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北大随机过程课件泊松过程PPT

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第3讲 第三章泊松过程(1)

第3讲 第三章泊松过程(1)

g N (u ) E e

iuN t
e
t eiu 1


二. 时间间隔的分布与到达时间（等待时间） N(t) T4 一个样本：跃度 T3 为1 的阶梯函数 T2 T1 W1 W2 W3 W4 … t
Wn为第n个事件到达的时间(等待时间). Tn为第n个事件与第n－1个事件出现的时间间隔.
§3.2 泊松过程的性质 一.有限维分布、特征函数、布数字特征 N(t)的有限维分布：
对任意 0<t1 t2 , tn ,
N(t)的有限维分布为：
P X t1 k1 , X t2 k2 , , X t n k n
P X t1 k1 , X t2 X t1 k2 k1 ,, X t n X t n 1 k n k n 1

t1
k1 !
k1
e
t1
k
i i 2
n
t
ti 1
k1 ki 1
1
ki 1 !
e (ti ti 1 )
N(t)的特征函数： N (t ) ~ t
g N (u ) E e

iuN t
e
t eiu 1
0
s
t
显然，计数过程应满足： (1) N( 0)=0; (2) N( t ) 取非负整数值；
(3) 如果s < t，则N( s )≤N( t )；
(4) 对于s < t, N(t) －N(s)表示时间间隔(s, t]内事 件出现的次数.
定义3.2 若计数过程{N(t),t≥0}满足下述条件： (1) N(0)=0；

泊松过程合成和分解.ppt

泊松过程合成和分解.ppt

例：设{X n}Markov链，状态空间 I {0,1}, p01 p10 1.则所有状态互达。 集合{n 1: p00 (n) 0} {2,4,6,...}， 其最大公约数为 2，d (0) 2. {X n}不遍历
例：设{X n}Markov链，状态空间 I {0,1}, p01 1, p10 p11 0.5.则所有状态互达。 集合{n 1: p11(n) 0} {1,2,3,4,...}， 其最大公约数为 1，d (1) 1.
例1：有10把步枪，其中两把已校正，命中率为p1; 其余
未校正,命中率为p2 ,这里p1 p2.某人任取一把开始打靶，
令X n为第n次命中的次数,即X n
1 0
第n次命中 第n次未命中
（1）对n
m，求（X
n，X
）的联合分布律和边缘分布律。
m
（2）以Sn表示前n次命中的次数，求Sn的分布律。
（3）若p1 1，p2 0，写出所有样本函数，写出Sn的分布律.
若i可达j, j可达i,则称i和j互达
设i是一个状态，定义 i的周期 d (i)为 集合{n 1: pii (n) 0}的最大公约数。 若d (i) 1,则称i非周期；否则称 i是周期的
性质：若 i和j互达，则 d(i) d( j)
定理：设{X n}是状态有限的 Markov链， 并且所有状态互达。则 以下3条相互等价。 （1）{X n}遍历； （2）所有状态非周期； （3）某一状态非周期。
此时对n
m，X
n和X
独立吗？为什么？
m
解: 令A "取到已校正的枪", 由全概率公式得:
(1) p11 P( X n 1, X m 1)
P( X n 1, X m 1| A)P( A) P( X n 1, X m 1| A)P( A) 0.2 p12 0.8 p22; 同理p01 p10 0.2 p1(1 p1) 0.8 p2 (1 p2 ); p00 0.2(1 p1)2 0.8(1 p2 )2 P( X n 0) 0.2(1 p1) 0.8(1 p2 ) P( X n 1) 0.2 p1 0.8 p2

泊松过程poisson课件

泊松过程poisson课件
则T 旳概率分布为 分布:
fT
(t )
e t
(t )k 1
, (k 1)!
t
0
0 ,
t0
故仪器在时刻 t0 正常工作旳概率为:
P P(T t0 )
e
t
(t)k 1
dt
t0
(k 1)!
P[ X (t0 )
k]
k 1
e t0
n0
(t0 )n
n!
(3) 到达时间旳条件分布
假设在[0 , t ]内事件A已经发生一次，拟定这一事件到 达时间W1旳分布 ——均匀分布
6.2 泊松过程旳基本性质
泊松分布:
P{X (t s) X (s) n} (t)n et , n 0,1,
n!
P{X (t) n} (t)n et , n 0,1, 2,
n!
ΦX ( ) E[e jX (t) ] et(ej 1)
(1) 泊松过程旳数字特征
均值函数
mX (t) E[ X (t)] t
D[S (t)]
tE[
X
2 1
]
t(
2
2
)
泊松脉冲列
[定义] 称泊松过程 { X(t) , t 0 } 旳导数过程为泊松脉冲列，
记为 { Z(t) , t 0 } ，即
Z (t) d X (t) dt
X(t) u(t ti )
i
Z(t) (t ti )
i
t0 t1 t2
ti
t
t0 t1 t2
事件A发生旳次数， T1 T2 T3
n
Wn Ti (n 1)
Tn
i 1
t
0 W1 W2 W3
Wn-1 Wn

