人教课标版高中数学必修5《等比数列(第2课时)》教学设计

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2.4 等比数列第二课时

一、教学目标

1．核心素养

通过对等比数列第二课时的学习,提高逻辑推理和数学运算能力,逐渐形成举一反三的思维.

2．学习目标

（1）类比等差数列性质,猜想等比数列性质.

（2）能证明等比数列的性质.

（3）能利用性质减少运算量,迅速解决等比数列相关问题.

3．学习重点

掌握等比数列的性质及证明.

4．学习难点

等比中项的确定与学会挖掘条件,利用等比数列性质解决问题.

二、教学设计

（一）课前设计

1．预习任务

任务1

阅读教材,思考等比数列相邻三项有怎样的关系关系?知道前后两项一定能确定中间项吗?

任务2

由特殊到一般,通过特殊等比数列,思考若k＋l＝m＋n(k,l,m,n∈N*),则对应项会有怎样的关系?

任务3

等比数列中,随机挑选出来的项还能构成等比数列吗?需要满足怎样的要求?请证明你的结论?

2.预习自测

一、选择题

1.已知等比数列na中，11a公比1,q且12345,maaaaaa则m（ ）

A.4 2 / 17

B.5

C.6

D.7

答案:C.

解析:【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】

∵等比数列na中, 11a,公比q≠±1, 1236...maaaaa,

∴234515mlqqqqqqq,∴m-1=15,解得m=16．故答案为:16．

342,27,3.2aaa则等比数列中，（ ）

A.9

B.-9

C.9

D.0

答案:C.

解析：【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力

根据已知条件求出等比数列的通项公式:331-a1-nnn或,然后求得3a

二、填空题

1.已知等比数列前三项: 1,1,4,aaa则na________.

答案:1)23(4n

【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】

解析：∵a-1,a+1,a+4为等比数列na的前三项,∴（a+1）2 =（a-1）（a+4）,

解得:a=5,∴等比数列na的前三项依次为4,6,9,可得公比q=23,首项为4,

则na=1)23(4n．故答案为:1)23(4n

（二）课堂设计

1．知识回顾

等差数列性质

（1）若a,A,b成等差数列,则A叫做a,b的等差中项,且A＝2ab. 3 / 17

（2）若na为等差数列,且m＋n＝p＋q,则mnpqaaaa(m,n,p,q∈N*)．

（3）若na是等差数列,公差为d,则2,,,...kkmkmaaa (k,m∈N*)是公差为md的等差数列.

2．问题探究

问题探究一 猜想等比数列有怎样的性质？

●活动一 回顾旧知,进行类比

等差数列的性质分为三点

1.若a,A,b成等差数列,则A叫做a,b的等差中项,且A＝2ab..

2.若na为等差数列,且m＋n＝p＋q,则mnpqaaaa (m,n,p,q∈N*)．

3.若na是等差数列,公差为d,则2,,,...kkmkmaaa (k,m∈N*)是公差为md的等差数列.

●活动二 集思广益,大胆猜想

类比猜想等比数列性质亦分为三点

1.如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项．即:G是a与b的等比中项⇔a,G,b成等比数列⇔G2＝ab.

2.若na为等比数列,且k＋l＝m＋n(k,l,m,n∈N*),则klmnaaaa．

3.相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即2,,,...kkmkmaaa仍是等比数列,公比为mq．

问题探究二 等比数列性质的证明 重点、难点知识★▲

●活动一 温故知新,类比证明

回忆等差数列性质的证明,均是利用等差数列的定义,同样不妨尝试利用等比数列的定义对等比数列性质进行证明

●活动二 夯实基础,证明性质

1.由定义得GbaG,即: 2Gab.

2.若qpnm,则qpqpnmnmaaqaqaaa221221 4 / 17

3.同理,利用定义可证明2,,,...kkmkmaaa仍是等比数列,公比为mq．

问题探究三 怎样利用等比数列的性质

重点、难点知识★▲

●活动一 初步运用,形成思维.

