6.2 多元函数的偏导数和全微分

6．2 多元函数的偏导数和全微分6．2．1 偏导数的概念与计算1．偏导数定义对于二元函数),(y x f z =，如果只有自变量x 变化, 而自变量y 固定, 这时它就是x 的一元函数, 这函数对x 的导数, 就称为二元函数),(y x f z =对于x 的偏导数。

定义：设函数),(y x f z =在点(x 0, y 0)的某一邻域内有定义, 当y 固定在y 0而x 在x 0处有增量∆x 时, 相应地函数有增量),(),(0000y x f y x x f -∆+ 如果极限xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000存在, 则称此极限为函数),(y x f z =在点(x 0,y 0)处对x 的偏导数, 记作：0y y x x xz ==∂∂，0y y x x xf ==∂∂，00y y x x xz ==，或),(00y x f x 。

即：xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0000000.类似地，函数),(y x f z =在点(x 0, y 0)处对y 的偏导数定义为：yy x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim00000,记作：0y y x x yz ==∂∂，0y y x x yf ==∂∂，00y y x x yz ==，或),(00y x f y 。

偏导函数：如果函数),(y x f z =在区域D 内每一点),(y x 处对x 的偏导数都存在, 那么这个偏导数就是x 、y 的函数, 它就称为函数),(y x f z =对自变量x 的偏导函数, 记作x z ∂∂， xf ∂∂， x z ， 或),(y x f x 。

偏导函数的定义式：x y x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0.类似地, 可定义函数),(y x f z =对y 的偏导函数, 记为y z ∂∂, yf∂∂, y z ，或),(y x f y 。

偏导函数的定义式：yy x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0.2．偏导数的计算 求xf∂∂时 只要把y 暂时看作常量而对x 求导数；求y f ∂∂时 只要把x 暂时看作常量而对y 求导数。

讨论：下列求偏导数的方法是否正确？0),(),(00y y x x x x y x f y x f ===，00),(),(00y y x x y y y x f y x f ===，]),([),(000x x x y x f dxdy x f ==，0]),([),(000y y y y x f dy d y x f ==。

偏导数的概念还可推广到二元以上的函数 例如三元函数u =f (x yz )在点(xyz )处对x 的偏导数定义为 xz y x f z y x x f z y x f x x ∆-∆+=→∆),,(),,(lim ),,(其中(xyz )是函数u =f (x yz )的定义域的内点它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题例1 求z =x 2+3xy +y 2在点(1, 2)处的偏导数. 解y x xz 32+=∂∂, y x y z 23+=∂∂.8231221=⋅+⋅=∂∂==y x x z,7221321=⋅+⋅=∂∂==y x yz .例2 求z =x 2sin 2y 的偏导数。

解y x xz2sin 2=∂∂；y x y z 2cos 22=∂∂。

例3 设)1,0(≠>=x x x z y , 求证: z yz x x z y x 2ln 1=∂∂+∂∂.证1-=∂∂y yx xz , x x y z y ln =∂∂.z x x x x xyx y x y z x x z y x y y y y 2ln ln 1ln 11=+=+=∂∂+∂∂-. 例4 求222z y x r ++=的偏导数。

解r x z y x x xr=++=∂∂222；ry z y x y yr =++=∂∂222。

例5 已知理想气体的状态方程为pV =RT (R 为常数), 求证1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂pTT V V p .证 因为V RT p =, 2V RT V p -=∂∂;p RT V =, p R T V =∂∂;RpV T =, R Vp T =∂∂;所以12-=-=⋅⋅-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂pV RT RV p R V RT p T T V V p .例5 说明的问题: 偏导数的记号是一个整体记号, 不能看作分子分母之商。

