当前位置：文档之家 › 第五章 连续时间模型和Black-Scholes公式.

第五章 连续时间模型和Black-Scholes公式.

  • 格式：ppt
  • 大小：742.50 KB
  • 文档页数：30

下载文档原格式

  / 30

合集下载

black-scholes公式

black-scholes公式

black-scholes公式Black-Scholes Model（Black-Scholes公式）是一种用于定价欧式期权的数学模型，是金融工程学中的重要成果之一、该模型由费舍尔·布莱克（Fischer Black）和默顿·斯科尔斯（Myron Scholes）于1973年首次提出，他们也因此获得了1997年诺贝尔经济学奖。

Black-Scholes Model基于一系列假设，包括市场具有无摩擦，交易是连续的，没有交易费用以及无风险无套利机会等。

Black-Scholes Model基于随机微分方程（随机演变过程），描述了金融资产（如股票）的价格波动。

该模型基于两个基本概念：股票价格是随机演变的几何布朗运动，市场是完全无套利的。

Black-Scholes Model的核心方程是Black-Scholes Equation，也称为Black-Scholes PDE（偏微分方程）。

Black-Scholes Model基于以下几个关键因素对期权价格进行估值：标的资产价格、执行价格、剩余期限、无风险利率和波动率。

其中，标的资产价格指的是期权所关联的金融资产（如股票）的当前价格。

执行价格是期权中约定的购买或出售标的资产的价格。

剩余期限是期权到期日与当前日期之间的时间间隔。

无风险利率是可以在市场上获得的无风险回报率。

波动率表示标的资产价格的波动性。

Black-Scholes Model的公式为：C=S_0*N(d1)-X*e^(-rT)*N(d2)P=X*e^(-rT)*N(-d2)-S_0*N(-d1)其中，C表示欧式看涨期权的价格，P表示欧式看跌期权的价格。

S_0是标的资产价格，X是执行价格，r是无风险利率，T是剩余期限，N表示标准正态分布的累积分布函数。

d1和d2分别为：d1 = (ln(S_0 / X) + (r + (sigma^2)/2)*T) / (sigma*sqrt(T))d2 = d1 - sigma*sqrt(T)其中，sigma表示标的资产价格的波动率。

北京大学Black-Scholes-Merton模型

北京大学Black-Scholes-Merton模型


19

例13-7 公司发行100万股票，股价$40，公司考虑发行20万份 权证，5年后到期，敲定价格$60，费用？（假设利率 3%，波动率30%） 由BS公式，普通期权价格$7.04，故权证价格为$5.87
20

对数正态：
E(ST ) S0 eT var(ST ) S0 e
2 2 T
(e
2T
1)
5
期望收益率与收益率的期望

股票0到T的收益率（连续复利形式）： 收益率的分布： 收益率期望：
T E ( S ) S e 期望收益率 ： T 0
6
波动率

波动率：一年内收益率的标准差 度量股票收益的不确定性 考虑若 非常小，期间 的标准差约为
17
隐含波动率

实际应用中，利用BS定价公式通常采用隐含波动率 隐含波动率指隐含在期权市场价格中的波动率，即 使得BS定价与市场价格相等的波动率 隐含波动率体现市场对股票波动率的看法 与根据历史数据估计波动率的差别： forward looking vs backward looking

14
Black-Scholes公式

欧式期权定价公式
c S 0 N (d1 ) K e rT N (d 2 ) p K e rT N (d 2 ) S 0 N (d1 ) 其中 d1 d2 ln(S 0 / K ) (r 2 / 2)T
T
ln(S 0 / K ) (r 2 / 2)T

Delta 对冲：∆ 只标的股票+期权空头 连续时间： 投资组合瞬时无风险组合，连续调整
无风险组合
10

期权定价的连续模型及BS公式

期权定价的连续模型及BS公式

期权定价的连续模型及BS公式期权定价是金融学中一个重要的问题，它涉及到市场上期权的价格如何形成以及如何计算的问题。

在期权定价的研究中，连续模型和BS公式是常用的工具和方法之一连续模型是指在对期权定价进行建模时，假设资产价格（或指数）是连续的、随机的过程。

这些模型通常是基于随机微分方程的形式，最常见的连续模型是几何布朗运动模型和扩散模型。

其中几何布朗运动是一个经典的连续模型，它是由英国数学家罗伯特·布莱利·布朗提出的。

几何布朗运动的数学表达式是一个随机微分方程，即：dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t其中，S_t是资产价格（或指数），\mu是资产的预期收益率，\sigma是资产价格的波动率，dW_t是布朗运动的增量。

