2 ∴ = ． Bt 3设 DE=4m ，则 BC=6m ．Dt 1 ∵ = ， D ⸲ 4∴DP=m ，PE=3m ，S ODtQ Dt 1∴S OQt ⸲=t ⸲=3． ∵DE ∥BC ，∴∠QDP=∠QBC ，∵∠DQP=∠BQC ，∴△QDP ∽△QBC ，Qt ∴Qt Qt Dt 1 =Bt = ， 1∴tt = ， S OQt ⸲ Qt 1∴S Ott ⸲=tt =5， S ODtQ S ODtQ S OQt ⸲ 1 1 1∴S Ott ⸲ =S OQt ⸲•S Ott ⸲=3×5=15．故答案为：1：15．三、解答题19．（6 分）计算：cos 245°+ c ݋s 30°﹣ 3•tan30°． 2s O G R 0°+13ﾐ324【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．2【解答】解：原式=（32 2 ﹣3×1= + ﹣122 ）+ 2×3+1 31ﾐ 3= 4 ．20．（8 分）如图，已知AD 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，AD⊥BC，垂足为点E，AE=BC=16，求⊙O 的直径．【分析】连接OB，根据垂径定理求出BE，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．【解答】解：连接OB，设OB=OA=R，则OE=16﹣R，∵AD⊥BC，BC=16，1∴∠OEB=90°，BE= BC=8，2由勾股定理得：OB2=OE2+BE2，R2=（16﹣R）2+82，解得：R=10，即⊙O 的直径为20．3， 表示向量t ⸲，Q ⸲（请直接写出结论） ⸲ 2 ‹‹ ‹ 21．（10 分）如图，已知向量0A ，0B ，0t ． ‹ ‹‹ ‹ ‹ （1）求做：向量0t 分别在0A ，0B 方向上的分向量0D ，0⸲：（不要求写作法，‹ ‹ 但要在图中明确标出向量0D 和0⸲）．‹ ‹ ‹ ‹（2）如果点 A 是线段 OD 的中点，联结 AE 、交线段 OP 于点 Q ，设0A =a ，0t =p ， ‹a ‹p ‹ ‹【分析】（1）根据向量加法的平行四边形法则，分别过 P 作 OA 、OB 的平行线， 交 OA 于 D ，交 OB 于 E ；AQ （2）易得△OAQ ∽△PEQ ，根据相似三角形对应边成比例得出 = Q 0Q 0A 1 tQ =t ⸲= ，那 ‹ ‹ ‹‹ 1 ‹ 1 ‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹ 么t ⸲=2A0=﹣2a ，0Q =3 0t =3p ．再求出0⸲=Dt =p ﹣2a ，然后根据Q ⸲=0⸲﹣0Q 即可求解．【解答】解：（1）如图，分别过 P 作 OA 、OB 的平行线，交 OA 于 D ，交 OB 于 E ，‹‹ ‹ ‹ ‹ 则向量0t 分别在0A ，0B 方向上的分向量是0D ，0⸲；（2）如图，∵四边形 ODPE 是平行四边形，∴PE ∥DO ，PE=DO ，∴△OAQ ∽△PEQ ，AQ 0Q 0A ∴ = = ， ⸲Q tQ t ⸲那么试用2∵点 A 是线段 OD 的中点， 1 1 ∴OA= OD= PE ， 2 2 AQ 0Q 0A 1 ∴ = = = ， ⸲Q tQ t ⸲ 2 ‹ ‹ ‹ ‹ 1 ‹ 1‹ ∴t ⸲=2A0=﹣2a ，0Q =3 0t =3 p ． ‹ ‹‹ ‹ ‹ ∵Dt =0t ﹣0D =p ﹣2a ，‹‹ ‹ ‹ ∴0⸲=Dt =p ﹣2a ， ‹ ‹ ‹ ‹‹ 1 ‹ 2 ‹ ‹ ∴Q ⸲=0⸲﹣0Q =p ﹣2a ﹣ 3 p =3 p ﹣2a ．22．（10 分）一段斜坡路面的截面图如图所示，BC ⊥AC ，其中坡面 AB 的坡比 i 1=1： 2，现计划削坡放缓，新坡面的坡角为原坡面坡脚的一半，求新坡面 AD 的坡比 i 2（结果保留根号）Bt 【分析】作 DE ⊥AB ，可得∠BDE=∠BAC ，即可知 tan ∠BAC=tan ∠BDE ，即A t B ⸲ 1=D ⸲= ， 设 DC=2x ，由角平分线性质得 DE=DC=2x ，再分别表示出 BD 、AC 的长，最后由坡比定义可得答案．【解答】解：过点 D 作 DE ⊥AB 于点 E ，∴∠DEB=∠C=90°，∵∠B=∠B，∴∠BDE=∠BAC，Bt B⸲1∴tan∠BAC=tan∠BDE，即设DC=2x，= = ，At D⸲ 2∵∠DAC=∠DAE，∠DEB=∠C=90°，∴DE=DC=2x，则BE=x，BD= B⸲2 + D⸲2= 5x，∴BC=CD+BD=（2+ 5）x，∴AC=2BC=（4+2 5）x，tD∴新坡面AD 的坡比i = =1：（5 + 2）．2 At=23．（12 分）已知：如图，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠CDA，AB=DC= a b，CE=a，AC=b，求证：（1）△DEC∽△ADC；（2）AE•AB=BC•DE．【分析】（1）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，据此进行证明即可；（2）先根据相似三角形的性质，得出∠BAC=∠EDA，D⸲AB=ADAt，再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行证明即可．【解答】证明：（1）∵DC= a b，CE=a，AC=b，∴CD2=CE×CA，t⸲ tD即= ，tD tA又∵∠ECD=∠DCA，2x(4+2 5)x∴△DEC∽△ADC；（2）∵△DEC∽△ADC，∴∠DAE=∠CDE，∵∠BAD=∠CDA，∴∠BAC=∠EDA，∵△DEC∽△ADC，D⸲ Dt∴= ，AD At∵DC=AB，D⸲ AB D⸲ AD∴= ，即= ，AD At AB At∴△ADE∽△CAB，A⸲ D⸲∴= ，tB AB即AE•AB=BC•DE．24．（12 分）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，点A（4，0）是抛物线y=ax2+2x ﹣c 上的一点，将此抛物线向下平移6 个单位后经过点B（0，2），平移后所得的新抛物线的顶点记为C，新抛物线的对称轴与线段AB 的交点记为P．（1）求平移后所得到的新抛物线的表达式，并写出点 C 的坐标；（2）求∠CAB 的正切值；（3）如果点Q 是新抛物线对称轴上的一点，且△BCQ 与△ACP 相似，求点Q 的坐标．【分析】（1）先根据点B（0，2）向上平移6 个单位得到点B'（0，8），将A（4，2 3 2 30），B'（0，8）分别代入 y=ax 2+2x ﹣c ，得原抛物线为 y=﹣x 2+2x +8，向下平移 6 个单位后所得的新抛物线为 y=﹣x 2+2x +2，据此求得顶点 C 的坐标；（2）根据 A （4，0），B （0，2），C （1，3），得到 AB 2=20，AC 2=18，BC 2=2，进而得出 AB 2=AC 2+BC 2，根据∠ACB=90°，求得 tan ∠CAB 的值即可；（3）先设抛物线的对称轴 x=1 与 x 轴交于点 H ，根据 t ݋ B0 1 = = ，求得 PH= 1 3 AH= ， A ݋ A0 2 2 2 3 进而得到 P （1， ），再由 HA=HC=3，得∠HCA=45°，根据当点 Q 在点 C 下方时， 2∠BCQ=∠ACP ，因此△BCQ 与△ACP 相似分两种情况，根据相似三角形的性质即可得到点 Q 的坐标．