概率论数字特征

概率论中常用数字特征的简单求法

作者：沙婵娟

来源：《现代职业教育》2020年第45期 [摘 要] 分析了在求解随机变量数字特征中的常见问题，通过教学中的实例，了解并且归纳了随机变量数字特征的实质，计算中绕开了繁杂的定义求解过程，巧妙而简单地得到了相应的数字特征值。同时把求解方法进行了分类，对该内容的教授和学习有所启发。

[关 键 词] 随机变量;期望;方差;相关系数

[中图分类号] O211.5 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2020）45-0162-02

一、引言

概率論课程是高等理工科院校最主要的数学基础课之一[1]，其为后续的随机课程做了相当大的铺垫，同时也是硕士研究生入学的数学考试必考课程之一。在本门课程中，对于各种各样的随机变量，如果知道了它们的分布函数，就相当于掌握了它们的全部变化规律，但要得到一个随机变量的分布函数并不容易，因此，在实际问题中我们常常简单计算它的某个需要的数字特征即可。例如，比较两人射击水平高低，只需先比较其平均射击环数，即求期望值;如果环数相当，可以再比较着点的集中和分散程度，即做方差比较。在这种情况下，就不需要精确地计算随机变量的分布函数或者概率密度函数，而只需要计算其数学期望和方差。

对于一些有特点的随机变量或者随机变量的函数来说，由于它们自身的特点，我们没有必要用定义去处理，而只需要了解数字特征的实质，分析变量的特点，利用一些技巧便可以很快得到我们需要的数字特征。

二、随机变量数字特征分析

概率论中，我们常求解的数字特征包括：数学期望、方差、协方差、相关系数，以及它们的扩展随机变量矩的概念。下面将结合教学过程中所举出的实例，充分了解几类常用数字特征的实质，分析各个要求求解的随机变量的特点，简单而巧妙地得到我们想要的结果，并将其方法进行分类。

第四章 数字特征

前面我们介绍了随机变量及其分布，对于一个随机变量，只要知道了它的分布（分布函数或分布律、分布密度），它取值的概率规律就全部掌握了。但在实际问题中，一个随机变量的分布往往不易得到，且常常只需知道随机变量的某几个特征就够了。例如检查棉花的质量时，我们关心的是棉花纤维的平均长度和纤维长度与平均长度的偏差大小，这些数字反映了随机变量的一些特性，我们称能够反映随机变量特征的数字为随机变量的数字特征。本章将介绍几个最常用的数字特征：数学期望、方差、协方差和相关系数。

第一节 数学期望

一、离散型随机变量的数学期望

数学期望反映的是随机变量取值的集中位置的特征，能够满足这一要求的自然是随机变量的平均取值，那么这个平均取值如何得到呢？怎样定义，我们先看一个例题

例1：全班40名同学，其年龄与人数统计如下：

年龄 18

19 20 21 ∑

人数 1 15 15 9

40

该班同学的平均年龄为：

4092115201519118a

8.194092140152040151940118

若令X表示从该班同学中任选一同学的年龄，则X的分布律为

x 18 19 20 21

p 401

409

于是，X取值的平均值，即该班同学年龄的平均值为 2 4092140152040151940118)(aXE

8.19iiipx

定义1：设X为离散型随机变量，其分布律为

iipxXP}{，,2,1i

如果级数 绝对收敛，则此级数为X的数学期望（或均值），记为 E(X)，

即 iiipxXE)(

意义：E(X)表示X取值的（加权）平均值。

如果级数 不绝对收敛，则称数学期望不存在。

例2：甲、乙射手进行射击比赛，设甲中的环数为X1，乙中的环数为X2，已知

X1和X2的分布律分别为：

X1 8 9

《经济数学》第三篇概率论第8章随机变量与数字特征作业详解

练习8．1

1．定点投篮1次，投中的概率是0.4，试用随机变量描述这一试验解，引入随机变量X，8发投篮命中的，令X＝1；当不中时X＝0，即P(X＝1)＝0.4，P(X＝0)＝1－0.4＝0.6。

