安徽省舒城中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试卷

1/212015-2016学年安徽省六安市舒城中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．1．已知直线l 1：（k ﹣3）x +（4﹣k ）y +1=0与l 2：2（k ﹣3）x ﹣2y +3=0平行，则k 的值是（）A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或22．设0＜x＜，则“xsin 2x ＜1”是“xsinx ＜1”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知直线方程为（2+m ）x +（1﹣2m ）y +4﹣3m=0．这条直线恒过一定点，这个定点坐标为（）A ．（﹣2m ，﹣m ﹣4）B ．（5，1）C ．（﹣1，﹣2）D ．（2m ，m +4）4．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O ﹣xyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（）A ．B．C．D ．5．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中错误的是（）A ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥βB ．若α⊥β，m ⊄α，m ⊥β，则m ∥αC ．若m ⊥β，m ⊂α，则α⊥βD ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n6．设点C （2a +1，a +1，2）在点P （2，0，0），A （1，﹣3，2），B （8，﹣1，4）确定的平面上，则a 的值为（）A ．8B ．16C ．22D ．247．a ＜0是方程ax 2+2x +1=0至少有一个负数根的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知坐标原点O （0，0）关于直线L 对称的点是M （3，﹣3），则直线L 的方程是（）A ．x ﹣2y +1=0B ．2x ﹣y ﹣1=0C ．x ﹣y +3=0D ．x ﹣y ﹣3=02/219．已知点（1，﹣2）和在直线l ：ax ﹣y ﹣1=0（a ≠0）的两侧，则直线l 倾斜角的取值范围是（）A ．B．C．D ．10．直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°11．设不等式组表示的平面区域为D ，若指数函数y=a x 的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是（）A ．（1，3]B ．[2，3]C ．（1，2]D ．[3，+∞]12．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体表面上与点A 距离是的点形成一条曲线，这条曲线的长度是（）A ．B．C．D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是______．14．已知点P （x ，y ）在直线x +y ﹣4=0上，O 是原点，则OP 的最小值是______．15．实数x ，y 满足，则的取值范围是______．3/2116．正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为1，此时四面体ABCD 外接球表面积为______．三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设命题p ：f （x ）=在区间（1，+∞）上是减函数；命题q ；x 1x 2是方程x 2﹣ax ﹣2=0的两个实根，不等式m 2+5m ﹣3≥|x 1﹣x 2|对任意实数α∈[﹣1，1]恒成立；若￢p ∧q 为真，试求实数m 的取值范围．18．正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切，求：（1）棱锥的表面积；（2）内切球的表面积与体积．19．已知有条光线从点A （﹣2，1）出发射向x 轴B ，经过x 轴反射后射向y 轴上的C 点，再经过y 轴反射后到达点D （﹣2，7）．（1）求直线BC 的方程．（2）求光线从A 点到达D 点所经过的路程．20．已知直线l 的方程为t （x ﹣1）+2x +y +1=0（t ∈R ）（1）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；（2）若直线l 不经过第二象限，求实数t 的取值范围．21．如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=1，AD=CD ，把△DAC 沿对角线AC 折起后如图2所示（点D 记为点P ），点P 在平面ABC 上的正投影E 落在线段AB 上，连接PB ．（1）求直线PC 与平面PAB 所成的角的大小；（2）求二面角P ﹣AC ﹣B 的大小的余弦值．4/2122．已知定义在R 上的二次函数f （x ）满足：f （x ）=﹣x 2+bx +c ，且f （x ）=f （1﹣x ）．