1乘法公式的灵活运用一、复习：(a+b)（a —b)=a 2—b 2（a+b ）2=a 2+2ab+b 2（a-b)2=a 2—2ab+b 2（a+b ）（a 2-ab+b 2)=a 3+b 3(a —b)（a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化,(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2) =x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2=(x -y )(x -y )-z 2=x 2-xy -xy +y 2-z 2 =x 2-2xy +y 2-z 2⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2) =x 4-y 4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ，2=ab ,求2)(b a -的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ,2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3：计算19992—2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。
2020年中考数学人教版专题复习：有理数的乘法一、学习目标：1. 理解有理数的乘法法则及其运算律，能运用乘法法则准确地进行有理数的乘法运算，会利用运算律简化乘法运算．2. 掌握倒数的概念，会运用倒数的性质简化乘法运算．3. 能运用乘法的符号法则，判断几个有理数的符号与它们乘积的符号之间的关系．二、重点、难点：重点：会进行有理数乘法运算．难点：会正确运用运算律，简化运算．三、考点分析：本讲所涉及的重要考点内容是两个有理数相乘或多个有理数相乘的乘法法则，有理数的乘法法则和倒数的概念是中考命题的热点内容，在中考中单独命题的形式较少，一般和其他知识一起综合命题.知识梳理1. 有理数的乘法法则（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．（2）任何数同0相乘，都得0．（3）几个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数．（4）几个数相乘，如果其中有任何一个因数为0，则积等于0．2. 倒数乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为：a ×1a ＝1（a ≠0）．就是说，a 和1a 互为倒数，即a 是1a 的倒数，1a 是a 的倒数．注意：（1）0没有倒数．（2）求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置．（3）正数的倒数是正数，负数的倒数是负数．（4）倒数等于它本身的数是1和－1，不包括0．3. 有理数的乘法运算律（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等．即ab ＝ba ．（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即（ab ）c ＝a （bc ）．（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a （b ＋c ）＝ab ＋ac ．典例精析知识点一：有理数的乘法例1：计算：（1）－12×（－13）；（2）313×（－115）．思路分析：题意分析：本题考查有理数的乘法法则的运用．解题思路：（1）和（2）都是两个有理数相乘，同号两数相乘积得正，异号两数相乘积得负，再把绝对值相乘．注意：计算过程中，先把带分数化为假分数．解答过程：（1）－12×（－13）＝12×13＝16；（2）313×（－115）＝－103×65＝－4．解题后的思考：在运用有理数的乘法法则时，要先确定符号，再计算它们的绝对值．例2：计算：（1）（－7）×8×（－57）×15；（2）1.6×（－145）×（－2.5）×（－38）．思路分析：题意分析：本题考查的是运用有理数乘法法则解决多个有理数相乘的问题．解题思路：几个不等于0的数相乘，首先要确定积的符号，然后把绝对值相乘，一般地，将小数化为分数，将带分数化为假分数，这样便于约分．解答过程：（1）（－7）×8×（－57）×15＝7×8×57×15＝8；（2）1.6×（－145）×（－2.5）×（－38）＝－85×95×52×38＝－2710．