2019高考数学黄金解题模板专题19 解三角形

核心考点解读—解三角形正眩定理及其应用(II)余眩定理及其应用(II)三角形面积公式的应用(II)解三角形的实际应用(II)1.涉及本单元的选择题、填空题一般利用正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，考查三角形边、角、而积等的相关计算，同时注重与三角函数的图象与性质、基木不等式等的综合.2.从考查难度來看，本单元试题的难度中等，主要考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用，高考屮主要以三角形的方式来呈现，解决三角形中相关边、角的问题.3.从考查热点来看，正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用是高考命题的热点，要能够熟练应用公式进行三角形的边、角求值，三角形形状的判断及面积的相关计算等.注意三角形本身具有的性质的应用.1.正弦定理及其应用(1)」一=丄=」一= 2/?表示三角形屮对边与对角正弦值的比值关sin A sin B sin C系及与其外接圆的直径之间的等量关系.(2)能够利用正弦定理进行边、角计算：已知两角和一边求其他的边、角；已知两边和一对角求其他的边、角等，此时要根据“大边对大角"的性质注意三角形解的问题.⑶注意利用正弦定理实现边、角的互化，如-a = b-可转化为4t sin A = sin 等，转化过程中要注意平衡，^a2 = 2b -不可转化为“sin? A = 2sinB”.2.余弦定理及其应用(1)6Z2=Z?2+C2-2/?CCOS A表示三角形中三边与任意角之间的等量关系.(2)能够利用余弦定理进行边、角计算：已知三边求角；已知两边和一夹角求对边；已知两边和一对角求其他的边、角等•此时利用余弦定理可以通过解方程清楚了解三角形的解的问题.3.三角形的而积公式及其应用⑴三角形的面积公式：S = -absmC = -bcsinA =丄eosinB,利用三2 2 2角形的两边及一夹角求面积.(2)注意三角形的面积公式与正眩定理、余弦定理之间的联系4 .解三角形的应用通过正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式所建立起来的边、角的等 量关系，不仅要能够求解三角形的边与角，还要能够求解三角形的面积 问题，考查二角形的形状问题，利用公式、定理转化，建立等边二角形、 等腰三角形、直角三角形等的判定条件，确定三角形的形状.5 .解三角形的实际应用解三角形的实际应用主要是实际问题屮的测量问题，如测量角度问题， 仰角、俯角、方位角、视角等；测量距离问题；测量高度问题等.此类问 题的关键在于通过构造三角形，应用正弦定理、余弦定理进行求解测量.6.解三角形与其他知识的综合(1) 解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、余弦定理与二角形的面积公式，建立 女之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查 相关范围问题.(2) 注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起來，既考查解 三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考杳相关性质等.丰殛1亘；^21. (2017高考新课标I,理17) ZXABC 的内角A, B, C 的对边分别为G , b, c,己知△ABC 的面积为—^一3 sin A(1) 求 sin Bsin C;(2) 若 6cos Bcos C=1, a 二3,求/\ABC 的周长.2. (2017高考新课标II,理17) AABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,已知sin (A +C) = 8sin 2 y ・(1) 求 cosB ；(2) 若d + c = 6, AABC 的面积为2,求b .3.(2017 新课标 III,理 17) AABC 的内角 4, B, C 的对边分别为 a, b, C.已知 sin A 4-^3 cos A = 0,a=2y/l,b=2.(1)求 c ； (2)设D 为BC 边上一点，且AD 丄4C,求△ABD 的而积.4 5 4. (2016高考新课标II,理13) £\ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c,若cos A=— , cos C-—, a- \,513则 b= ______ .理17)错误!未找到引用源。

三角函数与解三角形热点问题（解题指导）三年考情分析审题答题指引1.教材与高考对接——三角函数的图象与性质【题根与题源】(必修4P 147复习参考题A 组第9题、第10题)题目9 已知函数y ＝(sin x ＋cos x )2＋2cos 2x . (1)求函数的递减区间； (2)求函数的最大值和最小值.题目10 已知函数f (x )＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4 x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求f (x )的最小值及取得最小值时x 的集合. 【试题评析】两个题目主要涉及三角恒等变换和三角函数的性质，题目求解的关键在于运用二倍角公式及两角和公式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，然后利用三角函数的性质求解.【教材拓展】 已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ·cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的单调性. 【探究提高】1.将f (x )变形为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3是求解的关键，(1)利用商数关系统一函数名称；(2)活用和、差、倍角公式化成一复角的三角函数.2.把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.【链接高考】(2017·山东卷)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3，已知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值.2.教你如何审题——三角函数、平面向量、解三角形交汇。

