电磁场与电磁波复习资料
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电磁场与电磁波复习资料
电磁场与电磁波期末复习资料
第⼀章
⼀、在直线坐标系中，过空间任意⼀点P （X 0，Y 0，Z 0）的三个互相正交的坐标单位⽮量e x ，e y ，e z 分别是x ，y ，和z 增加的⽅向，且遵循右⼿螺旋法则：e x ×e y =e z 、e y ×e z =e x ，e z ×e x =e y
⼆、A 与B 的点积为：A ·B = (e x A x +e Y A y +e z A z )·(e x B x +e y B y +e z B z ) = A X B X + A Y B Y +A Z B Z
三、A 与B 的叉积为：A X
B = (e x Ax+e y A y +e z A z ) X (e x B x +e y B y +e z B z )
=e x (A y B Z -A Z B Y ) + e y (A Z B X - A X B Z ) + e z (A X B Y - A Y B X )
= x e y z x
y x
Y
Z e e A A Az B B B ?? ? ?
四、场的⼀个重要属性是他占有⼀个空间，他把物理状态作为空间和时间的函数来描述，
⽽且，在此空间区域中，除了有限个点或某些表⾯外，该函数是处处连续的。若物理状态与时间⽆关，则为静态场；反之，则为动态场或时变场。 五、直⾓坐标系中梯度的表达式为：x y z u u zgrad u e e e x y y
=++ 六、哈密顿算符“?”，在直⾓坐标系中： x
y z e e e x y z
=++??? 七、哈密顿算符?表⽰标量场的梯度u ： ()x
y z grad u e e e u u x y z
=++=? 例 1.3.1已知R = ，R = |R
|。证明：
（1）RR R ?=
； （2）31()R R R
=- ； （3）()'()f R f R ?=-?。 其中：x
y z e e e x y z =++???表⽰对x 、y 、z 的运算，''''
x y z e e e x y z
=++， 表⽰对x ’、y ’、z 的运算。(')(')(')x y z e x x e y y e z z -+-+-
⼋、散度在直⾓坐标系中的表达式：·lim
S
v F dS
Fx Fy Fz
div F V
x y z
→==
++
利⽤算符?，可将div F 表⽰为：x y z x y z e e e
A x y z F F F =
q ?0
V V EdV dV ρε?=?? (
)()x
y
z
x
x y
y z
z d i v F e e e e F
e F
e F F
x y z
=++++=?
九、利⽤哈密顿算符，可将rot F 表⽰为：
()()x
y z x x y y z z rot F e e e e F e F e F A x y z
=++?++=?? 上式亦可写成：
⼗、()()()()0()0uA u A u A u A ??=??+≡≡ 梯度的旋度恒等于0，旋度的散度恒等于0。
⼗⼀、⽮量场的散度和旋度都是表⽰⽮量场的性质的量度，⼀个⽮量场所具有的性质，可由他的散度和旋度来说明。⽽且，可以证明：在有限的区域V 内，任⼀⽮量场由它的散度、旋度和边界条件（即限定区域V 的闭合⾯S 上的⽮量场的分布）唯⼀的确定，且表⽰为： ()()()F r u r A r =-?+??
⼗⼆、亥姆霍兹定理总结了⽮量场的基本性质，其意义是⾮常重要的。分析⽮量场时，总是从研究它的散度和旋度着⼿，得到的散度⽅程和旋度⽅程组成了⽮量场的基本⽅程的微分形式；或者从⽮量场沿闭合曲⾯的通量和闭合路径的环流着⼿，得到⽮量场的基本⽅程的积分形式。
重要题⽬：第⼀章：1、23见附录
第⼆章1、电流是由电荷做定向运动形成的，通常⽤电流强度来描述其⼤⼩，设在?t 时间内通过某⼀截⾯S 的电荷量为 ，则通过该截⾯S 的电流强度定义为：0lim q t t
d q i t d ?→?==? J V ρ= J E δ=
2、对0E ρε?=
的两边取体积分，则有: ⽽V
S
EdV E dS ?=?
故得：01
S
V
E dV dV ρε=
3、微分算符?对场点坐标r 求导，与源点坐标r ’⽆关，故可将算符?从积分号中移出，即：
1(')
()[
']4V
r E r dV R ρπε=-??
，对左式两边取旋度，即：1(')
()[
']
4V
r E r dV R
ρπε??=-
上式左边括号内是⼀个连续标量函数，⽽任何⼀个标量函数的梯度再求旋度时恒等于0，故上式右边恒等于0，则得：0E ??=此结果表明静电场是⽆璇场。将上式对任意曲⾯求积分，并利⽤斯托克斯定理=SC
E dS E dl ，得：
0C
E dl =?