随机过程第三章 泊松过程 ppt课件

随机过程第三章 泊松过程 ppt课件
(5)泊松过程的样本轨迹是跳跃度为1的阶梯函数.记T n 为
第 n次事件发生的时刻, X n 是第 n次与第n 1 次事件发生
的时间间隔.
一. X n和 T n 的分布
定理3.2 X n (n 1)服从参数为 的指数分布,且相互独立.
证 当 t 0时,有
F 1 ( t ) P { X 1 t } 1 P { X 1 t } ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 P { N ( t ) 0 }
重复以上的推导可证定理之结论.
定理3.3 Tn ~(n,)
n
证 由于 Tn
Xi
i 1
故由定理3.2以及引理的结论马上可得本定理之结论.
注:1 (n,)的概率密度为
fTn (x) et
(t)n1
(n1)!
2. {T nt} {N (t)n}
(t 0)
由定理3.2,我们给出泊松过程的另一个等价定义.
p 的泊松过程.
证 M (t)满足定义3.2中的前两个条件是显然的,下证它也 满足第三个条件.
显然, M (t)的可能取值为 0,1,2, ,并且由全概率公式,有
P { M (t) m } P { M (t) m |N (t) n } P { N (t) n } n 0
而 P { M (t) m |N (t) n } 0 若 nm
f (x)() x1ex, x0
0,
x0
则称 X服从参数为 , 的 分布,记为 X~(,)
当 1 时,就是参数为 的指数分布.
(4) 分布关于参数 具有可加性.即若 X~(1,),
Y~(2,),且 X与 Y独立,则
X Y~ (1 2,)
指数引分理布,则设有X1,X2, ,Xn 相互独立且均服从参数为 的 X 1 X 2 X n ~ ( n ,)

7-3 随机过程第三章讲课版

7-3 随机过程第三章讲课版


k
,
四、Poisson过程 (1)放射性物质在[0，t]中放出的α－粒子的数目. (2)某服务台在[0，t]中到达的顾客数. (3)某建筑物指定面积上出现的点负荷数目.
3.1 泊松过程的定义
• 定义3.1随机过程{N(t)，t 0 }是计数过 程，如果 N(t) 表示到时刻 t为止已发生 的事件A的总数，且N(t)满足条件 (1) N(t) 0 ; (2) N(t)取整数; (3)若s < t ，则N(s) N(t); (4)当s < t时，N(t) - N(s)等于区间(s, t]中 发生事件A的次数。
k 1
应 用 举 例
设保险公司的人寿保险单持有者在ti时刻死亡 获得的保险金为Di,诸Di相互独立，均服从[10000，20000] 上的均匀分布.若在[0,t]内死亡的人数N(t)，t 0为强度为 5 的Poisson过程，并与{Dn}独立.试求保险公司在 [0,t]内将要支付的总保险金额 X (t ) 的均值与方差.
3.3 非齐次泊松过程
解 设t=0为早晨5时，t=16为晚上9时， • 则
200 400t ,0 t 3 (t ) 1400 , 3 t 13 1400 400(t 13),13 t 16
3.3 非齐次泊松过程
解 12时至14时为t[7,9] 在[0,t]内到达的乘车人数X(t)服从参数为 (t)的非齐次泊松过程 12时至14时乘车人数的数学期望为
P X(t h) X(t ) 1 h o(h) P X(t h) X(t ) 2 o(h)
(参数>0)
3.2 泊松过程的性质
• 一、数字特征 设{X(t), t 0}是参数为的泊松过程， 对任意t, s[0, +)，若s < t ，则有 E[ X (t ) X ( s)] D[ X (t ) X ( s)] (t s) m X (t ) E[ X (t )] E[ X (t ) X (0)] t