1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2．本部分是高考中的重点考查内容，主要考查利用正、余弦定理解三角形、判断三角形的形状，求三角形的面积等3．命题形式多种多样，解答题以综合题为主，常与三角恒等变换、平面向量相结合热点题型一应用正弦、余弦定理解三角形例1、（2018年浙江卷）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a =，b=2，A=60°，则sin B=___________，c=___________．【答案】(1). (2). 3【解析】由正弦定理得,所以由余弦定理得（负值舍去）.【变式探究】【2017山东，理9】在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】所以，选A.【变式探究】(1)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b。

若2a sin B＝3b，则角A等于() A.π3 B.π4 C.π6(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c。

若a＝1，c＝42，B＝45°，则sin C＝________。

答案：（1）A （2）45解析：(1)在△ABC中，由正弦定理及已知得2sin A·sin B＝3sin B，∵B为△ABC的内角，∴sin B≠0。

∴sin A＝32.又∵△ABC为锐角三角形，∴A∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴A＝π3。

C∆AB A B C a b c C∆AB()sin12cosC2sin cosC cos sinCB+=A+A2a b=2b a=2A=B2B=Asin()2sin cos2sin cos cos sinA CBC A C A C++=+2sin cos sin cos2sin sin2B C A C B A b a=⇒=⇒=(2)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋32－82×22＝25，即b ＝5。

