§6-6子空间的交与和

§6-6子空间的交与和
复习 集合的交、集合的并
定理5:如果V 1,V 2是线性空间V 的两个子空间,那么它们的交21V V ⋂也是V 的子空间.(给出证明)
子空间的交满足下列运算规律:(交换律和结合律)
1221V V V V ⋂=⋂ ; )()(321321V V V V V V ⋂⋂=⋂⋂ 定理5可推广到有限个子空间的交的情形.
给出子空间的和的概念
定义8: 设V 1,V 2是线性空间V 的两个子空间, V 1和V 2的和是指所有形
如221121,;V V ∈∈+αααα的向量组成的子集合,记为21V V +.
定理6: 如果V 1,V 2是线性空间V 的两个子空间,那么它们的和21V V +也
是V 的子空间.(给出证明)
子空间的和满足下列运算规律:
1221V V V V +=+ 交换律
)()(321321V V V V V V ++=++结合律
多个子空间的和
∑==+++s
i i s V V V V 121 是由形如i i s V ∈+++αααα;21 的
元素组成.
◎关于子空间的交与和有以下结论:
1. 对V 的任意两个子空间V 1,V 2来说，
}0{21⊃⋂V V ; V V V ⊂+21
2. 设V 1,V 2,W 都是V 的子空间,那么
由21,V W V W ⊂⊂可推出21V V W ⋂⊂ 而由21,V W V W ⊃⊃可推出21V V W ⋂⊃ 3. 对于子空间V 1和V 2,以下三个论断等价:
1)21V V ⊂; 2) 121V V V =⋂; 3) 221V V V =+ 例1:在三维几何空间中，用V 1表示通过原点的直线，V 2表示通过原点且与V 1垂直的平面，试求21V V ⋂，和21V V ⋃。

答案：21V V ⋂是原点、21V V ⋃是整个空间R 3。

例2：在线性空间P n
中V 1表示齐次线性方程组A m×n X=0的解空
间，V 2表示B s×n X=0的解空间，则21V V ⋂是齐次线性方程组
0=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛X B A 的解空间。

例3：在线性空间V 中，
L(r ααα ,,21)+L(s βββ ,,21)=L(r ααα ,,21，s βββ ,,21) 定理7(维数公式) 设V 1,V 2是线性空间V 的两个子空间,那么
维(V 1)+维(V 2)=维(V 1+V 2)+维(V 1∩V 2)
证明:设 维(V 1∩V 2)=r, r ααα ,,21是一组基，由于交集是子集，分别扩充成 V 1的基：{ r ααα ,,21，s βββ,,,21 }；维(V 1)=r+s
与 V 2的基{ r ααα ,,21，t γγγ,,,21 } 维(V 2)=r+t 因为
),,,,,(),,,,,(1112121t r s r L L V V γγααββααα +=+ ),,,,,,,,(1121t s r L γγββααα =
证明维数定理只需证明向量组 t s r γγββααα,,,,,,,,1121 线性无关 事实上 如果 +
∑=r
i i
i k 1α
+∑=s i i
i
l 1β∑=t
i i
i
m 1
γ
＝0 （*）
因为
+
∑=r
i i
i k 1
α
∑=s
i i
i
l 1
β
＝－∑=t
i i i m 1
γ ，
向量 －∑=t
i i i m 1
γ 属于V 1∩V 2，从而，可由向量r
ααα ,,21线性表示
即 －∑=t
i i i m 1
γ＝∑=r
i i i a 1
α，
∑=t
i i
i
m 1
γ
＋∑=r
i i i a 1
α＝0，
由于{ r ααα ,,21，t γγγ,,,21 }线性无关，所以
t m m i ,,2,1,0 ==
带入（*）式，得到
+
∑=r
i i
i k 1
α
∑=s
i i
i l 1
β
＝0，，
由于{ r ααα ,,21，s βββ,,,21 }线性无关， 所以 r i k i ,,2,1,0 ==， ,,2,1,0 ==i l i 向量组 t s r γγββααα,,,,,,,,1121 线性无关 ， 维(V 1+V 2)＝r+s+t=维(V 1)+维(V 2)－维(V 1∩V 2)。

推论1: 维(V 1+V 2) ≤维(V 1)+维(V 2)
推论2:如果n 维线性空间V 中两个子空间V 1,V 2的维数之和大于n,那么V 1,V 2必含有非零的公共向量.（即}0{21≠⋂V V ，维(V 1+V 2)>0）。

证明：由于V 1+V 2是V 的子空间，维（V 1+V 2）≤n 而 维(V 1)+维(V 2)>n, 由维数定理, 维(V 1∩V 2)>0, 从而V 1∩V 2含有非零元素.
如果}0{21=⋂V V ，就有，维(V 1+V 2) =维(V 1)+维(V 2)， 这时有V=V 1+V 2 , 这就要讨论线性子空间的直和。

作业:P 276 – 17、18。