北京大学 泊松过程 讲义

北京大学 泊松过程 讲义
2 2
D {N (t )} = E [ N (t )] − ⎡ ⎣ E {N (t )}⎤ ⎦ = λt
2
{
}
自相关函数
R(t1 , t2 ) = E {N (t1 ) N (t2 )}
假设 t1 < t2 ，有
E{N (t1 ) N (t2 )} = E {N (t1 ) N (t1 ) + N (t1 ) [ N (t2 ) − N (t1 ) ]} = E{N (t1 ) N (t1 )} + E {N (t1 )} ⋅ E{[ N (t2 ) − N (t1 )]} = λ t1 + ( λ t1 ) + λ t1 ⋅ λ ( t2 − t1 )
n ≥1
d P0 (t ) = −λ P0 (t ) dt d Pn (t ) = −λ Pn (t ) + λ Pn −1 (t ), n ≥ 1 dt
泊松过程递推微分方程的解，
P0 (t ) = e − λ t P1 (t ) = λ t ⋅ e − λ t Pn (t ) = (λ t ) n − λ t e n!
则
(s < t)
λ se − λ s ⋅ e − λ ( t − s ) s = t λ te − λ t
Ｓ的概率密度是 1/t。
结论：如果已知在(0,t)内发生 n 次事件，则 n 次事件的发生时间是 n 个独立同分布的随 机变量的顺序序列，每一随机变量均匀分布于(0,t)内。
4.4 时间间隔 (0, t2 ) 内发生 n 个事件时， (0, t1 < t2 ) 内发生 k 次事件的概率
1.3 泊松过程的基本概念
定义，设有一个计数过程{N(t), t>0}满足下列假设，称为泊松过程， 1. 2. 3. 4. 在 t=0 时，N(t)=0； 该过程是独立增量计数过程； 该过程是平稳增量计数过程； 在（t, t+Δt）内出现一个事件的概率为 λΔt + 0(Δt)，λ为一常数，在（t, t+Δt） 内出现两个或两个以上事件的概率为 0(Δt)，即 P{ N(t+Δt) - N(t)>1}=0(Δt)

随机过程 第3章 泊松过程

随机过程 第3章 泊松过程

泊松过程
[定义] 称计数过程{ X (t) , t 0 }为具有参数 的泊松过程， 若它满足下列条件： (1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立增量过程; (3) （平稳性）在任一长度为 t 的区间中，事件A发生的次 数服从参数 >0的泊松分布，即对任意 s , t 0 ，有


3.2 泊松过程的基本性质
泊松分布:
( t ) n t P{ X (t s ) X ( s ) n} e , n!
n 0, 1,
( t ) n t P{ X (t ) n} e , n 0, 1, 2, n!
Φ X ( ) E[e
假设在[0 , t ]内事件A已经发生一次，确定这一事件到 达时间W1的分布 ——均匀分布
P{W1 s, X (t ) 1} P{W1 s X (t ) 1} P{ X (t ) 1} P{ X ( s ) 1, X (t ) X ( s ) 0} P{ X (t ) 1} P{ X ( s ) 1} P{ X (t ) X ( s ) 0} P{ X (t ) 1}
故仪器在时刻 t0 正常工作的概率为:
k 1 ( t ) P P (T t 0 ) e t dt t0 ( k 1)! n k 1 ( t ) 0 P [ X (t 0 ) k ] e t
0
n0
n!
(3) 到达时间的条件分布
P{ X k }
k e
k!
, k 0, 1, 2, ( 0为常数 )
则随机变量X 服从参数为 的泊松分布，简记为 ()。
E(X ) ,

第三章泊松过程PPT课件

第三章泊松过程PPT课件
பைடு நூலகம்
P1(t)tet
下面用归纳法证明 Pn (t )
et
( t )n
n!
成立。
假设 Pn1(t ) et
(t )n1 ，由前推导知
n1 !
d
dt
e tPn (t)
e tPn1(t)
e te t ( t)n1 (n 1)!
( t)n1
(n 1)!
积分得
et
Pn(t)
(t)n
n2
n!
故定义3.2蕴涵定义3.3。
下面来证明定义3.3蕴涵定义3.2。 令
P n ( t ) P { X ( t ) n } P { X ( t ) X ( 0 ) n } 由定义3.3的(2)和(3)，有
P0(th)P{X(th)0}P{X(th)X(0)0} P{X(t)X(0)0,X(th)X(t)0}
所以
P n (t) P n (t)P n 1 (t)
e t P n ( t)P n ( t)e tP n 1 ( t)
因此
d
dt
etPn(t)
etPn1(t)
当n=1时，
d d tetP 1(t)etP 0(t)ete t
即 P1(t)(tc)et
由于 P1(0) 0 ，代入上式得
泊松过程是计数过程的最重要的类型之一，其定义如下：
定义 3.2 称计数过程{X(t),t 0}为具有参数 ＞0 的
泊松过程，若它满足下列条件
(1) X(0)= 0；
(2) X(t)是独立增量过程；
(3) 在任一长度为t 的区间中，事件A发生的次数
服从参数 ＞0 的泊松分布，即对任意s,t＞0，有
得
P0(t) et