解题后的思考：几个有理数相乘时，先观察有没有因数0，如果有，积为0；如果没有，先确定积的符号，再确定积的绝对值．小结：有理数的乘法法则可以推广为：（1）几个不为零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正．（2）几个数相乘，有一个因数为零，积就为零．反之，如果积为零，那么至少有一个因数为零．知识点二：有理数的乘法运算律例3：计算：（1）691516×（－8）；（2）（－370）×（－14）＋0.25×24.5＋（＋512）×14．思路分析：题意分析：（1）题如果把带分数化成假分数，运算量较大；（2）题是加法和乘法的混合运算，每个乘法算式中都含有因数14．解题思路：对于（1）可利用拆分思想，把带分数拆成一个整数与一个真分数的和，再应用乘法分配律进行运算．而拆成70－116就比拆成69＋1516简便；对于（2），由于每个乘法算式中都有一个共同的因数14，可逆用乘法分配律进行运算．解答过程：（1）原式＝（70－116）×（－8）＝70×（－8）－116×（－8）＝－55912；（2）原式＝370×14＋14×24.5＋512×14＝14（370＋24.5＋5.5）＝14×400＝100．解题后的思考：在计算前要认真分析题目中数据的特点，从而选用恰当的运算律来简化运算．小结：乘法运算律在乘法运算中的作用主要是使运算简便，提高计算速度和准确性．能否灵活、合理运用运算律是解题能力高低的具体体现．应注意在运算律中，a 、b 、c 表示任意有理数，可以是正数、负数或0．知识点三：有理数乘法的综合应用例4：求下列各数的倒数：（1）－123；（2）2；（3）0.45；（4）－57．思路分析：题意分析：根据倒数的定义求解．解题思路：根据倒数的定义，求一个数的倒数，就是要确定与这个数的乘积为1的数．求一个整数的倒数时，可直接写成以这个数为分母，1为分子的数；求一个小数的倒数时，先把小数化成分数，再把分子、分母颠倒位置即可．解答过程：（1）因为－123＝－53，（－53）×（－35）＝1，所以－123的倒数是－35；（2）因为2×12＝1，所以2的倒数是12；（3）因为0.45＝920，920×209＝1，所以0.45的倒数是209；（4）因为（－57）×（－75）＝1，所以－57的倒数是－75．解题后的思考：求一个数的倒数时应注意：0没有倒数，正数的倒数是正数，负数的倒数仍是负数，符号不变．例5：完成下列各题：（1）绝对值不大于5的所有负整数之积为__________．（2）绝对值不大于10的所有整数之积为__________．（3）若︱m ︱＝3，︱n ︱＝6，则︱mn ︱＝__________．思路分析：题意分析：本题考查有理数的乘法与有理数的有关概念．解题思路：这三个小题有一个共同特点，都是求一些数的积．解决本题的关键是根据题意确定因数的情况，尤其要正确理解“不大于”、“负整数”等条件的意义．解答过程：（1）绝对值不大于5的所有负整数为：－5、－4、－3、－2、－1，它们的积为（－5）×（－4）×（－3）×（－2）×（－1）＝－120．（2）绝对值不大于10的所有整数，包括0在内，其积为0．（3）由︱m ︱＝3知，m ＝±3，由︱n ︱＝6知n ＝±6．因此，︱mn ︱的值有以下四种情况：①当m ＝3，n ＝6时，︱mn ︱＝︱3×6︱＝18；②当m ＝3，n ＝－6时，︱mn ︱＝︱3×（－6）︱＝18；③当m ＝－3，n ＝6时，︱mn ︱＝︱（－3）×6︱＝18；④当m ＝－3，n ＝－6时，︱mn ︱＝︱（－3）×（－6）︱＝18．所以︱mn ︱＝18．解题后的思考：有理数乘法可与绝对值、有理数的加减法及其他知识综合在一起进行考查，当有理数乘法与绝对值综合在一起考查时，要注意分析解的情况．例6：在国外留学的叔叔送给聪聪一个新奇的玩具——智能小兔子．它的新奇之处在于若第一次向正南跳一下，第二次就掉头向正北跳两下，第三次又掉头向正南跳三下，……．而且它每跳一下的距离均为20厘米．如果小兔子第一次向正南跳，那么跳完第80次后，它在起跳点的__________（填“正南”或“正北”处），距离起跳点__________米．0起跳点南北思路分析：题意分析：这是一道关于有理数的实际应用问题．解题思路：我们可以规定向北为正，向南为负，第一次跳动后，（－1）×0.2＝－0.2（米），表示小兔子在起跳点正南0.2米；第二次跳动后，（＋2）×0.2＝0.4（米），－0.2＋0.4＝0.2（米），表示小兔子在起跳点正北0.2米；……．跳完第80次后，把所有数据相加，和为正则表示在正北方向，和为负则表示在正南方向．