高中数学必修⑤24《等比数列》教学设计

课题：必修⑤2.4等比数列

三维目标：

1、 知识与技能

（1）通过实例，理解等比数列、公比的概念，明确一个数列是等比数列的限定条件；

（2）了解等比数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等比数列的首项、公比、 项 数、指定的项；

（3）体会等比数列与指数型函数的关系。

2、过程与方法

（1）通过丰富实例抽象出等比数列模型，经历由发现几个具体数列的等比关系，归纳出等比数列的定义，通过与等差数列的通项公式的推导类比，探索等比数列的通项公式．

（2）培养学生的观察能力，进一步提高学生的推理归纳能力；

（3）培养学生分析问题、解决问题的能力及钻研精神，培养学生的运算能力、严谨的思维习惯以及解题的规范性。

（4）通过公式的推导过程，展现数学中的对称美；通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并运用数学知识和方法科学地解决问题.

3、情态与价值观

（1）通过等比数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识；

（2）借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。形成学数学、用数学的思维和意识，培养学好数学的信心，为远大的志向而不懈奋斗；

（3）通过对数列知识的学习及探索，不断培养自主学习、主动探索、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，并提高参与意识和合作精神，并进一步培养学生研究和发现能力，让学

生在探究中体验愉悦的成功体验。

教学重点：

1．理解等比数列的概念及其性质，探索并掌握等比数列的通项公式；

2．会用公式解决一些简单的问题，体会等比数列与指数型函数之间的联系。

教学难点：

等比数列通项公式及性质的灵活运用

教 具：多媒体、实物投影仪

教学方法：合作探究、分层推进教学法

教学过程：

一、双基回眸 科学导入：

★前面，我们学习了等差数列的概念、通项公式及其有关性质，并运用这些知识解决了许多的实际问题，请同学们回顾一下学过的等差数列基本知识和性质：

① 等差数列定义：即daann1(n≥2)

② 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项。

③ 等差数列通项公式：nadna)1(1(n≥1)

④ dmnaamn)(

⑤ 在等差数列中， 若m + n= p + q 则 qpnmaaaa

⑥等差数列}{na的前n项和的公式2)(1nnaans

，dnnnasn2)1(1

等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊的数列。

课本P48页的4个例子：

①1，2，4，8，16，…

②1，12，14，18，116，…

③1，20，220，320，420，…

④100001.0198，2100001.0198，3100001.0198，4100001.0198，5100001.0198，……

这样的数列有怎样的共同规律呢？ 这就是我们今天要研究的主要问题……

二、 创设情境 合作探究：

请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？

并回答下面的各项问题：

（共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。）

【合作探究】（类比所学的等差数列的性质）

1．等比数列：一般地，如果一个数列从 起， 与它的前一项的比等于 ，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 表示（ ）。

【点评】 “从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)

｛ na｝成等比数列nnaa1=q（Nn,q≠0）

2 隐含：任一项00qan且

“na≠0”是数列｛na｝成等比数列的必要非充分条件．

3 q= 1时，{an}为常数列。即等差也等比。

2．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项. 即G=

（a,b同号）

反之，若G2=ab,则GbaG，即a,G,b成等比数列。

∴a,G,b成等比数列G2=ab（a·b≠0）

3.等比数列的通项公式 1: )0(111qaqaann

【引领学生，类比等差数列进行推导】

由等比数列的定义，有：

qaa12；

21123)(qaqqaqaa；

312134)(qaqqaqaa；

… … … … … … …

)0(1111qaqaqaannn

另：2: mnaa

4．等比数列的性质：若m+n=p+k，则

5．判断等比数列的方法：

（1）

（2）

6.等比数列与指数函数的关系：

等比数列｛na｝的通项公式)0(111qaqaann,它的图象是分布在曲线 上的一些孤立的点。

三、互动达标 巩固所学：

【自主达标】

1、 一个等比数列的第9项是94，公比是－31，求它的第1项。

2、一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项）且无关的数或式子是与0,(1qnqaann)0(211nnnaaa

与第4项

【互动达标】（下面的所有问题，都先让学生合作探究、交流一下）

问题.1某种 放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余原来的84%，这种物质的半衰期为多长？

【分析】对于应用问题，首先应仔细阅读、审清题意。然后，抽象、提炼出相关数据，并分析出它们的本质关系，把实际问题转化为相应的数学问题……

【解析】设这种物质最初的质量为1， 经过n年，剩余量是na，

由条件可得：数列{ na }是一个等比数列，其中，1a= 0.84 ，q =

0.84

设na= 0.5 ,则 5.84.0on

5.lg84.0lgon n = 4

这种物质的半衰期为4年。

【点评】通过分析实际问题中的数量的关系，发现数列的等比关系,抽象出数学模型;通项公式反映了数列的本质特征,因此关于等比数列的问题首先应想到它的通项公式an=a1qn-1

问题.2设数列na的首项是1a，公比为1q;nb的首项为1b，公比为2q，那么数列nnba也是等比数列

【分析】根据前面所总结的论证等比数列的方法（定义法），列出式子证明即可：

）且无关的数或式子是与0,(1qnqaann

【解析】211111qqbbaababannnnnnnn是一个与n无关的常数，

所以，nnba也是等比数列。

【点评】 要证明一个数列是等比数列,只需证明对于任意正整数n,nnaa1是一个常数就行了。下面再给出几个类似的问题:

1数列{nnab}也一定是等比数列吗？

2数列{λan}(λ为不等于零的常数) 也一定是等比数列吗？

3在{an}中,每隔k(k∈N*)项取出一项,按原来顺序排列,所得的新数列仍为等比数列,且公比为

4若m、n、p(m、n、p∈N*)成 时，am , an , ap 成等比数列。

问题.3一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项。

【分析】与等差数列类似，根据通项公式列出两个方程，求出几个基本量即可。

【解析】设首项为a1，公比为q，则有

解得

所以 a2 = 8。 18123121qaqa316,231aq

【点评】解决数列问题时，经常用到方程思想、整体思想、函数思想……本题采用的是方程思想，当然，这些思想是互相联系的，不是孤立存在的。

四、思悟小结：

知识线：

（1）等比数列的概念；

（2）等比数列的通项公式；

（3）等比中项的概念。

思想方法线：

（1）公式法或定义法 ；

（2）建模思想方法；

（3）方程思想方法。

题目线：

（1）根据等比数列的通项公式，解决相关的基本问题；

（2）判断一个数列是否为等比数列；

（3）关于等比数列的实际问题。

五、针对训练 巩固提高：

⒈在等比数列{an}中，a2=-2,a5=54，a8= .

⒉在等比数列{an}中，且an＞0，a2 a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5=

_ .

⒊在等比数列{an}中， a15 =10, a45=90,则a60 =__________.

4.在等比数列{an}中，a1+a2 =30, a3+a4 =120, 则a5+a6=_____ .

5.三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数。

6在等比数列{an}中，a1=5,a9a10=100 求a18 = .

7在等比数列{an}中，a4=3,求该数列的前7项之乘积。

【作业】

习题2.4 A组1、2