这个方程描述了资产价格的变化情况，包括预期收益率和波动率对价格变化的影响。

通过这个方程，可以计算出期权的价格。

另一个常用的连续模型是扩散模型。

扩散模型是在几何布朗运动的基础上进行扩展的模型，它考虑了资产的波动率是随时间变化的情况。

在扩散模型中，资产价格的波动率是一个随机过程，即：dS_t = \mu S_t dt + \sigma_t S_t dW_t其中的\sigma_t是时间t上的波动率。

这个模型可以更准确地描绘资产价格的变化情况，特别适用于对期限较长的期权进行定价。

BS（Black-Scholes）公式是一个基于几何布朗运动的连续模型的定价公式。

它是由美国经济学家费希尔·布莱克和美国经济学家默顿·米勒·施尔斯在1973年提出的，被广泛应用于期权定价。

BS公式的数学表达式为：C=S_0N(d_1)-Xe^{-rT}N(d_2)其中，C是看涨期权的价格，S_0是资产的当前价格，N(\cdot)是标准正态分布函数，d_1是一个与标准正态分布相关的变量，d_2是另一个与标准正态分布相关的变量，X是期权的执行价格，r是无风险利率，T是期权的时间到期。

Black-Scholes公式的推导及其求解 -复制方法

Black-Scholes公式的推导及其求解 -复制方法

后利用 Poisson 公式求出 Black-Scholes 偏微分方程的解。
首先作如下换元： τ= T − t ，由此变换公式，推得 ∂C = ∂C ⋅ ∂τ = − ∂C ，这 ∂t ∂τ ∂t ∂τ
样原偏微分方程就变为：
−
∂C ∂τ
+
rS
∂C ∂S
+
1σ 2
2S 2
∂2C ∂S 2
−
rC
−
(ξ
−
(
v
+σ
2u
))2 −2 2σ 2u
vσ
2u
−σ
4u
2
−
(
v−ξ )2 2σ 2u
2 v ln K
这就是 Black-Scholes 偏微分方程的解。
令v
=
ln
ST
，
z
=
v −ξ σu
，于是有：
= V (u, v)
1 +∞
v+σ 2u−z2
∫ e ln K −v−σ 2u
2π σ u
2 dz −
∞
( r− 1σ 2 )T +σ
(
−∞
S0e
2
Tz − K)+ ⋅
1
− 1 z2
e 2 dz
2π
∫ S e − K ) ⋅ = e ( −rT ∞ 1 (ln K −( r− 1σ 2 )T )
( r− 1σ 2 )T +σ T z 2
0
σ π S0
2
1
− 1 z2
e 2 dz
2π
= J1 − J2
∂g ∂S
=
e−rtCS (t, S ) ；

第05章 连续时间马尔可夫链S

第05章 连续时间马尔可夫链S

体诸成员的年龄之和的均值。时刻 t 诸年龄之和，记为 A(t)，
X (t )1
可表示为 A(t) a0 t (t Si ) i 1
其中 a0 是初始个体在 t=0 时的年龄。对 X(t)取条件
n
E[A(t) | X (t) n 1} a0 t E[ (t Si ) | X (t) n 1} i 1
1 vi
i 1
1 i2
）。假设所考虑的全部马尔可
夫链是规则的。
第四页，共六十九页。
对一切i j，qij定义为
qij vi Pij
因为vi是过程离开状态 i 的速率而 Pij 是它转移到 j 的概率，所以
qij是过程从状态 i 转移到状态 j 的速率；称qij 是从 i 到 j 的转移
率。显然vi qij ji
连续时间马尔可夫链是具有马尔可夫性的随机过程，即已 知现在 s 时的状态 X(s)及一切过去时刻 u,0u<s 的状态 X(u)的 条件下在将来时刻 t+s 的状态 X(t+s)的条件分布只依赖现在的状 态 X(s)而与过去独立。
第一页，共六十九页。
二、连续时间马尔可夫链的状态逗留时间和转移速率
命题 以i 记过程在转移到另一状态之前停留在状态 i 的时 间，则对一切 s，t0 有 P{ i t s | i s} P{ i t}，因此， 随机变量i 是无记忆的必有指数分布，其参数设为vi
态 i-1 或 i+1，当状态增长 l 时，就说生了一个；而当它减少 1
时，就说死了一个。设i qi,i1，i qi,i1，值{i , i 0}与{i , i 1}
分 别 称 为 生 长 率 与 死 亡 率 。 因 为 qij vi ， 可 见 ji