上式表明，在静电场E 中，沿任⼀闭合路径C 的积分恒等于0，其物理含义是将单位正电荷
沿静电场的任意⼀个闭合路径移动⼀周，电场⼒不做⼯。 4、利⽤散度定理S
S
FdV F dS ?=?? ，由式()0B r ?= 得：
()()0S
V
B r dS B r dV =?=??
5、安培环路定理的微分形式：0()()r B r J µ??= 两端取积分：
00()()S
S
B r dS J r dS I µµ??==??
应⽤斯托克斯定理：()()S
C
B r dS B r dl ??=?? ，上式为：0
()C
B r dl I µ=?
6、电位移⽮量和电介质中的⾼斯定理：()D r ρ?=
7、电介质的本质关系：000()()()(1)()=()=()e e r D r E r E r E r E r E r εχχεεεε=+=+ 8、磁场强度和磁介质中的安培环路定理：将真空中的安培定理推⼴到磁介质中，得：0=()M B J J µ??+
将M J M =??代⼊上式，得0()
[
()]B r M r J µ??-=引⼊磁化效应的物理量，磁场强度H ：
B
H M µ=
-则上上上上式变为()H r J ??=，磁场强度单位为A/m （安培/⽶）
例题：2、4、4见附录9、麦克斯韦⽅程组的微分形式：0D
H J t
B
E t
B D ρ
=+
=-???=??=结构⽅程：D E
B H J E εµσ===代⼊微分形式得：
E H H E E t
t H H σεµ
ρε
=+??=-???=?=
10、理想导体表⾯的上的边界条件：
111100
n s n n n e H J e E e B e D s
ρ?=?===
11、理想介质表⾯上的边界条件：
1212121212121212()00
()00()00()00
n t t n t t n n n n n n e H H H H e E E E E e B B B B e D D D D ?-=-=?-=-=?-=-=?-=-=或或或或
第三章1、电位和电位差：电场强度⽮量E 可以表⽰为标量函数?的梯度，即： ()()E r r ?=-?
2、静电位的微分⽅程：在均匀、线性和各向同性的电介质中，ε是⼀个常数。因此将
()()E r r ?=-?代⼊()()D r r ρ?= 中，得： ()()()()D r E r r r εε?ρ?=?=-??=
故得：2()
()r r ρ?ε
=-
即静电位满⾜标量泊松⽅程。若空间内⽆⾃由电荷分布，即0ρ=，则()r ?满⾜拉布拉斯⽅程：2()0r ??= 3、静电场能量密度:12e V W E DdV =? 电场不为零的空间： 21122
e w D E E ε== 例题3.1.6见附录
4、磁场能量密度：对空间：12m V W H BdV =? ,密度为22111
222
e B w B H H µµ===5、唯⼀性定理：唯⼀性定理具有⾮常重要的意义，⾸先，它指出了静态场边值问题具有唯⼀解的条件，在边界S 上的任⼀点只需给定?或n
的值，⽽不能同时给定两者的值。其次，唯⼀性定理也为静态场边值问题的各种求解⽅法提供了理论依据，为求解结果的正确性提供了判据。6、镜像法:镜像法的基本思想，是在所研究的场域以外的某些适当的位置上，⽤⼀些虚设的电荷（称为镜像电荷）等效替代导体表⾯的感应电荷或介质分界⾯上的极化电荷。这样就把原来的边值问题的求解转换为均匀⽆界空间的问题来求解。 镜像电荷确定应遵循以下两条原则：
①所有镜像电荷必须位于所求的场域以外的空间中
②镜像电荷的个数、位置及电荷量的⼤⼩以满⾜场域边界上的边界条件来确定。
第四章1、电场和磁场都具有能量，在线性、各向同性的媒介中，电场能量密度w e 与磁场能量密度
w m 分别为：1
1
2
2e m w E D w H B =
=
，在时变磁场中，电磁场能量密度w e 与磁场能量密度w m 分别为：1122
e m w w w E D H B =+=+ 当场随时间变化时，空间个点的电磁场
能量密度也要随时间变化，从⽽引起电磁能量流动。为了描述能量流动的流动状况，引⼊了能流密度⽮量，其⽅向表⽰能量的流动⽅向，其⼤⼩表⽰单位时间内穿过与能量流动⽅向相垂直的单位⾯基的能量，能流密度⽮量⼜称为坡印停⽮量，⽤S 表⽰。2、电磁能流密度⽮量S ：S E H =?
3、内外导体之间任意横界⾯上的坡印廷⽮量为： 2[]()ln(/)22ln(/)
z
U I UI
S E H e e e b a b a ρ
φρπρπρ=?=?= 4、亥姆霍兹⽅程：222200H k H E k E ?+=?+=
5
、
平
均
能流密度
⽮
量
（