【解答】解：（1）点 B （0，2）向上平移 6 个单位得到点 B'（0，8），将 A （4，0），B'（0，8）分别代入 y=ax 2+2x ﹣c ，得1Ra + b + c = 0， c = b解得 a =ﾐ 1， c = b∴原抛物线为 y=﹣x 2+2x +8，向下平移 6 个单位后所得的新抛物线为 y=﹣x 2+2x +2， ∴顶点 C 的坐标为（1，3）；（2）如图 2，由 A （4，0），B （0，2），C （1，3），得AB 2=20，AC 2=18，BC 2=2，∴AB 2=AC 2+BC 2，∴∠ACB=90°，∴tan ∠CAB= Bt 1 At = = ；3 23 3 2（3）如图 3，设抛物线的对称轴 x=1 与 x 轴交于点 H ，t ݋ B0 1 1 3 由 = = ，得 PH= AH= ， A ݋ A0 2 2 2 3 ∴P （1， ）， 2由 HA=HC=3，得∠HCA=45°，∴当点 Q 在点 C 下方时，∠BCQ=∠ACP ，因此△BCQ 与△ACP 相似分两种情况：tQ tA tQ ①如图 3，当 解得 CQ=4，= 时， = ， tB tt 2 2此时 Q （1，﹣1）；tQ tt3 tQ2②如图 4，当 1 = 时， = ， tB tA 2解得 CQ= ， 2 5 此时 Q （1， ）． 225．（14 分）如图，在直角三角形 ABC 中，∠ACB=90°，AB=10，sinB= 3 ，点 O 是 5AB 的中点，∠DOE=∠A ，当∠DOE 以点 O 为旋转中心旋转时，OD 交 AC 的延长线于点 D ，交边 CB 于点 M ，OE 交线段 BM 于点 N ．（1）当 CM=2 时，求线段 CD 的长；（2）设 CM=x ，BN=y ，试求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出定义域；（3）如果△OMN 是以 OM 为腰的等腰三角形，请直接写出线段 CM 的长．【分析】（1）如图 1 中，作 OH ⊥BC 于 H ．只要证明△DCM ≌△OHM ，即可得出CD=OH=3．（2）如图 2 中，作 NG ⊥OB 于 G ．首先证明∠1=∠2，根据 tan ∠1=tan ∠2，可 M݋得0݋N0 =00，由此即可解决问题． （3）分两种情形讨论即可①如图 3 中，当 OM=ON 时，OH 垂直平分 MN ，②如图 4 中，当 OM=MN 时，分别求解即可．【解答】解：（1）如图 1 中，作 OH ⊥BC 于 H ．3在Rt△ABC 中，∵AB=10，sinB= ，5∴AC=6，BC=8，∵AO=OB，OH∥AC，∴CH=HB=4，OH=3，∵CM=2，∴CM=HM=2，在△DCM 和△OHM 中，²tMD = ²0M݋²DtM = ²0݋M = b0°，tM = M݋∴△DCM≌△OHM，∴CD=OH=3．（2）如图 2 中，作NG⊥OB 于G．∵∠HOB=∠A=∠MON，፵555∴∠1=∠2，3在Rt△BNG 中，BN=y，sibB= ，53 4∴GN=5y，BG=5y，∵tan∠1=tan∠2，M݋∴݋N0=00，4ﾐx∴33=5ﾐ4፵，∴y=100ﾐ25x25ﾐ4x，（0＜x＜4）．（3）①如图 3 中，当OM=ON 时，OH 垂直平分MN，∴BN=CM=x，∵△OMH≌△ONG，∴NG=HM=4﹣x，3∵sinB= ，54ﾐx 3∴x = ，5∴CM=x= ．2②如图 4 中，当OM=MN 时．连接CO，∵OA=OB，OM=MN，∴CO=OA=OB，∴∠MON=∠MNO=∠A=∠OCA，∴△MON∽△OAC，∴∠AOC=∠OMN，∴∠BOC=∠CMO，∵∠B=∠B，∴△CMO∽△COB，t0 tM∴= ，tB t0∴8x=52，25∴x=b ．5 25 综上所述，△OMN 是以OM 为腰的等腰三角形时，线段CM 的长为或．2 b。

一：旋转类（2021年宝山18）等腰△ABC 中，4C=3C, ZACB=90°，点E 、F 分别是边CA 、CB 的中点•己知点P 在线段EF 上,联结AP,将线段AP 绕点P 逆时针旋转90°得到线段DP.如果点P 、D 、C 在同一直线上，那么 tan /CAP =答案：V2-1（2021 年奉贤 18）如图，在 RtAABC 中，ZACB=90°, AC=3. BC=4, CD 是ZV1BC 的角平分线，将 RtAABC 绕点A 旋转,如果点C 落在射线CD 上，点B 落在点E 处，联结QE,那么ZAED 的正切值为 答案：I （2021 年嘉泄 18）已知在Z L ABC 中，ZACB = 90°, AB = 10,讪卑，把3C 绕着点C 按顺时针方向旋转"<0<«<360）'将点人B 的对应点分别记为点 A'、如果△AA'C 为直角三角形，那么点A 与点3’的距离为7（2⑵年静安⑻在RC 磁中，ZC=90o, AS, tanB = -（如图）‘将MBC 绕点C 旋转后,点A 落CD在斜边AB 上的点/T,点B 落在点与边BC 相交于点D,那么一的值为答案：半（2021年闵行18）如图，在RtAABC 中，ZACB = 90°, AB = 3, tanB = l ・将厶ABC 绕着点A 顺时针旋转 2后，点B 恰好落在射线CA 上的点D 处，点C 落在点E 处，射线DE 与边AB 相交于点八 那么BF 二BB答案:3-V5（2021年杨浦18）如图，已知在△ABC中，ZB=45°, ZC=60° ,将AABC绕点A旋转，点B、C分别落在点5、0处，如果BBxllAC.联结Cib交边AB于点D 那么竺的值为B、D答案：血-晅口、• 2二：翻折类（2021年崇明18）在ZiABC■中.AB = 4近,ZB = 45°, ZC = 60°.点D为线段AB的中点，点E在边AC 上，连结DE,沿直线将折叠得到△AOE.连结A/V,当AK丄AC时，则线段/W的长为・答案：2^/6（2021年虹口18）如图，在Rt^ABC中，ZC=90% AC=6, BC=8. D是BC的中点，点E在边AB上,将△BDE沿直线D£翻折，使得点B落在同一平面内的点F处，线段BQ交边AB于点F,联结当MBF是直角三角形时，BE的长为________答案：2畔（2021年普陀18）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，将ZkABE沿着直线AE翻折得到△A/E 点B 的对应点F恰好落在线段DE±,线段AF的延长线交边CD于点G,如果BE: EC = 3:2,那么AF：FG的值等于______答案：-4（2021年松江18）如图，已知矩形纸片ABCD 点E在边AB上，且BE=1,将ACBE沿直线C£翻折，使点B落在对角线AC上的点F处，联结DF.如果点从F、E在同一直线上，则线段AE的长为.答案:三：其他类（2021年黄浦18）已知一个矩形的两邻边长之比为1 ： 2.5, 一条平行于边的直线将该矩形分为两个小矩形,如果所得两小矩形相似，那么这两个小矩形的相似比为 _______ ・答案：1, 2, |（2021年金山18）已知在RtAABC中，ZC = 90°，3C=1, AC = 2,以点C为直角顶点的RtADCE的顶点。

2021年徐汇区中考数学一模试卷一、选择题：〔本大题一一共6题，每一小题4分，满分是24分〕【以下各题的四个选项里面，有且只有一个选项是正确的】1．假如2x=3y，那么以下各式中正确的选项是〔〕A． =B． =3 C． = D． =2．假如一斜坡的坡比是1：2.4，那么该斜坡坡角的余弦值是〔〕A．B．C．D．3．假如将某一抛物线向右平移2个单位，再向上平移2各单位后所得新抛物线的表达式是y=2〔x﹣1〕2，那么原抛物线的表达式是〔〕A．y=2〔x﹣3〕2﹣2 B．y=2〔x﹣3〕2+2 C．y=2〔x+1〕2﹣2 D．y=2〔x+1〕2+2 4．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE，那么以下条件中不能判断△ADE和△ABC相似的是〔〕A．DE∥BC B．∠AED=∠B C．AE：AD=AB：AC D．AE：DE=AC：BC5．一飞机从间隔地面3000米的高空测得一地面监测点的俯角是60°，那么此时飞机与监测点的间隔是〔〕A．6000米B．1000米C．2000米D．3000米6．二次函数y=﹣2x2+4x﹣3，假如y随x的增大而减小，那么x的取值范围是〔〕A．x≥1 B．x≥0 C．x≥﹣1 D．x≥﹣2二、填空题：〔本大题一一共12题，每一小题4分，满分是48分〕7．线段a=9，c=4，假如线段b是a、c的比例中项，那么b= ．