对于数列{a n }，若a 1=0，a n +1=f （a n ）（n ∈N *）（1）求数列{a n }是单调递减数列的充要条件；（2）求c 的取值范围，使数列{a n }是单调递增数列．5/212015-2016学年安徽省六安市舒城中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．1．已知直线l 1：（k ﹣3）x +（4﹣k ）y +1=0与l 2：2（k ﹣3）x ﹣2y +3=0平行，则k 的值是（）A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或2【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】当k ﹣3=0时，求出两直线的方程，检验是否平行；当k ﹣3≠0时，由一次项系数之比相等且不等于常数项之比，求出k 的值．【解答】解：由两直线平行得，当k ﹣3=0时，两直线的方程分别为y=﹣1和y=，显然两直线平行．当k ﹣3≠0时，由=≠，可得k=5．综上，k 的值是3或5，故选C ．2．设0＜x＜，则“xsin 2x ＜1”是“xsinx ＜1”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【考点】不等关系与不等式；必要条件、充分条件与充要条件的判断；正弦函数的单调性．【分析】由x 的范围得到sinx 的范围，则由xsinx ＜1能得到xsin 2x ＜1，反之不成立．答案可求．【解答】解：∵0＜x ＜，∴0＜sinx ＜1，故xsin 2x ＜xsinx ，若“xsinx ＜1”，则“xsin 2x ＜1”若“xsin 2x ＜1”，则xsinx＜，＞1．此时xsinx ＜1可能不成立．例如x →，sinx →1，xsinx ＞1．由此可知，“xsin 2x ＜1”是“xsinx ＜1”的必要而不充分条故选B ．3．已知直线方程为（2+m ）x +（1﹣2m ）y +4﹣3m=0．这条直线恒过一定点，这个定点坐标为（）6/21A ．（﹣2m ，﹣m ﹣4）B ．（5，1）C ．（﹣1，﹣2）D ．（2m ，m +4）【考点】恒过定点的直线．【分析】由直线（2+m ）x +（1﹣2m ）y +4﹣3m=0变形为m （x ﹣2y ﹣3）+（2x +y +4）=0，令，即可求出定点坐标．【解答】解：由直线（2+m ）x +（1﹣2m ）y +4﹣3m=0变形为m （x ﹣2y ﹣3）+（2x +y +4）=0，令，解得，∴该直线过定点（﹣1，﹣2），故选：C ，4．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O ﹣xyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（）A ．B．C．D ．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx 平面为投影面，则得到正视图即可．【解答】解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O ﹣xyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOx 平面为投影面，则得到正视图为：故选A ．7/215．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中错误的是（）A ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥βB ．若α⊥β，m ⊄α，m ⊥β，则m ∥αC ．若m ⊥β，m ⊂α，则α⊥βD ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故A 正确；若α⊥β，m ⊄α，m ⊥β，则由直线与平面平行的判定定理得m ∥α，故B 正确；若m ⊥β，m ⊂α，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故C 正确；若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m 与n 相交、平行或异面，故D 错误．故选：D ．6．设点C （2a +1，a +1，2）在点P （2，0，0），A （1，﹣3，2），B （8，﹣1，4）确定的平面上，则a 的值为（）A ．8B ．16C ．22D ．24【考点】共线向量与共面向量．【分析】与不共线，可设=λ+μ，利用平面向量基本定理即可得出．【解答】解：=（2a ﹣1，a +1，2），=（﹣1，﹣3，2），=（6，﹣1，4），与不共线，设=λ+μ，8/21则，解得a=16，故选：B ．7．a ＜0是方程ax 2+2x +1=0至少有一个负数根的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】先求△＞0时a 的范围，结合韦达定理，以及特殊值a=1来判定即可．【解答】解：方程ax 2+2x +1=0有根，则△=22﹣4a ≥0，得a ≤1时方程有根，当a ＜0时，x 1x 2=＜0，方程有负根，又a=1时，方程根为x=﹣1，显然a ＜0⇒方程ax 2+2x +1=0至少有一个负数根；方程ax 2+2x +1=0至少有一个负数根，不一定a ＜0．