泊松过程课件.ppt

泊松过程课件.ppt

泊松过程的定义和例
稳增量过程,所以只需证明由定义3.2的条件(3)可以推 出定义3.3的条件(3).由式 n ( t ) P{X(t+s)-X(s)=n}=e-λt ,n=0,1,2,…. n! 对充分小的h,有 P{X(t+h)-X(t)=1}=P{X(h)-X(0)=1}(X(h)=X(0+h)) 1 n ( h ) ( h ) =e-λh =λh n0 =λh[1-λh+o(h)] =λh+o(h); P{X(t+h)-X(t)≥2}=P{X(h)-X(0)≥2} n ( h ) h = e n 2 n ! =o(h).
个乘客到达的时刻则飞机a在飞机b之后起飞的概率为pt泊松过程xt到达时间的概率密度函数为2中条件即此时由对称性有设乘客按强度为的泊松过程来到某火车站火车在时刻t起程计算在时间0t内到达的乘客候车时间总和的期望值即求ettdtdt设顾客到某商场的过程是泊松过程已知平均每小时有30人到达求所给事件的概率
泊松过程的定义和例
们对过程了解的情况去验证; 然而条件(3)的验证是非 常困难的. 为了方便应用,以下我们再给出泊松过程的 另一个定义. 定义3.3 称计数过程{X(t),t≥0},为具有参数λ＞0的泊 松过程,如果{X(t),t≥0}满足下列条件: (1) X(0)=0; (2) X(t)是独立、平稳增量过程; (3) X(t)满足下列两式: P{X(t+h)-X(t)=1}=λh+o(h); P{X(t+h)-X(t)≥2}=o(h). • 定义3.3中的条件(3)要求: 在充分小的时间间隔内,最 多有1个事件发生, 而不能有2个或2个以上事件同时发
泊松过程的定义和例
例3.2 考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客.如果 记X(t)为在时间(0,t]内到达售票窗口的旅客数, 则计 数过程{X(t),t≥0}满足定义3.3中的各个条件,故是一 个泊松过程. 例3.3 考虑机器在(t,t+h)时间段内发生故障的事件. 若 机器发生故障,立即修理后继续工作,则在(t,t+h)时间 段内机器发生故障而停止工作的事件数,构成一个随机 点过程,该过程可以用泊松过程进行描述. 定理3.1 泊松过程的两种定义,即定义3.2与定义3.3是等 价的. 证明: 首先证明定义3.2蕴涵定义3.3. 比较两条定义,由于定义3.2的条件(3)中蕴涵X(t)为平

泊松过程、马尔科夫链-PPT精选文档

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二、泊松过程
1.计数过程
若N(t)表示到时刻t为止已发生的“事件A”的总数，且N(t)满足以下条件：
1N t 0 ; 2 N t 取正整数； N 3 若 s t ，则 N s t; 4 当 s t 时， N t N s 等于区间 s ,t 中发生的“事件 A ”的次数 .
R s , t s t 1 X

C s , t R t , s t s min s , t X X X X
u E e exp t e 1
i uX t
iu X

(3)泊松过程的一个实例
设N(t)表示某电话交换台在时间[0,t)内接到的呼唤次数。 可以证明，对固定的t，呼唤次数N(t)是服从某参数λ的泊松分 布的随机变量。证明从略。
(4)时间间隔与等待时间的分布
T1
O
W1
T2
W2
T3
W
3
Tn
W n1
W
n
{X(t),t≥0}是泊松过程 X(t)表示t时刻事件A发生 (如:顾客出现)的次数，
则随机过程{N(t),t≥0}为计数过程。
泊松过程→
2.泊松过程
复习：泊松分布
(1)泊松过程的定义
设随机过程{X(t),t≥0}的状态空间为X={0,1,2,…},且 满足下列三个条件：
Xt , t 0 ① 为独立增量过程；
②对任意 0 s t, Xt Xs ~ t s,
X
E X t X s t s ;

t E X t X 0 t 0 t ;