6_期权定价的连续模型及BS公式

6_期权定价的连续模型及BS公式
采用股价模型
代替真正股价
，方差保持不变 ，且满足下式
于是对于任何用来复制的投资组合，存在下式
现在的问题是，是否存在这样的 ？
2015/10/18
45
第五节 Black-Scholes公式的推导
如果令
（5-15）
于是
2015/10/18
46
第五节 Black-Scholes公式的推导
2015/10/18
10
第二节 离散模型
该模型有一个优点，包含了随机变量；但存在一个不足之处，即有两个不确定项。第一个漂移项来自
中的
，其作用类似于债券
第二个漂移项来自于
当然希望期望的所有的漂移来自于一个方面，即
和货币基金市场中的利率
2015/10/18
11
第二节 离散模型
为能对模型进行标准正态变换，并对不确定性进行合并。对
2015/10/18
37
第四节 Black-Scholes公式
所谓风险中性，即无论实际风险如何，投资者都只要求无风险利率回报。风险中性假设的结果：投资者进入了一个风险中性世界所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。尽管风险中性假定仅仅是为了求解布莱克——舒尔斯微分方程而作出的人为假定，但BS发现，通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。也就是说，我们在风险中性世界中得到的期权结论，适合于现实世界。
是否注意到，这一公式中没有出现漂移率：
参数是投资者在短时间后获得的预期收益率，依附于某种股票的衍生证券的价值一般独立于。 参数是股票价格波动率。
2015/10/18
36
第四节 Black-Scholes公式

Black-Scholes期权定价模型和特性

Black-Scholes期权定价模型和特性Black-Scholes期权定价模型是一个广泛应用于金融市场的数学模型，它被用来计算欧式期权的价格。

该模型是由美国经济学家费希尔·布莱克（Fischer Black）和莱蒙德·斯科尔斯（Myron Scholes）于1973年开发的，并获得了1997年诺贝尔经济学奖。

Black-Scholes模型基于一些假设，包括市场无摩擦、标的资产价格服从几何布朗运动、无风险利率恒定不变、期权可以无限制地买卖等。

它利用随机微分方程和偏微分方程来描述期权价格的变化以及与标的资产价格和时间的关系。

Black-Scholes模型的公式如下：C = S*N(d1) - X*e^(-r*T)*N(d2)P = X*e^(-r*T)*N(-d2) - S*N(-d1)其中，C代表期权的买入价格，P代表期权的卖出价格，S代表标的资产的当前价格，X代表期权的行权价格，r代表无风险利率，T代表期权的时间，在期权到期日之间的年份，N(d1)和N(d2)代表标准正态分布的累积分布函数。

Black-Scholes模型的特性有以下几点：1. 理论完备性：Black-Scholes模型是一个完备的期权定价模型，可以通过输入特定的参数来计算期权的价格。

它提供了一种可行的方法，用来解决期权定价的问题。

2. 自洽性：Black-Scholes模型是自洽的，意味着如果市场满足了模型的所有假设条件，那么模型计算的期权价格将与实际市场价格一致。

3. 敏感性分析：Black-Scholes模型可以用来分析期权价格对各个因素的敏感性。

通过改变模型中的参数，例如标的资产价格、无风险利率、期权行权价格和时间等，我们可以研究它们如何影响期权的价格。

4. 适用性：Black-Scholes模型广泛适用于欧式期权的定价，包括股票期权、货币期权和商品期权等。

然而，对于美式期权和一些特殊类型的期权，Black-Scholes模型可能不适用。

BS期权定价公式

BS期权定价公式Black-Scholes 期权定价模型⼀、Black-Scholes 期权定价模型的假设条件Black-Scholes 期权定价模型的七个假设条件如下：1. 风险资产（Black-Scholes 期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S 。

S 遵循⼏何布朗运动，即dz dt SdS σµ+=。

其中，dz 为均值为零，⽅差为dt 的⽆穷⼩的随机变化值（dt dz ε=，称为标准布朗运动，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1的正态分布）中取的⼀个随机值），µ为股票价格在单位时间内的期望收益率，σ则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。

µ和σ都是已知的。

简单地分析⼏何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个⽅⾯：⼀是单位时间内已知的⼀个收益率变化µ，被称为漂移项，可以被看成⼀个总体的变化趋势；⼆是随机波动项，即dz σ，可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。