a ＜0是方程ax 2+2x +1=0至少有一个负数根的充分不必要条件．故选B ．8．已知坐标原点O （0，0）关于直线L 对称的点是M （3，﹣3），则直线L 的方程是（）A ．x ﹣2y +1=0B ．2x ﹣y ﹣1=0C ．x ﹣y +3=0D ．x ﹣y ﹣3=0【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】由中点坐标公式求得OM 的中点坐标，再求出OM 所在直线的斜率，得到OM 的垂直平分线的斜率，代入直线方程的点斜式得答案．【解答】解：由O （0，0），M （3，﹣3），可得OM 的中点坐标为（），又，∴OM 的垂直平分线的斜率为1，∴直线L 的方程为y +=1×（x ﹣），即x ﹣y ﹣3=0．故选：D ．9．已知点（1，﹣2）和在直线l ：ax ﹣y ﹣1=0（a ≠0）的两侧，则直线l 倾斜角的取值范围是（）A ．B．C．D ．9/21【考点】直线的斜率．【分析】因为点（1，﹣2）和在直线l ：ax ﹣y ﹣1=0（a ≠0）的两侧，那么把这两个点代入ax ﹣y ﹣1，它们的符号相反，乘积小于0，求出a 的范围，设直线l 倾斜角为θ，则a=tan θ，再根据正切函数的图象和性质即可求出范围．【解答】解：因为点（1，﹣2）和在直线l ：ax ﹣y ﹣1=0（a ≠0）的两侧，所以，（a +2﹣1）（a ﹣1）＜0，即：（a +1）（a ﹣）＜0，解得﹣1＜a ＜，设直线l 倾斜角为θ，∴a=tan θ，∴﹣1＜tan θ＜，∴0＜θ＜，或＜θ＜π，故选：C ．10．直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】延长CA 到D ，根据异面直线所成角的定义可知∠DA 1B 就是异面直线BA 1与AC 1所成的角，而三角形A 1DB 为等边三角形，可求得此角．【解答】解：延长CA 到D ，使得AD=AC ，则ADA 1C 1为平行四边形，∠DA 1B 就是异面直线BA 1与AC 1所成的角，又A 1D=A 1B=DB=AB ，则三角形A 1DB 为等边三角形，∴∠DA 1B=60°故选C ．11．设不等式组表示的平面区域为D ，若指数函数y=a x 的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是（）10/21A ．（1，3]B ．[2，3]C ．（1，2]D ．[3，+∞]【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；指数函数的图象与性质．【分析】先依据不等式组，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用指数函数y=a x 的图象特征，结合区域的角上的点即可解决问题．【解答】解：作出区域D 的图象，联系指数函数y=a x 的图象，由得到点C （2，9），当图象经过区域的边界点C （2，9）时，a 可以取到最大值3，而显然只要a 大于1，图象必然经过区域内的点．故选：A．12．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体表面上与点A 距离是的点形成一条曲线，这条曲线的长度是（）A ．B．C．D ．【考点】弧长公式；棱柱的结构特征．【分析】本题首先要弄清楚曲线的形状，再根据曲线的性质及解析几何知识即可求出长度．11/21【解答】解：由题意，此问题的实质是以A为球心、为半径的球在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1各个面上交线的长度计算，正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类：ABCD 、AA 1DD 1、AA 1BB 1为过球心的截面，截痕为大圆弧，各弧圆心角为、A 1B 1C 1D 1、B 1BCC 1、D 1DCC 1为与球心距离为1的截面，截痕为小圆弧，由于截面圆半径为r=，故各段弧圆心角为．∴这条曲线长度为3••+3••=故选D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是所有实数的绝对值不是正数．【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是：所有实数的绝对值不是正数．故答案为：所有实数的绝对值不是正数．14．已知点P （x ，y ）在直线x +y ﹣4=0上，O 是原点，则OP的最小值是．【考点】点到直线的距离公式．【分析】OP 的最小值，就是两点间的距离的最小值，转化为原点的直线的距离．【解答】解：因为点P （x ，y ）在直线x +y ﹣4=0上，O 是原点，则OP 的最小值，就是求原点O 到直线x +y ﹣4=0的距离，即|OP |=．故答案为：．15．实数x ，y 满足，则的取值范围是[2，]．【考点】简单线性规划．【分析】根据已知的约束条，画出满足约束条件的可行域，将式子进行变形，再分析目标函数的几何意义，结合图象即可给出目标函数的取值范围．