8．点C是线段AB延长线的点，=， =，那么= ．9．如图，AB∥CD∥EF，假如AC=2，AE=5.5，DF=3，那么BD= ．10．假如两个相似三角形的对应中线比是：2，那么它们的周长比是．11．假如点P是线段AB的黄金分割点〔AP＞BP〕，那么请你写出一个关于线段AP、BP、AB 之间的数量关系的等式，你的结论是：．12．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，假如CD=4，BD=3，那么∠A的正弦值是．13．正方形ABCD的边长为3，点E在边CD的延长线上，连接BE交边AD于F，假如DE=1，那么AF= ．14．抛物线y=ax2﹣4ax与x轴交于点A、B，顶点C的纵坐标是﹣2，那么a= ．15．如图，矩形ABCD的四个顶点正好落在四条平行线上，并且从上到下每两条平行线间的间隔都是1，假如AB：BC=3：4，那么AB的长是．16．在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于O，假如△BOC、△ACD的面积分别是9和4，那么梯形ABCD的面积是．17．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=5，BC=3，CD是∠ACB的平分线，将△ABC沿直线CD 翻折，点A落在点E处，那么AE的长是．18．如图，在▱ABCD中，AB：BC=2：3，点E、F分别在边CD、BC上，点E是边CD的中点，CF=2BF，∠A=120°，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，那么的值是．三、解答题：〔本大题一一共7题，第19-22题每一小题10分，第23、24题每一小题12分，第25题14分，满分是78分〕19．计算：2sin60°﹣|cot30°﹣cot45°|+．20．将抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，顶点为D．求：〔1〕点B、C、D坐标；〔2〕△BCD的面积．21．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=4，AD=3，AB⊥AC，AC平分∠DCB，过点DE∥AB，分别交AC、BC于F、E，设=， =．求：〔1〕向量〔用向量、表示〕；〔2〕tanB的值．22．如图，一艘海轮位于小岛C的南偏东60°方向，间隔小岛120海里的A处，该海轮从A处正北方向航行一段间隔后，到达位于小岛C北偏东45°方向的B处．〔1〕求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短间隔〔记过保存根号〕；〔2〕假如该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间是〔结果准确到0.1小时〕．〔参考数据： =1.41， =1.73〕23．如图，△ABC中，点D在边BC上，∠DAB=∠B，点E在边AC上，满足AE•CD=AD•CE．〔1〕求证：DE∥AB；〔2〕假如点F是DE延长线上一点，且BD是DF和AB的比例中项，联结AF．求证：DF=AF．24．如图，抛物线y=﹣x2+bx+3与x轴相交于点A和点B〔点A在点B的左侧〕，与y轴交于点C，且OB=OC，点D是抛物线的顶点，直线AC和BD交于点E．〔1〕求点D的坐标；〔2〕联结CD、BC，求∠DBC余切值；〔3〕设点M在线段CA延长线，假如△EBM和△ABC相似，求点M的坐标．25．如图，△ABC中，AB=AC=3，BC=2，点D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC，交边AC 于点E，点Q是线段DE上的点，且QE=2DQ，连接BQ并延长，交边AC于点P．设BD=x，AP=y．〔1〕求y关于x的函数解析式及定义域；〔2〕当△PQE是等腰三角形时，求BD的长；〔3〕连接CQ，当∠CQB和∠CBD互补时，求x的值．2021年徐汇区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：〔本大题一一共6题，每一小题4分，满分是24分〕【以下各题的四个选项里面，有且只有一个选项是正确的】1．假如2x=3y，那么以下各式中正确的选项是〔〕A． =B． =3 C． = D． =【考点】比例的性质．【专题】推理填空题．【分析】根据比例的性质逐项判断，判断出各式中正确的选项是哪个即可．【解答】解：∵2x=3y，∴=，∴选项A不正确；∵2x=3y，∴=，∴==3，∴选项B正确；∵2x=3y，∴=，∴==，∴选项C不正确；∵2x=3y，∴=，∴==，∴∴选项D不正确．应选：B．【点评】此题主要考察了比例的性质和应用，要纯熟掌握．2．假如一斜坡的坡比是1：2.4，那么该斜坡坡角的余弦值是〔〕A．B．C．D．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】根据坡比=坡角的正切值，设竖直直角边为5x，程度直角边为12x，由勾股定理求出斜边，进而可求出斜坡坡角的余弦值．【解答】解：如下图：由题意，得：tanα=i==，设竖直直角边为5x，程度直角边为12x，那么斜边==13x，那么cosα==．应选D．【点评】此题主要考察坡比、坡角的关系以及勾股定理；熟记坡角的正切等于坡比是解决问题的关键．3．假如将某一抛物线向右平移2个单位，再向上平移2各单位后所得新抛物线的表达式是y=2〔x﹣1〕2，那么原抛物线的表达式是〔〕A．y=2〔x﹣3〕2﹣2 B．y=2〔x﹣3〕2+2 C．y=2〔x+1〕2﹣2 D．y=2〔x+1〕2+2 【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据图象反向平移，可得原函数图象，根据图象左加右减，上加下减，可得答案．【解答】解：一条抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线的表达式为y=2〔x﹣1〕2，抛物线的表达式为y=2〔x﹣1〕2，左移2个单位，下移2个单位得原函数解析式y=2〔x+1〕2﹣2，应选：C．【点评】此题考察了二次函数图象与几何变换，利用了图象左加右减，上加下减的规律．4．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE，那么以下条件中不能判断△ADE和△ABC相似的是〔〕A．DE∥BC B．∠AED=∠B C．AE：AD=AB：AC D．AE：DE=AC：BC【考点】相似三角形的断定．【分析】根据题意画出图形，再由相似三角形的断定定理进展解答即可．【解答】解：如图，A、∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，故本选项错误；B、∵∠AED=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，故本选项错误；C、∵AE：AD=AB：AC，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，故本选项错误；D、AE：DE=AC：BC不能使△ADE和△ABC相似，故本选项正确．应选D．【点评】此题考察了相似三角形的断定，属于根底题，关键是掌握相似三角形的几种断定定理．5．一飞机从间隔地面3000米的高空测得一地面监测点的俯角是60°，那么此时飞机与监测点的间隔是〔〕A．6000米B．1000米C．2000米D．3000米【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】根据题意可构造直角三角形，利用所给角的正弦函数即可求解．【解答】解：如下图：由题意得，∠CAB=60°，BC=3000米，在Rt△ABC中，∵sin∠A=，∴AC===2000米．应选C．【点评】此题考察理解直角三角形的应用，解答此题的关键是借助俯角构造直角三角形，并结合三角函数解直角三角形．