解答过程：根据题意可得：（－1）×0.2＋（＋2）×0.2＋（－3）×0.2＋（＋4）×0.2＋…＋（－79）×0.2＋（＋80）×0.2＝0.2×（－1＋2－3＋4－…－79＋80）＝0.2×1×40＝8（米），所以跳完第80次后，小兔子在起跳点的正北8米处．解题后的思考：解决实际问题的关键是根据问题情境找出数量关系，将实际问题转化为所学的数学问题．小结：解决有理数乘法的综合问题时，要弄清楚有理数、绝对值、倒数等相关概念．有理数的乘法是解决其他数学问题的基础，一般不会直接考查，往往和绝对值、倒数等内容相结合，或以解决实际应用、规律探究型问题的形式出现．提分技巧1. 有理数相乘时，先分析其结构特点，能用运算律解决的，尽可能使用运算律，注意确定积的符号，带分数相乘时，要把带分数化成假分数，分数与小数相乘时，要统一成分数或小数，再进行运算．2. 有理数的加法法则和乘法法则的比较．二者的共同点：先确定结果的符号，再确定结果的绝对值．二者的不同点：和的符号是由绝对值较大的加数的符号决定的，积的符号是由负因数的个数决定的．同步测试一、选择题1. 几个有理数相乘，积的符号由（ ）A . 正因数的个数决定B . 负因数的个数决定C . 因数的个数决定D . 负因数的大小决定 2. 下列计算正确的是（ ）A . －3＋2＝1B . ︱－2︱＝－2C . 3×（－3）＝－9D . －2×（－12）－1＝13. 下列说法正确的是（ ） A . 14和－0.25互为倒数 B . 14和－4互为倒数C . 0.1和10互为倒数D . 0的倒数是0 4. 三个有理数的积为正数，和为负数，则这三个数的符号一定是（ ）A . 都是正数B . 都是负数C . 一个负数，两个正数D . 一个正数，两个负数 5. 如果两个有理数的积小于零，和大于零，那么这两个有理数（ ）A . 符号相反B . 符号相反，绝对值相等C . 符号相反，且负数的绝对值较大D . 符号相反，且正数的绝对值较大*6. 若︱x －1︱＋︱y ＋2︱＋︱z －3︱＝0，则（x ＋1）（y －2）（z ＋3）的值为（ ）A . 48B . －48C . 0D . xyz*7. 下列说法正确的有（ ）①数a 的相反数是－a ，数a （a ≠0）的倒数是1a ；②任何一个有理数都有相反数，但不是任何有理数都有倒数；③相反数等于它本身的数是0，倒数等于它本身的数是＋1和－1；④若两个数互为相反数，那么这两个数的和为0；如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为1．A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个**8. 若a .b 都是有理数，则下列命题中，正确的是（ ）A . 若a ·b ＞0，则a ＞0，b ＞0B . 若a ·b ＜0，则a ＜0，b ＜0C . 若a ·b ＝0，则a ＝0，且b ＝0D . 若a ·b ＝0，则a ＝0，或b ＝0二、填空题9. 计算（1－2）（2－3）（3－4）…（19－20）的积的符号为__________，因为负因数的个数为__________个．10. 大于－3且小于4的所有整数的积是__________．**11. 若︱a ︱＝5，b ＝－2，且ab ＞0，则a ＋b ＝__________．**12. 计算1－2＋3－4＋5－6…＋2009－2010＝__________．三、解答题13. 计算：（1）710×（－314）×（－29）×（－14）；（2）（－10）×（＋3）×（－12）×（－513）×（＋45）；14. 计算：（1）（－76）×（－15）×（－67）×15；（2）－34×（8－43－0.04）；（3）（－74）×（－18）＋（－24）×（－18）；（4）－17×14－0.47×16＋（－0.47）×56＋34×（－17）．*15. 刘亮的妈妈每天早上要送新鲜蔬菜到市场去卖，下面是她一周送出的20筐菜的重量记录表，每筐以25kg 为标准重量．*16. 计算：（1）（－16）×1；（2）（－19）×（－1）；（3）（－1）×0；（4）0×1；（5）23×（－1）；（6）72×1．你能发现什么规律？试题答案一、选择题1. B2. C3. C4. D5. D6. B 解析：因为︱x －1︱＋︱y ＋2︱＋︱z －3︱＝0，所以x ＝1，y ＝－2，z ＝3，所以（x ＋1）（y －2）（z ＋3）＝2×（－4）×6＝－48．7. D 解析：这四句话都正确．8. D 解析：若a ·b ＞0，则a .b 都是正数或都是负数，故A 错；若a ·b ＜0，则a .b 一个是正数，一个是负数，故B 错；若a ·b ＝0，则a .b 至少有一个为0，即a ＝0或b ＝0，故C 错，D 正确．二、填空题9. 负，1910. 0 解析：大于－3且小于4的所有整数中包括0．