三角函数及解三角形专题1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ． 【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】tan255°=A ．−2B ．−C ．2D ．【答案】D【解析】tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)︒=︒+︒=︒=︒+︒=tan 45tan 301tan 45tan 30︒+︒-︒︒12+==+故选D. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式2sin cos ++x xx x计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．3．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A −b sin B =4c sin C ，cos A =−14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【解析】由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得2222214131cos ,,,422424b c a c c c A bc bc b +---==∴=-∴=3462b c ∴=⨯=，故选A ． 【名师点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．先利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，再结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果. 4．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若x 1=4π，x 2=43π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B ．32C ．1D ．12【答案】A【解析】由题意知，()sin f x x ω=的周期232()44T ωπππ==-=π，解得2ω=．故选A ． 【名师点睛】本题考查三角函数的极值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．利用周期公式，通过方程思想解题．5．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15BCD 【答案】B 【解析】2sin 2cos21αα=+，24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，sin 5α∴=，故选B ．【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．6．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为 A ．2 B ．3 C ．4D ．5【答案】B【解析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=， 得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2πx ∈，0π2πx ∴=、或．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3，故选B ．【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．令()0f x =，得sin 0x =或cos 1x =，再根据x 的取值范围可求得零点.7．【2019年高考北京卷文数】设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】0b =时，()cos sin cos f x x b x x =+=，()f x 为偶函数；()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，即()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-，cos sin cos sin x b x x b x +=-，得sin 0b x =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.【名师点睛】本题较易，注重基础知识、逻辑推理能力的考查.根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -恒成立进行判断.8．【2019年高考北京卷文数】如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A ．4β+4cos βB ．4β+4sin βC ．2β+2cos βD ．2β+2sin β【答案】B【解析】设圆心为O ，如图1，连接OA ，OB ，AB ，OP ，则22AOB APB ∠=∠=β，所以22242OABS ⨯==扇形ββ，因为ABP AOB OAB S S S S =+-△△阴影扇形，且AOB OAB S S △扇形，都已确定， 所以当ABP S △最大时，阴影部分面积最大.观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时（如图2），阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π−β，面积S 的最大值为ABP AOB OAB S S S S =+-△△阴影扇形=4β+S △POB + S △POA =4β+12|OP ||OB |sin （π−β）+12|OP ||OA |sin （π−β）=4β+2sin β+2sin β=4β+4 sin β，故选B. 【名师点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键是观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.9．【2019年高考天津卷文数】已知函数()sin()(0,0,||π)f x A x A ωϕωϕ=+>><是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x .若π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．−2B ．C D ．2【答案】C【解析】∵()f x 为奇函数，∴(0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=； ∵()f x 的最小正周期为π，2ππ,T ∴==ω∴2ω=，∴1()sin sin ,2g x A x A x ==ω又π()4g =2A =，∴()2sin 2f x x =，3π()8f = 故选C.【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数()g x ，结合函数性质逐步得出,,A ωϕ的值即可.10．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________． 【答案】4-【解析】23π()sin(2)3cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x =+-=--=--+ 23172(cos )48x =-++，1cos 1x -≤≤，∴当cos 1x =时，min ()4f x =-，故函数()f x 的最小值为4-．【名师点睛】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于cos x 的二次函数，从而得解.注意解答本题的过程中，部分考生易忽视1cos 1x -≤≤的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误．11．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 【答案】3π4【解析】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈π，sin 0,A ∴≠∴sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=【名师点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．本题容易忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在(0,π)范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．12．【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲ .【答案】10【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1tan 3α=-. πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ ⎪+⎝⎭222tan 1tan =2tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式222212==22110⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式=22112()1()33[]=1210()13⨯-+--⨯-+综上，πsin 2410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得tan α的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.13．【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=,5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以BD =.ππcos cos()cos cos sin sin 44ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在ABD △中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征. 14．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．【答案】（1）B =60°；（2）. 【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=．因为sin A ≠0，所以sinsin 2A CB +=． 由180A BC ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=． 因为cos02B ≠，故1sin 22B =，因此B =60°． （2）由题设及（1）知△ABC的面积ABC S =△． 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2tan 2C c A a C C C ︒-===+．由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，从而82ABC S <<△． 因此，△ABC面积的取值范围是⎝⎭．【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查V ABC 是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题. 15．【2019年高考北京卷文数】在△ABC 中，a =3，–2b c =，cos B =12-． （1）求b ，c 的值； （2）求sin （B +C ）的值． 【答案】（1）7b =，5c =；（2【解析】（1）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2221323()2b c c =+-⨯⨯⨯-．因为2b c =+，所以2221(2)323()2c c c +=+-⨯⨯⨯-． 解得5c =．所以7b =． （2）由1cos 2B =-得sin 2B =．由正弦定理得sin sin 14a A Bb ==． 在ABC △中，B C A +=π-．所以sin()sin B C A +==【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．【2019年高考天津卷文数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（1）求cos B 的值； （2）求sin 26πB ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）14-；（2）716+-. 【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =， 又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =． 由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅．（2）由（1）可得sin B ==，从而sin 22sin cos B B B ==，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B πππ⎛⎫+=+=⨯= ⎪⎝⎭． 【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．17．【2019年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．【答案】（1）c =（2.【解析】（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c+-=⨯⨯，即213c =.所以c =（2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos B =.因此πsin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.18．【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）． （1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+.【解析】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.'因为PB ⊥AB ， 所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知10AD ==， 从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置. 由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，1CQ =此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3.因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25.从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34.因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-， 直线PB 的方程为42533y x =--.所以P （−13，9），15PB ==.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3），所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-剟.在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =<=， 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.【名师点睛】本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.19．【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域． 【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）[1-+． 【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+，故2sin cos 0x θ=，所以cos 0θ=．又[0,2π)θ∈，因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y f x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭π123x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因此，函数的值域是[1+． 【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力.20．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，则cos2=αAB ．13C ．13- D．3-【答案】B【解析】因为角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，所以cos3==-α， 因此21cos 22cos 13=-=αα.故选B. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于常考题型.解答本题时，先由角α的终边过点(1)P ，求出cos α，再由二倍角公式，即可得出结果.。