6．二次函数y=﹣2x2+4x﹣3，假如y随x的增大而减小，那么x的取值范围是〔〕A．x≥1 B．x≥0 C．x≥﹣1 D．x≥﹣2【考点】二次函数的性质．【分析】把抛物线化为顶点式可求得开口方向及对称轴，再利用增减性可得到关于x的不等式，可求得答案．【解答】解：∵y=﹣2x2+4x﹣3=﹣2〔x﹣1〕2﹣1，∴抛物线开口向下，对称轴为x=1，∴当x≥1时，y随x的增大而减小，应选A．【点评】此题主要考察二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a〔x﹣h〕2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为〔h，k〕．二、填空题：〔本大题一一共12题，每一小题4分，满分是48分〕7．线段a=9，c=4，假如线段b是a、c的比例中项，那么b= 6 ．【考点】比例线段．【分析】根据比例中项的定义，假设b是a，c的比例中项，即b2=ac．即可求解．【解答】解：假设b是a、c的比例中项，即b2=ac．那么b===6．故答案为：6．【点评】此题主要考察了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负．8．点C是线段AB延长线的点，=， =，那么= ﹣．【考点】*平面向量．【分析】根据向量、的方向相反进展解答．【解答】解：如图，向量、的方向相反，且=， =，所以=+=﹣．故答案是：﹣．【点评】此题考察了平面向量，注意向量既有大小，又有方向．9．如图，AB∥CD∥EF，假如AC=2，AE=5.5，DF=3，那么BD= ．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．【解答】解：∵AC=2，AE=5.5，∴CE=3.5，AB∥CD∥EF，∴，∴BD=，故答案为：．【点评】此题考察平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，列出比例式．10．假如两个相似三角形的对应中线比是：2，那么它们的周长比是：2 ．【考点】相似三角形的性质．【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论．【解答】解：∵两个相似三角形的对应中线比是：2，∴它们的周长比为：2．故答案为：：2．【点评】此题考察的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应线段〔对应中线、对应角平分线、对应边上的高〕的比等于相似比是解答此题的关键．11．假如点P是线段AB的黄金分割点〔AP＞BP〕，那么请你写出一个关于线段AP、BP、AB 之间的数量关系的等式，你的结论是：AP2=BP•AB．【考点】黄金分割．【分析】根据黄金分割的概念解答即可．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，∴AP2=BP•AB，故答案为：AP2=BP•AB．【点评】此题考察的是黄金分割的概念和性质，把线段AB分成两条线段AC和BC〔AC＞BC〕，且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．12．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，假如CD=4，BD=3，那么∠A的正弦值是．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】求出∠A=∠BCD，根据锐角三角函数的定义求出tan∠BCD即可．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°，∴∠A=∠BCD，∴tanA=tan∠BCD==，故答案为：．【点评】此题考察了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键，注意：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，那么sinA=，cosA=，tanA=．13．正方形ABCD的边长为3，点E在边CD的延长线上，连接BE交边AD于F，假如DE=1，那么AF= ．【考点】相似三角形的断定与性质；正方形的性质．【分析】由四边形ABCD为正方形即可得出∠A=∠ADC=90°、AB∥CD，根据平行线的性质以及邻补角即可得出∠EDF=∠A、∠ABF=∠DEF，从而得出△ABF∽△DEF，再根据相似三角形的性质即可得出==3，结合AF+DF=AD=3即可求出AF的长度，此题得解．【解答】解：按照题意画出图形，如下图．∵四边形ABCD为正方形，∴∠A=∠ADC=90°，AB∥CD，∴∠EDF=180°﹣∠ADC=90°=∠A，∠ABF=∠DEF，∴△ABF∽△DEF，∴==3，∵AF+DF=AD=3，∴AF=AD=．故答案为：．【点评】此题考察了相似三角形的断定与性质、正方形的性质、平行线的性质以及邻补角，通过两组相等的角证出△ABF∽△DEF是解题的关键．14．抛物线y=ax2﹣4ax与x轴交于点A、B，顶点C的纵坐标是﹣2，那么a= ．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】首先利用配方法确定函数的顶点坐标，根据顶点C的纵坐标是﹣2，即可列方程求得a的值．【解答】解：y=ax2﹣4ax=a〔x2﹣4x+4〕﹣4a=a〔x﹣2〕2﹣4a，那么顶点坐标是〔2，﹣4a〕，那么﹣4a=﹣2，解得a=．故答案是：．【点评】此题考察了配方法确定函数的顶点坐标，正确进展配方是关键．15．如图，矩形ABCD的四个顶点正好落在四条平行线上，并且从上到下每两条平行线间的间隔都是1，假如AB：BC=3：4，那么AB的长是．【考点】相似三角形的断定与性质；平行线之间的间隔；矩形的性质．【分析】作辅助线，构建相似三角形，证明△ABE∽△BCF，列比例式求BE的长，利用勾股定理可以求AB的长．【解答】解：过A作AE⊥BM于E，过C作CF⊥BM于F，那么CF=1，AE=2，∴∠AEB=∠BFC=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBE=90°，∴∠BAE=∠CBE，∴△ABE∽△BCF，∴，∴，∴BE=，在Rt△ABE中，AB==，故答案为：．【点评】此题考察了矩形的性质、相似三角形的断定与性质、两平行线的间隔以及勾股定理；纯熟掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．16．在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于O，假如△BOC、△ACD的面积分别是9和4，那么梯形ABCD的面积是16 ．【考点】相似三角形的断定与性质；梯形．【分析】如图，设△AOD的面积为x，那么△ODC的面积为4﹣x．由AD∥BC，推出△AOD∽△COB，可得=〔〕2，因为=，得到=〔〕2，解方程即可．【解答】解：如图，设△AOD的面积为x，那么△ODC的面积为4﹣x．∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴=〔〕2，∵=，∴=〔〕2，解得x=1或者16〔舍弃〕，∵S△ABD=S△ADC=1，∴S△AOB=S△DOC=3，∴梯形ABCD的面积=1+3+3+9=16，故答案为16．【点评】此题考察相似三角形的断定和性质、梯形的性质等知识，解题的关键是纯熟掌握相似三角形的性质，学会用方程的思想考虑问题，属于中考常考题型．17．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=5，BC=3，CD是∠ACB的平分线，将△ABC沿直线CD 翻折，点A落在点E处，那么AE的长是2．【考点】翻折变换〔折叠问题〕；勾股定理．