例1.公比为2的等比数列{an}的各项都是正数,且a3a11＝16,则log2a10＝( )

A．4

B．5

C．6

D．7

答案:B.

【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】

●活动二 能力提升,完善思维.

例2.已知{}na是等比数列,且252,0645342aaaaaaan, 求53aa.

答案:5.

【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】

例3.已知等差数列{}na的第二项为8,前十项的和为185,从数列na中,依次取出第2项、第4项、第8项、……、第n2项按原来的顺序排成一个新数列nb,求数列nb的通项公式.

答案:223nnb.

【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】

3．课堂总结(对课堂重点、难点知识进行梳理和归纳)

【知识梳理】

1.如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项．即:G是a与b的等比中项⇔a,G,b成等比数列⇔G2＝ab.

2.若na为等比数列,且k＋l＝m＋n(k,l,m,n∈N*),则klmnaaaa．

3.相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即2,,,...kkmkmaaa仍是等比数列,公比为mq． 5 / 17

【重难点突破】

1.只有当ba,同号,即0ab时,ba,才有等比中项且有两个,它们互为相反数,若0ab,ba,没有等比中项.

2.等比数列na中共所有证明都要结合定义,从而进行推理,论证.

3.在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若m＋n＝p＋q,则mnpqaaaa”,可以减少运算量,提高解题速度．

4.在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形．此外,解题时注意设而不求思想的运用．

随堂检测

一、选择题

1.4与9的等比中项为（ ）

A.6

B.-6

C.±6

D.36

答案:C.

解析:【知识点:等比数列的性质】

假设等比数列{an},134,9aa,求它们的等比中项即2a,由题意可知221336aaa,故26a,即4与9的等比中项为±6.

2.等比数列{an}中,6a和10a是方程x2+6x+2=0的两根,则8a=（ ）

A.2

B.2

C.2

D.2

答案:C.

解析:【知识点:等比数列的性质,根与系数的关系】 6 / 17

由方程可知68682,6aaaa,因为aaa10628.,所以8a=2

3.已知数列{}nb是等比数列,9b是1和3的等差中项,则216bb=（ ）

A.16

B.8

C.2

D.4

答案:D.

解析:【知识点:等比数列性质】更多

由题意可知9b=2,所以221694bbb

4.已知等比数列na的各项均为正数,且满足:194aa,则数列2logna的前9项之和为______．

答案:9.

解析:【知识点:等比数列的性质,对数运算性质】

∵an＞0,且21951954,,2aaaaaa．

∴921222921292525loglog...loglog...log9log9aaaaaaaa．故答案为:9．

5.已知{an}是各项均为正数的等比数列,1237895,10aaaaaa,则456____________aaa．

答案:25.

解析:【知识点:等比数列的性质,等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】

由等比数列的性质知, 123aaa, 456aaa, 789aaa成等比数列,所以456aaa=25,故答案为25.

（三）课后作业

基础型 自主突破

一、选择题

1．已知-9,1a,2a,-1成等差数列,-9,1b,2b,3b,-1成等比数列,则221()baa的值为（ ） 7 / 17

A.8

B.-8

C.8

D.98

答案:B.

解析：【知识点:等比数列的性质,等差数列的性质】

设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,有−9+3d=−1,b2=9,因为2b是第三项,与第一项同号,所以d=,b2= -3,∴2218baa．

2.已知等差数列{}na的首项11a,公差0d,且2a是1a与4a的等比中项,则d（ ）

A.-1

B.1

C.-2

D.2

答案:B.

解析：【知识点:等比数列的性质,等差数列通项公式】

由2a是1a与4a的等比中项,得a22=1a∙4a,即(1a+d)2=1a (1a+3d),

又1a=1,∴（d+1）2=3d+1,又d≠0,解得:d=1．故选:B．

3.在等比数列na中,若119a,43a,则该数列前五项的积为（ ）

A.3

B.3

C.1

D.1

答案:D.

解析：【知识点:等比数列的性质】

∵等比数列{an}中, 119a,43a,∴,∴q=3,∴该数列前五项的积