2．一次试验中，若某事件A必然产生、试用随机变量描述该现象，并指出此随机变量可能取多少个值？

A出现，令X＝1，有P(X＝1)＝1，A不出现，令X＝0，有P(X＝0)＝0，X可能取1，0两个值。

练习8．2

1．判断以下两表的对应值能否作为离散型随机变量的概率分布

（1） X -2 1 0 （2） X 1 2 3 4

PK PK

解：作为离散型随机变量。①每一概率值Pk都大于或等于零；②所有可能 值的概率之和为1，即Pk＝1。

现在第（1）情况，虽Pk0，

但 。

所以不可以作为随机变量概率分布。

第（2）情况不仅Pk0，且，所以能作为离散型随机变量的概率分布。

2．设随机变量Y的概率分布为，k＝1，2，3，求P(Y＝1)，P(Y>2)，P(3)，P(1.5y5)，P(y>)

解：P(Y＝1)＝，P(Y>2)＝P(Y＝3)＝

P(1.5Y5)＝P(Y＝2)+P(Y＝3)＝； P(Y>)＝P(Y＝2)+P(Y＝3)＝

3．气象记录表明，某地在11月份的30天中平均有3天下雪，试问明年11月份至多有3个下雪天的概率

11月份下雪天的概率是，不下雪天的概率是，每次只有两种可能，要么下雪，要么不下雪，所以服从二项分布，X~B(30,0.1)X表示11月份下雪天数，

解：P(X3)＝P(X＝0)+P(X＝1)+P(X＝2)+P(X＝3)

其中不下雪的概率P(X＝0)＝＝0.04239

有一天下雪的概率P(X＝1)＝＝0.1413

有二天下雪的概率P(X＝2)＝＝0.22766

概率论与数理统计教学教案 第4章 数字特征与极限定理 授课序号01 教 学 基 本 指 标 教学课题 第4章 第1节 数学期望 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 数学期望、根据随机变量的概率分布求其函数的数学期望 教学难点 运用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征、根据二维随机变量的联合概率分布求其函数的数学期望。 参考教材 浙江大学《概率论与数理统计》第四版 作业布置 课后习题 大纲要求 1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、协方差、相关系数）的概念，并会运用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征，掌握常用分布的数字特征。 2．会根据随机变量的概率分布求其函数的数学期望；会根据二维随机变量的联合概率分布求其函数的数学期望。 教 学 基 本 内 容 一．随机变量的数学期望 1. 离散型随机变量的数学期望：设离散型随机变量的分布律为若级数绝对收敛，则称其和为随机变量的数学期望，简称期望或均值,记为或，即. 2．连续型随机变量的数学期望：设连续型随机变量的概率密度为，若积分绝对收敛，则称该积分值为随机变量的数学期望，简称期望或均值，记为或，即 二．随机变量函数的数学期望 1．定理：设有随机变量的函数，且存在. )(XEX{},1,2,,kkPXxpk1kkkpxXX)(XE1kkkpxX)(xf()dxfxxX)(XEX.)()(dxxxfXEX)(XgY[()]EgX（1）设为离散型随机变量，，则 （2）设为连续型随机变量，概率密度为，则 2．定理：设有随机变量（,）的函数，且存在. （1）若为离散型随机变量，其联合分布律为则 （2）若为连续型随机变量，其联合概率密度为，则 三．数学期望的性质 1．设为常数，则 2．设为常数，为随机变量，则 3．设为任意两个随机变量，则 4． 5．设为相互独立的随机变量，则 6．若为相互独立的随机变量，则有 四．例题讲解 例1．求下列离散型随机变量的数学期望：(1)(0-1)分布； (2) 泊松分布. 例2．求下列连续型随机变量的数学期望：(1)指数分布； (2) 正态分布. 例3．一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从以为参数的指数分布，工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换，若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元．求厂方出售一台设备净赢利的数学期望. 例4．设随机变量 X 的分布律为 X -1 0 1 2 P 0.3 0.2 0.4 0.1 C.)(CCECX).()(XCECXEYX,).()()(YEXEYXE).(...)()()...(2121nnXEXEXEXXXEYX,).()()(YEXEXYEnXXX,...,,21).()...()()...(2121nnXEXEXEXXXEX{},1,2,kkPXxpk.)()]([)(1kkkpxgXgEYEX)(xf)]([)(XgEYEdxxfxg)()(XY),(YXgZ[(,)]EgXY),(YX{,},,1,2,,iiijPXxYypij11()[(,)](,).ijijijEZEgXYgxyp),(YX),(yxf()[(,)](,)(,).EZEgXYgxyfxydxdy