【分析】由勾股定理求AB=4，再根据旋转的性持和角平分线可知：点A的对应点E在直线CB上，BE=2，利用勾股定理可求AE的长．【解答】解：∵CD是∠ACB的平分线，∴将△ABC沿直线CD翻折，点A的对应点E在直线CB上，∵∠ABC=90°，AC=5，BC=3，∴AB=4，由旋转得：EC=AC=5，∴BE=5﹣3=2，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE===2，故答案为：2．【点评】此题考察了翻折变换的性质、勾股定理，明确折叠前后的两个角相等，两边相等；在图形中确定直角三角形，假如知道了一个直角三角形的两条边，可以利用勾股定理求第三边．18．如图，在▱ABCD中，AB：BC=2：3，点E、F分别在边CD、BC上，点E是边CD的中点，CF=2BF，∠A=120°，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，那么的值是．【考点】相似三角形的断定与性质；平行四边形的性质．【分析】如图，连接AE、AF，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，作DH⊥BC 于H，EG⊥BC于G，设AB=2a．BC=3a．根据•AP•BE=•DF•AQ，利用勾股定理求出BE、DF 即可解决问题．【解答】解：如图，连接AE、AF，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，作DH ⊥BC于H，EG⊥BC于G，设AB=2a．BC=3a．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∠BAD=∠BCD=120°，∴S△ABE=S△ADF=S平行四边形ABCD，在Rt△CDH中，∵∠H=90°，CD=AB=2a，∠DCH=60°，∴CH=a，DH=a，在Rt△DFH中，DF===2a，在Rt△ECG中，∵CE=a，∴CG=a，GE=a，在Rt△BEG中，BE===a，∴•AP•BE=•DF•AQ，∴==，故答案为．【点评】此题考察平行四边形的性质、勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是利用面积法求线段的长，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．三、解答题：〔本大题一一共7题，第19-22题每一小题10分，第23、24题每一小题12分，第25题14分，满分是78分〕19．计算：2sin60°﹣|cot30°﹣cot45°|+．【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．【分析】首先根据特殊角的三角函数进展代入，然后再根据绝对值的性质计算绝对值，然后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式=2×﹣|1|+，=+1+，=﹣2﹣3．【点评】此题主要考察了实数运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．20．将抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，顶点为D．求：〔1〕点B、C、D坐标；〔2〕△BCD的面积．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．【分析】〔1〕首先求得抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式，利用配方法求得D的坐标，令y=0求得C的横坐标，令y=0，解方程求得B的横坐标；〔2〕过D作DA⊥y轴于点A，然后根据S△BCD=S梯形AOBD﹣S△BOC﹣S△ADC求解．【解答】解：〔1〕抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式是y=x2﹣4x+4﹣9，即y=x2﹣4x﹣5．y=x2﹣4x﹣5=〔x﹣2〕2﹣9，那么D的坐标是〔2，﹣9〕．在y=x2﹣4x﹣5中令x=0，那么y=﹣5，那么C的坐标是〔0，﹣5〕，令y=0，那么x2﹣4x﹣5=0，解得x=﹣1或者5，那么B的坐标是〔5，0〕；〔2〕过D作DA⊥y轴于点A．那么S△BCD=S梯形AOBD﹣S△BOC﹣S△ADC=〔2+5〕×9﹣×2×4﹣×5×5=15．【点评】此题考察了配方法确定二次函数的顶点坐标，以及函数与x轴、y轴的交点的求法，正确求得抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式是关键．21．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=4，AD=3，AB⊥AC，AC平分∠DCB，过点DE∥AB，分别交AC、BC于F、E，设=， =．求：〔1〕向量〔用向量、表示〕；〔2〕tanB的值．【考点】*平面向量；梯形；解直角三角形．【分析】〔1〕首先证明四边形ABED是平行四边形，推出DE=AB，推出==，==， =+．〔2〕由△DFC∽△BAC，推出==，求出BC，在Rt△BAC中，∠BAC=90°，根据AC===2，由tanB=，即可解决问题．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴AC平分∠DCB，∴∠DCA=∠ACB，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=DC，∵DE∥AB，AB⊥AC，∴DE⊥AC，∴AF=CF，∴BE=CE，∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴DE=AB，∴==， ==，∴=+．〔2〕∵∠DCF=∠ACB，∠DFC=∠BAC=90°，∴△DFC∽△BAC，∴==，∵CD=AD=3，∴BC=6，在Rt△BAC中，∠BAC=90°，∴AC===2，∴tanB===．【点评】此题考察平面向量、梯形、解直角三角形、平行四边形的断定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵敏运用所学知识，属于根底题．22．如图，一艘海轮位于小岛C的南偏东60°方向，间隔小岛120海里的A处，该海轮从A处正北方向航行一段间隔后，到达位于小岛C北偏东45°方向的B处．〔1〕求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短间隔〔记过保存根号〕；〔2〕假如该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间是〔结果准确到0.1小时〕．〔参考数据： =1.41， =1.73〕【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】〔1〕首先过点C作CD⊥AB于D，构建直角△ACD，通过解该直角三角形得到CD的长度即可；〔2〕通过解直角△BCD来求BC的长度．【解答】解：〔1〕如图，过点C作CD⊥AB于D，由题意，得∠ACD=30°．在直角△ACD中，∠ADC=90°，∴cos∠ACD=，∴CD=AC•cos30°=120×=60〔海里〕；〔2〕在直角△BCD中，∠BDC=90°，∠DCA=45°，∴cos∠BCD=，∴BC===60≈60×2.44=146.4〔海里〕，∴÷≈7.3〔小时〕．答：〔1〕求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短间隔是60海里；〔2〕假如该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间是约为7.3小时．【点评】此题考察了方向角问题．此题难度适中，注意将方向角问题转化为解直角三角形的知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．