2．没有交易费⽤和税收，不考虑保证⾦问题，即不存在影响收益的任何外部因素。

3. 资产价格的变动是连续⽽均匀的，不存在突然的跳跃。

4. 该标的资产可以被⾃由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分的。

5. 在期权有效期内，⽆风险利率r 保持不变，投资者可以此利率⽆限制地进⾏借贷。

6．在衍⽣品有效期间，股票不⽀付股利。

7．所有⽆风险套利机会均被消除。

⼆、Black-Scholes 期权定价模型（⼀）B-S 期权定价公式在上述假设条件的基础上，Black 和Scholes 得到了如下适⽤于⽆收益资产欧式看涨期权的Black-Schole 微分⽅程：rf S f S S f rS t f =??+??+??222221σ其中f 为期权价格，其他参数符号的意义同前。

通过这个微分⽅程，Black 和Scholes 得到了如下适⽤于⽆收益资产欧式看涨期权的定价公式：)()(2)(1d N Xe d SN c t T r ---=其中，t T d tT t T r X S d t T t T r X S d --=---+=--++=σσσσσ12221))(2/()/ln())(2/()/ln(c 为⽆收益资产欧式看涨期权价格；N （x ）为标准正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量⼩于x 的概率），根据标准正态分布函数特性，我们有)(1)(x N x N -=-。

投资分析BlackScholes期权定价模型


st xt , a(st ,t) st ,b(st ,t) st dst stdt stdwt
省略下标t，变换后得到几何布朗运动方程
ds dt dw
s
证券的预期回报与其价格无关。
（13.6）
2024/6/27
11
▪ ITO定理：假设某随机变量x的变动过程可由ITO 过程表示为（省略下标t）
价格波动率σ和无风险利率r有关，它们全都是客观
变量。因此，无论投资者的风险偏好如何，都不会 对f的值产生影响。
在对衍生证券定价时，可以采用风险中性定价，即 所有证券的预期收益率都等于无风险利率r。
只要标的资产服从几何布朗运动，都可以采用B-S微
分方程求出价格f。
2024/6/27
22
13.4 几何布朗运动与对数正态分布
2024/6/27
4
wt t t
（13.1）
这里，wt wt wt1,t iidN (0,1)
2. 在两个不重叠的时段Δt和Δs, Δwt和Δws是独立的， 这个条件也是Markov过程的条件，即增量独立！
cov(wt , ws ) 0
（13.2）
其中，wt wt wt1, ws ws ws1
Ct St N (d1) Xer N (d2 )
其中，d1
ln(St
/
X
)
(r
2
/
2)
d2 d1 t [0,T ], T t
2024/6/27
27
B-S买权定价公式推导
▪ （1）设当前时刻为t，到期时刻T，若股票 价格服从几何布朗运动，若已经当前时刻t 的 值股 为票价格为St,则T时刻的股票价格的期望
2024/6/27

金融数学课件(南京大学)


2013-8-27
23
二、金融数学的发展历程
1980年代以后，资产定价理论和不完全信息金融市场分析继续发展。 在资产定价理论方面，各种概念被统一到阿罗-德布鲁一般均衡框架下， 显得更为灵活和适用。鞅定价原理逐渐在资产定价模型中占据了中心位 置，达菲和黄(Duffle and Huang，1985)等在此基础上大大地推广了布莱 克-斯科尔斯模型。
同一时期另一引人注目的发展是非对称信息分析方法 开始使用。
2013-8-27 22
二、金融数学的发展历程
金融数学发展的第三个时期：
1980 年至今是金融数学发展的第三个时期，是成果
频出、不断成熟完善的时期。该期间的代表人物有达菲 （D . Duffie ）、卡瑞撤斯（I . Karatzas ）、考克斯（J . Cox ）、黄（C . F . Huang ）等。
2013-8-27
10
一、金融与金融数学
完整的现代金融学体系将以微观金融学和宏观金融
学为理论基础，扩展到各种具体的应用金融学学科，而数
理化（同时辅助以实证计量）的研究风格将贯穿从理论到 实践的整个过程。在现代金融学的发展历程中，两次华尔
街革命产生了一门新兴的学科，即金融数学。随着金融市
场的发展，金融创新日益涌现，各种金融衍生产品层出不 穷，这给金融数学的发展提出了更高的要求，同时也为金 融数学这一门学科的发展提供了广阔的空间。
括对金融机构的职能和作用及其存在形态的演进趋势的分析；金融
机构的组织形式、经济效率、混业与分业、金融机构的脆弱性、风 险转移和控制等。
2013-8-27 9
一、金融与金融数学
宏观金融分析从整体角度讨论金融系统的运行规律，重点 讨论货币供求均衡、金融经济关系、通货膨胀与通货紧缩、金 融危机、金融体系与金融制度、货币政策与金融宏观调控、国 际金融体系等问题。 与经济学的发展历程相反，金融学是先有宏观部分再有微 观部分。
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