11. －7 解析：因为︱a ︱＝5，所以a ＝5或－5．因为ab ＞0，所以a 和b 都是正数或都是负数，又因为b ＝－2，所以a ＝－5．所以a ＋b ＝－7．12. －1005 解析：原式＝（－1）＋（－1）＋（－1）＋…＋（－1）＝（－1）×1005＝－1005．三、解答题13. 解：（1）原式＝－（710×314×29×14）＝－1120；（2）原式＝－10×3×12×163×45＝－64．14. 解：（1）原式＝－76×67×15×15＝－3；（2）原式＝－34×8＋34×43＋34×0.04＝－6＋1＋0.03＝－4.97；（3）原式＝74×18＋24×18＝18×（74＋24）＝18×98＝18×（100－2）＝1800－36＝1764；（4）原式＝（－17）×（14＋34）－0.47×（16＋56）＝－17×1－0.47×1＝－17－0.47＝－17.47．15. 解：20×25＋2×（－0.8）＋5×0.6＋3×（－0.5）＋4×0.4＋2×0.5＋4×（－0.3）＝501.3（kg ）．16. 解：（1）（－16）×1＝－16；（2）（－19）×（－1）＝19；（3）（－1）×0＝0；（4）0×1＝0；（5）23×（－1）＝－23；（6）72×1＝72．规律：一个数乘以－1，得这个数的相反数；一个数乘以1，仍得这个数本身；零与任何数相乘都得零．。
2020年广东省中考数学总复习：整式的乘除第3讲《乘法公式》模块一 平方差公式22()()a b a b a b +-=-平方差公式的特点：即两数和与它们差的积等于这两数的平方差。
①左边是一个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数。
②右边是乘方中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）。
注意：①公式中的a 和b 可以是具体的数也可以是单项式或多项式。
如：2(2)(2)4a a a +-=-；22(3)(3=9x y x y x y +--）； 22()()()a b c a b c a b c +++-=+-；3535610()()a b a b a b +-=-。
②不能直接运用平方差公式的，要善于转化变形，也可能运用公式。
如：97103(1003)(1003)9991⨯=-+=； 22()()()()a b b a a b a b a b +-+=+-=-。
模块二 完全平方公式222()2a b a ab b +=++；222()2a b a ab b -=-+，即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍。
完全平方公式的特点：左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中的每一项的平方，另一项是左边二项式中二项乘积的2倍，可简单概括为口诀：“首平方，尾平方，首尾之积2倍加减在中央”。
注意：①公式中的a 和b 可以是单项式，也可以是多项式。
②一些本来不是二项式的式子的平方也可以利用完全平方公式来计算，22()[()]a b c a b c ++=++22()2()a b a b c c =+++⨯+知识点睛222222a ab b ac bc c =+++++222222a b c ab ac bc =+++++板块一：公式的几何意义【例1】 如图，从边长为a 的正方形内去掉一个边长为b 的小正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形，上述操作所能验证的公式是__________.【答案】如图，左图中阴影部分的面积为22a b -，右图中阴影部分的面积为()()a b a b +-，而两图中阴影部分的面积应该是相等的，故验证的公式为22()()a b a b a b +-=-(反过来写也可)【巩固】 如图，四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a 、b 的恒等式___________.【答案】22()()4a b a b ab -=+-或224()()ab a b a b =+--【巩固】 如图，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形(a b >)，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形的面积，验证了公式_________________.【答案】左图中阴影部分的面积为22a b -，右图中阴影部分的面积为例题精讲a bb a。