23．如图，△ABC中，点D在边BC上，∠DAB=∠B，点E在边AC上，满足AE•CD=AD•CE．〔1〕求证：DE∥AB；〔2〕假如点F是DE延长线上一点，且BD是DF和AB的比例中项，联结AF．求证：DF=AF．【考点】相似三角形的断定与性质．【分析】〔1〕根据条件得到，根据等腰三角形的断定定理得到AD=BD，等量代换即可得到结论；〔2〕由BD是DF和AB的比例中项，得到BD2=DF•AB，等量代换得到AD2=DF•AB，推出=，根据相似三角形的性质得到==1，于是得到结论．【解答】证明：〔1〕∵AE•CD=AD•CE，∴，∵∠DAB=∠B，∴AD=BD，∴，∴DE∥AB；〔2〕∵BD是DF和AB的比例中项，∴BD2=DF•AB，∵AD=BD，∴AD2=DF•AB，∴=，∵DE∥AB，∴∠ADF=∠BAD，∴△ADF∽△DBA，∴==1，∴DF=AF．【点评】此题考察了相似三角形的断定和性质，纯熟掌握相似三角形的断定和性质是解题的关键．24．如图，抛物线y=﹣x2+bx+3与x轴相交于点A和点B〔点A在点B的左侧〕，与y轴交于点C，且OB=OC，点D是抛物线的顶点，直线AC和BD交于点E．〔1〕求点D的坐标；〔2〕联结CD、BC，求∠DBC余切值；〔3〕设点M在线段CA延长线，假如△EBM和△ABC相似，求点M的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】〔1〕根据题意求出点C的坐标、点B的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式，根据二次函数的性质求出顶点坐标；〔2〕根据等腰直角三角形的性质得到∠DCB=90°，根据余切的定义计算即可；〔3〕运用待定系数法求出直线CA的解析式，设点M的坐标为〔x，3x+3〕，根据相似三角形的性质得到∠ACB=∠BME，根据等腰三角形的性质得到BM=BC，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：〔1〕∵抛物线y=﹣x2+bx+3与y轴交于点C，∴点C的坐标为：〔0，3〕，∵OB=OC，∴点B的坐标为：〔3，0〕，∴﹣9+3b+3=0，解得，b=2，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3，y=﹣x2+2x+3=﹣〔x﹣1〕2+4，∴顶点D的坐标为〔1，4〕；〔2〕如图1，作DH⊥y轴于H，那么CH=DH=1，∴∠HCD=∠HDC=45°，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45°，∴∠DCB=90°，∴cot∠DBC===3；〔3〕﹣x2+2x+3=0，解得，x1=﹣1，x2=3，∴点A的坐标为：〔﹣1，0〕，∴=，又=，∴=，∴Rt△AOC∽Rt△DCB，∴∠ACO=∠DBC，∵∠ACB=∠ACO+45°=∠DBC+∠E，∴∠E=45°，∵△EBM和△ABC相似，∠E=∠ABC=45°，∴∠ACB=∠BME，∴BM=BC，设直线CA的解析式为：y=kx+b，那么，解得，，那么直线CA的解析式为：y=3x+3，设点M的坐标为〔x，3x+3〕，那么〔x﹣3〕2+〔3x+3〕2=18，解得，x1=0〔舍去〕，x2=﹣，x2=﹣时，y=﹣，∴点M的坐标为〔﹣，﹣〕．【点评】此题考察的是二次函数的综合运用、相似三角形的断定和性质，掌握二次函数的性质、待定系数法求函数解析式的一般步骤是解题的关键．25．如图，△ABC中，AB=AC=3，BC=2，点D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC，交边AC于点E，点Q是线段DE上的点，且QE=2DQ，连接BQ并延长，交边AC于点P．设BD=x，AP=y．〔1〕求y关于x的函数解析式及定义域；〔2〕当△PQE是等腰三角形时，求BD的长；〔3〕连接CQ，当∠CQB和∠CBD互补时，求x的值．【考点】三角形综合题；等腰梯形的性质；平行线分线段成比例；相似三角形的断定与性质．【专题】压轴题．【分析】〔1〕过点D作DF∥AC，交BP于F，根据平行线分线段成比例定理，可得EC=BD=x，PE=3﹣x﹣y，DF=，进而根据DF∥AC，求得y=，定义域为：0＜x＜3；〔2〕当△PEQ为等腰三角形时，△PBC也为等腰三角形，分三种情况讨论：①当PB=BC时，②当PC=BC=2时，③当PC=PB时，分别求得BD的长即可；〔3〕先根据条件断定四边形BCED是等腰梯形，断定△BDQ∽△QEC，得出=，即2DQ2=x2，再根据DE∥BC，得出=，即=，求得x的值即可．【解答】解：〔1〕如下图，过点D作DF∥AC，交BP于F，那么根据QE=2DQ，可得==，又∵DE∥BC，∴==1，∴EC=BD=x，PE=3﹣x﹣y，DF=，∵DF∥AC，∴=，即=，∴y=，定义域为：0＜x＜3；〔2〕∵DE∥BC，∴△PEQ∽△PBC，∴当△PEQ为等腰三角形时，△PBC也为等腰三角形，①当PB=BC时，△ABC∽△BPC，∴BC2=CP•AC，即4=3〔3﹣y〕，解得y=，∴=，解得x==BD；②当PC=BC=2时，AP=y=1，∴=1，解得x==BD；③当PC=PB时，点P与点A重合，不合题意；〔3〕∵DE∥BC，∴∠BDQ+∠CBD=180°，又∵∠CQB和∠CBD互补，∴∠CQB+∠CBD=180°，∴∠CQB=∠BDQ，∵BD=CE，∴四边形BCED是等腰梯形，∴∠BDE=∠CED，∴∠CQB=∠CED，又∵∠DQB+∠CQB=∠ECQ+∠CED，∴∠DQB=∠ECQ，∴△BDQ∽△QEC，∴=，即2DQ2=x2，∴DQ=，DE=，∵DE∥BC，∴=，即=，解得x=．【点评】此题属于三角形综合题，主要考察了相似三角形的断定与性质，等腰梯形的断定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，运用相似三角形的对应边成比例进展求解．在断定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公一共角、公一共边等隐含条件，以充分发挥根本图形的作用．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

2021年上海市静安区中考一模数学试卷1.（2021·上海静安区·模拟）如果a≠0，那么下列计算正确的是( )A．(−a)0=0；B．(−a)0=−1；C．−a0=1；D．−a0=−1；2.（2021·上海静安区·模拟）下列多项式中，是完全平方式的为( )A．x2−x+14B．x2+12x+14C．x2+14x−14D．x2−14x+143.（2021·上海静安区·模拟）将抛物线y=2(x+1)2−3平移后与抛物线y=2x2重合，那么平移的方法可以是( )A．向右平移1个单位，再向上平移3个单位B．向右平移1个单位，再向下平移3个单位C．向左平移1个单位，再向上平移3个单位D．向左平移1个单位，再向下平移3个单位4.（2021·上海静安区·模拟）在△ABC中，点D，E分别在边BA，CA的延长线上，下列比例式中能判定DE∥BC的为( )A．BCDE =ABADB．ACAD=ABAEC．ACCE=ABBDD．ACAB=BDCE5.（2021·上海静安区·模拟）如果锐角α的正切值为√32，那么下列结论中正确的是( ) A．α=30∘B．α=60∘C．30∘<α<45∘D．45∘<α<60∘6.（2021·上海静安区·模拟）在Rt△ABC中，∠C=90∘，CD是高，如果AB=m，∠A=α，那么CD的长为( )A．m⋅sinα⋅tanαB．m⋅sinα⋅cosαC．m⋅cosα⋅tanαD．m⋅cosα⋅cotα7.（2021·上海静安区·模拟）32的相反数是．8.（2021·上海静安区·模拟）函数f(x)=√2−x的定义域为．9.（2021·上海静安区·模拟）方程√3−2x=2−x的根为．