3．偏导数的几何意义一元函数在某点处的导数从几何上看表示曲线在该点处的切线斜率，那么二元函数的偏导在几何上表示什么呢？我们知道，二元函数),(y x f z =在空间中表示一曲面，在00(,)x y 处对x 求偏导时把y 看成常量，这时z 是关于x 的一元函数，所以00(,)x y zx∂∂表示曲面),(y x f z =与平面0y y =的交线在00(,)x y 处沿x 轴正向的切线斜率(如图)．同理，00(,)x y zy∂∂表示曲面在该点处沿y 轴正向的切线斜率．4．偏导数与连续性对于多元函数来说, 即使各偏导数在某点都存在, 也不能保证函数在该点连续. 例如⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000 ),(222222y x y x y x xy y x f在点(0, 0)有, f x (0, 0)=0, f y (0, 0)=0, 但函数在点(0, 0)并不连续. 提示： 0)0 ,(=x f 0) ,0(=yf0)]0 ,([)0 ,0(==x f dxd f x 0)] ,0([)0 ,0(==y f dy d fy当点P (x , y )沿x 轴趋于点(0 0)时有00lim )0 ,(lim ),(lim 0)0,0(),(===→→→x x y x x f y xf当点P (x , y )沿直线y =kx 趋于点(00)时 有22222022 )0,0(),(1lim lim k k x k x kx y x xy x kxy y x +=+=+→=→.因此, ),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在 故函数f (x , y )在(0, 0)处不连续.6．2．2 全微分1．全微分的定义根据一元函数微分学中增量与微分的关系, 有偏增量与偏微分：x y x f y x f y x x f x ∆≈-∆+),(),(),(，),(),(y x f y x x f -∆+为函数对x 的偏增量, x y x f x ∆),(f x (x , y )∆x 为函数对x 的偏微分;y y x f y x f y y x f y ∆≈-∆+),(),(),(，),(),(y x f y y x f -∆+为函数)对y 的偏增量，y y x f y ∆),(为函数对y 的偏微分。

全增量：),(),(y x f y y x x f z -∆+∆+=∆计算全增量比较复杂, 我们希望用∆x 、∆y 的线性函数来近似代替之. 定义 如果函数z =f (x , y )在点(x , y )的全增量 ),(),(y x f y y x x f z -∆+∆+=∆ 可表示为) )()(( )(22y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ,其中A 、B 不依赖于∆x 、∆y 而仅与x 、y 有关, 则称函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 而称A ∆x +B ∆y 为函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分, 记作dz , 即 y B x A dz ∆+∆=如果函数在区域D 内各点处都可微分, 那么称这函数在D 内可微分.2．可微与连续可微必连续, 但偏导数存在不一定连续. 这是因为, 如果z =f (x , y )在点(x , y )可微, 则 ∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y )=A ∆x +B ∆y +o (ρ), 于是 0lim 0=∆→z ρ,从而),(]),([lim ),(lim 0)0,0(),(y x f z y x f y y x x f y x =∆+=∆+∆+→→∆∆ρ.因此函数z =f (x , y )在点(x , y )处连续. 3．可微条件 定理1(必要条件)如果函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 则函数在该点的偏导数x z ∂∂、yz ∂∂必定存在, 且函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分为：y yz x x z dz ∆∂∂+∆∂∂=。

