生活中的勾股定理

1图4A 1 生活中的勾股定理河北 欧阳庆红数学源于实际，数学的发展主要依赖于生产实践，从数学应用的角度来处理数学，阐释数学，呈现数学，使学生了解到数学是有用的，数学就在我们身边．利用勾股定理可以解决实际生活中的许多问题．下面举例分析如下：一、地基挖的合格吗?例1 如图2，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB=DC=8m,ADF=BC=6Mac=9M ，请你帮他看一下挖的是否合格？分析：本题是数学问题在生活中的实际应用，所以我们要把实际问题转化成数学问题来解决，运用直角三角形的判别条件，来验证它是否为直角三角形．∵,819,10086222222===+=+AC DC AD∴222AC DC AD ≠+,所以△ADC 不是直角三角形， ∴,900≠∠ADC 而标准为长方形，所以四个角应为直角． 所以该农民挖的不合格．评注：勾股定理的逆定理，在解决实际问题中、有着广泛的应用，可以用它来判定直角，家里建房时，常需要在现场画出直角，在没有测量角的一起的情况下，工人是如常利用勾股定理的逆定理得到直角．二、木棒能放进木箱吗?例1 有一根70cm 长的木棒，要放在长、宽、高分别是50cm ，30cm ，40cm 的木箱中，能放进去吗？分析：由于木棒长为70cm ，远大于各面的边长，而且比每个面的对角线还要长，故按各面的大小都放不进去，但要注意木箱的形状是立体图形，可以利用空间的最大长度．解：能放进去． 如图4，连接111,AC C A ,在Rt △111C B A 中,3400305022211211211=+=+=C B B A C A ．在Rt △11C AA 中,500034004022112121=+=+=C A AA AC ,图2∵5000＞270,∴701 AC (cm) ∴70cm 长的木棒，能放进这只木箱中．评注：解决此题的关键在于明确1AC 即为木箱所能容纳的最大长度，这里充分利用了木箱各邻边的垂直关系，创造了连续运用勾股定理的条件，同时还能培养学生的空间想象力．走进生活，感受勾股定理江苏 宋文宝勾股定理是数学中的重要定理，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，在实际生活中应用十分广泛，现举例分析：例1 小明把一根长为160㎝的细铁丝剪成三段，做成一个等腰三角形风筝的边框ABC （如图1），已知风筝的高AD ＝40㎝，你知道小明是怎样弯折铁丝的吗？分析：本题中已知等腰△ABC 的周长为160㎝，底边BC 边上的高AD ＝40㎝，要求的是AB 、AC 及BC 的长，由等腰三角形的“三线合一”性质及勾股定理可以解决．解：因为AB ＝AC ，AD ⊥BC ，所以BD ＝DC 又因为AB ＋AC ＋BC ＝160㎝，所以AB ＋BD ＝21×160＝80㎝． 设AB ＝x ㎝，则BD ＝)80(x -㎝，由勾股定理知，222AB BD AD =+， 即222)80(40x x =-+，解得50=x ． 因此，AB ＝AC ＝50㎝，BC ＝60㎝．例2 如图2，在公路AB 旁有一座山，现有一C 处需要爆破，已知点C 与公路上的停靠站A 距离为300m ，与公路上另一停靠站B 的距离为400m ，且C A ⊥CB ，为了安全起见，爆破点C 周围半径250m 范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB 段是否因有危险而需要暂时封锁？分析：要判断公路AB 段是否需要封锁，则需要计算点C 到AB 的距离与250m 的大小关系，可以借助勾股定理和三角形的面积计算点C 到AB 的距离．解：作CD ⊥AB 于D ，因为BC ＝400m ，AC ＝300m ，∠ACB ＝90°，根据勾股定理，得图1图2222AB BC AC =+，即222400300AB =+，所以AB ＝500m ．由三角形的面积可知：AC BC CD AB ⋅=⋅2121，所以500CD ＝400×300，所以CD ＝240m ．因为240＜250，即点C 到AB 的距离小于250m ，所以有危险，公路AB 段需要暂时封锁．“勾股”与“诗歌”山东 李其明勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，在数学发展中起着重要的作用．在现实世界中有着广泛的应用．勾股定理的发现、验证及应用的过程蕴涵了丰富的文化价值，然而有许多古代诗篇也与她有着至今仍流传着许多佳话，下面略举几例与同学们共赏．一、 “荡秋千”问题我国明朝数学家程大位（1533～1606年）写过一本数学著作叫做《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是用《西江月》词牌写的：平地秋千未起，踏板一尺离地； 送行二步与人齐，五尺人高曾记； 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉； 良工高士素好奇，算出索长有几？词写得很优美，翻译成现代汉语大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（每5尺为一步），秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，如果这时秋千的绳索拉得很直，试问它有多长？下面我们用勾股定理知识求出答案．如图2，设绳索AC=AD=x （尺），则AB=（x+1）-5（尺）， BD=10（尺），在Rt △ABD 中，由勾股定理得AB 2+BD 2=AD 2，即（x-4）2+102=x 2，解得x=14.5，即绳索长为14.5尺． 二、“执竿入城”问题鲁迅先生在《古小说钓沉》辑本中有一则《执竿入城》的寓言： “鲁有执长竿入城门者，初竖执之，不可人；横执之，亦不可人，计无所出，俄有老父至，曰：吾非圣人，但见事多矣，何不以锯中截而入，遂依而入”我国C BAD EF5尺 1尺 图2当代数学家许淳舫教授将这则寓言编成一道趣味数学题，收入《古算趣味》中：笨人持竿要进屋，无奈门框拦住竹； 横多四尺竖多二，没法急得放声哭； 有个自作聪明者，教他斜竹对两角； 笨伯依言试一试，不多不少刚抵足；借问竿长多少数，谁人算得我佩服．下面我们用勾股定理知识来解答，如图3，设竿长AC=x （尺）， 则AD=（x-2）尺，DC=（x-4）尺，在Rt △ADC 中，由勾股定理得AD 2+DC 2=AC 2，即（x-2）2+（x-4）2=x 2，解得x=10（x=2舍去），故竿为10尺．总之，古诗与数学是人类文明的两大瑰宝，学点古诗，有益于性情的熏陶；学点数学，有益于训练你的思维，学好古诗与数学，你会从中获得艺术与美的享受．FB 图3。