【解答】解：约束条件对应的平面区域如下图示：12/21设k=，则z 表示可行域内的点（x ，y ）与点（0，0）连线的斜率，可得B （1，2），由可得A （1，2）由图可知k 的最大值为k OB =2，最小值为k OA =，的取值范围是[，2]，又=+=k +在[，1]上单调递减，在[1，2]上递增，则当t=1时，z=1+1=2，当t=时，z=+2=，∴的取值范围是[2，]．故答案为：[2，]16．正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为1，此时四面体ABCD外接球表面积为．13/21【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】三棱锥B ﹣ACD 的三条侧棱BD ⊥AD 、DC ⊥DA ，底面是正三角形，它的外接球就是它扩展为正三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积即可．【解答】解：根据题意可知三棱锥B ﹣ACD 的三条侧棱BD ⊥AD 、DC ⊥DA ，底面是正三角形，它的外接球就是它扩展为正三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的中，底面边长为1，棱柱的高为，由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，∴正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的外接球的球心为O ，外接球的半径为r ，表面积为：4πr 2．球心到底面的距离为1，底面中心到底面三角形的顶点的距离为：××1=，所以球的半径为r==．外接球的表面积为：4πr 2=π故答案为：π．三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设命题p ：f （x ）=在区间（1，+∞）上是减函数；命题q ；x 1x 2是方程x 2﹣ax ﹣2=0的两个实根，不等式m 2+5m ﹣3≥|x 1﹣x 2|对任意实数α∈[﹣1，1]恒成立；若￢p ∧q 为真，试求实数m 的取值范围．【考点】函数恒成立问题；复合命题的真假．【分析】先根据分式函数的单调性求出命题p 为真时m 的取值范围，然后根据题意求出|x 1﹣x 2|的最大值，再解不等式，若﹣p ∧q 为真则命题p 假q 真，从而可求出m 的取值范围．【解答】解：∵f （x ）=在区间（﹣∞，m ），（m ，+∞）上是减函数，而已知在区间（1，+∞）上是减函数，∴m ≤1，即命题p 为真命题时m ≤1，命题p 为假命题时m ＞1，14/21∵x 1，x 2是方程x 2﹣ax ﹣2=0的两个实根∴∴|x 1﹣x 2|==∴当a ∈[﹣1，1]时，|x 1﹣x 2|max =3，由不等式m 2+5m ﹣3≥|x 1﹣x 2|对任意实数a ∈[﹣1，1]恒成立．可得：m 2+5m ﹣3≥3，∴m ≥1或m ≤﹣6，∴命题q 为真命题时m ≥1或m ≤﹣6，∵﹣p ∧q 为真，∴命题p 假q 真，即，∴实数m 的取值范围是m ＞1．18．正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切，求：（1）棱锥的表面积；（2）内切球的表面积与体积．【考点】球的体积和表面积．【分析】（1）过点P 作PD ⊥平面ABC 于D ，连结并延长AD 交BC 于E ，连结PE ，△ABC 是正三角形，AE 是BC 边上的高和中线，D 为△ABC 的中心．由此能求出棱锥的全面积．（2）求出棱锥的体积，设球的半径为r ，以球心O 为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，由此能求出球的表面积．【解答】解：（1）如图，过点P 作PD ⊥平面ABC 于D ，连结并延长AD 交BC 于E ，连结PE ，△ABC 是正三角形，∴AE 是BC 边上的高和中线，D 为△ABC 的中心．∵AB=2，∴S △ABC =×（2）2=6，DE=AB=，PE=．S △P AB =S △PBC =S △PCA ==3．∴S 表=9+6；15/21（2）设球的半径为r ，以球心O 为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，∵PD=1，∴V P ﹣ABC =•6•1=2．则由等体积可得r==﹣2，∴S 球=4π（﹣2）2．体积V=π（﹣2）3．19．已知有条光线从点A （﹣2，1）出发射向x 轴B ，经过x 轴反射后射向y 轴上的C 点，再经过y 轴反射后到达点D （﹣2，7）．（1）求直线BC 的方程．（2）求光线从A 点到达D 点所经过的路程．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】（1）由题意画出图形，找出A 关于x 轴的对称点，D 关于y 轴的对称点，由直线方程的两点式求得直线BC 的方程；（2）直接由两点间的距离公式得答案．【解答】解：如图，（1）∵A （﹣2，1），∴A 点关于x 轴的对称点为A ′（﹣2，﹣1），∵D （﹣2，7），∴D 点关于y 轴的对称点D ′（2，7）．由对称性可得，A ′、D ′所在直线方程即为BC 所在直线方程，16/21∴BC ：，整理得2x ﹣y +3=0；（2）由图可得，光线从A 点到达D 点所经过的路程即为|A ′D ′|=．20．