G G 1 2G 2 G dG a b dt bdz 2 t 2 x x x
(4a )
证明：由二元函数的泰勒展开公式有： G G 1 2G 2 2G 1 2G 2 G x t x xt t ... 2 2 x t 2 x xt 2 t
其中WT是均值为0，方差为T的随机正态分布变量，
WT T z
z ~ N 0,1
2 现将（5.7）两边取对数，得到lnST = ln S0 r T WT 2 2 ln S0 r T 是一个线性公式， WT 将围绕该直线波动， 2

2

1 2 第二步：解方程 U t 和S 2 2 t 得到 和 很容易得到： 2 U S2 / 2 S 及 t t
5.4 Black-Scholes公式
我们先介绍与B-S期权定价理论有关的一些预备知识，这些知识
主要是围绕着股票价格的变化过程而展开的，内容包括维纳过程 、伊藤过程、伊藤引理、几何布朗运动、对数正态分布等等这些 内容是理解期权定价和更加复杂的衍生证券定价的基础。
SDE没有简洁的的封闭形式的解，但幸运的是这个方程存在。其解 就是几何布朗运动。
St S 0 e
(5.8)
这正是具有连续时间变量T的离散模型（5.7） 这里，Bt是均值为0，方差为t的正态随机变量。由此得到的是股价 的几何布朗运动模型（GBM）。注意：
St 2 ln Bt t S 2 0 2 2t 右边的表达式是一个均值为 t ，方差为
（ 2）
S ( t )、S (2 t )…S ( L t )
L 1 其次看连续资产价格模型，由 (2)式分别表示 令 t 0或L S t S0 i 0 1 t t zi ，得到极限形式