勾股定理在生活中的应用
勾股定理又称勾股论，即毕达哥拉斯设计的一个无理定理：“任意三角形的两边之积等于另外一边的平方之和”。

这个定理具有广泛的应用：
1、勾股定理在日常生活中可以用来确定三角形各边之间的关系：例如可以判断其中一边是不是一个倍数关系或者一个反比例关系。

通过建立对应方程，容易得到三角形三边的数值，作为三角形的参数。

2、也可以依据勾股定理来测量距离。

例如，构建一个直角三角形，让其一条边固定为一个值，我们使用两个斜边长度表示其他边的长度。

可以用i中国的三角测量法来求得某个距离的长度。

3、另外可以用勾股定理判断特殊的三角形。

例如可以判断一个三角形是不是等腰三角形、等边三角形或是直角三角形，只需要判断两边之积是否等于另外一边的平方之和。

4、勾股定理在空间中也有极大的作用，尤其是研究四面体或是更高维度的几何图形时。

例如可以用它来判断四面体的面面角是否都相等，以及求出该四面体的各个角。

另外还可以用它来求棱锥的体积、双曲线的起始点和极点等。

5 、另外勾股定理在物理学中也有广泛的应用，比如可以分析绳子长度或梯形长宽间的关系等。

总之，勾股定理由其卓越的简洁得到广泛应用，从日常生活到飞空实验都能发挥着无穷的作用，它被越来越多的人向科学家们赞美。

勾股定理与生活
勾股定理是数学中一个基本的定理，主要描述了在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

