4.2 经典数字滤波器原理
数字滤波是数字信号分析中最重要的组成部分之一，与模拟滤波相比，它具有精度和稳定性高、系统函数容易改变、灵活性强、便于大规模集成和可实现多维滤波等优点。在信号的过滤、检测和参数的估计等方面，经典数字滤波器是使用最广泛的一种线性系统。
数字滤波器的作用是利用离散时间系统的特性对输入信号波形(或频谱)进行加
工处理，或者说利用数字方法按预定的要求对信号进行变换。
4.2.1 数字滤波器的概念
若滤波器的输入、输出都是离散时间信号，那么该滤波器的单位冲激响应h(n)也必然是离散的，这种滤波器称为数字滤波器。当用硬件实现一个DF时，所需的元件是乘法器、延时器和相加器；而用MATLAB软件实现时，它仅仅需要线性卷积程序就可以实现。众所周知，模拟滤波器(Analog Filter，AF)只能用硬件来实现，其元件有电阻R，电感L，电容C及运算放大器等。因此，DF的实现要比AF容易得多，并且更容易获得较理想的滤波性能。
数字滤波器的作用是对输入信号进行滤波，就如同信号通过系统一样。对于线性时不变系统，其时域输入输出关系是：
(4-1)
若y(n)、x(n)的傅里叶变化存在，则输入输出的频域关系是：
(4-2)
当输入信号x(n)通过滤波器h(n)后，其输出y(n)中不再含有的频率成分，仅使的信号成分通过，其中是滤波器的转折频率。
4.2.2 经典数字滤波器的分类
经典数字滤波器按照单位取样响应h(n)的时域特性可分为无限冲激响应(IIR，I nfinite Impulse Response)系统和有限冲激响应(FIR，Finite Impulse Respo nse)系统。如果单位取样响应是时宽无限的h(n)，则称之为IIR系统；而如果单位取样响应是时宽有限的h(n)，，则称之为FIR系统。
数字滤波器按照实现的方法和结构形式分为递归型或非递归型两类。递归型数字滤波器的当前输出y (n )是输入x
(n )的当前值和以前各输入值x (n )，x (n –
1)，….，及以前各输出值
y (n )，y (
n –1)，….的函数。
一个N 阶递归型数字滤波器(IIR 滤波器)的差分方程为：
(4-3)
其中，式(4-3)中的系数至少有一项不为零。
说明必须将延时的输出序列
进行反馈。
递归系统的传统函数定义为：
(4-4)
递归系统的传递函数H (z )在Z 平面上不仅有零点，而且有极点。非递归型数字滤波器当前的输出值y (n )
仅为当前及以前的输入序列的函数，而与以前的各个输出值无关，因此从结构上看非递归系统没有反馈环路。
一个N 阶的非递归型数字滤波器(FIR 滤波器)的差分方程为：
(4-5)
差分方程式(4-5)中的系数
等于单位取样响应的序列值h (n )，其系统函数H (z )
可以表示为以下形式：
(4-6)
H (z )是的多项式，因此它的极点只能在Z 平面的原点上。
这两类滤波器无论是在性能上还是在设计方法上都有着很大的区别。FIR 滤波器可以对给定的频率特性直接进行设计，而IIR 滤波器目前最通用的方法是利用已经很成熟的模拟滤波器的设计方法来进行设计。
4.2.3 数字滤波器的主要技术指标
1. 特征频率
滤波器的频率参数主要有：①通带截频为通带与过渡带的边界点，在该点信号增益下降到规定的下限。②阻带截频为阻带与过渡带的边界点，在该点信号衰耗下降到规定的下限。③转折频率为信号功率衰减到1/2(约3dB)时的频率，在很多情况下，也常以f c作为通带或阻带截频。④当电路没有损耗时，固有频率，就是其谐振频率，复杂电路往往有多个固有频率。
2. 增益与衰耗
滤波器在通带内的增益并非常数。①对低通滤波器通带增益一般指ω=0时的增益；高通指ω→∞时的增益；带通则指中心频率处的增益。②对带阻滤波器，应给出阻带衰耗，衰耗定义为增益的倒数。③通带增益变化量指通带内各点增益的最大变化量，如果以dB为单位，则指增益dB值的变化量。
3. 阻尼系数与品质因数
阻尼系数α是表征滤波器对角频率为ω0信号的阻尼作用，是滤波器中表示能量衰耗的一项指标，它是与传递函数的极点实部大小相关的一项系数。它可由传递函数的分母多项式系数求得：
(4-7)
式中，表示传递函数的分母多项式系数。
α的倒数Q=1/α称为品质因数，是评价带通与带阻滤波器频率选择特性的一个重要指标，Q为：
(4-8)
式中的为带通或带阻滤波器的3dB带宽，为中心频率，在很多情况下中心频率与固有频率相等。
4. 灵敏度
滤波电路由许多元件构成，每个元件参数值的变化都会影响滤波器的性能。滤波器某一性能指标对某一元件参数变化的灵敏度记作，定义为：
(4-9) 灵敏度是滤波电路设计中的一个重要参数，可以用来分析元件实际值偏离设计值时，电路实际性能与设计性能的偏差程度；也可以用来估计在使用过程中元件参数值变化时，电路性能变化情况。该灵敏度与测量仪器或电路系统灵敏度概念不同，该灵敏度越小，标志着电路容错能力越强，稳定性也越高。
5. 群时延函数
当滤波器幅频特性满足设计要求时，为保证输出信号失真度不超过允许范围，对其相频特性也应提出一定要求。在滤波器设计中，常用群时延函数
评价信号经滤波后相位失真程度。越接近常数，信号相位失真越小。
6. 滤波器设计的步骤
不论是IIR滤波器还是FIR滤波器的设计都包括三个步骤：
(1) 按照实际任务的要求，确定滤波器的性能指标。
(2) 用一个因果、稳定的离散线性时不变系统的系统函数去逼近这一性能指标。根据不同的要求可以用IIR系统函数，也可以用FIR系统函数去逼近。
(3) 利用有限精度算法实现系统函数，包括结构选择、字长选择等。
IIR数字滤波器设计的最通用的方法是借助于模拟滤波器的设计方法。模拟滤波器设计已经有一套相当成熟的方法，它不但有完整的设计公式，而且还有较为完整的图表以供查询，因此充分利用这些已有的资源将会给数字滤波器的设计带来很大的方便。
IIR数字滤波器的设计步骤是：
(1) 按一定的规则将给出的数字滤波器的技术指标转换为模拟低通滤波器的技术指标。
(2) 根据转换后的技术指标设计模拟低通滤波器G(s)。