证 设函数z =f (x , y )在点P (x , y )可微分. 于是, 对于点P 的某个邻域内的任意一点P '(x +∆x , y +∆y ), 有∆z =A ∆x +B ∆y +o (ρ). 特别当∆y =0时有 f (x +∆x , y )-f (x , y )=A ∆x +o (|∆x |) 上式两边各除以∆x ，再令∆x →0而取极限，就得A x y x f y x x f x =∆-∆+→∆),(),(lim,从而偏导数xz ∂∂存在, 且A x z =∂∂.同理可证偏导数y z ∂∂存在, 且B y z =∂∂.所以：y yz x x z dz ∆∂∂+∆∂∂=. 偏导数x z ∂∂、yz ∂∂存在是可微分的必要条件, 但不是充分条件.例如，函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 00 ),(222222y x y x y x xy y x f 在点(0, 0)处虽然有f x (0, 0)=0及f y (0, 0)=0,但函数在(0, 0)不可微分, 即z -[f x (0, 0)∆xf y (0, 0)∆y ]不是较ρ高阶的无穷小.这是因为当(∆x , ∆y )沿直线y =x 趋于(0, 0)时,ρ])0 ,0()0 ,0([y f x f z y x ∆⋅+∆⋅-∆021)()()()(2222≠=∆+∆∆⋅∆=∆+∆∆⋅∆=x x x x y x y x .定理2(充分条件) 如果函数z =f (x , y )的偏导数x z ∂∂、yz ∂∂在点(x , y )连续, 则函数在该点可微分. 定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数.按着习惯, ∆x 、∆y 分别记作dx 、dy , 并分别称为自变量的微分, 则函数z =f (x , y )的全微分可写作 dy yz dx x z dz ∂∂+∂∂=. 二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理. 叠加原理也适用于二元以上的函数, 例如函数u =f (x , y , z ) 的全微分为 dz zu dy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=. 例1 计算函数z =x 2y +y 2的全微分. 解 因为xy xz 2=∂∂, y x y z 22+=∂∂,所以dz =2xydx +(x 2+2y )dy .例2 计算函数z =e xy 在点(2, 1)处的全微分. 解 因为xy ye xz =∂∂, xy xe y z =∂∂,212e x z y x =∂∂==, 2122e y z y x =∂∂==,所以 dz =e 2dx +2e 2dy . 例3 计算函数yze y x u ++=2sin 的全微分. 解 因为1=∂∂xu , yz ze y y u +=∂∂2cos 21, yz ye z u =∂∂,所以 dz ye dy ze y dx du yz yz +++=)2cos 21(. *二、全微分在近似计算中的应用当二元函数z =f (x , y )在点P (x , y )的两个偏导数f x (x , y ) , f y (x , y )连续, 并且|∆x |, |∆y |都较小时, 有近似等式∆z ≈dz = f x (x , y )∆x +f y (x , y )∆y ,即 f (x +∆x , y +∆y ) ≈ f (x , y )+f x (x , y )∆x +f y (x , y )∆y . 我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算.例4 有一圆柱体, 受压后发生形变, 它的半径由20cm 增大到20. 05cm , 高度由100cu 减少到99cm . 求此圆柱体体积变化的近似值.解 设圆柱体的半径、高和体积依次为r 、h 和V , 则有 V =π r 2h .已知r =20, h =100, ∆r =0. 05, ∆h =-1. 根据近似公式, 有 ∆V ≈dV =V r ∆r +V h ∆h =2πrh ∆r +πr 2∆h=2π⨯20⨯100⨯0. 05+π⨯202⨯(-1)=-200π (cm 3). 即此圆柱体在受压后体积约减少了200π cm 3. 例5 计算(1. 04)2. 02的近似值.解 设函数f (x , y )=x y . 显然, 要计算的值就是函数在x =1.04, y =2.02时的函数值f (1.04, 2.02).取x =1, y =2, ∆x =0.04, ∆y =0.02. 由于f (x +∆x , y +∆y )≈ f (x , y )+f x (x , y )∆x +f y (x , y )∆y=x y +yx y -1∆x +x y ln x ∆y ,所以(1.04)2. 02≈12+2⨯12-1⨯0.04+12⨯ln1⨯0.02=1.08.例6 利用单摆摆动测定重力加速度g 的公式是224Tl g π=.现测得单摆摆长l 与振动周期T 分别为l =100±0.1cm 、T =2±0.004s. 问由于测定l 与T 的误差而引起g 的绝对误差和相对误差各为多少？解 如果把测量l 与T 所产生的误差当作|Δl |与|ΔT |, 则利用上述计算公式所产生的误差就是二元函数224Tl g π=的全增量的绝对值|Δg |. 