这个定理在生活中有非常广泛的应用：
1. 建筑和工程：在建筑和工程领域，勾股定理被用来确保结构的准确性和稳定性。

例如，工人会用它来检查墙壁、地板是否垂直或水平，或者在测量电线杆、塔等的高度时。

2. 装修设计：在室内设计中，比如确定家具的位置，计算最佳视角等，都会用到勾股定理。

3. 体育运动：在篮球、足球、田径等运动中，运动员利用勾股定理来判断投篮角度、传球距离等。

4. 导航和地理：在地图制作和导航系统中，勾股定理用于计算两点之间的最短距离。

5. 电子设备：手机、电脑等电子设备的屏幕尺寸，往往通过勾股定理来计算对角线长度。

6. 日常生活：比如测量窗户、门的尺寸，计算梯子的安全角度等，都会用到勾股定理。

7. 交通：驾驶员在倒车入库时，可以通过勾股定理判断车尾与障碍物的距离。

这些都是勾股定理在我们日常生活中的实际应用，体现了数学的实用性和普遍性。

勾股定理生活中的应用
勾股定理是数学中的一个重要定理，可以应用于许多实际问题中。

在生活中，勾股定理有以下应用：
1. 测量直角三角形的直角边和斜边的长度。

例如在建筑工程中，
使用勾股定理可以测量房间的对角线长度、屋顶的倾斜角度等。

2. 计算物体的投影距离。

例如，在射击运动中，使用勾股定理可
以计算弹道的投影距离，帮助射手瞄准目标。

3. 计算电路中电压、电流和电阻之间的关系。

例如，在电子工程中，使用勾股定理可以计算电路中不同元件之间的参数，帮助工程师
设计电路。

4. 计算航空航天器的飞行轨迹和速度。

例如，在航空航天领域中，使用勾股定理可以计算卫星的轨道位置和速度，帮助天文学家和工程
师进行航天探测任务。

总之，勾股定理是一种非常实用的数学工具，可以广泛应用于生
活中的各个领域，帮助人们解决实际问题。

勾股定理生活中的应用
勾股定理是数学中的一条重要定理，它在生活中有着广泛的应用。

勾股定理是
指直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

这个简单的公式在我们的日常生活中有着很多实际的应用。

首先，勾股定理在建筑设计中起着重要作用。

在设计房屋或其他建筑物时，建
筑师需要使用勾股定理来计算房屋的结构和角度。

这有助于确保建筑物的结构稳固，同时也能够确保建筑物的外观符合设计要求。

其次，勾股定理在地理测量中也有着重要的应用。

地理学家和测量员们经常使
用勾股定理来计算地球上不同地点之间的距离和角度。

这有助于我们更好地理解地球的形状和大小，同时也能够帮助我们更准确地进行地图绘制和导航。

此外，勾股定理在工程领域也有着广泛的应用。

工程师们经常使用勾股定理来
计算机械设备的角度和距离，以确保设备能够正常运行并且安全稳定。

这对于工程项目的顺利进行至关重要。

最后，勾股定理还在日常生活中有着一些小小的应用。

比如在装修房屋时，我
们可能需要使用勾股定理来确保墙角的垂直度；在购买家具时，我们可能需要使用勾股定理来计算家具的尺寸和摆放位置。

总之，勾股定理在我们的生活中有着广泛的应用，它不仅帮助我们更好地理解
世界，同时也为我们的生活和工作提供了便利。

因此，我们应该更加重视数学知识的学习，以便更好地应用数学知识解决实际问题。

一、勾股定理在生活中的应用１、理解问题实质，能够从生活问题中转化为几何图形关系。

如图4，长方体的长为15cm ，宽为10cm ，高为20cm ，点B 距点C 5cm ，一只蚂蚁如果要沿着长方体表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短路程是多少？２、弄清方位角知识，在航海、测绘等问题中使用。

如图，一艘船以6海里/小时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一艘船以2.5海里/小时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距３、利用勾股定理，测量物体高度。

如图，小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为9.0m ，眼睛与地面的距离为1.6m ，那么这棵树的高度大约为４、利用勾股定理，选择最优方案。

在高5m ，长13m 的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需要 m ． 二. 特殊几何图形中勾股定理计算规律：等腰直角三角形。