2江苏省2019届高三数学《解三角形》题型归纳(含解析) 题型一：求某边的值(1)△ ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c .已知a5,c 2,cosA ，则b3 (2) 如图，在四边形 ABCD 中，已知 AD CD , AD = 10, AB = 14, BDA = 60 , BCD = 135 ，贝U BC = _____________ .(3) _________ 在A ABC 中，内角 A , B , C 的对边依次为 a , b , c ，若 a 2 — c 2= 3b ,且 sinB = 8cosAsinC , 则边b= _______ .1(4) 钝角 A ABC 的面积是 2, AB = 1, BC = 2，贝U AC = ___________ .(5) 在A ABC 中，内角A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,已知A ABC 的面积为3 15, b1—c = 2, cos A =— 4,贝U a 的值为 _________ .(6 )在厶ABC 中，已知AB 3, A 120°，且A ABC 的面积为，则BC 边长为4题型二：三角形的角(4)设A ABC 的三个内角A, B, C 所对的边依次为a, b, c,且一cos A(5 )在 A ABC 中，若 tan A: ta nB:ta nC 1: 2:3，则 A = _____________ .(6)设A ABC 的三个内角A , B , C 所对边分别为a , b , c ,若三边的长为连续的三个正整 数，且 A B C , 3b 20a cos A ，则 sin A:sin B :sin C ______________ .(7 )在A ABC 中，已知AB5,BC答案：(1) 3(2) 8 .'2(3) 4(4) .'5(5) 8(6) 7(7) 2「6(1) 在 A ABC 中，B = n， 1BC 边上的高等于3BC ，贝V cos A =(2) 在A ABC 中，内角A , B , C 的对边依次为 a , b , c ,已知8b 5c,C 2B ,则 cosC(3) 在A ABC 中，角A , B, C 所对边分别为a, b , c ,且1列Ata nB7答案：(1)—.10 107n解析：1tanA 2c .sin AcosB 1 -2s in C 3tanB b sin BcosA sin Bsin BcosA sin AcosB2s in C即sin BcosAsin B '.sin (A B)2s in C .cosA - ••• 0 A n ,••• Ansinsin B 23(4)-4(5) 6(6)6:5: 4题型三：三角形面积的最值问题(1 )在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c , a 2且(2 b)(sirA sinB) (c b)sinC , 则ABC 面积的最大值为 ____________ •(2) 已知 ABC 的三个内角 A, B , C 的对边依次为a , b, c ，外接圆半径为 1,且满足■ta — ――~—，贝y ABC 面积的最大值为 ___________ .tan B b(3) ______________________________________________________________________ 在ABC 中，若AB 2, AC 2 BC 2 8 ,则 ABC 面积的最大值为 ____________________________ . (4) _________________________________________________________ 若AB 2, AC J2B C ，贝U ABC 面积的最大值为 ____________________________________________ .2(5) 已知 ABC 面积S 和三边a,b,c 满足：Sa 2 b c ,b c 8则 ABC 面积的最 大值为 ____________ .B) (c b)sin C 得2 2 2b)(a b) (c b)c, b c a bc2 24 bcb c bc 4 2bGbc 4,当 sin AcosB 2si nC si nB 亦---------- ---------------- ,即sin B cos A si nB(2)25 答案：(1)3 解析 由 a 2, (2 b)(sinA sin(a b)(sinA sinB) (c b)sinC .