已知直线l 的方程为t （x ﹣1）+2x +y +1=0（t ∈R ）（1）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；（2）若直线l 不经过第二象限，求实数t 的取值范围．【考点】直线的一般式方程．【分析】（1）对直线的截距分类讨论即可得出；（2）将直线l 的方程化为y=﹣（t +2）x +t ﹣1，由于l不经过第二象限，可得或，解出即可．【解答】解：（1）当直线l 过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，此时相等，∴t=1，直线l 的方程为3x +y=0．当直线l 不过原点时，由截距存在且均不为0，得=t ﹣1，即t +2=1，∴t=﹣1，直线l 的方程为x +y +2=0．故所求直线l 的方程为3x +y=0或x +y +2=0．（2）将直线l 的方程化为y=﹣（t +2）x +t ﹣1，∵l 不经过第二象限，∴或解得t ≤﹣2，∴t 的取值范围是（﹣∞，﹣2]．21．如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=1，AD=CD ，把△DAC 沿对角线AC 折起后如图2所示（点D 记为点P ），点P 在平面ABC 上的正投影E 落在线段AB 上，连接PB ．（1）求直线PC 与平面PAB 所成的角的大小；（2）求二面角P ﹣AC ﹣B 的大小的余弦值．17/21【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角．【分析】（1）根据折起前后有些线段的长度和角度，根据线面所成角的定义可知∠CPB 为直线PC 与平面PAB 所成的角，在Rt △CBP 中，求出此角即可；（2）取AC 的中点F ，连接PF ，EF ，根据二面角平面角的定义可知∠PFE 为二面角P ﹣AC ﹣B 的平面角，在Rt △EFA 中，求出EF ，在Rt △PFA 中，求出PF ，最后在Rt △PEF 中，求出∠PFE 的余弦值即可．【解答】（1）解：在图4中，∵∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=1，∴，，∠DAC=60°．∵AD=CD ，∴△DAC 为等边三角形．∴AD=CD=AC=2．在图5中，∵点E 为点P 在平面ABC 上的正投影，∴PE ⊥平面ABC ．∵BC ⊂平面ABC ，∴PE ⊥BC ．∵∠CBA=90°，∴BC ⊥AB ．∵PE ∩AB=E ，PE ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴BC ⊥平面PAB ．∴∠CPB 为直线PC 与平面PAB 所成的角．18/21在Rt △CBP 中，BC=1，PC=DC=2，∴．∵0°＜∠CPB ＜90°，∴∠CPB=30°．∴直线PC 与平面PAB 所成的角为30°．（2）解：取AC 的中点F ，连接PF ，EF ．∵PA=PC ，∴PF ⊥AC ．∵PE ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴PE ⊥AC ．∵PF ∩PE=P ，PF ⊂平面PEF ，PE ⊂平面PEF ，∴AC ⊥平面PEF ．∵EF ⊂平面PEF ，∴EF ⊥AC ．∴∠PFE 为二面角P ﹣AC ﹣B 的平面角．在Rt △EFA 中，，∴EF=AF •tan30°=，．在Rt △PFA中，．在Rt △PEF 中，．∴二面角P ﹣AC ﹣B的大小的余弦值为．19/2122．已知定义在R 上的二次函数f （x ）满足：f （x ）=﹣x 2+bx +c ，且f （x ）=f （1﹣x ）．对于数列{a n }，若a 1=0，a n +1=f （a n ）（n ∈N *）（1）求数列{a n }是单调递减数列的充要条件；（2）求c 的取值范围，使数列{a n }是单调递增数列．【考点】数列与函数的综合；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】（1）由题意可得f （x ）的对称轴为x=，求得b=1，由数列{a n }是单调递减数列等价为a n +1＜a n ，即为a n +1﹣a n ＜0，即c ＜a n 2恒成立，求得a n 2的最小值，即可得到c 的范围；（2）由题意可得a n +1﹣a n ＞0，即c ＞a n 2恒成立，由二次函数的配方和单调性，可得a n≤时，数列递增，即可得到所求c 的范围．【解答】解：（1）f （x ）=f （1﹣x ），可得f （x ）的对称轴为x=，即有=，即b=1，对于数列{a n }，若a 1=0，a n +1=f （a n ）（n ∈N *），即有a n +1=﹣a n 2+a n +c ，则a n +1﹣a n =c ﹣a n 2，数列{a n }是单调递减数列等价为a n +1＜a n ，即为a n +1﹣a n ＜0，即c ＜a n 2恒成立，由a n 2≥0，且a 1=0，则c ＜0．故数列{a n }是单调递减数列的充要条件为c ＜0；20/21（2）数列{a n }是单调递增数列，a n +1＞a n ，即为a n +1﹣a n ＞0，即c ＞a n 2恒成立，由a n +1=﹣a n 2+a n +c=﹣（a n ﹣）2+c +，当a n ≤时，数列递增，即有a n 2≤．可得c＞．则c ＞，使数列{a n }是单调递增数列．21/212016年10月1日。