（1）斜边中线等于斜边一半并且是特殊的三线合一。

（2）斜边是直角边的2倍。

例题1如图，已知直线a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB=230．试在直线a 上找一点M ，在直线b 上找一点N ，满足MN ⊥a 且AM+MN+NB 的长度和最短，则此时AM+NB=（ ）A ．6 B ．8 C ．10 D ．12图4 图5 BA 图6 AB例题2如图所示，铁路上有A 、B 两点（看做直线上两点）相距40千米，C 、D 为两村庄（看做两个点），AD ⊥AB ，BC垂直AB ，垂足分别为A 、B ，AD=24千米，BC=16千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得C 、D 两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距A 点多少千米处？联系生活的应用实例：如图，公路AB 和公路CD 在点P 处交会，且∠APC=45°，点Q 处有一所小学，PQ=1202 m ，假设拖拉机行驶时，周围130m 以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路AB 上沿PA 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由；若受影响，已知拖拉机的速度为36km/h ，那么学校受影响的时间为多少秒？根据实际情况分类讨论 实例：为美化小区环境，某小区有一块面积为30平方米的等腰三角形草地，测得其一边长为10米．现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，现在准备这种低矮栅栏的长度分别有以下三种：①10+261米；②20+210米；③20+610米，则符合要求的是（ ）A ．只有①②B ．只有①③C ．只有②③D ．①②③一、选择题1、一船向东航行，上午8时到达B 处，看到有一灯塔在它的南偏东60°，距离为72海里的A 处，上午10时到达C 处，看到灯塔在它的正南方向，则这艘船航行的速度为（ ）A ．18海里/小时B ．183海里/小时C ．36海里/小时D ．36海里/小时 2 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a 的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）A ．12≤a≤13 B ．12≤a≤15 C ．5≤a≤12 D ．5≤a≤13*3如图，在△ABC 中，已知∠C=90°，AC=60cm ，AB=100cm ，a ，b ，c…是在△ABC 内部的矩形，它们的一个顶点在AB 上，一组对边分别在AC 上或与AC平行，另一组对边分别在BC 上或与BC 平行．若各矩形在AC 上的边长相等，矩形a 的一边长是72cm ，则这样的矩形a 、b 、c…的个数是（ ）A ．6 B ．7 C ．8 D ．9*4下列说法：①已知直角三角形的面积为4，两直角边的比为1：2，则斜边长为10；②直角三角形的最大边长为3，最短边长为1，则另一边长为2；③在△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C=1：5：6，则△ABC 为直角三角形；④等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5，其中正确结论的序号是（ ）A ．只有①②③B ．只有①②④C ．只有③④D ．只有②③④**5、如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CA=CB ，点M 、N 是AB 上任意两点，且∠MCN=45°，点T 为AB 的中点．以下结论：①AB=2 AC ；②CM 2+TN 2=NC 2+MT 2；③AM 2+BN 2=MN 2；④S △CAM +S △CBN =S△CMN ．其中正确结论的序号是（ ）A ．①②③④B ．只有①②③C ．只有①③④D ．只有②④二、填空题：*6第七届国际数学教育大会的会徽主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的．设其中的第一个直角三角形OA 1A 2是等腰三角形，且OA 1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4=…=A 8A 9=1，请你计算OA 9的长 ．*7如图，在一次夏令营活动中，小明同学从营地A 出发，要到A 地的北偏东60°方向的C 处，他先沿正东方向走了180m 到达B 地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C ，那么，由此可知，B 、C 两地相距m ．**8如图，四边形ABCD 、EFGH 、NHMC 都是正方形，A 、B 、N 、E 、F 五点在同一直线上，且正方形ABCD 、EFGH 面积分别是4和9，则正方形NHMC 的面积是 ．**9我们假设把两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形．如果Rt △ABC 是奇异三角形，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=c ，AC=b ，BC=a ，且b ＞a ，其中，a=1，那么b= ．三、解答题：*10如图，A 、B 两座城市相距100千米，现计划要在两座城市之间修筑一条高等级公路（即线段AB ）．经测量，森林保护区中心P 点在A 城市的北偏东30°方向，B 城市的北偏西45°方向上．已知森林保护区的范围在以P 为圆心，50千米为半径的圆形区域内．请问：计划修筑的这条高等级公路会不会穿越森林保护区？为什么？*11在军事上，常用时钟表示方位角（读数对应的时针方向），如正北为12点方向，北偏西30°为11点方向．在一次反恐演习中，甲队员在A处掩护，乙队员从A处沿12点方向以40米/分的速度前进，2分钟后到达B处．这时，甲队员发现在自己的1点方向的C处有恐怖分子，乙队员发现C处位于自己的2点方向（如图）．假设距恐怖分子100米以外为安全位置．（1）乙队员是否处于安全位置？为什么？（2）因情况不明，甲队员立即发出指令，要求乙队员沿原路后撤，务必于15秒内到达安全位置．为此，乙队员至少应用多快的速度撤离？（结果精确到个位．参考数据：13≈3.6，14≈3.74．）**12如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度移动，已知城市A到BC的距离AD=100km．（1）台风中心经过多长时间从B移动到D点？（2）已知在距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上6：00接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在什么时间段内做预防工作？13如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=√5，则BC 的长为14如图，四边形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，∠ABC=60°，∠BCD=30°，BC=6，那么△ACD的面积是15如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于16正方形ABCD的边长是4，点P是AD边的中点，点E是正方形边上的一点．若△PBE 是等腰三角形，则腰长为在△ABC中，AB=2√2，BC=1，∠ABC=45°，以AB为一边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD=90°，连接CD，则线段CD的长为17已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD2+CD2=2AB2．（1）求证：AB=BC；（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE=AE+CD18如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长。

