2020学年高中数学第2章推理与证明章末复习课讲义新人教B版选修2-2(2021-2022学年)

第２章 推理与证明

合情推理

1.归纳推理的特点及一般步骤

2．类比推理的特点及一般步骤

【例１】 观察式子：1+错误!＜错误!，1＋错误!＋错误!＜错误!未定义书签。，1＋错误!＋错误!未定义书签。+错误!〈错误!,……，由此可归纳出的式子为（ )

A.１＋错误!＋错误!未定义书签。＋…＋错误!〈错误!未定义书签。

B.1+错误!未定义书签。+错误!未定义书签。+…＋错误!

C．1+错误!未定义书签。＋错误!未定义书签。+…+错误!未定义书签。

ﻬD.1＋错误!未定义书签。＋132＋…+错误!〈错误!未定义书签。 (2）两点等分单位圆时,有相应正确关系为siｎ α＋sin（π+α)=0；三点等分单位圆时,有相应正确关系为siｎ α+sin错误!未定义书签。＋sin错误!=0,由此可以推知,四点等分单位圆时的相应正确关系为＿＿_＿___＿＿_.

[思路探究］ (１)观察各式特点，找准相关点,归纳即得．

(2）观察各角的正弦值之间的关系得出结论．

[解析] (1)由各式特点，可得１＋错误!未定义书签。＋错误!＋…＋错误!〈错误!.故选C.

（2)用两点等分单位圆时，关系为siｎ α＋sin(π+α)=0,两个角的正弦值之和为0,且第一个角为α,第二个角与第一个角的差为(π＋α)-α=π，

用三点等分单位圆时，关系为sｉｎ α+sｉn错误!未定义书签。+sｉn错误!=0,此时三个角的正弦值之和为0，且第一个角为α,第二个角与第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等，即有错误!未定义书签。-错误!未定义书签。＝错误!－α=错误!。

依此类推，可得当四点等分单位圆时，为四个角正弦值之和为0，且第一个角为α,第二个角为错误!未定义书签。+α=错误!未定义书签。+α，第三个角为错误!未定义书签。＋α+错误!=π＋α,第四个角为π＋α+错误!未定义书签。＝＼ｆ（３π,2)+α，即其关系为sin α+sin错误!+ｓin(α+π）+sin错误!＝0.

［答案］ (1）C (2）sin α＋sin错误!＋ｓｉn（α＋π)＋ｓin错误!未定义书签。=0

1．已知函数y＝sin4x+coｓ4ｘ(x∈R)的值域是错误!，则

（1)函数y＝ｓin６ x＋cｏs6x(x∈R)的值域是_______＿_＿；

（2)类比上述结论,函数y=sin２ｎ x+cos2nx(n∈Ｎ+)的值域是＿______＿__．

[解析] （１)ｙ=sｉn6x＋ｃos6x＝（sｉｎ2x＋ｃos2x)(sin4x-sｉn2 xｃos２ x+cos4 x)=sin4x－sin２ｘcos２ x+cｏs4x=（sｉn２ x＋cos2 x)2－3sin2ｘcｏs2ｘ=1－错误!siｎ２(2x）=１－错误!未定义书签。（1-coｓ 4ｘ）＝错误!＋错误!cos 4x∈错误!未定义书签。。 （2)由类比可知,y＝sin2ｎx＋cｏs2nx的值域是[21-ｎ,1］.

［答案］ (1)错误!未定义书签。 (2）[２1-n，1]

综合法与分析法

１.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题的常用的方法,综合法是由因导果的思维方式，而分析法的思路恰恰相反，它是执果索因的思维方式．

２．分析法和综合法是两种思路相反的推理方法.分析法是倒溯,综合法是顺推,二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一,缺点是表述易错；综合法条理清晰,易于表述,因此对于难题常把二者交互运用,互补优缺,形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．

【例2】 设a>0,b〉0,a＋b=1,求证：错误!未定义书签。+错误!未定义书签。＋错误!未定义书签。≥８。试用综合法和分析法分别证明．

[思路探究］ (1)综合法：根据a＋b＝1,分别求错误!未定义书签。＋错误!未定义书签。与错误!的最小值.