舒城中学高一数学期中考试试题第Ⅰ卷（选择题，共分）一、选择题（每小题分，共分）．. 以下说法错误的是（）．零向量与任一非零向量平行 .零向量与单位向量的模不相等.平行向量方向相同 .平行向量一定是共线向量．已知，均为单位向量,它们的夹角为°,那么（）．．．．．已知＝（，），＝（－，），且与－垂直，则＝（）. 已知△中，＝，＝，∠＝°，则∠等于( )．°．°或°．°．°或. 在中，，，，则的面积是（）．．．．．在△中，已知，则角为（）．．．．或．{}是首项＝，公差为＝的等差数列，如果＝，则序号等于( )．．．．．．已知等差数列｛｝满足则有．设是等差数列{}的前项和，若＝，则＝( )．．．－．．．锐角三角形中，若，则下列叙述正确的是（）.①②③④.①② .①②③ .③④ .①④第Ⅱ卷（非选择题，共分）二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题分，共分）．．若Ａ点的坐标为（－２，－１），则Ｂ点的坐标为。

．已知，则．在△中，°，则＝．若数列是等差数列，是方程的两根，则. 一船以每小时的速度向东航行,船在处看到一个灯塔在北偏东，行驶４后，船到达处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共分)．．（本小题分）设平面三点（，），（，），（，）．（）试求向量＋的模；（）试求向量与的夹角．（本小题分）已知等差数列{}中，求{}前项和.（本小题分）已知数列{}的前项和＝－，()求数列{}的通项公式。

