数学模型()

1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在宿舍，432人住在，学生梦要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：
（1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小树部分较大者。

（2）2.1节中的Q值方法。

（3）方法：将A,B,C各宿舍的人数用正整数相除，其商数如下表：
1 2 3 4 5 …
A B C
23
5
33
3
43
2
11
7.5
16
6.5
21
6
78.
3
11
1
14
4
58.
75
83.
25
10
8
…
…
86.
4
将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A,B,C行有横线的数分别为2,3,5，这就是3个宿舍分配的席位。

你能解释这种方法的道理吗。

如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法两次分配的结果列表比较。

（4）你能提出其它方法吗。

用你的方法分配上面的名额。

2.用微积分的方法导出2.2节的公式（2）。

3.在2.5节中考虑8人艇分重量级组(桨手体重不超过86kg)和轻量级组（桨手体重不超过73kg，建立模型说明重量级组的成绩比轻量级组大约好5%。

4.用2.7节实物交换模型中介绍的无差别曲线的概率，讨论以下雇员和雇主之间的协议关系：
（1）以雇员一天的工作时间t和工资 分别为横坐标和纵坐标，画出雇员无差别曲线族的示意图。

解释曲线为什么是你画的那种形状。

（2）如果雇主付计时工资，对不同的工资率（单位时间的工资）画出计时工资线族。

根据雇员的无差别曲线族和雇主的计时工资线族，讨论双方将在怎样的一条曲线上达成协议。

（3）雇员和雇主已经达成了一个协议（工作时间1t 和工资1ω）.如果雇主想使雇员的工作时间增加到2t ,他有两种方法：一是提高计时工资率，在协议线的另一点（2t ,2ω）达成新的协议；二是实行超时工资制，即对工时1t 仍付原计时工资，对工时21t t -付给更高的超时工资。

试用作图方法分析哪种办法对雇主更有利，指出这个结果的条件.
5.在2.8节核武器竞赛模型中，证明由（6）式表示的乙安全线()y f x =的性质。

6.在2.8节核武器竞赛模型中，讨论以下因素引起的平衡点的变化：
（1）甲方提高导弹导航系统的性能。

（2）甲方增加导弹爆破的威力。

（3）甲方发展电子干扰系统。

（4）双方建立反导弹系统。

7.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。

假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）： 身长(cm) 36.8 31.8 43.8 36.8 3
2.1
45.1 35.9 3 2.1 重量(g )
765 482 1162 737 4
82 1389 652 454 胸围(cm) 24.8 21.3 27.9 24.8 2
1.6
45.1 22.9 21.6 先用机理分析建立模型，再用数据确定.
8.用宽ω的布条缠绕直径d 的圆形管道，要求
布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角α应多大 d
（如图）。

若知道管道长度，需要多长布条（考
& w
虑两端的影响）。

如果管道是其它形状。

9.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便、有效的排列方法，使加工出尽可能多的
10.雨滴匀速下降，空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积成正比，试确定雨速与雨滴质量的关系。

11.动物园里的成年热血动物靠饲养的食物维持体温基本不变，在一些合理、简化的假设下建立动物的饲养食物量与动物的某个尺寸之间的。

12.生物学家认为，对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温，能量与心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身体表面散失，建立一个动物体重与心率之间关系的模型，并用下面的数据加以。

动物体重（g）心率（次/分）
田鼠25 670
家鼠200 420
兔2000 205
小狗5000 120
大狗30000 85
羊50000 70
人70000 72
马450000 38
13.举重比赛按照运动员的体重分组，你能在一些合理、简化的假设下建立比赛成绩与体重之间的关系吗。

下面是一届奥运会的竞赛成绩，可供检验你的。

组别
最大体重
（kg）
抓举
（kg）
挺举
（kg）
总成绩
（kg）
1 54 132.5 155 287.5
2 59 137.5 170 307.5
3 6
4 147.
5 187.5 335
4 70 162.
5 195 357.5
5 7
6 167.5 200 367.5
6 83 180 212.5 392.5
7 91 187.5 213 402.5
8 99 185 235 420
9 108 195 235 430
10 >108 197.5 260 457.5
14.速度为ν的风吹在迎风面积为s的风车上，空气密度是ρ。

用量纲分析方法确定风车获得的功率P与ν，s，ρ的关系。

15.雨滴的速度ν与空气的密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数。

用量纲分析方法给出速度ν的表达式。

16.原子弹爆炸时巨大的能量从爆炸点以冲击波形式向四周传播。

据分析在时刻t 冲击波达到的半径r 与释放能量e ，大气密度ρ，大气压强P 有关（设
0t =时0r =）.用量纲分析方法证明1256
5
23()()et p t r e ϕρρ=,ϕ是未定。

17.用量纲分析方法研究人体浸在匀速流动的水里时损失的热量。

记水的流速ν,密度ρ，比热c ，粘性系数μ，热传导系数k ,人体尺寸d .证明人体与水
的交换系数h 与上述各物理量的关系可表为
(,)k v d c h d k ρμϕμ=,ϕ是未定函数，h 定义为单位时间内人体的单位面积在人体与水的温差为1℃时的热量。

18.用量纲分析方法研究两带电平行板间的引力。

板的面积为s ，间距为d ，电位差为ν，板间介质的介电常数为ε，证明两板之间的引力
22()s f v d εϕ=。

如果又知道f 与s 成正比，写出f 的表达式。

这里介电常数ε的定义是，其中,12,q q 是两个点电荷的电量，d 是点电荷的距离，f 是点电荷间的。

19.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比。

给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期。

出师表
两汉：诸葛亮
先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。

然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。

诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。

宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。

若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。

侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。

将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰“能”，是以众议举宠为督：愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。

亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也；亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。

先帝在时，每与臣论此事，未尝不叹息痛恨于桓、灵也。

侍中、尚书、长史、参军，此悉贞良死节之臣，愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也。

臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。

先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。

后值倾覆，受任于败军之际，奉命于危难之间，尔来二十有一年矣。

先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。

受命以来，夙夜忧叹，恐托付不效，以伤先帝之明；故五月渡泸，深入不毛。

今南方已定，兵甲已足，当奖率三军，北定中原，庶竭驽钝，攘除奸凶，兴复汉室，还于旧都。

此臣所以报先帝而忠陛下之职分也。

至于斟酌损益，进尽忠言，则攸之、祎、允之任也。

愿陛下托臣以讨贼兴复之效，不效，则治臣之罪，以告先帝之灵。

若无兴德之言，则责攸之、祎、允等之慢，以彰其咎；陛下亦宜自谋，以咨诹善道，察纳雅言，深追先帝遗诏。

臣不胜受恩感激。

今当远离，临表涕零，不知所言。