应用随机过程泊松分布课件-PPT

应用随机过程泊松分布课件-PPT
特点:
1.应用非常广泛,实际背景强：包括管理科学、运筹决策、 经济分析、金融工程、通信工程等许多领域
2.数学基础要求较高;
3.建立随机分析的思维较难.
研究动因
什么是随机过程（random variable，r.v. in short）？
研究动因
简单地说，随机过程就是一族随机变量. 随机过程的最早被人们研究的随机过程是随机游动.设一 醉汉在路上行走，以概率p前进一步,以概率1-p后退一步, 以X(t)记他在街上的位置,则X(t)就是直线上的随机游动
注:随机游动可以用来描述简单赌博行为中的赌资变化 情况.
本学期课程的主要安排
一、预备知识
2. 样本空间、样本点、随机事件 3. 事件的关系和运算
一、预备知识
一、预备知识
一、预备知识
《随机过程论》胡迪鹤 武汉大学 什么是随机过程（random variable，r. 《随机过程》（第二版）方兆本 缪柏其 若取出白球,则除把白球放回外再加进一个白球,直至取 in short）？ 简单地说，随机过程就是一族随机变量. in short）？ 最简单也最早被人们研究的随机过程是随机游动. 及相应的实际背景; 尝试将各类随机过程与实际问题结合; 教材：应用随机过程-概率模型导论，Ross，第10版（影印版） 及相应的实际背景; 《随机过程论》胡迪鹤 武汉大学 定量描述，是近代数学的重要组成部分, 若取出白球,则除把白球放回外再加进一个白球,直至取 《随机过程论》胡迪鹤 武汉大学 注:随机游动可以用来描述简单赌博行为中的赌资变化情况. 应用非常广泛,实际背景强：包括管理科学、运筹决策、 及相应的实际背景; 例 随机游动(random walk) 2 学会把抽象的概率和实际模型结合起来
本课程教学目标:

排队论大学课件6-泊松过程

排队论大学课件6-泊松过程

复杂系统建模
02
对于复杂的服务系统，如多服务台、多队列等，基于泊松过程
的排队论模型建模难度较大。
数据获取与处理03在实际应用中，获取准确的顾客到达和服务时间数据较为困难，
对模型的验证和应用带来挑战。
未来发展趋势及研究方向
A
非齐次泊松过程研究
针对事件发生率变化的情况，研究非齐次泊松 过程在排队论中的应用。
均值与方差
指数分布的均值和方差都是1/λ，其中λ是单位时间内事件的平 均到达率。因此，到达时间间隔的期望值（均值）和波动程度 （方差）都与事件到达率成反比。
到达次数分布
泊松分布
在给定时间区间内，事件到达的次数服从泊松分布。泊松分布是一种离散型概率分布，用于描述在固 定时间或空间范围内随机事件发生的次数。
泊松过程应用场景
01 02
电话交换系统
在电话交换系统中，用户呼叫的到达可以看作是一个泊松过程。通过泊 松过程可以预测在给定时间内呼叫到达的次数，从而合理安排交换机的 容量。
交通流
道路上车辆到达的情况也可以看作是一个泊松过程。通过泊松过程可以 分析交通流的特性，如车流量、车速等，为交通规划和管理提供依据。
期望值与方差
对于单个事件的等待时间，其期望值（均值）是1/λ，方差也是1/λ。对于多个事件的等待时间，其期望值（均值） 和方差都与事件数量成正比。因此，等待时间的期望值（均值）和波动程度（方差）都与事件到达率成反比。
泊松过程参数估计与检验
03
参数估计方法
01
矩估计法
利用样本矩来估计总体矩，从而获得泊松过程参数的估 计值。
02
最大似然估计法
根据样本数据，构造似然函数，通过最大化似然函数得 到参数的估计值。

随机过程 第3章 泊松过程

随机过程 第3章 泊松过程

P { X ( t h ) X ( t ) 2} o ( h )
非齐次泊松过程的均值和方差函数为:
m X (t ) D X (t )

t
0
(s) d s
非齐次泊松过程的分布
[定理] 设{ X (t) , t 0 }为具有均值函数 m X (t ) 的非齐次泊松过程，则有
分布函数：
s0 0, FW1 X ( t ) 1 ( s ) s / t , 0 s t 1, st
分布密度：
se s e ( t s ) s t te t
1 / t , 0 s t fW1 X ( t ) 1 ( s ) 其它 0,
k e
k!
泊松分布
[泊松分布] 随机变量X 的所有可能取值为0, 1, 2, … ，而取 各个值的概率为
P{ X k }
k e
k!
, k 0, 1, 2, ( 0为常数 )
则随机变量X 服从参数为 的泊松分布，简记为 ()。
E(X ) ,
D(X )
fWk
( s n) X (t )
n! s s 1 k (k 1)!(n k )! t t
h

k 1
nk
Beta分布
lim
h0Βιβλιοθήκη P{s Wk s h X (t ) n}
fWk (s) P{X (t ) X (s) n k} P{X (t ) n}
[二项分布] 随机变量 X 为n重贝努利试验中事件A发生的 次数，则 X ~ B (n, p)
n p k q nk P( X k ) k