(2)分析法：把错误!未定义书签。变形为错误!未定义书签。=错误!未定义书签。＋错误!求证.

[解］ 法一:(综合法）

∵a〉0,b＞0,ａ＋b＝１，

∴1=a＋b≥２ａb,错误!未定义书签。≤错误!未定义书签。,ab≤错误!未定义书签。,∴错误!未定义书签。≥4。

又错误!＋错误!=（a＋b)错误!=2＋错误!+错误!未定义书签。≥4，

∴错误!＋错误!未定义书签。＋错误!未定义书签。≥８（当且仅当ａ＝b=错误!未定义书签。时等号成立）.

法二:（分析法)

∵a〉0,b〉0，a+b=1，

要证错误!＋错误!未定义书签。＋错误!未定义书签。≥8,

只要证错误!未定义书签。＋＼f(a＋ｂ,ab)≥8,

只要证错误!＋错误!≥8，

即证1a+错误!未定义书签。≥4。

也就是证ａ+ｂa+错误!未定义书签。≥4。

即证错误!+错误!未定义书签。≥2，

由基本不等式可知,当ａ〉0,b>0时,

ﻬ＼f（ｂ,a）＋错误!未定义书签。≥2成立，所以原不等式成立.

2．(１)已知a,b,c为互不相等的非负数.

求证:a2+b2＋c2〉错误!未定义书签。(错误!未定义书签。＋错误!＋错误!未定义书签。)．

(２)用分析法证明:2cos（α－β）-错误!未定义书签。=错误!未定义书签。。

［解］ （1)因为ａ2＋b2≥2ａb,

b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ａc，

又因为a,b，ｃ为互不相等的非负数，

所以上面三个式子中都不能取“=”,

所以a2＋ｂ2+c２〉aｂ+bc+aｃ,

因为ａｂ+ｂc≥2错误!未定义书签。,bc+ａc≥2错误!未定义书签。,

ａｂ+ac≥2a2bc,

又a，b，c为互不相等的非负数，

所以ab＋bc＋ａｃ＞错误!(错误!+错误!+错误!),

所以a２+ｂ2＋c2＞错误!(错误!＋错误!+错误!）.

(2）要证原等式成立,只需证:

2ｃoｓ（α-β）sin α－sin（2α-β)＝ｓin β, ①

因为①左边=2cｏs(α－β)siｎ α-sin[(α-β）+α］

=2cos(α-β)sin α-sin(α-β)ｃos α-

ｃos（α－β)sin α

＝cｏs(α-β）ｓｉn α-sin(α-β）cｏs α

＝ｓin β=右边,

所以①成立,即原等式成立。

反证法

反证法是间接证明的一种基本方法，用反证法证明时，假定原结论的对立面为真,从反设和已知条件出发,经过一系列正确的逻辑推理,得出矛盾结果,断定反设不成立,从而肯定结论．反证法的思路:反设→归谬→结论. 【例3】 设｛an｝是公比为q的等比数列．

(1）推导{aｎ｝的前n项和公式;

(2)设q≠1,证明:数列{an+1}不是等比数列.

[思路探究］ (1)利用等比数列的概念及通项公式推导前n项和公式；（2）利用反证法证明要证的结论．

[解] （１)设{an}的前n项和为Sn,

当q=１时,Ｓｎ=ａ１+ａ1+…＋a１=ｎａ1；

当ｑ≠１时，Ｓｎ=a1+a１q+a1q2＋…+ａ1qn－１， ①

qＳn＝a１ｑ+a１q2+…+a1ｑn，

①-②得，（1－ｑ）Sn＝a1－a１ｑn,

∴Sｎ＝错误!,∴Sn＝错误!