由正弦定理得(a 1 222 2 2,cosA -,A — •因为 b c a bc ,所以 b c 31且仅当b c 时取等号•所以S VABC -bcsi nA 3 .23、3ta nA 2c b — ) ------ 解析：由 ------------- -------- 可得4tan B b2(3)题型四：求三角形边的最值或范围a 1设A 是 ABC 的最小角，它所对的边为 a ，若，cosA，则a 1(4)在厶ABC 中，若3sinC 2sin B ，点E ，F 分别是AC ，AB 的中点，贝U BE 的取 CF值范围为(5)在钝角 ABC 中，已知a 1,b 2，则最大边的取值范围是 (6)已知顶点在单位圆上的厶ABC ，角A ， B ，C 所对的边分别是a,b,c ，且1 . S ABC —bcsin A 3bc 3.3 ,应填3-32 4 4 4以cb 3,故，又因为答案：(1a ccosB bcosC ，若b a ，则2b c 的取值范围是(7)在平面四边形 ABCD 中，/ A=Z B= / C=75° BC=2，则AB 的取值范围是sin AcosB 2sinC sinB cosA ,也 即 sin AcosB 2sin CcosA sin BcosA ,故sin (A B) 2si n Ceos A ,也即 2cosA 1 ,贝 U A 600 ,由弦定理可得2sinA3,再由余弦定理可得 3 (c b)23cb ,即3 3cb(c2b) 4cb ,所(4)2、2(5) 64 17(1)已知ABC 是锐角三角形，若的取值范围是(2) 在锐角 ABC ，若C 2B ，c则-的取值范围是b(3)a 的取值范围是a sin A siulflb sin B sin JiTV =2 cos H，又因为锐角三角形，所以A = 2H e (0.—)且2TT —仁彳+ 2〃》=圧一3〃曰厲冬｝,所以—2 6 4，所以卜莎£.二皿齐拦：|,所以‘的取(2) (3)3,解析：A B C '所以A B,A C ,所以3A ,0A -，所以cosA 1所以答案为 3,(4) 幕） (5) 解析：因为是钝角三角形的最大边 ，所以C 是最大角.c ；2 22 12 即 c ： 25,c 5或c 5 （舍），又2 12 1, 5 c 3,故应填 5,3 . （6）［旅2两 解析：由已知可得: c0SA 1，得 Ab c sin B sin C 2，得 b 2sin B , c 2sin C ,2b c 4sin B 2sin C 4sin B 2sin(牛B) 3sin B 73 cos B ------- 2.因为b a ，所以一B —，即一 3 3 2、3si n(B ^) 所以 2b c 2 3sin(B ) [ ,-3,2 3). 6 (7) ( .6.6+ 2 ）解析：如图所示，延长 BA , CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与 E 点时，AB 最长，在 A BCE 中，/ B=Z 0=75° , / E=30° ,BC=2，由正弦定理可得BC BE sin E sin C2BEoosin 30 sin 75BE平穆血I ,当D 与C 重合肋 最範，此fl 寸与血 交于旳 在中，4=心肌土75% ZFCB=3T ;为〈&—艮屈Q .题型五：求三角形中角的最值或取值范围(2)在锐角三角形 ABC 中，若sin A 2sin BsinC ，则tan AtanBtanC 的最小值是.(3) 已知 ABC 中，角 A, B , C 的对边依次为 a, b, c ,若 cos2 A cos2 B 2cos2 C , 则cosC 的最小值是 _一(4)在ABC 中，角A , B , C 的对边依次为a, b, c ,若a 2,b 2,c 2成等差数列，则cosB的最小值是.a b(5)在厶ABC 中，角A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知 c，则cosC 的最小2值是答案： (1) (0,］解析:3试题分析；S — + ——王1」可得页拆4^)+只曲+匚〉二(日+<0<口+◎,整理得/+/一/±阮」将不 “ + ◎ 等式两边同除以肪G 可得匕=_及匕且Oc/c 兀由正弓沆理nP _ 2sin 30° sia75° ；解得R —陌-d 所以肋的取值范El(1) ABC 各角的对应边分别为a,b, c ,满足1则角［A的范围是Hfc 2 23 (2)8 解析【解析】sin J = sin(B+C) =2 si£^sinG=>tan^^ tanC =2bn^tan C,因此Uo/iao 胖twC + Und* taujff + UjaC-UnJ + 2tanUnC^2V2UnJt3rj^boC =>ho/(tanJUnC 』艮PS 小曽为齡(3)（4） 1解析: 2 2b 22 2.22 2a cb ac , cosB2acb 2 b 2'2 22ac a c-，当且仅当a c2时等号成立• (5)1解析: 2 22 .2a b2 ,2 2 a ba b c 2cosC ---------------- -------------------------ab 2ab b 时，等号成立.故cosC 的最小值为12题型六：判断三角形的形状（1）在三角形 ABC 中，三边 a 、b 、 c 满足a: :b: c2: J6:(、3 1），则三角形的形状为uuu r uju r uuu r r r r r rr（2）在ABC 中，设BC a, CA b, AB c,若 a b b c c a,则三角形的形状为(3)在 ABC 中，若 tan A: tan Ba 2 :b 2,则三角形的形状为 答案：（1）锐角三角行 解析：Q ab c 则 c 边最大，且c 24 2-.3 , a 2 b 22 b ，则最大角C 为锐角，所以三角形为锐角三角形 （2）等边三角形 解析：Q ar a/(2r b)2 ra2 2同理b c 2br 「2 「2 「2 r rc a ，两式相减，得a c 2（a bb c)r 2 c2 2a =c ，rrabc ，同理 ，故 ABC 是等边三角形。