10. （2021·上海静安区·模拟）二次函数 y =2x −3x 2 图象的开口方向是 ．11. （2021·上海静安区·模拟）抛物线 y =3x 2−6 的顶点坐标为 ．12. （2021·上海静安区·模拟）如果一次函数 y =(m −2)x +m −1 的图象经过第一、二、四象限，那么常数 m 的取值范围为 ．13. （2021·上海静安区·模拟）在二次函数 y =x 2−2x +3 图象的上升部分所对应的自变量 x 的取值范围是 ．14. （2021·上海静安区·模拟）如图，在 △ABC 中，点 D ，E 分别在边 AB ，AC 上，∠AED =∠B ，如果 AD =2，AE =3，CE =1，那么 BD 长为 ．15. （2021·上海静安区·模拟）在 △ABC 中，点 G 是重心，∠BGC =90∘，BC =8，那么 AG 的长为 ．16. （2021·上海静安区·模拟）如图，在 △ABC 中，点 D ，E 分别在边 AB ，AC 上，DE ∥BC ，如果 AB =12，BC =9，AC =6，四边形 BCED 的周长为 21，那么 DE 的长为 ．17. （2021·上海静安区·模拟）如图，在梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，BD 与 AC 相交于点 O ，OB =2OD ，设 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，那么 AO ⃗⃗⃗⃗⃗ = ．（用向量 a ，b⃗ 的式子表示）18. （2021·上海静安区·模拟）在 Rt △ABC 中，∠C =90∘，AB =13，tanB =23（如图），将 △ABC绕点C旋转后，点A落在斜边AB上的点Aʹ，点B落在点Bʹ，AʹBʹ与边BC相交于点D，那么CDAʹD的值为．19.（2021·上海静安区·模拟）计算：cot30∘−cos45∘sin60∘−tan45∘．20.（2021·上海静安区·模拟）已知线段x，y满足2x+yx−y =xy，求xy的值．21.（2021·上海静安区·模拟）如图，点A，B在第一象限的反比例函数图象上，AB的延长线与y轴交于点C，已知点A，B的横坐标分别为6，2，AB=2√5．(1) 求∠ACO的余弦值：(2) 求这个反比例函数的解析式．22.（2021·上海静安区·模拟）如图，一处地铁出入口的无障碍通道是转折的斜坡，沿着坡度相同的斜坡BC，CD共走7米可到出入口，出入口点D距离地面的高DA为0.8米，求无障碍通道斜坡的坡度与坡角（角度精确到1′，其他近似数取四个有效数字)．23.（2021·上海静安区·模拟）已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，AD2=AE⋅AC．求证：(1) △BCD∽△CDE；(2) CD2BC2=ADAB；24.（2021·上海静安区·模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−12x+m(m>0)与x 轴、y轴分别交于点A，B．抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)经过点A，且与y轴相交于点C，∠OCA=∠OAB．(1) 求直线AB的表达式；(2) 如果点D在线段AB的延长线上，且AD=AC．求经过点D的抛物线y=ax2+bx+4的表达式；(3) 如果抛物线y=ax2+bx+4的对称轴与线段AB，AC分别相交于点E，F，且EF=1，求此抛物线的顶点坐标．25.（2021·上海静安区·模拟）已知∠MAN是锐角，点B，C在边AM上，点D在边AN上，∠EBD=∠MAN，且CE∥BD，sin∠MAN=35，AB=5，AC=9．(1) 如图1，当CE与边AN相交于点F时，求证：DF⋅CE=BC⋅BE；(2) 当点E在边AN上时，求AD的长；(3) 当点E在∠MAN外部时，设AD=x，△BCE的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域．答案1. 【答案】D2. 【答案】A3. 【答案】A4. 【答案】C5. 【答案】C6. 【答案】B7. 【答案】−328. 【答案】x<29. 【答案】x=110. 【答案】向下11. 【答案】(0,−6)12. 【答案】1<m<213. 【答案】x>114. 【答案】415. 【答案】816. 【答案】617. 【答案】13a+23b⃗18. 【答案】3√13519. 【答案】原式=√3−√22√32−1=√3−√2)(√3+2)(√3−2)(√3+2)=√6+2√2−4√3−6.20. 【答案】2xy+y2=x2−xy，x2−3xy−y2=0，∵y≠0．∴x2y2−3xy−1=0，∴xy =3±√132．21. 【答案】(1) 分别过点A，B作AD⊥y轴，BE⊥x轴，垂足分别为D，E，AD，BE相交于点H．∵BE∥y轴，∴∠ACO=∠ABH，∠AHB=∠ADC=90∘．∵点A，B的横坐标分别为6，2，∴AH=4．在Rt△ABH中，∵BH=√AB2−AH2=√(2√5)2−42=2．cos∠ACO=cos∠ABH=BHAB =2√5=√55．(2) 设反比例函数的解析式为y=kx(k≠0)，设点A(6,k6)，则B(2,k2)，∴k2−k6=2，∴k=6．∴反比例函数解析式为y=6x．22. 【答案】延长DC，AB相交于点E．∵斜坡BC，CD的坡度相同，∴∠CEB=∠CBE，∴CE=CB．∴DE=DC+CB=7米．在Rt△ADE中，AE=√AE2−AD2=√72−0.82≈6.9541（米)．∴i=AD:AE=0.8:6.9541≈1:8.693．∵tan∠AED=AD:AE≈0.11504，∴∠AED≈6∘34ʹ．答：无障碍通道的坡度约为1:8.693，坡角约为6∘34ʹ．23. 【答案】(1) ∵AD2=AE⋅AC，∴ADAE =ACAD，又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD，∴∠ADE=∠ACD，∵DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB，∠B=∠ADE，∴∠B=∠ACD，∴△BCD∽△CDE．(2) ∵△BCD∽△CDE，∴CDBC =DECD．∴CD2BC2=CDBC⋅CDBC=CDBC⋅DECD=DEBC．∵DE∥BC，∴DEBC =ADAB．∴CD2BC2=ADAB．24. 【答案】(1) ∵直线y=−12x+m与x轴、y轴分别交于点A(2m,0)，B(0,m)．∴OA=2m，OB=m．∵∠OCA=∠OAB，∴tan∠OCA=tan∠OAB=OAOC =OBOA=12．∵y=ax2+bx+4(a≠0)经过点C(0,4)，OC=4．∴OA=2，OB=1．∴直线AB的表达式为y=−12x+1．(2) 过点D作DG⊥x轴，垂足为G，∵∠DGA=∠AOC=90∘，∠DAG=∠ACO，AD=AC，∴△DGA≌△AOC．∴DG =AO =2，AG =OC =4，OG =2， ∴ 点 D (−2,2)．∵ 抛物线 y =ax 2+bx +4 经过点 A ，D ， ∴{0=4a +2b +4,2=4a −2b +4,∴{a =−34,b =−12.∴ 抛物线的表达式为 y =−34x 2−12x +4． (3) 设抛物线的对称轴 FE 与 OA 交于点 H ， ∵EF ∥OC ， ∴AH AO=AE AB=EF BC=13，AH =23，OH =43．∴{0=4a +2b +4,−b 2a=43,∴{a =3,b =−8.∴ 抛物线的表达式为 y =3x 2−8x +4．当 x =43 时，y =−43，抛物线的顶点坐标为 (43,−43)．25. 【答案】(1) ∵CE ∥BD ，∴∠CEB =∠DBE ，∠DBA =∠BCE ， ∵∠A =∠DBE ， ∴∠A =∠BEC ． ∴△ABD ∽△ECB ． ∴ADAB =EB EC ． ∵ADAB =DFBC ， ∴EBEC =DFBC ，∴DF ⋅CE =BC ⋅BE ．(2) 过点 B 作 BH ⊥AN ，垂足为 H ． ∵CE ∥BD ，∴∠CEB =∠EBD =∠A ， 又 ∵∠BCE =∠ECA ， ∴△CEB ∽△CAE ，∴CE CB =CACE ， ∴CE 2=CB ⋅CA ， ∵AB =5，AC =9， ∴BC =4，∴CE 2=4×9=36， ∴CE =6． ∵BD CE=ABAC ，∴BD =AB⋅CE AC=5×69=103．在 Rt △ABH 中，BH =AB ⋅sinA =5×35=3， ∴AH =√AB 2−BH 2=4． DH =√BD 2−BH 2=√(103)2−32=√193．AD =4±√193．(3) 过点 B 作 BH ⊥AN ，垂足为 H ．BH =4，AH =3，DH =∣x −4∣．BD 2=DH 2+BH 2=(x −4)2+32=x 2−8x +25． ∵△ECB ∽△ABD ， ∴S△EBC S △ADB=BC 2BD 2．∵S △ABD =12AD ⋅BH =32x ，∴y 32x=16x 2−8x+25，∴y =24xx 2−8x+25．定义域为 4−√193<x <4+√193．。

