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例2:数一数图中的凸多面体的面数F、顶
点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们 之间的关系.
多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
三棱锥
4
4
6
四棱锥
5
5
8
三棱柱
5
6
9
五棱锥
立方体
正八面体
五棱柱
截角正方体
尖顶塔
多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
三棱锥
4
4
6
四棱锥
5
5
8
三棱柱
5
6
9
设圆的方程为①(x-a)2+(y-b)2=r2与
②(x-c)2+(y-d)2=r2（a≠c或b≠d),
则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴
方程.
小结
1.什么是归纳推理（简称归纳）?
部分
整体
个别
一般
2.归纳推理的一般步骤:
(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;
(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的 一般性命题(猜想).
归纳推理
前提 当n=0时，n2-n+11=11
当n=1时，n2-n+11=11 当n=2时，n2-n+11=13 当n=3时，n2-n+11=17 当n=4时，n2-n+11=23
当n=5时，n2-n+11=31
11,11,13,17,23,31都是质数
结论 对于所有的自然数n, n2-n+11的值都是质数
点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,f(4)= 5 ,
当n>4时,f(n)=
f (3) f (2)
1 (n
22
2)(n
1)
.(用n表示)
f (4) f (3) 3
f (5) f (4) 4
LLL
f (n) f (n 1) n 1
累加得: f (n) f (2) 2 3 4 L (n 1)
目前最佳的结果是中国数学家陈景润於 1966年证明的，称为陈氏定理 .“任何充份大 的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而後 者仅仅是两个质数的乘积。” 通常都简称这 个结果为大偶数可表示为 “1 + 2 ”的形式。
从个别事实中推演出一般性的结论,称为归纳推理.
归纳推理的几个特点:
1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳 所得的结论超越了前提所包容的范围. 2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚 属未知的现象,因而结论具有猜测性. 3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观 察、经验和实验的基础之上.
前提:
4=2+2 6=3+3 6＝3+3， 8＝3+5， 10＝5+5, 12＝5+7， 14＝7+7， 16＝5+11, 18 =7+11, …， 1000＝29+971 1002=139+863,
…
结论:
“任何一个大于2的偶数都可 以表示为两个素数之和”
----歌德巴赫猜想
哥德巴赫猜想 (Goldbach Conjecture)
1 3
+
L
+
1 (n n
Î
N* )计算得
f(2)=
3 2
,f(4)>2,f(8)>
5 2
,f(16)>3,f
(32)
>
7 2
L , 推测当n ³ 2时,有-----------------.
(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方 程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广, 即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为 所推广命题的一个特例,推广的命题为：
归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料
分析的基础上.提出带有规律性的结论.
需证明
归纳推理的一般步骤：
试验、观察 概括、推广 猜测一般性结论
例1.已知数列{an}的第1项a1=1，且
an1
an 1 an
（n=1 , 2 , …),试归纳出这个数列的通项公式.
分别把n=1,2,3,4代入an1
an 1 an
归纳: f (n) 2n 1
f
(n)
1, 2 f
(n
1)
1,
n1 n2
例3(2004春季上海)根据图中5个图形及相应点的个
数的变化规律,试猜测第n个图形中有 n2 n 1 个
点.
(1) (2) (3)
(4)
(5)
例4(2005年广东)设平面内有n条直线(n≥3),其中有
且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一
2
1
3
n=1时, f (1) 1
2
1
3
n=1时, f (1) 1 n=2时, f (2) 3
2
1
3
n=1时, f (1) 1 n=2时, f (2) 3 n=3时, f (3) 7
2
1
3
n=1时, f (1) 1 n=2时, f (2) 3
n=3时, f (3) 3 13
f (2) 1 f (2)
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
正八面体
8
6
12
五棱柱
截角正方体
尖顶塔
猜想 F+V-E=2 欧拉公式
多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
三棱锥
4
4
6
四棱锥
5
5
8
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
正八面体
8
6
12
五棱柱
7
10
15
截角正方体 7
10
15
尖顶塔
9
9
16
练习：f(n)=1+
1+ 2
得:
1
1
1
1
a2 2 , a3 3 , a4 4 , a5 5
归纳:
1 an n
可用数学归纳法证明 这个猜想是正确的.
解法2、构造法
取倒数得： 1 1 1
an1
an
例2.有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下 列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上. 1.每次只能移动一个金属片; 2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面. 试推测:把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要 移动多少次?
2
1
3
n=1时, f (1) 1 n=2时, f (2) 3 n=3时, f (3) 7 f (2) 1 f (2)
n=4时, f (4) f (3) 1 f (3) 15
2
1
3
n=1时, f (1) 1 n=2时, f (2) 3 n=3时, f (3) 7 f (2) 1 f (2) n=4时, f (4) 15 f (3) 1 f (3)
作业
2
1.已知数列{an}的前n项和Sn , a1
1 Sn Sn 2 an (n 2).
计算S1 ,
3
S2 ,
,
S3
且 , S4
,
并猜想Sn的表达式.
计算得: S1
2, 3
S2
3, 4
S3
4, 5
5 S4 6
猜想:
n1 Sn n 2