勾股定理在生活中的运用——数学勾股定理应用教案。

一、勾股定理在生活中的应用1.测量直角三角形的边长勾股定理可以用于测量一个直角三角形的边长。

取三角形的两条直角边为a和b，斜边长度为c。

根据勾股定理，有a²+b²=c²。

如果已知a和b的长度，可以通过勾股定理计算出斜边的长度，如果已知a 和c或者b和c的长度，也可以利用勾股定理计算出另一边的长度。

这个应用非常广泛，无论是建筑、土木工程，还是日常生活中用于测量，勾股定理都有着不可替代的作用。

2.判断角度大小在三角函数中，角度的大小很重要。

而勾股定理可以用于计算一个角度的大小。

根据勾股定理，a²+b²=c²，可以得到三角形中任意一个角的正弦、余弦、正切值。

在数学的科学研究中，这个应用也非常广泛，特别是对于现代科学、工程和技术的研究，这个应用有着很重要的意义。

3.设计三角形的家具和工具当设计三角形的家具和工具时，勾股定理是非常有用的。

例如，如果需要设计一个墙角柜，可以使用勾股定理测量角度。

同样的，如果需要设计一个三角梳妆台，也可以使用勾股定理来测量角度大小。

4.数学课堂教学教授勾股定理是数学教育中的一个重要部分。

勾股定理是中学数学中的一个基本概念，高中阶段的数学教育中也会涉及到勾股定理的相关理论，其中包括证明以及数学运用。

在教授勾股定理时，老师可以通过生活实例让学生更好地理解它的实际应用。

二、教授勾股定理的方法1.理论教学在进行理论教学时，老师应该注重理论的系统性和逐步性。

要让学生领会勾股定理的核心理念，关注证明过程和推导过程，让学生了解勾股三角形的性质，懂得勾股定理从何而来，以及如何在实际生活中应用。

2.图像教学图象教学是另一种教授勾股定理的方法。

通过绘制三角形和斜边，将图像和实际应用结合起来，让学生可以更好地理解和记忆勾股定理的实际应用。

在绘制三角形和斜边时，要注重教授如何标注三角形中的角度、边长等重要信息。

勾股定理在实际生活中的应用
勾股定理是古希腊数学家勾股所提出的，它表明了一个有三个正整
数组成的三角形的三条边（a,b,c）之间的关系，即a^2+b^2=c_2，主要
用于计算三角形中各边的长度，这个定理应用广泛。

1. 三棱锥和其他几何体
勾股定理在解决三角形问题的同时也有助于计算立体几何图面的表面
积和体积，特别是可以用来计算三棱锥的表面积和体积，对于任何一
个具有两个边长的三棱锥，可以使用勾股定理来求解它的底面和顶面
之间的距离，从而算出它的表面积和体积。

2. 建筑计算
勾股定理在建筑计算中也有用到，它可以帮助计算建筑物外墙和屋顶
坡度的高度，或者确定其他三角形形状建筑物的高度。

同时，屋面的
坡度也可以使用勾股定理来计算，因为屋面的坡度也是一个三角形，
勾股定理可以用来确定屋面的高度和角度。

3. 水利
建纳水利也是勾股定理的常用应用，它可以用来计算水渠或水坝底开
口的高度。

由于受水库底部和上部水平面之间的水头高度受到引水渠
容积受限，进一步受到引水渠斜度限制，那么可以使用勾股定理来求
解引水渠底开口高度。

因此，可以用勾股定理确定引水渠中水的流量，从而计算出正确的储水渠的容积。

4. 导航测量
导航测量中也使用到勾股定理，比如用它来计算从某一特定点到特定方位的垂直距离。

对角线距离也可以通过使用勾股定理来进行计算，这是由于当测量站和要测量的点之间存在着三角形关系，用勾股定理就可以求出两点之间的距离。