2021年上海中考数学模拟试卷学校:___________姓名：___________ 班级：___________考号：___________一、选择题1.下列二次根式中，不能与合并的是 ( ) A.21B.C.D.2.已知等式3a=2b+5，则下列等式中不一定成立的是（ ）A ．3a-5=2bB ．3a+1=2b+6C ．3ac=2bc+5D ．a=2533b + 3.要反映我市某一周每天的最高气温的变化趋势，宜采用（ ）A ．条形统计图B ．扇形统计图C ．折线统计图D ．频数分布统计图4.已知双曲线y=kx 经过点（﹣2，1），则k 的值等于（ ）A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣2 5.下列语句：①相等的角是对顶角；②如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④平行线间的距离处处相等． 其中正确的命题是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 6.在以下现象中，属于平移的是（ ） （1）在荡秋千的小朋友； （2）打气筒打气时，活塞的运动； （3）自行车在行进中车轮的运动； （4）传送带上，瓶装饮料的移动． A ．（1）（2） B ．（2）（4） C ．（2）（3） D ．（1）（3）二、填空题7.计算：2xy 2﹣3xy 2=__________ ．8.新定义：[a ，b ，c]为函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为实数）的“关联数”．若“关联数”为[m-2，m ，1]的函数为一次函数，则m 的值为 ．9.在一次函数y=kx+2中，若y 随x 的增大而增大，则它的图象不经过第 象限． 10.一元二次方程()21230k x x +-+=有实数根，则k 的范围为___________.11.如图，四个完全相同的小球上分别写有 0，23，-5， π 四个实数，把它们全部装入一个布袋里．从布袋里任意摸出 1 个球，球上的数是无理数的概率为________． 12.抛物线y =12x 2向左平移8个单位，再向下平移9个单位后，所得抛物线的表达式是________． 13.两组数据：3，a ，2b ，5与a ，6，b 的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的中位数为 ．第14题图 第15题图 第16题图14.在高5m ，长13m的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需要 m ．15.如图，为了检查平行四边形书架ABCD 的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC ，BD 的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理________________________________．16.钓鱼岛自古就是中国领土，中国政府已对钓鱼岛开展常态化巡逻.某天，为按计划准点到达指定海域，某巡逻艇凌晨1：00出发，匀速行驶一段时间后，因中途出现故障耽搁了一段时间，故障排除后，该艇加快速度仍匀速前进，结果恰好准点到达.如图是该艇行驶的路程y （海里）与所用时间t （小时）的函数图象，则该巡逻艇原计划准点到达的时刻是 .第17题图 第18题图17.如图，在△ABC 中，AB=6，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转45°后得到△A ′BC ′，则阴影部分的面积为 ．18.矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，点E 是AB 的中点，点F 是BC 上任意一点，把△EBF 沿直线EF 翻折，点B 落在点P 处，则PC 的最小值是_______________ ．三、解答题19.计算：（5 +1）0+（﹣1）2016+2sin45°﹣（31）﹣1．20.解不等式组：并写出它的所有的整数解．21.如图，AD∥BC，∠1=∠C，∠B=60°．（1）求∠C的度数；（2）如果DE是∠ADC的平分线，那么DE与AB平行吗？请说明理由．22.为了巩固全国文明城市建设成果，突出城市品质的提升，近年来，我市积极落实节能减排政策，推行绿色建筑，据统计，我市2014年的绿色建筑面积约为950万平方米，2016年达到了1862万平方米．若2015年、2016年的绿色建筑面积按相同的增长率逐年递增，请解答下列问题：（1）求这两年我市推行绿色建筑面积的年平均增长率；（2）2017年我市计划推行绿色建筑面积达到2400万平方米．如果2017年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2017年我市能否完成计划目标？23.如下图，已知在△AB C中，AD平分∠BAC，EM是AD的中垂线，交BC延长线于E.（1）连接AE，证明：∠EAC=∠B.（2）求证：DE2=BE·CE.24.抛物线214y x x m =++的顶点在直线3y x =+上，过点F (2,2)-的直线与抛物线交于M 、N 两点（点M 在点N 的左边），MA ⊥x 轴于点A ，NB ⊥x 轴于点B ．xyNMPOFAB（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m 的代数式表示），再求m 的值； （2）设点N 的横坐标为a ，试用含a 的代数式表示点N 的纵坐标，并说明NF ＝NB ； （3）若射线NM 交x 轴于点P ，且PA×PB＝1009，求点M 的坐标．25.如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 切⊙O 于点M ，BE ⊥CD 于点E ． （1）求证：∠BME =∠MAB ；（2）求证：BM 2=BE •AB ； （3）若BE =185，sin ∠BAM =35，求线段AM 的长．1 2 34 5 6 78 9 10C C CD C B ﹣xy 22 四213k k ≤-≠-且111213 14 15 16 17 18 14 y=12（x+8）2-96 17 对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角7：00 4cm 2 2102- 时，设计划行驶的路程是a 海里，就可以由时间之间的关系建立方程求出路程，再由路程除以速度就可以求出计划到达时间：由图象及题意，得：故障前的速度为：80÷1=80海里/时，故障后的速度为：（180－80）÷1=100海里/时．设航行额全程由a 海里，由题意，得a a 80280100-=+，解得：a=480。