由于|Δl |, |ΔT |都很小, 因此我们可以用dg 来近似地代替Δg . 这样就得到g 的误差为||||||T T gl l g dg g ∆∂∂+∆∂∂=≈∆ Tl T gl g δδ⋅∂∂+⋅∂∂≤||||)21(4322T l Tl T δδπ+=, 其中l 与T 为l 与T 的绝对误差. 把l =100, T =2,l =0.1, δT =0.004代入上式, 得g 的绝对误差约为)004.02100221.0(4322⨯⨯+=πδg)/(93.45.022s cm ==π.002225.0210045.0=⨯=ππδg g. 从上面的例子可以看到, 对于一般的二元函数z =f (x, y ), 如果自变量x 、y 的绝对误差分别为x 、y ,即|Δx |x ,|Δy |y ,则z 的误差||||||y y z x x z dz z ∆∂∂+∆∂∂=≈∆||||||||y y z x x z ∆⋅∂∂+∆⋅∂∂≤yx y z x z δδ⋅∂∂+⋅∂∂≤||||; 从而得到z 的绝对误差约为 y x z yz xz δδδ⋅∂∂+⋅∂∂=||||;z 的相对误差约为yx z z yz z x z z δδδ∂∂+∂∂=||.6．2．3 方向导数1．方向导数的定义现在我们来讨论函数z =f (x , y )在一点P 沿某一方向的变化率问题.设l 是xOy 平面上以P 0(x 0y 0)为始点的一条射线 e l =(coscos)是与l 同方向的单位向量 射线l 的参数方程为x =x 0+t cosy =y 0+t cos(t ≥0)设函数z =f (x , y )在点P 0(x 0 y 0)的某一邻域U (P 0)内有定义 P (x 0+t cosy 0+t cos)为l 上另一点 且P ∈U (P 0) 如果函数增量f (x 0+t cosy 0+t cos)-f (x 0y 0)与P到P 0的距离|PP 0|=t 的比值ty x f t y t x f ),()cos ,cos (0000-++βα当P 沿着l 趋于P 0(即t →t 0+)时的极限存在, 则称此极限为函数f (x , y )在点P 0沿方向l 的方向导数, 记作),(00y x lf ∂∂, 即),(00y x lf ∂∂ty x f t y t x f t ),()cos ,cos (lim 00000-++=+→βα.从方向导数的定义可知 方向导数),(00y x lf ∂∂就是函数f (xy )在点P 0(x 0 y 0)处沿方向l 的变化率 2．方向导数的计算定理 如果函数z =f (x , y )在点P 0(x 0 y 0)可微分, 那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数都存在, 且有 ),(00y x lf ∂∂βαcos ),(cos ),(0000y x f y x f y x +=,其中coscos是方向l 的方向余弦.简要证明: 设∆x =t cos ∆y =t cos 则f (x 0+t cos y 0+t cos )-f (x 0y 0)=f x (x 0y 0)t cos+f y (x 0y 0)t cos+o (t )所以 ty x f t y t x f t ),()cos ,cos (lim00000-+++→βαϕϕsin ),(cos ),(0000y x f y x f y x +=.这就证明了方向导数的存在 且其值为),(00y x lf ∂∂βαcos ),(cos ),(0000y x f y x f y x +=.提示 ),(),(0000y x f y y x x f -∆+∆+))()((),(),(220000y x o y y x f x y x f y x ∆+∆+∆+∆=∆x =t cos∆y =t costy x =∆+∆22)()(讨论: 函数z =f (x , y )在点P 沿x 轴正向和负向, 沿y 轴正向和负向的方向导数如何? 提示：沿x 轴正向时, cos α=1, cos β=0,x f l f ∂∂=∂∂; 沿x 轴负向时 cos α=-1, cos β=0, xfl f ∂∂-=∂∂.例1 求函数z =xe 2y 在点P (1, 0)沿从点P (1, 0)到点Q (2, -1)的方向的方向导数. 解 这里方向l 即向量→)1 ,1(-=PQ 的方向, 与l 同向的单位向量为)21 ,21(-=l e .因为函数可微分 且1)0,1(2)0,1(==∂∂ye xz, 22)0,1(2)0,1(==∂∂yxe yz ,所以所求方向导数为22)21(2211)0,1(-=-⋅+⋅=∂∂l z .对于三元函数f (x yz )来说它在空间一点P 0(x 0y 0z 0)沿e l =(coscoscos)的方向导数为),,(000z y x lf ∂∂tz y x f t z t y t x f t ),,()cos ,cos ,cos (lim 0000000-+++=+→γβα.如果函数f (x y z )在点(x 0 y 0z 0)可微分, 则函数在该点沿着方向e l =(coscos cos)的方向导数为),,(000z y x lf ∂∂γβαcos ),,(cos ),,(cos ),,(000000000z y x f z y x f z y x f z y x ++=例2求f (x yz )=xy +yz +zx 在点(112)沿方向l 的方向导数 其中l 的方向角分别为60︒ 45︒ 60︒ 解 与l 同向的单位向量为e l =(cos60︒ cos 45︒ cos60︒))21 ,22 ,21(=因为函数可微分 且 f x (1 1 2)=(y +z )|(1 1 2)=3 f y (1 1 2)=(x +z )|(1 1 2)=3 f z (1 12)=(y +x )|(112)=2所以)235(21212223213)2,1,1(+=⋅+⋅+⋅=∂∂lf3．