由 t 0和 log 1
维纳过程
在介绍维纳过程之前，先简单介绍一下马尔科夫过程。 它是一种特殊的随机过程，在该过程中，变量的变化仅依赖于该 变量前一瞬间的状态。当变量遵从马尔科夫过程时，变量在相邻 时间内变化的方差具有可加性，但标准差不具有可加性。马尔科 夫过程的重要特征是：变量的随机变化是独立同分布的。 维纳过程是马尔科夫过程的特殊形式。如果变量服从维 纳过程，则该变量的期望为0，方差为1.股票价格模型通常用维 纳过程表达。在物理学中，这种过程也被称为布朗运动。
代
5.2 离散模型
首先看离散资产价格模型。设在时刻 t ti i t 时的资产价格 S (t为 t0 ，然后设 得到在0≤t ≤T上离散时间的资产 i)
价格模型： S (ti 1 ) S (ti ) tS (ti ) t i S (ti )
i ~N 0,1
z 如果变量z=z(t)服从维纳过程，则其增量 基本性质：
必须满足如下两个
z和t 性质1：
之间满足关系
z t (1)
其中 为从标准正态分布中抽取的一个随机值。 t。z 的值相互独立。 性质2：对任何两个不同的时间间隔
z 服从期望值为0，方差为 t ，标准差为 由性质1，得出 t 正态分布。 性质2意味着变量z=z(t)服从马尔科夫过程。 再由性质1，当 t 0时，z的微分形式为
2
2
... 1 则有 （3）
S t L 1 1 2 2 log t t z tz i i S 2 i 0 0
对（3）用中心极限定理，则 学期
2
S t log S 0
，均
…Un 的均值和方差。 第二步：计算系列数值 U1、U2n 2 令U表示均值，则 U n 1 U i 样本方差 S 表示为： n 2 i 1 1 2 1 2 2 S =t 方差为 t
i 1
因为 x=a( x, t )t b( x, t ) t 由该式有结果：
(5a)
(6)
x2 =b2 2t +o t
2
(7)
根据（6）有
xt =a( x, t )t b( x, t )
t
3
=o t
（8）
将（6）（7）和（8）代入（5），得到 G G 1 2G 2 G x t b t o t 2 x t 2 x 令 t 0 得到
2 i
n S0 , S1n ,..., Skn 通常以通过产生随机数或拟随机数来模拟资产的几个路径，不妨设 1 2 ，…N）则由（8）可得 n2 为n资产价格路径（ n=1， t ti 2 n ： Sin = S e (9) 1 i
由伊藤定理可知，如果x,t服从伊藤过程，则x,t的函数G也服从
伊藤过程，不过漂移率和波动率分别为：
G G 1 G 2 G a b 和 b 2 x t 2 x x
2
2
不支付红利股票价格的行为过程
如果假设股票价格服从一般维纳过程，则有不变的期望漂移率 和波动率，这不符合实际。所以，一般假设股票价格变化的比例 dS dS/S服从一般维纳过程，即： dt dz
其中 t 代表t-1到t的时间间隔，r代表无风险利率， 代表资产波 n i 动率， 代表相互独立的标准正态分布随机数。在估计期权价格 时，我们需要估计到期日的现金流，可以通过多次价格路径模拟 来估计。下面通过一些例子来看一看离散方法在模拟资产价格路 径等方面的应用。 2 对数正态模型 r T WT 2 ST =S0 e （ 5.7）
因此，如果 我们（采用对数纸）描述股价的对数图，我们可以看见这些点落在 一条直线上，如果模型更接近现实的话，会有一些点偏离直线。
5.3 连续时间模型的分析
方程
dS Sdt SdB 是一个随机微分方程（SDE），大多数的
2 Bt 2 t
G G 1 2G 2 G dG a b dt bdz 2 t 2 x x x G G 1 2G 2 2 G = S S dt Sdz 2 t 2 x x x
2
的正态随机变 量。 在几何布朗运动模型中，有两个变量：波动率 和漂移率 ，但在定价欧式看涨期权时只需要估计 。公式中并没有用到 但这两个值如何来用股票价格估计我们还需要给出。
几何布朗运动参数估计
假设有一段时间[0,T]内的股价记录。这段时间由n个长度相 t 等的子区间 组成，再假设已知每个子区间末的股价，将股 Si { 价表示为： ：第i个子区间末的股价}，样本观测值为n+1 个。
6
7
来计算 Si i 1 故轨迹 ti , Si
：
S t t S t e
就是离散资本几个路径，也可以用公式
t zi
1 2 t 2
zi ~N 0,1
由于在风险中性世界里，所以资产的期望收益率μ等于无风险利率r 1 故（7）可以重写为： r t t z S t t S t e 2 zi ~N 0,1 8
的
dz t
（2）
一般维纳过程
变量x服从一般维纳过程的定义如下： dx=adt+bdz （3） a是一般维纳过程的预期漂移率，b是波动率。 式（3）由两项组成，如果不考虑bdz，则有dx=adt或 x=x0+at。其中x0为x在0时刻的值，经过t时刻后，x增加值为at。 如果仅考虑bdz，则dx=bdz，其中bdz可以看作是附加在变量x 轨迹上的噪声或者波动，这些噪声或波动是维纳过程的b倍。 将adt和bdz一并来考虑，则有dx=adt+bdz 。经过时间增量 t之 后，x的增量为 x at bz 。将（1）代入上式，有 x at b t (4) 如前所述， 是自标准正态分布中随机抽取的值，因此 x 服从正 2 b a t 态分布，期望值是 ，方差是 t ，标准差是 b t
5
资产价格路径的随机模拟
可以用（5）计算资产价格路径的计算机模拟。假设以 0=t0<t1<t2<…<tm =T模拟S（t）的值，则可根据公式：
Si 1 Si e
M
1 2 ti1 ti ti1 ti zi 2
zi ~N 0,1
金融市场学
第五章 连续时间模型和Black-Scholes公式
5.1 连续时间股票模型
令S（t）代表某股票在t时刻的价格，假设 S（t）服从几何布朗
运动，即股票价格变动由模型 dS Sdt SdW （1） 来决定。其中S代表股票价格， 代表期望回报率， 表资产波动率，dW代表标准布朗运动。
U第一步：计算时间序列值： i ln Si 1 ln Si 得到数值序列U1、U 2…U n
Ui
由几何布朗运动 值满足如下等式： 1 U i = Bt Bt 2 t
i 1 i
模型

2

(5.9)
Bti1 Bti
t 几何布朗运动模型 具有下面的性质： Bti1 Bti 1、 是一个正态随机变量，方差为 值为0； 2、这些差是相互独立的随机变量。
可表示为具有数
望
1 2
2t S t 和方差 log ~
S 0
1
2
的正态随机变量。即： 1 N 2 t , 2t 2
i
t t z 由此，在t时刻资产价格的动态连续时间可表达为： 2
S t S0e
zi ~N 0,1
4