()求证数列{}成等差数列.. （本小题分）在中，，且和的夹角为.()求角;()已知，三角形的面积，求. （本小题分）已知＝(，)，＝(，)(，∈，是常数)，且· (是坐标原点)()求关于的函数关系式()；()若∈[，]，()的最大值为，求的值，并说明此时()的图象可由()的图象经过怎样的变换而得到.. （本小题分）在海岸处，发现北偏东方向，距离为的处有一艘走私船，在处北偏西方向，距离为的处有一艘缉私艇奉命以的速度追截走私船，此时，走私船正以的速度从处向北偏东方向逃窜，问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间。

舒城中学2016-2017学年度第一学期期中考试高一数学考试时间：120分钟 满分：150 命题： 审题：一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

1．设集合{}1->∈=x Q x A ，则 （）A ．A ∈∅ BA CA D．A ⊆ 2. 函数错误！未找到引用源。

的定义域为（ ）A.(0,1)B.[0,1)C.(0,1]D.[0,1]3. 已知函数2, 0,()2, 0x x f x x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，则满足()1f x <的x 的取值范围是（ ） A.)21,1(--B.)21,1(+-C.)21,1[+-D.)21,1(+4．已知13x x -+=，A =2323-+x x 则A 的值为（ ）A ．，± B．C ．D ．5．若集合1{|(),0}2xM y y x ==>,集合2{|log ,01}N y y x x ==<≤，则M N ⋃=（ ）A ．(,0)[1,)-∞⋃+∞B ．[0,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,0)(0,1)-∞⋃6. 函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是（ ）A.()0,+∞B.(),0-∞C.()2,+∞D.(),2-∞-7．函数xy a =与log (0,1)a y x a a =->≠且在同一坐标系中的图像只可能是 ( )．8. 已知()f x 是偶函数，且在(],0-∞上是增函数，若()()ln 1f x f <，则x 的取值范围是（ ） A.(),e +∞B.1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()10,,e e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D.()1,,e e e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭9. 已知01a <<，1b >，1ab >，则下列不等式成立的是（ ）A ．11log log log ba ab b b<< B ．11log log log a ba b b b<< C ． 11log log log a a b b b b<<D ．11log log log b a a b b b<<10.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数]]([[x x y =表示不大于x 的最大整数)可以表示为（ ）A ．]10[x y = B ．]103[+=x y C ．]104[+=x y D ．]105[+=x y 11. 设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有33()()22f x f x +=--成立．若(1)2f =，则(2)(3)f f +=（ ）A.-1B.1C.-2D.212.定义在R 上的函数()(1)f x x ≠满足x x x f x f -=-++4037)12016(2)( ，则(2018)f =（ ） A.2014B .2015C.2016D.2017二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

舒城中学2016—2017学年度第一学期期中考试高一数学考试时间：120分钟 满分：150 命题： 审题：一、选择题:本大题共12小题;每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

1．设集合{}1->∈=x Q x A ,则（ ）A ．A ∈∅B ．2A ∉C ．2A ∈D ．{2}A ⊆2. 函数ln(1)y x x =-的定义域为（ ）A.（0,1) B 。

［0,1) C 。

(0,1］ D 。

[0，1］3. 已知函数2, 0,()2, 0x x f x x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，则满足()1f x <的x 的取值范围是（ ）A 。

)21,1(--B 。

)21,1(+- C.)21,1[+- D 。

)21,1(+4．已知13x x-+=，A =2323-+x x 则A 的值为 （ )A ．，25±B ．5± C．5D ．255．若集合1{|(),0}2xM y y x ==>，集合2{|log,01}N y y x x ==<≤，则M N ⋃=( ）A ．(,0)[1,)-∞⋃+∞B ．[0,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,0)(0,1)-∞⋃6。

函数212log 4f xx 的单调递增区间是（ )A.()0,+∞ B 。

(),0-∞ C 。

()2,+∞ D.(),2-∞-7．函数xy a =与log(0,1)ay x a a =->≠且在同一坐标系中的图像只可能是( ）D ．8. 已知()f x 是偶函数，且在(],0-∞上是增函数，若()()ln 1f x f <,则x 的取值范围是（ ）A.(),e +∞ B 。

1,e e⎛⎫⎪⎝⎭C。

()10,,e e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D.()1,,e e e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭9。

已知01a <<，1b >，1ab >，则下列不等式成立的是 （ ）A ．11log log log b a a b b b<< B ．11log log log a ba b b b<< C ．11log log log a a b b b b<<D ．11log log log b a a b b b<<10.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数]]([[x x y =表示不大于x 的最大整数)可以表示为 ( ）A ．]10[x y = B ．]103[+=x y C．]104[+=x yD ．]105[+=x y11. 设函数()f x 是定义在R 上的奇函数,对任意实数x 有33()()22f x f x +=--成立．若(1)2f =，则(2)(3)f f += （ ）A 。