北大随机过程课件泊松过程PPT

北大随机过程课件泊松过程PPT

互独立的随机变量。求在五周内移民到该地区
的人口数的数学期望及其方差。
2018/11/10
2018/11/10
非齐次泊松过程举例
假设不相交叠的时间间隔内到达商店的 顾客数是相互统计独立的 ，问在上午8:30 －9:30间无顾客到达商店的概率是多少？ 在这段时间内到达商店顾客数学期望是多 少？
2018/11/10
复合泊松过程
定义：
设有泊松过程{ N(t),t ≥0 }和一族独立同分布 随机变量{ Yn }，n=1，2，3，…，且{ N(t) }和{ Yn} 也是相互统计独立的. 设随机过程 X (t ) Yn ,
2018/11/10
基本概念--泊松过程
泊松过程为满足下列假设的计数过程 :
1. 从t=0起开始观察事件，即N(0)=0； 2. 该过程是独立增量过程； 3. 该过程为平稳增量过程； 4. 在(t，t+∆t)内出现一个事件的概率为λ ∆t+ o(∆t)(当∆t→0时)， λ 为一常数；在(t，t+∆t) 内出现事件二次以及二次以上的概率为o(∆t), 即 P{[N(t+ ∆t)-N(t)] ≥2}=o(∆t)；
(1). 泊松过程{N(t), t>0}的第一个事 件到达时间t的概率密度分布.
t ~ t t 内有一个到达。 即：0 ~ t 内无到达，
f ( ) e

2018/11/10
泊松分布相关的问题
(2). 泊松过程{N(t), t>0}的各次事件 间的时间间隔分布.
设各次事件间的时间间隔记为Tn , n 1, 2,3, 则
2018/11/10
泊松分布相关的问题
(5).(续)

第三章泊松过程

第三章泊松过程

exp {mX
(t)},
n0
例题3.8
设{X(t),t≥0}是具有跳跃强度
定理3.2： 设{X(t),t≥0}为具有参数λ的泊松过程，{Tn,n≥1}是 对应的时间间隔序列，则随机变量Tn是独立同分布 的均值为1/λ的指数分布。
即:对于任意n=1,2, …事件A相继到达的时间 间隔Tn的分布为
1 et , t 0
FTn
(t )
P{Tn
t}
0,
t0
其概率密度为
e t , t 0
设{X(t),t≥0}是泊松过程，已知在[0,t]内事件A 发生n次，求这n次到达事件W1<W2, …<Wn的 联合概率密度函数。
解：
例题3.4
设在[0,t]内事件A已经发生n次，且0<s<t，对 于0<k<n，求P{X(s)=k|X(t)=n}
解：
例题3.5设在[0,t]内事件A已经发生n次，求 第k(k<n)次事件A发生的时间Wk的条件概率 密度函数。
• 独立增量过程 • 平稳增量过程
计数过程
定义：
称随机过程{N(t),t≥0}为计数过程，若N(t) 表示到时刻t为止已发生的“事件A”的总数， 且N(t)满足下列条件：
1. N(t) ≥0;
2. N(t)取正整数值以及0；
3. 若s<t，则N(s) ≤N(t)； 4. 当s<t时，N(t)-N(s)等于区间(s,t]中发生的
y y
W1(2)
合Leabharlann y非齐次泊松过程定义3.4： 允许速率或强度是t的函数
称计数过程{X(t),t≥0}为具有跳跃强度函数 λ(t)的非齐次泊松过程，若它满足下列条件：

随机过程——泊松过程(2) 共28页

随机过程——泊松过程(2) 共28页
时刻s，则以概率Ps被归为I型，以 1 Ps被归为II型，而且与其他事件
的归类独立，则有如结 下论：
4.1’ Poisson过程的分解
定理4.5 Nit表示到时t，刻i型事件发生的 i I,II，则N1t和N2t是相互独立的随机 ， 分别服从均值tp和 为t1 p的Poi sso分n布，
P s Y t s G t s
N 1t和 N 2t相 互 独 P立 oi分 s， so 布 均 n
E N 1 t tp t1 t0 tG t sd s 0 tG x dx
E N 2 t t1 p 0 t1 G x dx
比 如 ， 公 交 车 站乘达客到流的， 早 晚 高速峰 率 明 显 比 其 他 时；段再要比大如 ， 研 究生某 地震的次数，夏速秋率季也的会比冬春. 季
因此，为了描 象述 ，这 我些 们P现 将 ois齐 s 过程推广到 Po非 is过 s齐 on程 .次
4.2.1 非齐次Poisson过程
二、定义