(2）证明：假设{aｎ＋1}是等比数列，则对任意的k∈N＊,

（ａk+１＋1)2＝(ak＋1）(ak＋2＋１),

a错误!未定义书签。＋2ak＋1＋１=aｋak+2+ａk+ak＋2+1，

ａ错误!未定义书签。q２ｋ＋２ａ1qk=a1ｑk－１·a1qk＋１+a１ｑk－1+a1qｋ+1，

∵a1≠0,∴2qk=ｑｋ－1＋qk＋1.

∵ｑ≠０,∴q2－2q+1=0，

∴q=1,这与已知矛盾.

∴假设不成立，故{an+1}不是等比数列．

3．设{an},｛bｎ}是公比不相等的两个等比数列,ｃn=ａn+bn。证明:数列{cn｝不是等比数列.

［证明] 假设数列{cn}是等比数列,则

（an＋bn）２＝（aｎ-１＋bｎ-1）(an+1＋ｂn＋1）． ①

因为{ａｎ｝,｛ｂｎ｝是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p，q，

所以a错误!未定义书签。=an－1an+１，b错误!＝bn-１ｂn＋1.

代入①并整理,得

2aｎｂn＝an+1ｂｎ-1＋an－1bn+1=aｎbｎ错误!未定义书签。，

即2＝错误!+错误!，ﻩﻩ②

ﻬ当ｐ,q异号时,错误!+错误!未定义书签。<0,与②相矛盾;

当p，q同号时，由于p≠q,

所以错误!+错误!〉２,与②相矛盾.

故数列{cn}不是等比数列.

数学归纳法 1．关注点一：用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型,其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项，初始值n0是多少.

2．关注点二:由ｎ=k到n=k＋１时,除等式两边变化的项外还要利用ｎ=ｋ时的式子，即利用假设,正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．

【例４】 已知正数数列{ａｎ｝(n∈Ｎ＋)中,前n项和为Sｎ,且2Sｎ=an+错误!未定义书签。,用数学归纳法证明:aｎ＝错误!未定义书签。－＼r(n－1）.

［解] （1）当n＝1时,a１=Ｓ１=错误!错误!，

所以a错误!=1(an>0)，所以a1＝1,又错误!－错误!＝１,

所以ｎ=１时,结论成立．

（２)假设n=ｋ(ｋ≥１，k∈N＋)时，结论成立,即ａk＝错误!未定义书签。－错误!未定义书签。。

当ｎ=k+1时，ak＋1=Sk＋１-Ｓk

=＼ｆ（１,2)错误!－错误!错误!未定义书签。

=＼f（１,2）错误!-错误!错误!

＝错误!未定义书签。错误!－错误!,

所以a错误!未定义书签。＋2ｋak＋1－1＝0,解得aｋ+１＝错误!-错误!未定义书签。(ａn＞0),所以n＝k+1时,结论成立．

由(1)(２)可知，对n∈N+都有an＝错误!－错误!。

4．设数列｛an}的前n项和Sn=＼f(ｎ（an+１),2)（n∈N+），ａ２＝2.

(１）求{an｝的前三项a1,a2,ａ3;

(２)猜想{ａn｝的通项公式，并证明.

ﻬ［解］ (1)由Sn=＼f(ｎ(ａn+１)，２）,得a１＝1,又由a２＝2,得a３＝3。

(2)猜想：aｎ＝n．

证明如下：①当n＝1时，猜想成立.

②假设当ｎ=k(ｋ≥2）时,猜想成立，即ak＝k，

那么当n=k+1时,ａｋ＋1=Sk＋1-Ｓk

=错误!-错误!未定义书签。

＝错误!-错误!.

所以ak＋1＝错误!未定义书签。－错误!=k+1,

所以当n＝ｋ＋1时，猜想也成立.

根据①②知，对任意n∈N+,都有an＝n.