梯度设函数z =f (x , y )在平面区域D 内具有一阶连续偏导数, 则对于每一点P 0(x 0y 0)∈D , 都可确定一个向量f x (x 0 y 0)i +f y (x 0 y 0)j这向量称为函数f (x , y )在点P 0(x 0y 0)的梯度, 记作grad f (x 0 y 0), 即grad f (x 0 y 0)= f x (x 0 y 0)i +f y (x 0y 0)j梯度与方向导数:如果函数f (x y )在点P 0(x 0y 0)可微分 e l =(cos cos )是与方向l 同方向的单位向量, 则),(00y x lf ∂∂βαcos ),(cos ),(0000y x f y x f y x +=,= grad f (x 0 y 0)⋅e l=| grad f (x 0y 0)|⋅cos(grad f (x 0y 0),^ e l ).这一关系式表明了函数在一点的梯度与函数在这点的方向导数间的关系 特别当向量e l 与grad f (x 0y 0)的夹角=0即沿梯度方向时 方向导数),(00y x lf ∂∂取得最大值这个最大值就是梯度的模|grad f (x 0 y 0)| 这就是说 函数在一点的梯度是个向量它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向 它的模就等于方向导数的最大值讨论:lf∂∂的最大值; 结论: 函数在某点的梯度是这样一个向量, 它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值. 4．等值线我们知道一般说来二元函数z =f (xy )在几何上表示一个曲面这曲面被平面z =c (c 是常数)所截得的曲线L 的方程为⎩⎨⎧==cz y x f z ),(这条曲线L 在xOy 面上的投影是一条平面曲线L * 它在xOy 平面上的方程为f (x , y )=c对于曲线L *上的一切点 已给函数的函数值都是c所以我们称平面曲线L *为函数z =f(x , y )的等值线. 若f x f y 不同时为零则等值线f (xy )=c 上任一点P 0(x 0y 0)处的一个单位法向量为)),(),,((),(),(10000002002y x f y x f y x f y x f y x y x +=n这表明梯度grad f (x 0 y 0)的方向与等值线上这点的一个法线方向相同, 而沿这个方向的方向导数nf∂∂就等于|grad f (x 0 y 0)| 于是n nf y x f ∂∂=),(00grad这一关系式表明了函数在一点的梯度与过这点的等值线、方向导数间的关系 这就是说函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同它的指向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线 梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数 梯度概念可以推广到三元函数的情形. 设函数f (x , y , z )在空间区域G 内具有一阶连续偏导数, 则对于每一点P 0(x 0 y 0z 0)∈G , 都可定出一个向量f x (x 0y 0z 0)i +f y (x 0 y 0z 0)j +f z (x 0 y 0z 0)k这向量称为函数f (x , y , z )在点P 0(x 0 y 0 z 0)的梯度 记为grad f (x 0 y 0 z 0) 即grad f (x 0y 0z 0)=f x (x 0y 0z 0)i +f y (x 0y 0z 0)j +f z (x 0y 0z 0)k结论: 三元函数的梯度也是这样一个向量, 它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值. 如果引进曲面 f (x , y , z )=c为函数的等量面的概念, 则可得函数f (x , y , z )在点P 0(x 0y 0z 0)的梯度的方向与过点P 0的等量面 f (x , y , z )=c 在这点的法线的一个方向相同, 且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面, 而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数.例3 求221 y x +grad . 解 这里221),(y x y x f +=.因为222)(2y x x x f +-=∂∂, 222)(2y x y y f +-=∂∂, 所以 221y x +grad j i 222222)(2)(2y x y y x x +-+-=.例4 设f (x , y , z )=x 2+y 2+z 2, 求grad f (1, -1, 2). 解 grad f =(f x , f y , f z )=(2x , 2y , 2z ), 于是 grad f (1, -1, 2)=(2, -2, 4).*5。