k
PNt

k
PN1t n, N2t m Nt n mPNt n m

C
n n
m
pn 1
pm
et t nm n m!
etp tp n et1 p t 1 p m
Байду номын сангаас

n!
m!
PN1t nPN2t m
设随机 N过 t是程 一个计数足 过程
(1)N0 0
(2)Nt是独立增量 . 过程
( 3 h 0 ， ) P N t h N t 2 o h
( h 4 0 ， P ) N t h N t 1 t h o h 则称 Nt为 具 有 强 t的 度非 函齐 数次

第二章泊松过程随机过程ppt课件

第二章泊松过程随机过程ppt课件

命题 2.2.1 Xn,n=1,2,,为独立同分布的均值为 1/的指数随机变量。
证明：P{X1>t}= P{ N(t)=0}=et P{ X2>t| X1=s}= P{在(s,s+t]内没有事件| X1=s}=P{在(s,s+t]内没有
事件}(由独立增量)= et (由平稳增量)
所以，从上可得，X2 也是一个具有均值 1/的指数随机变量，且 X2
证明： (1)对 y1 y2 yn，如果(Y1,Y2,, Yn)等于(y1,y2,,yn)的 n!个排 列中的任一个，Y(1),Y(2),, Y(n)将等于(y1,y2,,yn)；(2)当( yi1 , yi2 , , yin )是 (y1,y2,,yn)的一个排列时，Y1,Y2,, Yn 等于( yi1 , yi2 , , yin )的概率密度是
2. 来到时刻的条件分布（conditional distribution of the arrival times)
假设已知到时间 t 泊松过程恰发生了一个事件，我们要确定这一事件
发生的时刻的分布。因为泊松过程有平稳独立增量，看来有理由认为
[0,t]内长度相等的区间包含这个事件的概率应该相同。换言之，这个
2．泊松过程第二个定义 为了确定一个任意的计数过程是一泊松过程，必须证明它满足条件
(1)，(2)及(3)。条件(1)只是说明事件的计数是从时刻 0 开始的。条件(2) 通常可从我们对过程了解的情况去直接验证。然而全然不清楚如何去确 定条件(3) 是否满足。为此泊松过程的一个等价定义将是有用的。
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。

随机过程课件-第三章 泊松过程

随机过程课件-第三章 泊松过程

1. N(t) ≥0;
2. N(t)取正整数值； 3. 若s<t，则N(s) ≤N(t)；
4. 当s<t时，N(t)-N(s)等于区间(s,t]中发生的“事件A”的次数。
计数过程N(t)是独立增量过程 如果计数过程在不相重叠的时间间隔内，事件A发生的次数是相互独立的。 计数过程N(t)是平稳增量过程 若计数过程N(t)在(t,t+s]内（S>0），事件A发生的次数N(t+s)-N(t)仅与时 间差s有关，而与t无关。
2
泊松过程定义1： 称计数过程{X(t),t≥0}为具有参数λ >0的泊松过程，若它满足下列条件： 1、X(0)=0； 2、X(t)是独立增量过程； 3、在任一长度为t的区间中，事件A发生的次数服从参数λ>0的泊松分布， 即对任意s,t≥0，有 n t ( t )
P{ X (t s ) X ( s ) n} e n! , n 0,1,
1 e t , t 0 FTn (t ) P{Tn t} t0 0,
概率密度为
e t , f Tn (t ) 0,
t 0 t 0
10
等待时间的分布
等待时间Wn是指第n次事件A到达的时间分布
Wn
T
i 1
n
i
因此Wn是n个相互独立的指数分布随机变量之和。
第三章 泊松过程
泊松过程定义 泊松过程的数字特征 时间间隔分布、等待时间分布及到达时间的 条件分布 复合泊松过程 非齐次泊松过程 滤过泊松过程

1
计数过程： 称随机过程{N(t),t≥0}为计数过程，若N(t)表示到时刻t为止已发生的“事 件A”的总数，且N(t)满足下列条件：
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事件先于第二个过程的第一个事件的概率，即
Pr{ x<y}。
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泊松分布相关的问题
(5). (续)

