3.2.1 双曲线及其标准方程（第二课时）(人教A 版普通高中教科书数学选择性必修第一册第三章)一、教学目标1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程；2．掌握根据条件求双曲线方程的基本方法；3．用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题．二、教学重难点1．重点：双曲线方程的理解和根据条件求双曲线方程的基本方法．2．难点：根据条件求双曲线方程的基本方法．三、教学过程1．复习引入1.1双曲线的定义在上一节课，我们介绍了第二种圆锥曲线——双曲线，并学习了双曲线的轨迹及其标准方程，本节课我们在上一节课的基础上继续学习求解双曲线方程的几种典型方法，并利用它们解决一些简单的实际问题问题1：双曲线的定义是什么？【活动预设】学生回答，教师通过学生的答案，强调双曲线定义中的几个关键信息．【设计意图】通过对双曲线的复习，为后面引出相应的变式做准备。
1.2定义中关键要素的理解问题2：（1）平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（记为2a ）的点的轨迹是双曲线吗？【活动预设】通过观察图形，学生主动发现随着a 的不同取值，点的轨迹除了双曲线意外还有另外三种情况． 【设计意图】通过设问，让学生强化定义中“距离之差小于”这一细节。
问题3：平面内满足的点M 的轨迹是双曲线吗？【活动预设】让学生探究发现，当去掉绝对值的限制时，所得到的轨迹只有双曲线的一支．12FF 1220MF MF a a -=>,()【设计意图】明确双曲线定义中的另一个关键要素：距离之差的绝对值，引导学生全面的了解双曲线定义中的三个要素，深化学生对双曲线定义的理解．问题4：双曲线的标准方程是什么？【活动预设】学生总结焦点在x 、y 轴上的两种不同情况下的双曲线标准方程。
【设计意图】复习上节课这一最重要的知识点，掌握双曲线的两种方程，为下面求解双曲线的标准方程做准备。
2．初步应用，熟悉方程例1已知线段，直线相交于点，且它们斜率之积是，求点的轨迹方程。
课题：8．3双曲线及其标准方程（二）1．使学生掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用；2．使学生初步会按特定条件求双曲线的标准方程；3．培养学生发散思维的能力教学重点：标准方程及其简单应用教学难点：双曲线标准方程的推导及待定系数法解二元二次方程组授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：二、讲解范例：例1 已知双曲线的焦点在y 轴上，中心在原点，且点)24,3(1-P ，)5,49(2P ，在此双曲线上，求双曲线的标准方程分析：由于已知焦点在y 轴上，中心在原点，所以双曲线的标准方程可用设出来，进行求解 本题是用待定系数法来解的，得到的关于待定系数b a ,的一个分式方程组，并且分母的次数是2，解这种方程组时利用换元法可将它化为二元二次方程组；也可将22,b a 的倒数作为未知数，直接看作二元一次方程组解：因为双曲线的焦点在y 轴上，中心在原点，所以设所求双曲线的标准方程为12222=-b x a y （0,0>>b a ） 则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--1)49(513)24(22222222b ab a ，即⎪⎩⎪⎨⎧=⋅-⋅=⋅-⋅1116811251191322222b a b a 解关于221,1b a 的二元一次方程组，得911,161122==b a所以，所求双曲线的标准方程为191622=-x y 变式例题1 点A 位于双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上，21,F F 是它的两个焦点，求21F AF ∆的重心G 的轨迹方程分析：要求重心的轨迹方程，必须知道三角形的三个顶点的坐标，利用相关点法进行求解 注意限制条件解：设21F AF ∆的重心G 的坐标为),(y x ，则点A 的坐标为)3,3(y x因为点A 位于双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上，从而有)0(1)3()3(2222≠=-y by a x ，即)0(1)3()3(2222≠=-y b y a x 所以，21F AF ∆的重心G 的轨迹方程为)0(1)3()3(2222≠=-y b y a x 点评：求轨迹方程，常用的方法是直接求法和间接求法两种 例1是直接利用待定系数法求轨迹方程本题则是用间接法(也叫代入法)来解题，补充本 另外本题所求轨迹中包含一个隐含条件，它表现为轨迹上点的坐标应满足一个不等关系，而这一点正是学生容易忽略，造成错误的地方，所以讲解本题有利于培养学生数学思维的缜密性，养成严谨细致的学习品质变式例题2 已知ABC ∆的底边BC 长为12，且底边固定，顶点A 是动点，使A C B sin 21sin sin =-，求点A 的轨迹 分析：首先建立坐标系，由于点A 的运动规律不易用坐标表示，注意条件的运用，可利用正弦定理将其化为边的关系，注意有关限制条件解：以底边BC 为x 轴，底边BC 的中点为原点建立xoy 坐标系，这时)0,6(),0,6(C B -，由A C B sin 21sin sin =-得621==-a c b ,即||||=-AB AC所以，点A 的轨迹是以)0,6(),0,6(C B -为焦点，2a =6的双曲线的左支其方程为：3(127922-<=-x y x 点评：求轨迹方程的过程中，有一个重要的步骤就是找出(或联想到)轨迹上的动点所满足的几何条件，列方程就是根据这些条件确定的，由于轨迹问题比较普遍，题型多样，有些轨迹上的动点满足的几何条件可能比较隐蔽和复杂解决它需要突出形数结合的思考方法，运用逻辑推理，结合平面几何的基本知识，分析、归纳，这里安排本例就是针对以上情况来进行训练的 例2 一炮弹在某处爆炸，在A 处听到爆炸声的时间比在B 处晚2s ． (1)爆炸点应在什么样的曲线上？(2)已知A 、B 两地相距800m ，并且此时声速为340 m ／s ，求曲线的方程．分析：解应用题的关键是建立数学模型 根据本题设和结论，注意到在A 处听到爆炸声的时间比B 处晚2s,这里声速取同一个值解：(1)由声速及A 、B 两处听到爆炸声的时间差，可知A 、B 两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以A 、B 为焦点的双曲线上因为爆炸点离A 处比离B 处更远，所以爆炸点应在靠近B 处的一支上． (2)如图，建立直角坐标系xoy ，使A 、B 两点在x 轴上，并且点O 与线段AB 的中点重合设爆炸点P 的坐标为),(y x ，则 |PA|－|PB|=340×2=680，即 2a ＝680，a ＝340． 又|AB|=800， ∴ 2c=800，c=400，222a c b -=＝44400∵ |PA|－|PB|＝680＞0， ∴ x ＞0所求双曲线的方程为14440011560022=-y x （x ＞0） 例2说明，利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置．如果再增设一个观测点C ，利用B 、C(或A 、C)两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置．这是双曲线的一个重要应用想一想，如果A 、B 两处同时听到爆炸声，那么爆炸点应在什么样的曲线上．（爆炸点应在线段AB 的中垂线上）点评：本例是培养学生应用双曲线知识解决实际问题的一道典型题目，安排在此非常有利于强化学生“应用数学”的意识，后面对“想一想”的教学处理，有利于调动学生的学习主动性和积极性，培养他们的发散思维能力例3求与圆1)3(22=+-y x 及9)3(22=++y x 都外切的动圆圆心的轨迹方程解：设动圆的半径为r ，则由动圆与定圆都外切得r MF r MF +=+=1,321，又因为2)1()3(21=+-+=-r r MF MF ， 由双曲线的定义可知，点M 的轨迹是双曲线的一支所求动圆圆心的轨迹是双曲线的一支，其方程为：18122=-y x )1(≥x 三、课堂练习：1．判断方程13922=---k y k x 所表示的曲线。