1 x 2 x dx e e 1 0 1 dx ( 1 2 )e ( ( 1 2 ) 0
1 2 ) x
泊松分布的母函数
( t ) t n t (1 s ) (s) Pn s e s e n! n 0 k 0
n n
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泊松过程的统计特征
泊松过程的均值:
E N (t ) nP{N (t ) n}
n 0
d ( z ) dz z 1 d t (1 z ) e dz z 1 t
se s e (t s ) s t t te
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泊松分布相关的问题
(5).有两个相互独立的泊松过程{N1(t), t>0}及
{N2(t), t>0}，它们在单位时间内出现事件的平
均数分别是λ1 、λ2，设x，y分别是两个过程出
现第一次事件的时刻，求第一个过程的第一个
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泊松分布相关的问题
(5).(续)

( 1 x ) 1 x 2 x 0 dx 1 (k 1)! e e
fTn (t ) e
t
(t 0)
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泊松分布相关的问题
(3). 泊松过程{N(t), t>0}的第n个 事件到达时间t的概率密度分布 .
0 ~ t 到达n-1个， 即： t ~ t t 内有一 个到达。
( ) f ( ) e (n 1)!
n 1
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泊松分布相关的问题
(4). 泊松过程{N(t), t>0}在（0,t）
内有一个事件出现，它的到达时
间s的概率密度分布.
P[ N ( s) 1] Pr [ N (t ) N ( s)] P[ N ( s) 1 / N (t ) 1] P[ N (t ) 1]
内容
基本概念
泊松过程的分布特征 泊松过程的统计特征 泊松分布的相关问题
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基本概念
计数过程
独立增量过程 平稳增量计数过程 泊松过程
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基本概念--计数过程
计数过程
定义：计数过程 在(0, t)内出现事件A的总数所组成的过 程{ N(t), t>0 }称为计数过程.
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基本概念--计数过程
独立增量过程
定义：独立增量过程 如果在不相交的时间间隔内出现事件 A的次数是相互统计独立的则A事件的计数 过程为独立增量过程.
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基本概念--计数过程
平稳增量计数过程
定义：平稳（齐次）增量计数过程 在时间间隔(t, t+s)内出现事件A的次数 [N(t+s)-N(t)]仅与s有关而与t无关，则称 N(t) 为平稳增量计数过程.
1 ( 1 2 )
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泊松分布相关的问题
(5).有两个相互独立的泊松过程{N1(t), t>0}及 {N2(t), t>0}，它们在单位时间内出现事件的平 均数分别是λ1 、λ2 ，设t1k是第一过程出现第k 次事件的时刻，t21是第二过程出现第一次事件 的时刻，求第一个过程的第k个事件先于第二 个过程的第一个事件的概率，即Pr{ t1k < t21} 。
(1). 泊松过程{N(t), t>0}的第一个事 件到达时间t的概率密度分布.
t ~ t t 内有一个到达。 即：0 ~ t 内无到达，
f ( ) e

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泊松分布相关的问题
(2). 泊松过程{N(t), t>0}的各次事件 间的时间间隔分布.
设各次事件间的时间间隔记为Tn , n 1, 2,3, 则
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泊松过程
泊松过程
泊松过程递推微分方程 泊松过程母函数 泊松分布的几个问题
非齐次泊松过程
复合泊松过程 过滤泊松过程
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泊松过程的分布特征
齐次泊松过程的递推微分方程
P0 (t t ) P0 (t )(1 t ) 0(t )
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基本概念--泊松过程
泊松过程为满足下列假设的计数过程 :
1. 从t=0起开始观察事件，即N(0)=0； 2. 该过程是独立增量过程； 3. 该过程为平稳增量过程； 4. 在(t，t+∆t)内出现一个事件的概率为λ ∆t+ o(∆t)(当∆t→0时)， λ 为一常数；在(t，t+∆t) 内出现事件二次以及二次以上的概率为o(∆t), 即 P{[N(t+ ∆t)-N(t)] ≥2}=o(∆t)；
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泊松过程的分布特征
齐次泊松过程的递推微分方程
方程的解
P0 (t ) e
t
P1 (t ) t e
t
( t ) n t PN (t 0 t ) N (t 0 ) n Pn e n!
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泊松过程的分布特征
Pn (t t ) Pn (t )(1 t ) Pn1 (t ) t 0(t ), k 1
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泊松过程的分布特征
齐次泊松过程的递推微分方程
其中
Pn (t ) Pr N (t ) N (0) n
d P0 (t ) P0 (t ) dt d Pn (t ) Pn (t ) Pn 1 (t ) d松过程的均值:
E N (t ) nP{N (t ) n}
n 0
d ( z ) dz z 1 d t (1 z ) e dz z 1 t
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泊松分布相关的问题